高中数学_2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计学情分析教材分析课后反思

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点) 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)[基础·初探]教材整理1 变号零点与不变号零点阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题．1．零点存在的判定条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．3．不变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．函数f(x)的图象如图2­4­1所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )图2­4­1A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．【答案】 D教材整理2 二分法阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题．1．定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．2．求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )【解析】(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型](1)图2­4­2已知函数f(x)的图象如图2­4­2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.【导学号：60210063】【精彩点拨】(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．【答案】(1)D (2)(2,3)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[再练一题]1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．【答案】 B(1)f(x)＝3x－6；(2)f(x)＝x2－x－12；(3)f(x)＝x2－2x＋1；(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.【精彩点拨】(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得．【解】(1)零点是2，是变号零点．(2)零点是－3和4，都是变号零点．(3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.图象连续不间断的函数f x在[a，b]上，若f a f b，则函数f x在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.[再练一题]2．判断下列函数是否有变号零点．(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝x4－18x2＋81.【解】(1)零点是－2,7，是变号零点．(2)无零点．(3)零点是－3,3，都不是变号零点．[探究共研型]探究1【提示】函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．探究2 如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？【提示】设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．【精彩点拨】构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论．【自主解答】令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[再练一题]3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]【解析】由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．【答案】 A1．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．【答案】 C2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．【答案】 B3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】由“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．【答案】 B4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：【导学号：97512033】【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4.【答案】 1.45．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0， ∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

求函数零点近似解的一种计算方法—二分法的教学设计1教材分析人教版《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（B版）》的第二章2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法按大纲要求是用1课时完成.本文从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈这1课时的教学设计.1.1教材的地位和作用函数与方程是中学数学的重要内容之一,又是初等数学和高等数学衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数与方程实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系,因而函数与方程思想的教学,既有着不可替代的重要位置,又有着重要的现实意义.而这正是本节课要渗透的重要思想.本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算器（或计算机）用二分法求函数零点的近似解即相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系.它既是本册书中的重点内容,又是对函数知识的拓展,即体现了函数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础,因此决定了它的重要地位.1.2教学重、难点重点：二分法基本思想的理解,用二分法求函数零点近似解的步骤.难点：求函数零点近似解一般步骤的理解和概括.2教学目标分析2.1知识与技能（1）了解二分法是求函数零点近似解的一种方法.（2）体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.（3）根据具体函数的图像,能够借助计算器（或计算机）用二分法求相应方程的近似解.2.2过程与方法（1）通过经历“用二分法求函数零点近似解”的探索过程,初步体会数形结合思想、逼近思想等.（2）通过设置数学学习环境,让学生了解更多的获取知识的手段和途径.2.3情感态度与价值观（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程,感受精确与近似的相对统一.（2）在探究解决问题的过程中,培养学生之间的合作态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神.3学情分析3.1学生学习本课内容的基础学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点,理解了函数图象与方程的根之间的关系,尤其熟悉二次函数图象及其方程的根,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识,在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法,并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔.3.2学生学习本课内容的能力高一学生对于动态与静态的认识薄弱,对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识,对于综合函数图象与性质,计算机的应用尚不够熟练,这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的难度.但学生思维活跃,积极性高,因此在教学过程中应该给学生提供实践动手的机会,加强信息技术的应用.在用二分法教学时,应该为学生创设熟悉的问题情境,引导学生观察、计算、思考,理解问题的本质从而得出结论.3.3学生学习本课内容的心理高一学生是一个特殊的学习群体.由于个体认知水平、学习能力等方面的差异,表现出不同的学习状态.学生处于形式运算阶段,认知水平是从形象到抽象过渡,自我意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高,他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想.4教学方法与教学手段教学方法：启发发现法、合作探究法. 教学手段：现代信息技术辅助教学. 5教学程序与环节设计：结合复习内容引入课题，结合实际问题诱发兴趣..明确二分法的适用范围及算法思想。

人教版高中必修1(B版)2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法–二
分法教学设计
一、教学目标
1.了解什么是函数的零点，掌握求函数零点的基本思路和方
法；
2.掌握求函数零点的二分法，并能够在不同的函数上熟练应
用。

二、教学重点
1.二分法的基本思路；
2.二分法在求函数零点问题中的应用。

三、教学难点
1.二分法在应用题中的使用；
2.对于不同的函数，如何选择合适的区间来使用二分法。

四、教学过程设计
1. 导入
在导入环节，首先通过实例激发学生的学习兴趣和求知欲，引导学生了解什么是函数的零点，以及为什么需要求函数零点。

例如：导入前，我们可以提出一个生活中常见但又和数学有关的问题：“在我们日常生活中，可能会遇到一些需要求解某个未知数的问
1。

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标：1．理解变号零点的概念。

2．用二分法求函数零点的步骤及原理。

3．了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。

4．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。

知识回顾：1.函数零点的概念2.函数零点的性质 【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。

1．一个函数)(x f y =，在区间[]b a ,上至少有一个零点的条件是 异号，即 ＜0，即存在一点),(0b a x ∈使 ，这样的零点常称作 。

有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作 。

2．能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？ 阅读课本73页完成下列问题。

3．求函数变号零点的近似值的一种计算方法是 其定义是：已知函数)(x f y =定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点0x 的近似值x ，使它与零点的误差 即使得满足精确度。

4．用二分法求函数零点的一般步骤是什么？ 5．二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？ 典型例题分析：例１：求32近似值（精确到０．０１）例２：求方程033235=+--x x x的无理根（精确到０．０１）参考答案：例1解：设ｘ＝32，则3x ＝２，即3x －２＝０，令ｆ（ｘ）＝3x －２，则函数ｆ（ｘ）零点的近似值就是得近似值，以下用二分法求其零点．由于ｆ（１）＝－１＜０，ｆ（２）＝６＞０，故可以取区间［１，２］为计算的初始区间．用二分法逐次计算．列表如下：由上表的计算可知，区间［１．２５７８１，１．２６１７１］的左右端点按照精确度要求的近似值都是１．２６，因此１．２６可以作为所求的近似值．评析：学会用二分法求近似值的主要步骤．例2解：由于)3)(1(3332235--=+--xxxxx所以原方程的两个有理根为１，－１，而其无理根是方程x3－３＝０的根，令ｇ（ｘ）＝x3－３，用二分法求出ｇ（ｘ）的近似零点为１．４４评析：通过因式分解容易看出无理根为方程x3－３＝０的根，所以令ｇ（ｘ）＝x3－３，只需求出ｇ（ｘ）的零点即可．【达标检测】1.方程4223=-+-gxxx在区间[]4,2-上的根必定属于区间（）A.)1,2(- B.)4,25(C.)4,1(πD.)25,47(2.若函数)(xf的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<⋅⋅>ffff，则下列命题正确的是（ ）A.函数)(x f 在区间[]1,0内有零点B.函数)(x f 在区间[]2,1内有零点C.函数)(x f 在区间[]2,0内有零点D.函数)(x f 在区间[]4,0内有零点3.函数x y =与1+=x y 图象交点横坐标的大致区间为（ ）A.)0,1(-B.)1,0(C.)2,1(D.)3,2(4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是5．函数ｆ（ｘ）＝－2x ＋４ｘ－４在区间［１，３］上（ ）Ａ．没有零点 Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点 Ｄ． 有无数个零点 6.方程322360x x x -+-=在区间［－２，４］上的根必定属于区间（ ）Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］ Ｃ．［１，47］ Ｄ．［47，２．５］ 7.下列关于二分法的叙述,正确的是( )A.用二分法可以求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行D.二分法只用于求方程的近似解8．函数f(x)= 1x )(23+--=x xx f 在[0,2]上( )A.有3个零点B.有2个零点C.有1个零点D.没有个零点 9．函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a 的取值范围是( )A.a 51≥B.a 1-≤C. 51a 1≤≤- D. .a 51≥ 或a 1-≤ 10．方程63x 223=-+-x x 在区间[-2,4]上的根必定属于区间( )A.[-2,1] B ]4,25[ C.[1, ]47 D.[ ]25,47 二、填空题11．函数ｆ（ｘ）＝2x －５的零点近似值（精确到０．１）是 ． 12．方程2x －６＝０的近似解（精确到０．０１）是 ． 三、解答题13．求方程08823=--+x x x的无理根（精确到０．０１）。

§2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学重点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 复习提出问题①已知函数f (x )=mx 2+mx +1没有零点，求实数m 的范围.②证明函数f (x )=x 2+6x +10没有零点.③已知函数f (x )=2mx 2－x +21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m －1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m 2－4m <0或m =0，∴0≤m <4.②因为Δ=36－40=－4<0，∴没有零点.③Δ=1－4m 2=0或m =0，∴m =21或m =21 或m =0. ④Δ=16m 2－8(m +1)(2m －1)=－8m +8>0且2(m +1)≠0，∴m <1且m ≠－1.导入新课(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理，并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a，b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a，b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例例1证明函数y=2|x|－2恰有两个零点.图3－1－1－19证明:如图3－1－1－19，∵f(－2)=2，f(0)=－1，f(2)=2，∴f(－2)f(0)<0，f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|－2有两个零点.要证恰有两个零点，需证函数y=2|x|－2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|－2在(－∞，0)上为单调的.∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|－2可化为y=2x－1，下面证明f(x)=2x－1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1，x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2，∵f(x1)－f(x2)=21x－2－(22x－2)=21x－22x=22x(21x－x2－1)，∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，21x－x2<1.∴22x >0，21x －x 2－1<0. ∴22x (21x －x 2－1)<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴函数y =2|x |－2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y =2|x |－2在(－∞，0)上为减函数.∴函数y =2|x |－2恰有两个零点.变式训练证明函数f (x )=x +x1－3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f (31)=31，f (1)=－1，f (3)=31， ∴f (31)f (1)<0，f (1)f (3)<0. ∴函数f (x )=x +x 1－3在(0，+∞)上有两个零点. 要证恰有两个零点，需证函数f (x )=x +x 1－3在(0，1)上为单调的，函数f (x )=x +x1－3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1，x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2.∵f (x 1)－f (x 2)=x 1+11x －3－(x 2+21x －3)=(x 1－x 2)+(11x 21x -) =(x 1－x 2)+2112x x x x -=(x 1－x 2)(21211x x x x -)， ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，2112x x x x -<0.∴(x 1－x 2)(21211x x x x -)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0.∴函数f (x )=x +x1－3在(0，1)上为减函数. 同理函数f (x )=x +x1－3在(1，+∞)上为增函数. ∴函数f (x )=x +x 1－3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3－1－1－20).图3－1－1－20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2，如图3－1－1－21， 求证:b <0.图3－1－1－21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:方法一：把零点代入，用a 、c 表示b .方法二：用参数a 表示函数.证法一：因为f (0)=f (1)=f (2)=0，所以d =0，a +b +c =0，4a +2b +c =0.所以a =3b -，c =32-b . 所以f (x )=3b -x (x 2－3x +2)=3b -x (x －1)(x －2). 当x <0时，f (x )<0，所以b <0.证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0，所以f (x )=ax (x －1)(x －2).当x >2时，f (x )>0，所以a >0.比较同次项系数，得b =－3a .所以b <0.变式训练函数y =ax 2－2bx 的一个零点为1，求函数y =bx 2－ax 的零点.答案:函数y =bx 2－ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.知能训练1.函数f (x )=lg x －2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4，5)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)2.若函数f (x )=2mx +4在［－2，1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( )A.［25 4］ B.(－∞，－2］∪［1，+∞) C.［－1，2］ D.(－2，1)3.已知函数f (x )=－3x 5－6x ＋1，有如下对应值表：函数y ＝f (x )在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0，1)，因为f (0)·f (1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.拓展提升方程ln x +2x +3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3－1－1－22)进行探索分析.图3－1－1－22解：(1)观察函数的图象计算f (1)、f (2)，知f (x )=ln x +2x +3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f (x )=ln x +2x +3有一个零点x ∈(1，2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学目标1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解． 教学过程[问题情境] 一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？探究点一 变号零点与不变号零点问题 函数y ＝3x ＋2，y ＝x 2，y ＝x 2－2x －3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？答：函数y ＝3x ＋2的零点是－23，零点左侧的函数值为负数，零点右侧的函数值为正数；函数y ＝x 2的零点是0，在0两侧的函数值都是正数. 函数y ＝x 2－2x －3的零点是－1，3，在零点左右两侧的函数值异号．小结：如果函数f (x )在一个区间[a ，b ]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )f (b )<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x 0∈(a ，b )，使f (x 0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点． 探究点二 二分法的概念问题1 由变号零点的概念我们知道，函数y ＝f (x )在一个区间[a ，b ]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )f (b )<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？答：我们可以将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，可以得到零点的近似值．例1 利用计算器，求方程x 2－2x －1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．解 ：设f (x )＝x 2－2x －1，先画出函数图象的简图．(如图所示)因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上方程x2－2x－1＝0有正实数根，又因为在区间(2，3)上函数f(x)是单调递增的，所以方程x2－2x－1＝0在区间(2，3)上有唯一正实数根x1. 取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以2<x1<2.5. 再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以2.25<x1<2.5. 如此继续下去，得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2，3)，f(2)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2，2.5)，f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.25，2.5)，f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.375，2.5)，f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x1∈(2.375，2.437 5)，因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个正实数零点的近似解为2.4.问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？答：对于区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？答：用二分法求函数零点的一般步骤：1．在定义域D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中．2.取区间[a0，b0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋12(b0－a0)＝12(a0＋b0)．计算f(x0)和f(a0)，并判断：(1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；(3)如果f (a 0)·f (x 0)>0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.3.取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1)．计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：(1)如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 1)·f (x 1)<0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f (a 1)·f (x 1)>0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. ……继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f (x )的近似零点满足给定的精确度．跟踪训练1 借助计算器或计算机，用二分法求函数f (x )＝x 3＋1.1x 2＋0.9x －1.4在区间(0，1)内的零点(精确到0.1)．解：由题设可知f (0)＝－1.4＜0，f (1)＝1.6＞0，于是f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )在区间[0，1]内有一个零点． 取区间(0，1)的中点x 1＝0.5，用计算器可算得f (0.5)＝－0.55. 因为f (0.5)·f (1)＜0，所以x 0∈[0.5，1]．再取区间[0.5，1]的中点x 2＝0.75，用计算器可算得f (0.75)≈0.32. 因为f (0.5)·f (0.75)＜0，所以x 0∈[0.5，0.75]．同理可得x 0∈[0.625，0.75]，x 0∈[0.625，0.687 5]， x 0∈[0.656 25，0.687 5]．区间[0.656 25，0.687 5]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数在区间(0，1)内的零点的近似值． 探究点三 二分法的应用例2 求函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)． 解：由于f (1)＝－2<0，f (2)＝6>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间． 用二分法逐步计算，列表如下：此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 跟踪训练2 求32的近似值(精确到0.1)． 解：设x ＝32，则x 3＝2，即x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )零点的近似值就是所求近似值，以下用二分法求其零点． 由于f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间[1，2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算．列表如下：由上表的计算可知，区间[1.25，1.312 5]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.3，因此1.3可以作为所求的近似值. 当堂检测1.已知函数f (x )的图象是不间断的，x 、f (x )的对应法则见下表，则函数f (x )存在零点的区间有 ( C )A.[1C.[2，3]，[3，4]，[4，5] D.[3，4]，[4，5]，[5，6] 解析：由于f (2)f (3)＝5×(－3)＝－15<0， f (3)f (4)＝(－3)×10＝－30<0，f (4)f (5)＝－50<0，所以函数f (x )存在零点的区间有[2，3]，[3，4]，[4，5]．2.设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为____⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2______．3.已知函数f (x )＝mx ＋2m －7 (m ≠0)在区间[－2，5]上有零点，求实数m 的取值范围． 解：因函数f (x )＝mx ＋2m －7 (m ≠0)在实数集R 上是单调 函数，所以函数的零点是变号零点． 由题意，得f (－2)f (5)<0，即(－2m ＋2m －7)×(5m ＋2m －7)<0，所以m >1. 课堂小结：1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。

2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》学案【学习目标】①知识目标：掌握二分法求函数零点的一般方法，能借助计算器求函数近似零点。

②能力目标：了解“逼近”这一数学思想，感受体验二分法中的算法思想。

③情感目标：通过合作学习，培养同学们的团结协作的思想品质。

【自主学习】1、画出函数2232,,23y x y x y x x=+==--的图象，并找出它们的零点。

观察上述图象，你发现它们在零点两侧函数值的符号有何不同？2、请给出变号零点与不变号零点的严格定义：如果函数图象，则称这样的零点为变号零点。

如果函数图象，则称这样的零点为不变号零点。

跟踪练习1：函数f（x）的图象如图所示，则该函数变号零点的个数是个。

【合作探究一】零点存在性的探索：1、请找出下列函数的零点所在的区间：①21y x=+ ___________ A [2,1]-- B [1,0]- C [1,2] D [1,3]②223y x x=-- ___________ A [3,2]-- B [2,0]- C [1,2] D [2,4]2、观察下面的函数图象，该函数在区间(a，b)、 (b，c)、 (a，d)内是否有零点？观察这三个区间端点函数值f（a）、f（b）、f（c）、、f（d）的符号，你发现 f（a）·f（b）、f（b）·f（c）、 f（a）·f（d）具有什么共同点？【归纳总结1】如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定存在零点？跟踪练习2：已知函数()f x的图象是不间断的，x、()f x的对应关系见下表，则函数()f x存在零点的区间有（）x 1 2 3 4 5 6 ()f x 6 5 -3 10 -5 -23A [][]1,2,2,3B[][]2,3,3,4C[][][]2,3,3,4,4,5D[][][]3,4,4,5,5,6思考1：满足上述条件的函数y=f（x）在区间（a，b）上的零点的个数是否唯一？思考2：若把条件“f（a）·f（b）＜0”改为“f（a）·f（b）＞0”，函数y=f（x）在区间（a，b）上是否不存在零点？思考3：根据条件“f（a）·f（b）＜0”确定地是函数的变号零点还是不变号零点？【合作探究二】求函数零点近似解的方法的探索：1、函数2()21f x x x=--在下列哪个区间内有零点（）(1,2) B (2,3) C (0,1) D (3,4)A2、不用求根公式，如何求函数f（x）=x2－2x－1在区间（2,3）上的零点近似值（精确到0.1）？解：由于f（2）=－1＜0，f（3）=3＞0，可以确定区间[2,3]作为计算的初始区间。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法数零点求解三法我们知道，如果函数y ＝f (x )在x ＝a 处的函数值等于零，即f (a )＝0，则称a 为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．一、代数法例1 求函数f (x )＝x 2＋2x －3的零点．解 令x 2＋2x －3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 方程有两个不相等实数根． 方法一 因式分解法或试根法x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)或由f (x )＝x 2＋2x －3， 试一试f (1)＝12＋2×1－3＝0， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0. 所以f (x )的零点为x 1＝1，x 2＝－3. 方法二 配方法x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4＝0，所以x ＋1＝±2.所以零点x 1＝1，x 2＝－3. 方法三 公式法x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2±42.所以零点x 1＝1，x 2＝－3.点评 本题用了由求函数f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．二、图象法求函数y ＝g (x )－h (x )的零点，实际上是求曲线y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点的横坐标，即求方程g (x )－h (x )＝0的实数解．三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01)． 解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，所以x 8＝1.437 5＋1.445 312 52≈1.44为函数的一个近似解．点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．分法在经济和科学技术中的应用 应用问题1：市场的供需平衡问题．详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．例 3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2 )应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．答案C点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．分法在日常生活中的应用应用问题2：运用二分法查线路故障．详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．例 4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．函数的零点错例剖析一、忽略了概念例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．错解正确．剖析对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．正解无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．点评 (1)函数y ＝f (x )的图象在区间(a ，b )上连续且有f (a )·f (b )<0，所得在(a ，b )上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续曲线，并且f (a )·f (b )<0时，在(a ，b )上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．二、忽略了分类讨论例6 若函数y ＝ax 2－2x ＋1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 错解 由题意可得，实数a 所满足的条件为Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1.剖析 没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数． 正解 (1)当a ＝0时，y ＝－2x ＋1，有唯一零点； (2)当a ≠0时，由题意可得Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围为a ＝0或a ＝1.点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．三、忽略了区间端点值例7 已知f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，求实数m 的取值范围． 错解 因为在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0， 则f (－2)·f (0)<0，所以(－6m －4)·(－4)<0， 解得m <－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23)．剖析 本题的x 0在[－2,0]上可取到端点， 即f (－2)·f (0)≤0.正解 由f (－2)·f (0)≤0，解得m ≤－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23]．点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏． 四、图象应用例8 已知函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0( )A．有三个实根B．当x<－1时恰有一实根C．当－1<x<0时恰有一实根D．当0<x<1时恰有一实根E．当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．正解∵f(－2)<0，f(－1)>0，∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想与函数思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案A点评在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案m≥1点评 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0,1)C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．解析 方法一 从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ，∴b <0.方法二 由f (0)＝0，得d ＝0， 又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0① 又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0 ②①＋②得2b <0，∴b <0. 答案 A例5 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，解出即可．解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B )；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．两边夹法则：如果实数a ，b 满足a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b .例6 已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当a >0，－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1且g (x )的最大值为2，求f (x )．解 ∵a >0，∴g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数． 又g (x )在[－1,1]上的最大值为2， ∴g (1)＝2，即a ＋b ＝2.①于是f (1)－f (0)＝2.由题设有－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴f (0)＝－1，从而c ＝－1. 又由题设知f (x )≥－1＝f (0)， ∴二次函数f (x )的对称轴为x ＝0，于是－b2a ＝0，得b ＝0，将其代入①，得a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1<x 2且f (x 1)≠f (x 2)，求证：方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等的实根，且必有一根属于(x 1，x 2)．分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出两函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．方法一 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，不妨设a >0，则函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．而y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象呢？是一条平行于x 轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f (x 1)与f (x 2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f (x 1)与f (x 2)是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 分别在x 1，x 2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f (x 1)≠f (x 2)，说明12[f (x 1)＋f (x 2)]一定比最小值大；若y 2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而12[f (x 1)＋f (x 2)]大于最小值，则y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．又因为min{f (x 1)，f (x 2)}≤12[f (x 1)＋f (x 2)]≤max{f (x 1)，f (x 2)}，故必有一根属于(x 1，x 2)．分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的“b 2－4ac ”，然后，再结合函数零点的存在定理．方法二 由f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]，得2ax 2＋2bx ＋2c －f (x 1)－f (x 2)＝0. 那么Δ＝(2b )2－4×(2a )·[2c －f (x 1)－f (x 2)] ＝4[b 2－4ac ＋2af (x 1)＋2af (x 2)]．此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！ 分析细节 在上式中存在f (x 1)与f (x 2)，可否将其替换呢？于是Δ＝4[b 2－4ac ＋2a (ax 21＋bx 1＋c )＋2a (ax 22＋bx 2＋c )] ＝2(4a 2x 21＋4abx 1＋b 2)＋2(4a 2x 22＋4abx 2＋b 2)＝2(2ax 1＋b )2＋2(2ax 2＋b )2≥0.又x 1<x 2，得Δ>0，因此方程有两个不等的实根． 又设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)g (x 2)＝{f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}·{f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即12[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．故方程必有一根属于(x1，x2)．通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．考点一函数转化为方程1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1.点评本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．考点二方程转化为函数2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．分析本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．解 根据题意，函数y ＝x 2－3x ＋a 有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y ＝x 2－3x ＋a 的大致图象，如图所示，则可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4a >0，f 0>0，f 1<0.解得0<a <2.故a 的取值范围是(0,2)．点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：①判别式；②对称轴直线x ＝－b 2a与区间端点的关系； ③区间端点函数值的正负． 考点三 函数与方程的循环转化3．(浙江高考)若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D ．x 2＋15 分析 由于本题未知函数f (x )、g (x )的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．解析 若g [f (x )]＝x 2＋x －15，不妨设f (x )＝x 2＋x －15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0即得x 2－15＝0，显然，x 2－15＝0有解．故函数g [f (x )]有可能为x 2＋x －15. 若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15，不妨设f (x )＝x 2＋x ＋15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0，即得x 2＋15＝0.显然，x 2＋15＝0无解．故函数g [f (x )]不可能为x 2＋x ＋15. 对于C 、D 两答案，同理可得可能为g [f (x )]．答案 B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性． 考点四 创新题4．设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，如果存在实数x 0，使得x 0＝f (x 0)，那么x 0为函数y ＝f (x )的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析 函数的零点即为函数值为0时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．解析 使x 0＝f (x 0)的解即为y ＝f (x )的图象和y ＝x 的交点的个数问题．观察图象易得结论．答案 B5．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个论断：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是( )A ．0B ．4C ．2D ．3分析 本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．解析 据题意可令x 2－1＝t (t ≥－1)，则方程化为|t |2－|t |＋k ＝0，即k ＝|t |－|t |2.作出y 1＝|t |－|t |2的图象如右图，平移y 2＝k 这一直线，结合函数的图象可知： ①当0<k <14时，t 有4个值，相应的x 有8个值． ②当k ＝14时，t 有2个值，相应的x 有4个值． ③当k ＝0时，t 有3个值，相应的x 有5个值．④当k <0时，t 有1个值，相应的x 有2个值．答案 B6．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )其中D 为函数的定义域，若同时满足下列2个条件： ①y ＝f (x )在定义域内是单调函数；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间[a ，b ]；(2)判断函数f (x )＝－34x ＋1x，x ∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由． 分析 首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．解 (1)因为y ＝－x 3是R 上的单调递减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝b ，f b ＝a 且a <b ，即a ＝－b 3<b ，所以b >0.又－a 3＝b 9＝b ，故b ＝1，a ＝－1.所以该区间为[－1,1]．(2)由函数单调性的定义知，该函数在x ∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x ∈[a ，b ]，值域为[a ，b ]．于是⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ， 即⎩⎨⎧ f a ＝－34a ＋1a ＝b ，f b ＝－34b ＋1b ＝a .所以ab ＝4，得－34a ＋1a ＝4a， 所以a 2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标：理解并掌握二分法求方程近似解的过程，会利用二分法解决简单的题目．预习导引问题1：二分法的定义是什么？问题2：给定精确度ε，如何用二分法求零点近似值？问题3：二分法的实质是什么？通过“ ”的方法，利用零点存在性定理逐步缩小零点所在的范围．问题4：二分法蕴含了哪些数学思想方法？二分法蕴含了，(正难则反)等数学思想方法．相关知识二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等线路铺设中的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．预习自测问题1：设x0是方程ln x＝－x＋4的解，则x0所在的区间为()．A．(3，4) B．(2，3)C．(1，2) D．(0，1)合作探究例1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是()．例2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________上(区间长度0.25)．例3借助计算器或计算机用二分法求方程3x－2x＝100的近似解(精确度0.1)．【方法指导】易知给定的函数是一个单调函数，因此若有零点，则一定唯一，可通过零点存在性定理确定其根所在的区间，然后用二分法来求．【小结】用二分法求近似解的问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．〖拓展问题〗若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为()．A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5方法总结1．只有变号零点才能用二分法求近似值．2．求方程的近似解应注意以下几点：(1)求方程近似解，一要确定解所在的区间，二是要符合精确度要求；(2)一定要选好初始区间，以及区间上两个端点处的函数值的正负；(3)在计算过程中要随时进行精确度的判断，决定是否停止计算．课程反馈检测1．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是()．A．(－1，0)B．(1，2)C．(－1，0)或(1，2)D．(0，1)或(－2，－1)2．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间是________．3．某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分()．A．2次B．3次C．4次D．5次参考答案预习导引问题1：对于区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．问题2：给定精确度ε，用二分法求零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]⊆D ，使f (a )·f (b )＜0.令a 0＝a ，b 0＝b ；②取区间[a 0，b 0]的中点，x 0＝12(a 0＋b 0)，计算f (x 0)，一般规律：如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0；③取区间[a 1，b 1]的中点，则该中点的横坐标为x 1＝12(a 1＋b 1)，计算f (x 1)，一般规律：如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；如果f (a 1)·f (x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1；如果f (a 1)·f (x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1；……④判断是否达到精确度ε，即若|a i －b i |＜ε，则得到零点近似值a i (或b i )；否则重复步骤②－④.问题3：取中点 问题4分类讨论，补集预习自测问题1：【解析】令f (x )＝ln x ＋x －4，则有f (1)＝－3，f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，又f (x )为(0，＋∞)上的单调增函数，故解在(2，3)内．【答案】B合作探究例1．【解析】从图象上可以看出B 中图象在零点左右两边都大于零，所以不好用二分法求函数零点近似值．【答案】B例2．【解析】∵f (1)<0，f (1，25)<0，f (1.5)>0，故方程的根落在(1.25，1.5)上． 【答案】(1.25，1.5)例3【解析】令f (x )＝3x －2x －100，显然x ≤0时，f (x )＜0. 当x ＞0时，由指数函数性质知f (x )＝3x －2x －100为单调增函数．∵f(4)＝34－24－100＝81－16－100＝－35＜0，f(5)＝35－25－100＝243－32－100＝111＞0，∴f(4)·f(5)＜0，说明函数f(x)的零点x0在区间(4，5)内，取区间(4，5)的中点x1＝4.5.用计算器算得f(4.5)≈17.67＞0，∵f(4.5)·f(4)＜0.故x0∈(4，4.5)．取区间(4，4.5)的中点x2＝4.25，f(4.25)≈－12.43＜0，∵f(4.25)·f(4.5)＜0，故x0∈(4.25，4.5)．取区间(4.25，4.5)的中点x3＝4.375，f(4.375)≈1.54＞0，∵f(4.25)·f(4.375)＜0，故x0∈(4.25，4.375)．取区间(4.25，4.375)的中点x4＝4.3125.f(4.3125)≈－5.69＜0，∵f(4.3125)·f(4.375)＜0，故x0∈(4.3125，4.375)．由于|4.375－4.3125|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取4.375.〖拓展问题〗【解析】由于f(1.4375)＝0.162＞0，f(1.375)＝－0.260＜0，且|1.4375－1.375|<0.1，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为1.4.【答案】C课程反馈检测1．【解析】令f(x)＝5x2－7x－1，则有f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0.【答案】C2．【解析】令f(x)＝e x－x－2，则f(1)·f(2)＜0，故所在的区间为(1，2)．【答案】(1，2)3．【解析】等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625＜0.1，符合题意，应选D.【答案】D。

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
3．能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学过程。

高中数学第二章函数2.4 函数与方程2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学素材新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.4 函数与方程2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学素材新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学建议1。

通过二分法的教学让学生体验算法思想，并且认识其重要性。

在用二分法求函数零点的近似值时,首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽可能小；其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间[a n,b n］是否满足这一精确度，以决定是否停止计算。

2.求方程的无理根问题可通过因式分解,先找出其有理根,然后转化为求另一个函数的无理数零点问题,再利用二分法求出近似零点.例如求函数f（x）=x4+x3—4x2—2x+4的无理零点,先分解因式f（x)=(x—1)（x+2)（x3—2),其有理根为x1=1和x2=—2,转化为求函数g(x）=x3—2的零点问题.3.求函数零点的二分法,对图象连续不断的一类函数的变号零点都有效。

凡是一种计算方法对某一类问题都有效的可以一步步地进行下去，每一步都得到唯一结果.这类问题的求解过程就是解决这类问题的一种算法,它的优点是一种通法，可让计算机来实现.备用习题1。

对于函数f（x）=x2+mx+n,若f(a）〉0,f（b)>0，则函数f(x)在区间（a，b)内( )A.一定有零点B。

高中数学人教B版必修一第二章《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》省级名师优质课教案比赛获奖
教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,体会从具体到一般的认知过程.
2学情分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题. 3重点难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】（一）创设情境，提出问题
问题1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每。

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求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（建议用时:45分钟)［学业达标]一、选择题1．用二分法求如图2。

4。

3所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（)图2­4­3A．x1B．x2C．x3D．x4【解析】由题图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出．【答案】C2．已知连续函数f（x)的部分对应值如下表：x123456789f(x)148－2273－2－18则函数f（xA．2个B．3个C．4个D．5个【解析】∵f(2）＝8>0，f（3）＝－2〈0，f(4）＝2>0，f（6）＝3〉0，f（7)＝－2〈0，f（8)＝－1<0,f（9）＝8>0，∴f（2)·f(3）〈0，f（3)·f（4）〈0，f(6)·f(7)<0,f（8)·f(9）<0，∴在（2，3），(3,4），(6，7），（8,9）上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点，故选C。

【答案】C3．函数f(x）＝x3－2x2＋3x－6在区间［－2,4］上的零点必定属于（）【导学号：60210065】A．［－2，1］B．[2.5，4］C．［1,1。

《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》（一）设置游戏，导入新课师：在上课之前我们来做个游戏好不好？游戏规则是请每位同学从（0,64）中任选一个整数，记在心里，我提六个问题，你只要回答我“高了”或是“低了”。

六个问题全答完以后，我就会算出你心里记的那个数。

你们相信吗？生：相信!请两位同学一起和教师学生完成游戏环节师：你们想不想知道我是用什么方法算出来呢？首先给定一个区间（0,64），然后取区间中点，根据你们回答“高了”或是“低了”作为判断的依据，你们如果说“高了”，说明这个数字一定在（0~32）内，然后我又取（0~32）中点16，你们又回答高了，说明数字在（0~16）就这样每次区间一分为二，将你们心里想的数字所在的区间逐步缩小，直到猜出数字。

你们想不想试一试呢？学会了吗？课下同学们可以玩玩这个游戏。

（二）引导探究，解决问题小组探究1：想一想，下列函数是否存在零点？你用什么方法求得零点？()21()24=--f x x x()2()ln26=+-f x x x生1：:第一个用求根公式.生2：把方程变形 ，画出两个函数ln x y =和62y x =-的图象，看两个函数是否有交点。

发现恰好有一个角度，在（1，3）内。

生3：第二个方程还可以画出函数图像，观察函数图象是否与x 轴有交点。

发现恰好有一个交点，用函数零点存在性定理判断(2)f ＜0，(3)f ＞0，所以零点在（2,3）.小组探究2：如何求得函数的零点？师：刚才的游戏我是怎么猜出你们心中的数字的。

是不是先给出一个区间，然后取区间中点，将区间一分为二，逐步将区间缩小，逐步逼近数字所在的区间，是是可以借用这种方法求出函数的近似解呢？合作探究：（学生6人一组互相配合，两人计算中点，两人按计算器，两人记录过程．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<.由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。