2.1两条直线的位置关系练习

两直线的位置关系练习题两直线的位置关系练习题直线是几何学中最基本的概念之一，它是由无数个点连成的一条无限延伸的线段。

在几何学中，我们经常需要研究不同直线之间的位置关系，这不仅有助于我们理解几何学的基本原理，还能帮助我们解决实际问题。

下面，我们来练习一些关于两直线位置关系的题目。

1. 平行线与垂直线在平面几何中，平行线和垂直线是最常见的两种直线位置关系。

平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线，它们的斜率相等。

垂直线则是指两条直线在交点处互相垂直，它们的斜率互为相反数。

现在，我们来考虑以下问题：已知直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2，如何判断L1和L2的位置关系？首先，如果m1等于m2，那么L1和L2是平行线。

其次，如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2是垂直线。

这是因为两条直线的斜率乘积等于-1时，它们互为相反数，即互相垂直。

2. 相交线除了平行线和垂直线，两条直线还可以相交于一点。

在平面几何中，我们常常需要确定两条直线的交点坐标。

下面是一个练习题：已知直线L1过点A（x1，y1），直线L2过点B（x2，y2），如何求出L1和L2的交点坐标？首先，我们可以通过直线的斜率和截距来确定直线的方程。

设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2。

然后，我们可以将L1和L2的方程联立，解出交点的坐标。

具体步骤如下：将L1和L2的方程联立，得到k1x + b1 = k2x + b2。

然后，将x的系数和常数项分别相等，得到k1 = k2，b1 = b2。

将k1代入其中一个方程，解出x的值。

再将x的值代入另一个方程，解出y的值。

这样，我们就求出了L1和L2的交点坐标。

3. 平行线之间的距离在几何学中，我们还经常需要计算两条平行线之间的距离。

下面是一个练习题：已知平行线L1和L2的方程分别为y = k1x + b1和y = k2x + b2，如何计算L1和L2之间的距离？首先，我们可以求出L1和L2的斜率之差的绝对值，即|k1 - k2|。

两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1） 平行的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 // l 2 ⇔ k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ， 则l 1 // l 2 ⇔A 1B 2 - A 2 B 1 = 0,C 1B 2 - C 2 B 1 ≠ 0 .（2） 垂直的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，则l 1 ⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1B 2 = 0 .2、两条直线的交点：若l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0⎧ A 1x + B 1 y + C 1 = 0 则l 1 , l 2 的交点为 方程⎨ A x + B y + C 的解.= 0 ⎩ 2 223、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P (x 0 , y 0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =_.(2)两平行直线间的距离求法：两平行直线： l 1 : Ax + By + C 1 = 0, l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ，则距离 d = d =（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系 例 1、（1）已知直线l 的方程为3x + 4 y -12 = 0 ，求与l 平行且过点(-1, 3) 的直线方程；（2）已知直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线l 1 和l 2 的交点，且与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0⎨⎩⎩ ⎩⎪ 垂直的直线l 方程. 易错笔记：解：（1）设与直线l 平行的直线l 1 的方程为3x + 4 y + C = 0 ，则点(-1, 3) 在直线3x + 4 y + C = 0 上，将点(-1, 3) 代入直线3x + 4 y + C = 0 的方程即可得： 3⨯(-1) + 4 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = -9 ，∴所求直线方程为：3x + 4 y - 9 = 0 .（2）设与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0 垂直的直线l 方程为： 2x + 3y + C = 0 ，⎧2x - 3y +10 = 0 方程 ⎩3x + 4 y - 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ， ∴直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点是(-2, 2) ， ∴直线l 过直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点(-2, 2) ， ∴ 2 ⨯(-2) + 3⨯ 2 + C = 0 ，∴ C = -2 ，∴直线l 方程为： 2x + 3y - 2 = 0 . 考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 ， (1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点( A , B ) ，∴ ⎧2 A + B = -4 ，∴ ⎧ A = -1 ， ⎨ A - 2B = 3 ⎨B = -2 ∴直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点(-1, -2) .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a ≠ 0 ，在 y 轴上的截距b ≠ 0 ，∴设直线 l 的方程为： x + y= 1，∴直线 l 在 x 轴上的交点坐标为 M (a , 0) ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为a b N (0, b ) ，直线l 夹在两坐标轴间的线段被点(-1, -2) 平分， ∴点(-1, -2) 是线段 MN 的中点，⎧ a + 0 = -1 ∴ ⎪ 2 ，∴ a = -2, b = -4 ， ⎨ 0 + b= -2 ⎩⎪ 2∴直线l 的方程为： x + y -2 -4易错笔记：= 1，即2x + y + 4 = 0 .⎩ ⎩ （三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y +1 = 0 和直线 6x + 2 y +1 = 0 的位置关系是B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点(2,1) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（A ）A. 45B. 54C.25D. 2543、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线(3a - 1)x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（A ）1 1 A ．0B ．C ．0 或 1D ．0 或661 解： 1⋅(-a ) - 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (-1) - (-a ) ≠ 0 ②，由①得： a = 0 或 a =，由②得： a ≠ 0 ，∴6a = 0 .4、若三条直线 2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（B ）A．-2B． - 12⎧2x + 3y + 8 = 0C ．2D ．1 2⎧x = -1 解： 方程⎨x - y -1 = 0 的解为： ⎨ y = -2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-1, -2) ，三条直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点(-1, -2) ， ∴直线 x + ky = 0 过点(-1, -2) ，∴ -1+ k (-2) = 0 ，∴ k = - 1，故选 B .25、已知点 M (4, 2) 与 M (2, 4) 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 （D ）A． x + y + 6 = 0 B． x + y - 6 = 0 C． x + y = 0 D． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + my +14 = 0 平行，则它们间的距离是 （D ）17 17 A.B ．C ．8D ．2105解： 直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 平行，⎨⎪4 ⨯14 -(-3)m≠ 0∴⎧⎪3m - 4 ⨯6 = 0⎩，∴m = 8 ，∴直线6x +my +14 = 0 的方程为6x + 8 y +14 = 0 ，即3x + 4 y + 7 = 0 ，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离d === 2 .直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + 8 y+14 = 0 的距离等于直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 的距离d === 2 ，故选D.二、填空题7、如果三条直线l1: mx +y +3 = 0, l2: x -y -2 = 0, l3: 2x -y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是.8、过点(2, 3)且平行于直线2x +y - 5 = 0 的方程为2x +y - 7 = 0.过点(2, 3)且垂直于直线3x + 4 y- 3 = 0 的方程为4x - 3y +1 = 0 .分析：设与直线 2x +y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2x +y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线 2x +y +C = 0 上， 将点(2, 3)代入直线 2x +y +C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 +C = 0 ，∴C =-7 ，∴所求直线方程为： 2x +y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线3x + 4 y - 3 = 0 的方程为： 4x -3y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线4x -3y +C = 0 上，将点(2, 3) 代入直线4x - 3y +C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3⨯ 3 +C = 0 ，∴C = 1，∴所求直线方程为： 4x - 3y +1 = 0 .9、已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1, 2)，B (2, a)，若直线l1 // l2，a =_ 3 _；若l1⊥l2，则a =5.3当直线l1 // l2 时： 直线l1 的斜率：k1 = 3 ，且直线l1 // l2 ，∴直线l2 的斜率k2 =k1 = 3 ，直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 = 3 ，222x -x 2 -12 1∴a = 5 .当直线l1 ⊥l2 时，设直线l1 的斜率为k1 ，直线l2 的斜率为k2 ，则直线l 的斜率：k = 3 ， 直线l ⊥l ，∴k ⋅k =-1 ，∴直线l 的斜率k =-1=-1，1 1 12 1 2 2 21又 直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 =-1，222x -x 2 -1 32 1∴a =5.310、设直线l1: 3x + 4 y- 2 = 0, l2: 2x +y + 2 = 0, l3: 3x - 4 y+ 2 = 0 ，则直线l1 与l2 的交点到l3 的距离为12 .5k 3Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 3⨯(-2) - 4 ⨯ 2 + 2 32 + (-4)2Ax 0 + By 0 + CA 2 +B 2k + 2 k 2 + (-1)22 ⎩ ⎩ 1⎩⎩2 ⎧3x + 4 y - 2 = 0 解： 方程⎨2x + y + 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-2, 2) ，∴点(-2, 2) 到直线l 3 的距离为：d = = = 12.511、过点 A (-1, 2) ，且与原点距离等于2的直线方程为 x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．2解 ： 设 所 求 直 线 的 斜 率 为 k ， 则 直 线 过 点 kx - y + k + 2 = 0 ，A (-1, 2) ， ∴方 程 为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k ( x +1) ， 即 ∴直 线 到 原 点 的 距 离 为 ： d ==== ，2(k + 2)2 2⎛⎫22= ⎪ = 1 ，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ， k + (-1)⎝ 2 ⎭ 2∴所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线l 1 : x + my + 6 = 0, l 2 : (m - 2) x + 3y + 2m = 0 ，求m 的值，使得 (1) l 1 和l 2 相交；（2） l 1 ⊥ l 2 垂直；(3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和l 2 重合. 解：(1) l 1 和l 2 相交，∴ m (m - 2) -1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1． (2) l 1 ⊥ l 2 垂直，∴ 1⋅(m - 2) + m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 2.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1) (3) l 1 // l 2 ，∴ ⎨ ，⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 ≠ 0 (2) 由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1)(4) l 1 和l 2 重合，∴ ⎨⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 = 0 (2) ，由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ， ∴当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 1 和l 2 重合.13、已知直线l 过点(1, 2) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 B（1） 、求∆AOB 面积为 4 时直线l 的方程；（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距b > 0 ，∴设直线l 的方程为： x + y= 1， 直线l 过点(1, 2) ， a bk ⋅ 0 -1⋅ 0 + k + 2k 2 + (-1)2y B(1,2)OAx∴ 1 + 2 = 1①， ∆AOB 面积为 4，∴ a b a b = 1 ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ， 2∴直线l 的方程为： x + y= 1，即2x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为l 1 ，斜率为 k 1 ，直线l 1 过原点O (0, 0) ，直线l 的方程为： 2x + y - 4 = 0 ，∴边 AB 所在的直线方程为： 2x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ， l ⊥ l 1 ，∴ k ⋅ k 1 = -1 ，∴ k 1 = -1 = -1 = 1， 直线l 过原点O (0, 0) ， k -2 2 1∴直线l 的方程为： y - 0 = 1( x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为： x - 2 y = 0 .121 2。

两条直线的位置关系练习题一、选择题1．下列说法正确的是 ( )A.不相交的两条直线是平行线.B.如果线段AB与线段CD不相交,那么直线AB与直线CD平行.C.同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线.D.同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线.2．点A为直线外一点,点B在直线上,若AB=5厘米,则点A到直线的距离为( )A. 就是5厘米B. 大于5厘米C. 小于5厘米D.最多为5厘米3．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．70°4．如图所示，点A到BD的距离是指( )A．线段AB的长度 B．线段AD的长度 C．线段AE D．线段AE的长度5．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（）A．26° B．64° C．54° D．以上答案都不对二、填空题7．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是．8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD ＝______＝______＝______＝90°．11.如图，∠AOB＝90°，则AB BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连结的所有线段中________最短．12．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是．三、解答题13．如图，三条直线AB、CD和EF相交于一点O，∠COE+∠DOF＝50°，∠BOE＝70°，求∠AOD和∠BOD．14．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，若∠AOE=40°，∠COF=81°，求∠BOD的度数．15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】考查平行线的概念．2．【答案】D；【解析】点到直线的距离是该点到直线上所有点的距离中最小者．3. 【答案】D；【解析】∠1＝40°，∠BOC＝140°，∠2＝12∠BOC＝70°．4. 【答案】D；5. 【答案】B【解析】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角．6. 【答案】B；【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．二、填空题7．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；【解析】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．8. 【答案】120°， 60°， 120°；9. 【答案】60°， 120°；【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD，∠BOC，∠AOC；【解析】垂直的定义．11.【答案】＞， 3， 2，垂线段；【解析】点到直线的距离的定义12.【答案】50°；【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=12∠EOC＝50°．三、解答题13.【解析】解：∵∠COE＝∠DOF(对顶角相等)，∠COE+∠DOF＝50°(已知)，∴∠COE＝150252⨯=°°．∵∠BOE＝70°，∴∠BOC＝∠BOE－∠COE＝70°－25°＝45°．∵∠AOD＝∠BOC(对顶角相等)．∴∠AOD＝45°．∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－45°＝135°．14.【解析】解：∵∠COF=81°，∴∠DOE=∠COF=81°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，又∵∠AOE=40°，∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣40°=50°，∴∠BOD=∠DOE﹣∠BOE=81°﹣50°=31°．15.【解析】解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．。

2.1两条直线的位置关系（1）1.我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 在同一平面内，不相交的两条直线叫做2．如上图，直线 AB 与 CD 相交于点 O ，那么 ∠ 1与 ∠ 2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？在上图中，直线 AB 与CD 相交于点 O ，∠ 1 与 ∠ 2有公共顶点 O ，它们的两边 ，具有这种位置关系的两个角叫做 对顶角有如下性质：对顶角3．在上图中， ∠ 1 与 ∠ 3 有什么数量关系？ 如果两个角的和是180°，那么称这两个 角 .类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个 角 . 4.（1）在图2中，∠2+∠1=90°，∠2+∠3=90°那么∠1与∠3的大小关系是________。

证明：∵∠2+∠1=90°∴∠1=90°-又∵∠2+∠3=90°∴∠3=90°- ∴∠1____∠3 结论：①同角的余角______; 符号语言：∵∠2+∠1=90°，∠2+∠3=90°∴∠（2）在图3中，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°若∠1=∠3，问∠2与∠4的大小是________。

证明：∵∠1+∠2=90°，∠1=∠3∴∠___+∠2=90° ∴∠2=90°-∠___又∵∠3+∠4=90°∴∠4=90°-∠___∴∠2____∠4 结论：②等角的余角______。

符号语言：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3 ∴∠2____∠4 5.（1）若图4中，∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°则∠2，∠3的大小关系是_______结论：③同角的补角_______.符号语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2____∠3 （2）若图5中，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠1=∠3,则∠2,∠4的关系是：_______ 证明：132图4 图33412图5结论：④等角的补角_______.符号语言：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠1=∠3∴∠2____∠4自学检测：6. 如图，直线 a ，b 相交， ∠ 1 = 38°，求 ∠ 2， ∠ 3， ∠ 4 的度数．7.如图，∠AOB 为一直线，∠1=∠2，∠3=∠4，则图 中互余的角共有（ ） A 、5对 B 、4对 C 、3对 D 、2对 8.一个角比它的余角的2倍大12°，试求这个角的度数。

2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题含答案一、选择题1.如图，直线AB 和直线CD 相较于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB,∠BOD =40°，则∠COE 的度数是（ ） A.120 ° B.140 ° C.150° D.130°2.OA ⊥OB ，OC ⊥OD,则下列叙述正确的是（ ） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BODC.∠AOC =∠BODD.以上都不对3．如图，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，则下列的结论中正确的个数是（ ） ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点D 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．如图，把水渠中的水引到水池C ，先过C 点向渠岸AB 画垂线，垂足为D ，再沿垂线CD 开沟才能使沟最短，其依据是（ ） A. 垂线最短 B.过一点确定一条直线与已知直线垂盲 C.垂线段最短 D.以上说法都不对5.P 为直线l 外一点，点A,B,C 为直线l 上三点，PA=5cm,PB=4cm,PC=2cm ，则P 到直线l 的距离（ ）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm6．如图，已知0A ⊥m ，OB ⊥m ，所以OA 与OB 重合，其理由是（ ） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线C.平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短7.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能1题图2题图3题图4题图6题图8.下列说法正确的是( )A.平面内过直线l 上一点做l 的垂线不止一条B.直线l 的垂线有无数条C.如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D.以上说法都不对 二、填空题9.如图，直线a ⊥b ，∠1=50°，则∠2= 度．10.如图，点A ，B ，C 在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD 与CE 的位置关系是 _________ ．11.如图，已知BA ⊥BD ，CB ⊥CD ，AB=8，BC=6，则点A 到BD 的距离为_________ ，点B 到CD 的距离为_________ .12．如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，∠COE =65°，∠AOF 等于_________ .9题图10题图11题图 12题图13.如图，∠ADB =90°，用“＜”连接AB ，AC ，AD ，结果是 _________ ．三、解答题14.如图，OA ⊥OB ，OB 平分∠MON ，若∠AON =120°，求∠AOM 的度数．15.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OM ⊥AB 于O ． （1）若∠1=∠2，求∠NOD ；（2）若∠BOC =4∠1，求∠AOC 与∠MOD ．16.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数？17.如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）若∠BOC =50°，试探究OE ，0F 的位置关系； （2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？18.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，Q 是CD 上的一点. (1) .过点Q 画直线AB 的垂线，垂足为E; (2) .过点O 画直线CD 的垂线.19.如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校．（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题答案二、填空题9.40°10.垂直11.8；6.12.40°13.AD＜AC＜AB三、解答题14.解:∵OA⊥OB∴∠AOB=90°∵∠AON=120∴∠BON=120°-90°=30°∵OB平分∠MON∴∠MOB=∠NOB=30°,∴∠AOM=90°-30°=60°15.解:(1)∵OM⊥AB,∴∠1+∠AOC=90°又∠1=∠2∴∠2+∠AOC=90°,∴∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90=90°(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°所以∠AOC=90°-30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°故∠MOD=90°+60°=150°16.解:(1)∵OF ⊥AB,∴∠BOF =90° ∵∠DOF =65°,∴∠BOD =∠BOF -∠DOF =90°-65=25° ∵OE ⊥CD, ∴∠DOE =90°,那么∠BOE =∠DOE -∠BOD =90°-25°=65°(2)直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角 即∠AOC =∠BOD =25° 17.解:(1)OE ⊥OF ∵∠BOC =50°,∴∠AOC =180°-50°=130 ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =65°,∠COF =21∠COB =25° ∴∠EOF =65°+25°=90° ∴OE ⊥OF(2)∵∠BOC =a ∴∠AOC =180-a∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =90°-21a, ∠COF =21∠COB =21a ∴∠EOF =90°-21a+21a=90° ∴OE ⊥OF规律：邻补角的角平分线互相垂直 18.解：(1)直线QE是所求的直线(2)直线OF是所求的直线19.解：（1）作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；（2）由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减少；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大。

《两条直线的位置关系与距离公式》专题练专题1 两条直线的位置关系1.1 位置关系的判断1．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为3．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为4．若直线l 1：ax ＋y －1＝0与l 2：3x ＋(a ＋2)y ＋1＝0平行，则a 的值为________．5．若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝6．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为7．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.8．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为9．已知直线l 的倾斜角为2π3，直线l 1经过P (－2，3)，Q (m,0)两点，且直线l 与l 1垂直，则实数m 的值为10.若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.11．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知直线l1：mx＋3y＋3＝0，l2：x＋(m－2)y＋1＝0，则“m＝3”是“l1∥l2”的________条件．13．命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14.若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为16．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．17．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为18．已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为19．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1．20．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值.21．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．1.2 根据位置关系求直线方程1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是2.过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是3．设直线mx－y－m＋2＝0过定点A，则过点A且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为________．4．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为________5．经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程为________6．经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________．7．经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________.8．经过两直线l 1：2x －3y ＋2＝0与l 2：3x －4y －2＝0的交点，且平行于直线4x －2y ＋7＝0的直线方程是9．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠110．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，2311．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝12．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．专题2 两条直线的交点与距离问题2.1 两直线交点问题1．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．3．直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．4．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为5.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.6．若直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限，则k 的取值范围是7．若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是8．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为2.2 距离问题1．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．2．点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点坐标为________．3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于4．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是____．5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．6.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为7．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为______．8．过点P(2, －1)且与原点距离为2的直线方程为9．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．10．当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为11．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是12．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是13．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为14．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为．15．已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为5，则直线l1的方程为16．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．17．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．专题3 对称问题3.1 点关于点的对称1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为．2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点A．(0,4)B．(0,2) C．(－2,4)D．(4，－2)3.2 点关于直线的对称1．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为2．点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为3．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于________．4．一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是5．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．6．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝07．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是8．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为3.3 直线关于直线的对称问题1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是2．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是4．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．5．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．。

北师大版七年级下册数学2.1 两条直线的位置关系同步测试一、单选题1.如图，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB互余的角有（）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个2.如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中正确的有（）① ② ③ ④A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④3.将三角板与直尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，与∠1互余的角共有（）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个4.下面角的图示中，能与30°角互补的是（）A. B. C.D.5.下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（）A. B.C. D.6.已知∠A=75°，则∠A的补角等于（）A. 125°B. 105°C. 15°D. 95°7.如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，则这个角的度数是（）A. 60°B. 50°C. 45°D. 40°8.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B. C.D.9.如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A. 互为余角B. 互为补角C. 互为对顶角D. 互为邻补角10.如图，A，O，B在一条直线上，∠1=∠2，∠3=∠4，则图中互余的角共有（）A. 5对B. 4对C. 3对 D. 2对二、填空题（共6题；共8分）11.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=28°，则∠BOC=________ ，∠AOC=________ ．12.已知∠A=55°，则∠A的余角等于 ________度．13.如图，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③∠BOC+∠AOD=180°；④∠AOC﹣∠COD=∠BOC中，正确的有________（填序号）．14.已知∠A=30°，则∠A的补角为________ ，余角为________ ．15.∠α=25°20′，则∠α的余角为________．16.已知，直线AB和直线CD交与点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB 与直线CD的夹角是________度.三、解答题（共2题；共10分）17.一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？18.如图，已知直线AB, 线段CO⊥AB于点O，∠AOD = ∠BOD，求∠COD的度数．四、综合题（共2题；共25分）19.如图，直线AB、CD、EF相交于点O ．（1）写出∠COE的邻补角；（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．20.数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：（1）如图（1）：当∠DCE=30°时，∠ACB+∠DCE等于多少？若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．2.1答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有∠B和∠ACD共2个．故选B．【分析】根据互余的两个角的和等于90°写出与∠A的和等于90°的角即可．2.【答案】B【解析】【解答】因为∠α和∠β互补即∠α＋∠β=180°，所以，所以∠β的余角为，所以④正确；根据余角的定义①正确；因为，所以②正确．【分析】互为补角的两个角有即∠β为锐角，因为只有直角和锐角有余角，钝角没有余角．3.【答案】C【解析】【解答】∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠4+∠3=90°，∠4=∠5，∠5=∠6，∴与∠1互余的角有：∠4、∠5、∠6，故选：C．【分析】根据对顶角相等、平行线的性质和互为余角的两个角的和为90°进行解得即可．4.【答案】D【解析】【解答】解：30°角的补角=180°﹣30°=150°，是钝角，结合各图形，只有选项D是钝角，所以，能与30°角互补的是选项D．故选：D．【分析】先求出30°的补角为150°，再测量度数等于150°的角即可求解．5.【答案】D【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：只有选项D中的∠1和∠2是对顶角．所以选D．【分析】掌握对顶角的定义是解答本题的关键．本题考查对顶角．6.【答案】B【解析】【解答】解：∠A的补角=180°﹣∠A=180°﹣75°=105°．故答案为：B．【分析】根据∠A的补角=180°﹣∠A，计算即可。

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第二章 2.1.2两条直线的位置关系(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)在同一平面内，经过一点能作_______条直线与已知直线垂直．(2)如图，OA⊥OC，∠1＝∠2，则OB与OD的位置关系是_______．2.(1)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为_______．第2(1)题图第2(2)题图(2) 如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE.若∠BOD＝28°，则∠EOF 的度数为_______．3.如图，已知直线AB，CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，则∠AOE的度数为_______.4．(1) 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D.①点C到直线AB的距离是线段_______的长度；②点B到直线AC的距离是线段_______的长度．第4(1)题图第4(2)题图(2)如图，运动会上，小明以直线AB为起跳线，从A处起跳，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝2.5米，PB＝2.1米，则小明的跳远成绩实际应为_______米．二、选择题5.如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°第5题图第6题图6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为( ) A．40°B．50°C．60°D．140°7. P为直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝3 cm, PB＝4 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离为( )A．2 cm B．3 cm C．小于3 cm D．不大于3 cm8.若点A到直线l的距离为7 cm，点B到直线l的距离为3 cm，则线段AB的长度为( ) A．10 cm B．4 cm C．10 cm或4 cm D．至少4 cm三、解答题9.如图，在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为O.10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图1，若∠BOC＝65°，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝_______(2)如图2，若∠BOC＝65°，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB 的平分线，则∠BON＝_______(3)如图2，若∠BOC＝α，仍然将三角板MON旋转到OC为∠MOB的平分线的位置，求∠AOM.(写出过程)B组(中档题)一、填空题11．(1)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为_______(2)如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有3个直角，图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段_______的长表示点A到BC的距离．12．如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，则线段CD 长度的最小值是_______13．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝∠AOB－2∠EOF，其中正确的结论有_______．(把所有正确结论的序号都填在横线上)二、解答题14.(1)如图甲，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，请用三角尺作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)，并说明理由；(2)如图乙，若小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到河边D处观察河的水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明理由．甲乙C组(综合题)15．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系；(2)若∠BOC为任意角α(0°＜α＜180°)，(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？请说明理由．参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第二章 2.1.2两条直线的位置关系(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)在同一平面内，经过一点能作1条直线与已知直线垂直．(2)如图，OA⊥OC，∠1＝∠2，则OB与OD的位置关系是OB⊥OD．2.(1)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°．第2(1)题图第2(2)题图(2) 如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE.若∠BOD＝28°，则∠EOF 的度数为62°．3.如图，已知直线AB，CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，则∠AOE的度数为54°.4．(1) 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D.①点C到直线AB的距离是线段CD的长度；②点B到直线AC的距离是线段BC的长度．第4(1)题图第4(2)题图(2)如图，运动会上，小明以直线AB为起跳线，从A处起跳，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝2.5米，PB＝2.1米，则小明的跳远成绩实际应为2.1米．二、选择题5.如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(C)A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°第5题图第6题图6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为(B)A．40°B．50°C．60°D．140°7. P为直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝3 cm, PB＝4 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离为(D)A．2 cm B．3 cm C．小于3 cm D．不大于3 cm8.若点A到直线l的距离为7 cm，点B到直线l的距离为3 cm，则线段AB的长度为(D) A．10 cm B．4 cm C．10 cm或4 cm D．至少4 cm三、解答题9.如图，在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为O.①②③④10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图1，若∠BOC＝65°，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝25°；(2)如图2，若∠BOC＝65°，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB 的平分线，则∠BON＝40°；(3)如图2，若∠BOC＝α，仍然将三角板MON旋转到OC为∠MOB的平分线的位置，求∠AOM.(写出过程)解：∵OC是∠MOB的平分线，∴∠BOM＝2∠BOC＝2α.∴∠AOM＝180°－∠BOM＝180°－2α.B组(中档题)一、填空题11．(1)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为30°或150°．(2)如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有3个直角，图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段AC的长表示点A到BC的距离．12．如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，则线段CD 长度的最小值是4.8．13．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝∠AOB－2∠EOF，其中正确的结论有①③④．(把所有正确结论的序号都填在横线上)二、解答题14.(1)如图甲，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，请用三角尺作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)，并说明理由；(2)如图乙，若小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到河边D处观察河的水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明理由．甲乙解：(1)过点C作AB的垂线段．理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中．垂线段最短(画图略)．(2)连接CD，过点D作AB的垂线段．理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短(画图略)．C组(综合题)15．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系；(2)若∠BOC 为任意角α(0°＜α＜180°)，(1)中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．解：(1)∵∠BOC ＝50°，∴∠AOC ＝180°－50°＝130°.∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠AOC ＝65°，∠COF ＝12∠COB ＝25°.∴∠EOF ＝65°＋25°＝90°.∴OE ⊥OF.(2)成立．理由：∵∠BOC ＝α，∴∠AOC ＝180°－α.∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠AOC ＝90°－12α，∠COF ＝12∠COB ＝12α.∴∠EOF ＝90°－12α＋12α＝90°.∴OE ⊥OF.。

2.1两条直线的位置关系（2）学案学习目标：1、会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.2、通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。

3、初步尝试进行简单的推理.学习重点：垂直的概念及垂线的画法.学习难点：两条直线互相垂直的一些性质，并能利用这些性质解决简单的问题.学习过程：一、自主预习1、两条直线相交成四个角，如果 ，那么称这两条直线互相垂直．．. 其中的一条直线叫做另一条直线的 ， 叫做垂足.2、我们通常用符号“ ”来表示两条直线互相垂直.3、将下图中互相垂直的线段表示为： ， .二、合作探究探究1：画垂线1、你会用那些方法画出两条互相垂直的直线呢？先说明方法，再动手操作.2、如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些不同的画法呢？3、你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？动手试试吧.你能说明其中的道理吗？探究2：垂线的性质1、请画出直线l和点A，你有几种画法？2、继续作图：过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？归纳得出：平面内，过一点直线与已知直线垂直.3、如图，点P是直线l外一点，PO⊥l ，O是垂足，点A，B，C在直线l上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你有没有发现什么？归纳得出：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， .4、定义：PO⊥l ，O为垂足，我们把叫做点P到直线l的距离.5、下面这句话说法正确吗？为什么？如图，过点A作l的垂线，垂足为B ，则点A到直线l的距离是线段AB.三、巩固提高：1、下列语句中，正确的是（）A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线B.在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D.在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离2、如图，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是__ _，点A到BC的距离是_______，点C到AB的距离是_______，AC＞CD的依据是_ __________________.3、体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？（可作图说明）这样做的道理是什么？4、点C 在直线 AB 上,过点C 引两条射线CE 、CD ，且∠ACE=32°，∠DCB=58°，则CE 、CD 有怎样的位置关系？请说明理由.四、课堂小结：对这节课中自己所学的知识、学习的收获与困惑进行简单的总结，并将它们写下来.五、课后作业A 组：1、如图，点O 在直线AB 上且OC ⊥OD. 若∠COA ＝36°，则∠DOB 的大小为( )A ．36°B ．54°C ．64°D ．72°2、如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下面结论中正确的有（ ）①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段；③线段AD 是点A 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段。

则 l , l 的交点为__方程 ⎨ 的解.A x +B y +C = 0⎩ A 2+ B 2_.+ B两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当 l , l 有斜截式（或点斜式）方程 l : y = k x + b , l : y = k x + b ，1 2111222则 l // l ⇔k = k , b ≠ b .1 21212②当 l , l 有一般式方程： l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 ，1 211112222则 l // l ⇔A B - A B = 0, C B - C B ≠ 0 .1 21 22 11 22 1（2）垂直的判断：①当 l , l 有斜截式（或点斜式）方程 l : y = k x + b , l : y = k x + b ，1 2111222则 l ⊥ l ⇔l : y = k x + b , l : y = k x + b .1 2111222②当 l , l 有一般式方程： l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 ，1 211112222则 l ⊥ l ⇔ A A + B B = 0 .1 21 21 22、两条直线的交点：若 l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 01 1112222⎧ A x + B y + C = 01 1 1 12 2 2 23、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P( x , y ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =0 0(2)两平行直线间的距离求法：Ax + By + C0 0 0两平行直线： l : Ax + By + C = 0, l : Ax + By + C = 0 ，则距离 d = d =1122C - C2 1A 2 2.（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（1）已知直线 l 的方程为 3x + 4 y - 12 = 0 ，求与 l 平行且过点 (-1,3 ) 的直线方程；（2）已知直线 l : 2 x - 3 y + 10 = 0, l : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线 l 和 l 的交点，且与直线l : 3x - 2 y + 4 = 0 12123垂直的直线 l 方程.⎩y=2⎧∴⎨，∴⎨，A-2B=3B=-2∴设直线l的方程为：x+=1，∴直线l在x轴上的交点坐标为M(a,0)，直线l在y轴上的交点坐标为⎧a+0⎪⎪2∴⎨，∴a=-2,b=-4，⎪=-2∴直线l的方程为：x易错笔记：解：（1）设与直线l平行的直线l的方程为3x+4y+C=0，则点(-1,3)在直线3x+4y+C=0上，将点1(-1,3)代入直线3x+4y+C=0的方程即可得：3⨯(-1)+4⨯3+C=0，∴C=-9，∴所求直线方程为：3x+4y-9=0.（2）设与直线l:3x-2y+4=0垂直的直线l方程为：2x+3y+C=0，3方程⎨2x-3y+10=0⎩3x+4y-2=0⎧x=-2的解为：⎨，∴直线l:2x-3y+10=0,l:3x+4y-2=0的交点是(-2,2)，12∴直线l过直线l:2x-3y+10=0,l:3x+4y-2=0的交点(-2,2)，12∴2⨯(-2)+3⨯2+C=0，∴C=-2，∴直线l方程为：2x+3y-2=0.考点2：直线的交点问题例2、已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0，(1)求证：无论m取何值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(A,B)，⎧2A+B=-4⎧A=-1⎩⎩∴直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(-1,-2).(2)由题意知，直线l在x轴上的截距a≠0，在y轴上的截距b≠0，ya bN(0,b)，直线l夹在两坐标轴间的线段被点(-1,-2)平分，∴点(-1,-2)是线段MN的中点，=-10+b⎪⎩2y+=1，即2x+y+4=0.-2-4易错笔记：B ．C ．D ．5 25A ．0B ． 11 0解： 方程 ⎨⎧2 x + 3 y + 8 = 0 ⎩ x - y - 1 = 0 ⎩ y = -2∴ 直线 x + ky = 0 过点 (-1, -2)，∴ -1 + k (-2) = 0 ，∴ k = - ，故选 B .A ． 17⎪⎩4 ⨯14 - (-3)m ≠ 0 ，∴ m = 8 ，∴ 直线 6 x + my + 14 = 0 的方程为 6 x + 8 y + 14 = 0 ，即 3x + 4 y +7 =0 ，离，∴ 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 的距离 d = C 2 - C 1 = 7 - -3 = 2 ，故选 D.（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y + 1 = 0 和直线 6 x + 2 y + 1 = 0 的位置关系是（ B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点 (2,1 ) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（ A ）A ． 4 4 255 4 43、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线 (3a - 1) x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（ A ）D ．0 或16C ．0 或 16解： 1⋅ (-a )- 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (- )- (-a ) ≠ ②，由①得：a = 0 或 a =16，由②得：a ≠ 0 ，∴ a = 0 .4、若三条直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（ B ）A ．-2B ． - 1C ．2D ． 12 2⎧ x = -1 的解为： ⎨ ，∴ 直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 的交点是 (-1, -2)，三条直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点 (-1, -2)，1 25、已知点 M (4,2 )与 M (2,4 )关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（ D ）A ． x + y + 6 = 0B ． x + y - 6 = 0C ． x + y = 0D ． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 平行，则它们间的距离是（ D ）17B ．C ．8D ．210 5解： 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 平行，⎧⎪3m - 4 ⨯ 6 = 0 ∴⎨∴ 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离 d = C 2 - C 1 = 7 - (-3) = 2 .A 2 +B 232 + 42直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + 8 y + 14 = 0 的距离等于直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 3x + 4 y + 7 = 0 之间的距( )A 2 +B 232 + 42二、填空题一个值是_______. 9、已知直线 l 的斜率为 3，直线 l 经过点 A (1,2 ) ，B (2, a )，若直线 l // l ，a = _ 3 _；若 l ⊥ l ，则 a = __ __.3x - x k x - x 5解： 方程 ⎨的解为： ⎨ ， 2 x + y + 2 = 0 y = 2=3⨯(-2)-4⨯2+232 + (-4)2 =) A 2 + B 2 = = ⎪ 7、如果三条直线 l : mx + y + 3 = 0,l : x - y - 2 = 0,l : 2x - y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么 m 的12 3．．8、过点 (2,3 )且平行于直线 2 x + y - 5 = 0 的方程为______ 2 x + y - 7 = 0 __________.过点 (2,3 )且垂直于直线 3x + 4 y - 3 = 0 的方程为______ 4 x - 3 y + 1 = 0 __________.分析：设与直线 2 x + y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2 x + y + C = 0 ，则点 (2,3 )在直线 2 x + y + C = 0 上， 将点 (2, 3)代入直线 2 x + y + C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 + C = 0 ， ∴ C = -7 ，∴ 所求直线方程为：2 x + y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线 3x + 4 y - 3 = 0 的方程为：4 x - 3 y + C = 0 ，则点 (2,3 )在直线 4 x - 3 y + C = 0 上，将点 (2,3 )代入直线 4 x - 3 y + C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = 1 ，∴ 所求直线方程为： 4 x - 3 y + 1 = 0 .51 2 1 2 1 2当直线 l // l 时： 直线 l 的斜率： k = 3 ，且直线 l // l ，∴ 直线 l 的斜率 k = k = 3 ，1 21112221直线 l 经过点 A (1,2 ) ， B (2, a )，∴ 直线 l 的斜率 k = y 2 - y 1 = 2 2 2 21∴ a = 5 .当直线 l ⊥ l 时，设直线 l 的斜率为 k ，直线 l 的斜率为 k ，121122a - 2 2 - 1= a - 2 = 3 ，则直线 l 的斜率： k = 3 ，直线 l ⊥ l ，∴ k ⋅ k = -1 ，∴ 直线 l 的斜率 k = -1111 2 1 2 2 2 11=- ，3又 直线 l 经过点 A (1,2 ) ， B (2, a )，∴ 直线 l 的斜率 k = y 2 - y 1 =2 2 2 2 1a - 2 1= a - 2 = - ， 2 - 1 35∴ a = .310、设直线 l :3 x + 4y - 2 = 0,l : 2x + y + 2 = 0,l :3 x - 4y + 2 = 0 ，则直线 l 与 l 的交点到 l 的距离为__ 12 __.12 3 1 2 3⎧3x + 4 y - 2 = 0 ⎧ x = -2⎩ ⎩∴ 直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 的交点是 (-2,2 )，∴ 点 (-2,2 )到直线 l 的距离为：3d = Ax 0 + By 0 + C12 .511、过点 A (-1,2 )，且与原点距离等于 22的直线方程为 x - y + 3 = 0 或 7 x - y + 9 = 0 ．解：设所求直线的斜率为 k ，则kx - y + k + 2 = 0 ，直 线 过 点 A (-1, 2 ， ∴ 方 程 为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k (x + 1) ， 即∴ 直 线 到 原 点 的 距 离 为 ： d = Ax 0 + By 0 + C k ⋅ 0 - 1⋅ 0 + k + 2 k 2 + (-1)2 = k + 2 k 2 + (-1)2 = 22 ，(k + 2)2 ⎛ 2 ⎫2 k 2 + (-1)2 ⎝ 2 ⎭ =12，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ，(2 ) ， ⎪⎩2m ⋅ m - 3 ⨯ 6 ≠ 0⎪⎩ 2m ⋅ m - 3 ⨯ 6 = 0 (2 )∴ 1 a b ∆AOB 面积为 4，∴ = = ， 直线 l 过原点 O (0,0 )， k -2 2∴ 所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或 7 x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线 l : x + m y + 6 = 0,l : (m - 2)x + 3y + 2m = 0 ，求 m 的值，使得 12(1) l 和 l 相交；（2） l ⊥ l 垂直；(3) l // l ； (4) l 和 l 重合. 1 21 2 1 2 1 2解：(1)l 和 l 相交，∴ m (m - 2)-1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1．1 2(2)(3)l ⊥ l 垂直，∴ 1⋅ (m - 2)+ m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 1 2 ⎧⎪m (m - 2)- 1⨯ 3 = 0 (1)l // l ，∴ ⎨1 2 1 2.由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.(4)⎧⎪m (m - 2)- 1⨯ 3 = 0 (1)l 和 l 重合，∴ ⎨ ， 1 2由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ，∴ 当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 和 l 重合.1 2y13、已知直线 l 过点 (1,2 ) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 BB（1）、求 ∆AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；(1,2)AOx（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线 l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距 b > 0 ，x y∴ 设直线 l 的方程为： + a b= 1 ， 直线 l 过点 (1,2 ) ，2 + = 1①， 1 1a b = ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ，2 2x y∴ 直线 l 的方程为： + = 1 ，即 2 x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l ，斜率为 k ，直线 l 过原点 O (0,0 )，111直线 l 的方程为： 2 x + y - 4 = 0 ，∴ 边 AB 所在的直线方程为： 2 x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ，l ⊥ l ，∴ k ⋅ k = -1 ，∴ k =1 1 1 -1 -1 11∴ 直线 l 的方程为：y - 0 = 1 1 (x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x - 2 y = 0 .2。

两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当l i」2有斜截式（或点斜式）方程h : y = ：y = k?x • b2，则1l//* 二 _k i =k2,b i =6丄②当h, l2有一般式方程：l1: A1x B1y G = 0,12: A2x B2y C2= 0，则h // 丨2 = _ AB2「民 3 = 0,C1B2「C2B^- 0 .（2）垂直的判断：①当丨1,丨2有斜截式（或点斜式）方程丨 1 : y二«x • 4,丨 2 : y二k?x • b2，贝V h _ 丨2 = — 11: y = k1x d,丨2: y = k2x b2_•②当丨1,丨2有一般式方程：丨1 ： Ax B』C = 0,丨 2 : A?x B?y C2 = 0 ,则h _ 丨2二_ AA B1B2=0丄2、两条直线的交点：右丨 1 : A1X ' B1 y ' C1 —0, 1 2 : A2X ' B2 y ' C2 —0l A,x B1y C^ 0 sr则11,12的交点为方程2 1的解.Ax B?y C2 =03、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点P（x°,y°）到直线Ax + By+C=0的距离为^l Ax^By^C J _.JA2十B2（2）两平行直线间的距离求法：一|c2-C」两平行直线：11: Ax By C^0,12: Ax By C^0，则距离d = d 2.VA2+ B2（二）例题讲解：考点1 :直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线丨的方程为3x 4y -1^0，求与丨平行且过点-1,3的直线方程；（2）已知直线h :2x-3y • 10 =0,丨 2 ：3x • 4y-2 =0，求过直线11和丨2的交点，且与直线l3：3x-2y ' 4 = 0 垂直的直线I方程•易错笔记：解：（1 ）设与直线I平行的直线h的方程为3x・4y・C=0，则点-1,3在直线3x 4y ^0上，将点-1,3代入直线3x 4y C =0的方程即可得：3 -1 4 3^0，C - -9，所求直线方程为：3x 4y -9 =0.（2）设与直线|3:3x -2y 4=0垂直的直线I方程为：2x 3y ^0，方程2x-3y 10-0的解为：x=—2 彳，3x +4y-2 =0 “2.直线h：2x-3y 10=0」2：3x 4y-2=0 的交点是-2,2 ，.直线I 过直线h :2x-3y 10 =0,l2 ：3x 4y-2 =0的交点-2,2，2 -23 2 C =0，C - -2，直线I 方程为：2x 3y-2=0.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为2 • m x • 1 - 2m y • 4 - 3m = 0，（1）求证：无论m取何值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程解：（1）设直线方程为2A B 二-4 2 m x 亠〔1 -2m y 4 -3m = 0过定点A, B ，A= -1A -2B =3 8 = -2-直线方程为2 m x ^2m y • 4 - 3m = 0过定点-1, -2 .⑵由题意知，直线I在x轴上的截距a = 0，在y轴上的截距b = 0，■设直线I的方程为：- —=1，-直线1在x轴上的交点坐标为M a,0，直线I在y轴上的交点坐标为a bN 0,b，直线I夹在两坐标轴间的线段被点-1, -2平分, •点-1, -2是线段MN的中点,口「120 b22直线I的方程为：易错笔记：——=1，即2x y 4=0. -2 -4(三) 练习巩固:、选择题1、直线3x y ^0和直线6x 2y ^0的位置关系是；直线3x ，4y -3 =0与直线6x 8y 1^0的距离等于直线 3x ，4y -3 =0与直线3x 4y 0之间的距A .重合B.平行C2、点21到直线3x -4y • 2 =0的距离是A. 4B. 554.相交但不垂直± D 2525 4 3、如果直线x - 2ay =0与直线(3a -1)x - ay -1 =0平行,则a 等于 .0或丄61解：1 人—a ；-2a 3a -1 = 0①，且 2a 1i • a 0 ②，由①得：a =0或 a,由②得：a = 0 , a = 0.6A. 0C. 0 或 1 D4、若三条直线2x 3y • 8 = 0, x 「y 「1 = 0和x ky =0相交于一点，则k 二A. -2解：；方程2x 3y ^0的解为:_y _1 =0x =—1y 一2■直线 2x • 3y • 8 = 0,x - y -1 = 0 的交点是 -1, -2 ,三条直线 2x 3y 8=0,x -y 「1=0 和 x ky = 0 相交于一点 -1,-2 , •直线 x k^ 0过点 -1,-2 , ■ -1k -2 =0,，故选 B.5、已知点M 4,2与M 2,4关于直线I 对称，则直线I 的方程为A. x y 6=0 B . x y_6=0 C . x y=0 D . X-y=06、已知直线3x 4y -3 =0与直线6x my 1^=0平行，贝U 它们间的距离是A17 厂17 厂cA.B.C . 810 5解：：直线3x • 4y -3 =0与直线6x my 1^0平行，3m-4 6=0二 2，二 m =8，二直线 6x + my+14=0 的方程为 6x +8y + 14 = 0 ,即 3x+4y+74 14 -i —3 m = 0直线3x Vy-3=0与直线3x 4y ^0之间的距离C 2 _C 1 7一 一3 =2. A 2 B 2. 32 ' 4210、设直线 h :3x+4y —2=0,l 2 ：2x+y+2=0,l 3：3x —4y+2=0，则直线 l 1 与 l 2的交点到 l 3 的距离为―125解：；方程3x '4y-2=0的解为:(2x + y+2 = 0x = _2 y =2直线2x 3y •8=0,x -y-1=0的交点是 -2,2，•点-2,2至煩线I 3的距离为:x |Ay +By 。