2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件(新人教B版必修1)
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高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 _1
给定精确度
(1)确定区间[a，b]，验证_____f_(_a_)·_f_(b_)_<_0____________；
(2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)；①若______f_(x_1_)_＝__0_____，则 x1 就是函数的 零点；②若_____f(_a_)_·f_(_x_1)_<_0______________，则令 b＝x1 (此 时零点 x0∈(a，x1))；③若_______f(_x_1_)·_f_(b_)_<_0____________， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ，即若|a－b|< ，则得到零点近似
栏目 导引
第二章 函 数
又 F(1)＝－1<0， F(2)＝29>0， 所以方程 x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内． (2)证明：令 F(x)＝x3－3x＋1， 它的图象一定是不间断的， 又 F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0， F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， 所以方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．
栏目 导引
第二章 函 数
2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法．
栏目 导引
第二章 函 数
3．用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤
标
的函数值
x3＝1.5＋21.625＝ 1．562 5
f(x3)＝0．252 2>0
x4＝1.5＋12.562 5 ＝1．531 25
(1)确定区间[a，b]，验证_____f_(_a_)·_f_(b_)_<_0____________；
(2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)；①若______f_(x_1_)_＝__0_____，则 x1 就是函数的 零点；②若_____f(_a_)_·f_(_x_1)_<_0______________，则令 b＝x1 (此 时零点 x0∈(a，x1))；③若_______f(_x_1_)·_f_(b_)_<_0____________， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ，即若|a－b|< ，则得到零点近似
栏目 导引
第二章 函 数
又 F(1)＝－1<0， F(2)＝29>0， 所以方程 x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内． (2)证明：令 F(x)＝x3－3x＋1， 它的图象一定是不间断的， 又 F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0， F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， 所以方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．
栏目 导引
第二章 函 数
2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法．
栏目 导引
第二章 函 数
3．用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤
标
的函数值
x3＝1.5＋21.625＝ 1．562 5
f(x3)＝0．252 2>0
x4＝1.5＋12.562 5 ＝1．531 25
人教B版高中数学必修一第二章求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件
已知假币的质量比真币的质量轻 ，现在 六、二分法的Excel实验
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点的近似解的一种方法——二分法.doc
2.4.2 求函数零点的近似解的一种方法——二分法【目标要求】１．理解二分法的原理及步骤． ２．会用二分法求函数的近似零点． ３．培养学生的计算能力． ４．培养学生学以致用的思想．【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法错误的是 （ ） Ａ．如果图象不间断的函数)(x f 满足)()(b f a f ＜０，则)(x f 在区间［ａ，ｂ］上至少存在一个零点．Ｂ．连续不间断的函数的变号零点的近似值一般都可以用＂二分法＂求Ｃ．如果按照＂二分法＂的步骤进行反复计算，则计算次数越多，所得零点就越精确 Ｄ．在用＂二分法＂求函数)(x f 变号零点近似值时，所取的第一个区间［ａ，ｂ］必须满足)(a f ＜０且)(b f ＞０2．函数44)(2++=x x x f 在区间[－4,－1]上 ( )A ．没有零点B ．有一个零点C ．有两个零点D ．有无数个零点3．函数)(x f ＝25x -的负数零点的近似值(精确到0.1)是( ) A ．－0.2 B ．－2.1 C ．－2.2 D ．－2.34．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ【巩固提高——登峰揽月】 5．下列函数在［－１，１］存在零点的是 （ ）Ａ．ｙ＝422-+x x Ｂ．ｙ＝8823-+x xＣ．ｙ＝3010+x Ｄ．ｙ＝164-x6．在用＂二分法＂求函数)(x f 变号零点近似值时，所取的第一个区间是［－２，４］，则所取第三个区间可能是 （ ） Ａ．［１，４］ Ｂ．［－２，１］ Ｃ．［－２，25］ Ｄ．［－21，１］ 7．方程02223=+--x x x 在区间［23，２］上误差小于0.01的近似解为 （ ） Ａ．1.22 Ｂ．1.32 Ｃ．1.42 Ｄ．1.528．在用＂二分法＂求函数ｆ（ｘ）的近似零点时，取第一个区间是[]2,1-，则ｆ（ｘ）不可以是 （ ）Ａ．)(x f ＝153+-x x Ｂ．)(x f ＝x x -21Ｃ．)(x f ＝2352x x x +-Ｄ．)(x f ＝32164xx - 9．若函数ｙ＝)(x f 在区间（１，２）上有两个变号零点，则一定有 （ ） Ａ．)2()1(f f ＜０ Ｂ．)1(f ＞０且)2(f ＜０ Ｃ．)1(f ＜０且)2(f ＜０ Ｄ．)2()1(f f ＞０10．若函数)(x f ＝a x ax x +--2324在区间[－1,1]上有三个变号零点,则a 的值可以是( )A ．－31 Ｂ．－53 Ｃ．－107 Ｄ．１０ 11．在求)(x f ＝343+-ax ax 的变号零点时，取第一个区间为［－１，１］，第二个区间为［０，１］，则ａ的可能值是 （ ） Ａ．－１ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－３ 12．用＂二分法＂求方程234544x x x x --+在区间（０，21）的一个误差不大于0.01的根是 （ ）Ａ．0.421 Ｂ．0.452 Ｃ．0.251 Ｄ．0.302【巩固提高——登峰揽月】13．方程x2＋ｘ＝４的一个近似解(精确到0.1)为 ．14．试求)(x f ＝183+-x x 在区间[2,3]内的实根的近似值，精确到0.1．【课外拓展——超越自我】15．在ｓｃｉｌａｂ２.7中，用＂二分法＂命令求)(x f ＝183+-x x 在区间[2,3]内的实根的近似值(精确到0.1)．16．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。
2013新人教B版必修一2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法--二分法》ppt课件
2018/12/6 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
问题2．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
例题
求函数f(x)=x3+3x-1的一个正 实数零点（精确到0.1）
2018/12/6
解：由于f(0)<0,f(1)>0, 则[0,1] 可以作为 初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐 标 a0=0，b0=0 x0=0.5 计算端点或中点的 函数值 f(0)=－1，f(1)=3 f(x0)=0.625>0 确定区间
2018/12/6
[0.3203125,0.324 21875]
由上表的计算可知，区间[0.3125，
0.343755]的左、右端点精确到0.1所取的近
似值都是0.3，因此0.3就是所取函数的精 确到0.1的一个正实数零点的近似值，只需 计算5次即可得到。 同理，所取函数的精确到0.01的一个正 实数零点的近似值为0.32，计算8次可以得
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间 (2,3)上有惟一解. 2018/12/6
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2
简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
问题2．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
例题
求函数f(x)=x3+3x-1的一个正 实数零点（精确到0.1）
2018/12/6
解：由于f(0)<0,f(1)>0, 则[0,1] 可以作为 初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐 标 a0=0，b0=0 x0=0.5 计算端点或中点的 函数值 f(0)=－1，f(1)=3 f(x0)=0.625>0 确定区间
2018/12/6
[0.3203125,0.324 21875]
由上表的计算可知，区间[0.3125，
0.343755]的左、右端点精确到0.1所取的近
似值都是0.3，因此0.3就是所取函数的精 确到0.1的一个正实数零点的近似值，只需 计算5次即可得到。 同理，所取函数的精确到0.01的一个正 实数零点的近似值为0.32，计算8次可以得
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间 (2,3)上有惟一解. 2018/12/6
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2
简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点的近似解的一种方法——二分法.doc
2.4.2 求函数零点的近似解的一种方法——二分法【目标要求】１．理解二分法的原理及步骤． ２．会用二分法求函数的近似零点． ３．培养学生的计算能力． ４．培养学生学以致用的思想． 【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法错误的是 （ ） Ａ．如果图象不间断的函数)(x f 满足)()(b f a f ＜０，则)(x f 在区间［ａ，ｂ］上至少存在一个零点．Ｂ．连续不间断的函数的变号零点的近似值一般都可以用＂二分法＂求Ｃ．如果按照＂二分法＂的步骤进行反复计算，则计算次数越多，所得零点就越精确 Ｄ．在用＂二分法＂求函数)(x f 变号零点近似值时，所取的第一个区间［ａ，ｂ］必须满足)(a f ＜０且)(b f ＞０2．函数44)(2++=x x x f 在区间[－4,－1]上 ( )A ．没有零点B ．有一个零点C ．有两个零点D ．有无数个零点 3．函数)(x f ＝25x -的负数零点的近似值(精确到0.1)是( )A ．－0.2B ．－2.1C ．－2.2D ．－2.3 4．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 【巩固提高——登峰揽月】 5．下列函数在［－１，１］存在零点的是 （ ） Ａ．ｙ＝422-+x x Ｂ．ｙ＝8823-+x xＣ．ｙ＝3010+x Ｄ．ｙ＝164-x6．在用＂二分法＂求函数)(x f 变号零点近似值时，所取的第一个区间是［－２，４］，则所取第三个区间可能是 （ ） Ａ．［１，４］ Ｂ．［－２，１］ Ｃ．［－２，25］ Ｄ．［－21，１］ 7．方程02223=+--x x x 在区间［23，２］上误差小于0.01的近似解为 （ ） Ａ．1.22 Ｂ．1.32 Ｃ．1.42 Ｄ．1.528．在用＂二分法＂求函数ｆ（ｘ）的近似零点时，取第一个区间是[]2,1-，则ｆ（ｘ）不可以是 （ ）Ａ．)(x f ＝153+-x x Ｂ．)(x f ＝x x -21Ｃ．)(x f ＝2352x x x +-Ｄ．)(x f ＝32164xx - 9．若函数ｙ＝)(x f 在区间（１，２）上有两个变号零点，则一定有 （ ） Ａ．)2()1(f f ＜０ Ｂ．)1(f ＞０且)2(f ＜０ Ｃ．)1(f ＜０且)2(f ＜０ Ｄ．)2()1(f f ＞０10．若函数)(x f ＝a x ax x +--2324在区间[－1,1]上有三个变号零点,则a 的值可以是( )A ．－31 Ｂ．－53 Ｃ．－107 Ｄ．１０ 11．在求)(x f ＝343+-ax ax 的变号零点时，取第一个区间为［－１，１］，第二个区间为［０，１］，则ａ的可能值是 （ ） Ａ．－１ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－３ 12．用＂二分法＂求方程234544x x x x --+在区间（０，21）的一个误差不大于0.01的根是 （ ）Ａ．0.421 Ｂ．0.452 Ｃ．0.251 Ｄ．0.302 【巩固提高——登峰揽月】13．方程x 2＋ｘ＝４的一个近似解(精确到0.1)为 ．14．试求)(x f ＝183+-x x 在区间[2,3]内的实根的近似值，精确到0.1． 【课外拓展——超越自我】15．在ｓｃｉｌａｂ２.7中，用＂二分法＂命令求)(x f ＝183+-x x 在区间[2,3]内的实根的近似值(精确到0.1)．16．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。
2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法课件新人教B版必修1
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为
.
解析:由表知,f(1.375)· f(1.437 5)<0,故方程的根x0∈(1.375,1.437 5), 且|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1, 故x0≈1.4. 答案:1.4
类型三 易错辨析 【例3】 用二分法求方程x2-3=0的一个近似正解,要求精确到0.1. 错解:因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,f(1)· f(2)<0,所以x0∈[1,2]. 取区间[1,2]的中点x1=1.5, f(1.5)=-0.75<0, 因为f(1.5)· f(2)<0,所以x0∈[1.5,2]. 取区间[1.5,2]的中点x2=1.75, f(1.75)=0.062 5,因为0.062 5<0.1, 所以原方程的近似解可取为1.75. 纠错:错解在于理解精确度不正确,精确度ε满足的关系式为|a-b|<ε, 错解中认为是|f(x)|<ε, 并且精确到0.1也误取成了小数点后两位.
2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(
A )
解析:只有A中函数零点不是变号零点.
3.(2018· 北京市海淀中关村中学高一上期中)已知定义在R上的函数f(x)的 图象是连续不断的,且有如下对应值表: x 1 2 2.9 C ) 3 -3.5 f(x) 6.1 那么函数f(x)一定存在零点的区间是( (A)(-∞,1) (C)(2,3) (B)(1,2) (D)(3,+∞)
因为f(1.5)· f(1.75)<0,所以x0∈[1.5,1.75].
取区间[1.5,1.75]的中点x3=1.625,f(1.625)=-0.359 375, 因为f(1.625)· f(1.75)<0,所以x0∈[1.625,1.75].
【数学】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件(新人教B版必修1)
继续实施上述步骤，直到区间[a n ,bn ],函数的零点 总位于区间[a n ,bn ]上，当a n 和bn 按照给定的精确度所取得 近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似 零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.
问题3 如何描述二分法？ 问题3．如何描述二分法？
3
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
已知函数y = f ( x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点 x 0的近似值x，使它满足给定的精确度.
步骤： 第一步 在Ｄ内取一个闭区间［a 0 ,b0 ],使f(a 0 )与f（b0） 异号，即f(a 0 )⋅ f（b0）<0.零点位于区间［a 0 ,b0 ]中. 第二步 取区间［a 0 ,b0 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a 0 + （b0 − a 0） （a 0 + b0） = 2 2
1．简述上述求方程近似解的过程
解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件
由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375] 的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4， 因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近 似值。
函数f(x)=x3+x2－2x－2 的图象如图所示，实 际上还可以用二分法 继续计算下去，进而 得到这个零点精确度 更高的近似值。
二分法概念
y
x
1
2
3
4
5
6
6
5
-3
10
-5
-23
f (x)
A 1,2,2,3 B 2,3,3,4 C2,3,3,4,4,5 D 3,4,4,5,5,6
4. 用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
分析：由于 f(1 ) <0，f(2)>0 所以f(x) =x3-x-1区间[1，2]内存在零点 取区间[1，2]作为计算的初始区间
(2) f (x) x3 x 2, x1, 2
探究
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，
则函数y=f(x)在区间[a,b]上零点是否 是唯一的？
零点存在性定理（教材P72） 如果函数 y f (x) 在区间[a，b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号， 即 f(a)·f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，
的步骤”吗?
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
练习：
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二
分法求y图中交点横坐y标的是____（y__1_）_ （3） y
人教B版必修1数学2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法-二分法》PPT课件
• [解析] 选项B中的函数零点是不变号零点，不能用 二分法求解．
• [答案] B
• 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且 f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
• A．只有一个变号零点 • B．有一个不变号零点 • C．至少有一个变号零点 • D．不一定有零点 • [答案] C
• 6．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，求 方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(精确
到0.1)．
• [解析] 设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初
始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
x1＝1＋2 2＝1.5 x2＝1＋21.5＝1.25
• [解析] 如图所示，因为f(x)在[a，b]上的图象不 间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在[a，b]上必有
零点，并且可能不止一个，故选C．
•用二分法求函数零点的近似值
•
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为
正数的零点(精确到0.1)．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间， 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要
• 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， • 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， • 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， • 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， • 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， • 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， • 所以至多需要检测6次．
f(x4)＝0.548892>0
x5＝1.125＋2 1.1875 ＝1.15625
• [答案] B
• 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且 f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
• A．只有一个变号零点 • B．有一个不变号零点 • C．至少有一个变号零点 • D．不一定有零点 • [答案] C
• 6．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，求 方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(精确
到0.1)．
• [解析] 设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初
始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
x1＝1＋2 2＝1.5 x2＝1＋21.5＝1.25
• [解析] 如图所示，因为f(x)在[a，b]上的图象不 间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在[a，b]上必有
零点，并且可能不止一个，故选C．
•用二分法求函数零点的近似值
•
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为
正数的零点(精确到0.1)．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间， 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要
• 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， • 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， • 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， • 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， • 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， • 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， • 所以至多需要检测6次．
f(x4)＝0.548892>0
x5＝1.125＋2 1.1875 ＝1.15625
人教A版数学必修一2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法.pptx
三次方程求根公式
设一元三次方程
， ，
其中 ，
y
2、思考新办法阶段：
oa
bx
y
o ya
bx
b
oa
x
“数”的方面： 练习
1.函数y=f(x)在区间[a,b]上有一个变号零点x0,且
f(a)>0,f(b)<0,f()<0,则x0在区间()内
B
+--
a
b
2.函数y=f(x)在区间[2,4]上有一个变
号x0在零区点间x0_[，_2_,且3_]_f_(2内)>ห้องสมุดไป่ตู้0,若f(4f)(<20.5,f)(<30)，<0则,则x0
学习重点：体会二分法的基本思想
学习难点：对用二分法求函数零点近似解
的一般步骤的概括和理解； 对精确度要求的理解；
二、学情分析
本节课设计的层次是面向中等的学 生，在信息技术方面要求学生人手 一台计算器，能与教师共同完成相 关计算，并能在学案的引导下与教 师在课堂上展开互动。
三、教与学的方法
（一）本节课贯彻的教育理念和教学思想 （二）教学方法和教学活动安排 （三）教学媒体的选择和学案的设计
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人教版高中必修一数学全册(新课标)
学校：北京市首都师大附中 教师：数学科组
人教B版必修一
第二章函数
说课
2.4.2求函数零点近似解的一种计算
方法——二分法
a
b
一、教学内容 二、学情分析 三、教与学的方法 四、教学过程设计 五、教学反思
一、教学内容
（一）本节课在教材中的地位 （二）本节内容的知识结构体系 （三）本节课的教学目标、重点与难点分析
高中数学第2章函数2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法__二分法课件新人教B版必修1
x
轴必有一个交点(x2,0),易知
x2=x1
−
������(���������1���1)--������������0(������0)·f(x1),若 f(x2)=0,则 x2 为它的实根.若 f(x2)≠0,则和二分法类
似,根据 f(x)在区间[x0,x2],[x2,x1]两端是否异号而求出区间.若
1234
归纳总结1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函 数的变号零点,对函数的不变号零点不适用.
2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用 二分法求函数零点时,一次只能求出一个近似值.
记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点.
1234
1.函数的零点 (1)概念. 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做 这个函数的零点. (2)意义. 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
1234
名师点拨1.并不是每一个函数都有零点.例如,函数
y=
1 ������
等于
.
解析:依题意知2和3是方程x2+ax+b=0的两个根,
故
2 2
+ ×
3 3
= =
-������, ������,
解得a=-5,b=6,
所以a-b=-11.
答案:-11
【做一做2-2】 已知函数f(x)=ax2+4x+a有二阶零点,则a的值
为
.
解析:由题意可知f(x)是二次函数,且Δ=0,即42-4a2=0,得a=±2.
高中数学 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案 新人教B版必修1
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
3．能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学过程。
高中数学人教B版必修一课件2.4.2求函数零点近似解的算法--二分法
y y y
b
o
a
bx
o
a
ห้องสมุดไป่ตู้
bx
oa
x
例:求y x 4的一个正实数零点.(精确到0.01)
3
约1.59
二分法: 对于区间[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
得到an ,bn 重复第二步中的(1)(2)(3)步. 估值
…….…
练习:求y x 2 5的一个正实数零点.(精确到0.01)
约2.24
西城练习册：
( 1 )如果f ( x0 ) 0,则x0就是零点,计算终值. ( 2 )如果f ( a0 ) f ( x0 ) 0,则零点在a0 , x0 内 令a1 a0 ,b1 x0 ( 3 )如果f ( a0 ) f ( x0 ) 0,则零点在 x0 ,b0 内 令a1 x0 ,b1 b0
**2.4.2求函数零点近似解的算法---二分法**
一次函数或二次函数，我们可以轻松求零点. 16世纪，人们找到了三次函数和四次函数的 求根公式,但是四次以上的函数求根公式，在 19世纪证明是不存在的。 因此求解高次函数的零点近似解，就成了 计算数学的一个十分重要的任务.
零点存在原理： 如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断, 并且f(a)· f(b)<0,则函数在区间[a,b]至少存在一个 点x0∈(a,b),使f(x0)=0.
已知函数y=f(x)定义在区间D上. 求函数零点近似解的算法的一般步骤：
第一步：在区间D内取闭区间a0 ,b0 ,使f ( a0 ) f ( b0 ) 0
b
o
a
bx
o
a
ห้องสมุดไป่ตู้
bx
oa
x
例:求y x 4的一个正实数零点.(精确到0.01)
3
约1.59
二分法: 对于区间[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
得到an ,bn 重复第二步中的(1)(2)(3)步. 估值
…….…
练习:求y x 2 5的一个正实数零点.(精确到0.01)
约2.24
西城练习册：
( 1 )如果f ( x0 ) 0,则x0就是零点,计算终值. ( 2 )如果f ( a0 ) f ( x0 ) 0,则零点在a0 , x0 内 令a1 a0 ,b1 x0 ( 3 )如果f ( a0 ) f ( x0 ) 0,则零点在 x0 ,b0 内 令a1 x0 ,b1 b0
**2.4.2求函数零点近似解的算法---二分法**
一次函数或二次函数，我们可以轻松求零点. 16世纪，人们找到了三次函数和四次函数的 求根公式,但是四次以上的函数求根公式，在 19世纪证明是不存在的。 因此求解高次函数的零点近似解，就成了 计算数学的一个十分重要的任务.
零点存在原理： 如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断, 并且f(a)· f(b)<0,则函数在区间[a,b]至少存在一个 点x0∈(a,b),使f(x0)=0.
已知函数y=f(x)定义在区间D上. 求函数零点近似解的算法的一般步骤：
第一步：在区间D内取闭区间a0 ,b0 ,使f ( a0 ) f ( b0 ) 0
2018-2019版高中数学人教B版必修一课件：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
4
[预习导引] 1.二分法的概念
对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区
间的两个端点 逐步逼近为零点 ，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系， 可用二分法来求 方程的近似解 .
①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0； ③当x＜－2 时，恰有一个零点； ④当0＜x＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③ 解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
13
1
要点二 二分法求函数零点近似解
f(x4)≈－0.561 8＜0 [1.687 5，1.75]
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
15
1.687 5＋1.75 x5 ＝ ＝ f(x5)≈－0.171＜0 [1.718 75，1.75] 2 1.718 75 1.718 75＋1.75 x6 ＝ ＝ f(x6)≈0.03＞0 [1.718 75，1.734 375] 2 1.734 375
至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1
11
规律方法
函数的零点分为变号零点和不变号零点，
若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函 数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零
点为变号零点，否则为不变号零点 .二分法只能求函数
的变号零点.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
4
[预习导引] 1.二分法的概念
对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区
间的两个端点 逐步逼近为零点 ，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系， 可用二分法来求 方程的近似解 .
①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0； ③当x＜－2 时，恰有一个零点； ④当0＜x＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③ 解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
13
1
要点二 二分法求函数零点近似解
f(x4)≈－0.561 8＜0 [1.687 5，1.75]
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
15
1.687 5＋1.75 x5 ＝ ＝ f(x5)≈－0.171＜0 [1.718 75，1.75] 2 1.718 75 1.718 75＋1.75 x6 ＝ ＝ f(x6)≈0.03＞0 [1.718 75，1.734 375] 2 1.734 375
至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1
11
规律方法
函数的零点分为变号零点和不变号零点，
若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函 数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零
点为变号零点，否则为不变号零点 .二分法只能求函数
的变号零点.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
原创2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（探究式）
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1
D.f(x)= −x2+2x+2
[解析] 对于C，f(x)=(x+1)2≥0，不能用二分法．
答案：A
课堂练习
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
3.计算f(x1)
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a)·f(x1)<0，则此时零点x0∈ (a, x1) ；
若f(x1)·f(b)<0，则此时零点x0∈ ( x1,,b) ；
4.判断是否达到精确度ε，即若 |a−b|< ε 则得到零点近似值a(或b),
否则重复2~4.
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度
1.5625.
0.01)为________．
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1)
[解析] 初始区间（2，3），且f(2) < 0, f(3) > 0，列表：
区间(a,b)
中点值m
f(a)
f(b)
f(m)近似值 精确度|a−b|
（2，3）
高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评 新人教B版必
2018版高中数学第二章函数2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章函数2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评新人教B版必修1的全部内容。
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（建议用时:45分钟)［学业达标]一、选择题1．用二分法求如图2。
4。
3所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（)图243A．x1B．x2C．x3D．x4【解析】由题图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出．【答案】C2．已知连续函数f（x)的部分对应值如下表：x123456789f(x)148－2273－2－18则函数f（xA．2个B．3个C．4个D．5个【解析】∵f(2）＝8>0，f（3）＝－2〈0，f(4）＝2>0，f（6）＝3〉0，f（7)＝－2〈0，f（8)＝－1<0,f（9）＝8>0，∴f（2)·f(3）〈0，f（3)·f（4）〈0，f(6)·f(7)<0,f（8)·f(9）<0，∴在（2，3），(3,4），(6，7），（8,9）上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点，故选C。
【答案】C3．函数f(x）＝x3－2x2＋3x－6在区间［－2,4］上的零点必定属于（）【导学号：60210065】A．［－2，1］B．[2.5，4］C．［1,1。
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1
2
3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； (2)若f (a)•f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (a)•f(x1)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)). 4．判断两个区间端点按照给定的精确度所取 得近似值是否相同.相同时这个近似值就是所求 的近似零点
继续实施上述步骤，直到区间[a n ,bn ],函数的零点 总位于区间[a n ,bn ]上，当a n 和bn 按照给定的精确度所取得 近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似 零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.
问题3．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。
1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证 f (a)•f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b). 2 ．“二分”解所在的区间，即取区间 (a, b) ab 的中点 x
通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
+ + 2.5 + 2.5 + + +
3
2.25
-
3 3 3
2.25 2
y
y=x2-2x-1
+ 2.25 2.375 2.5 2.25 2.375 2.5 2.4375
- -
-1 0 1 2 3
x
0.如果函数图像通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号
y
a x0 b O x1 x2 x
如图，x 0、x 2为变号零点，x1为不变号零点.
问题 2 ．不解方程，如何求方程 x2-2x-1=0 的 一个正的近似解（精确到0.1）?
画出y=x2-2x-1的图象(如图)
由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内， 另一个根x2在区间(-1,0)内．
； ；
练习1： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
y
1
y=x3
有惟一解x0∈(0,1)
0
x
1
y=1-3x
练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求其零点的是 （C ） y y y y
求函数零点近数变号零点与不变号零点的概念。 根据函数图像会利用二分法求简单函数的零点。
重点和难点
重点：用二分法求函数的零点。 难点：理解用二分法求函数零点的原理。
复习：
函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f ( x) 0有实数根 函数y f ( x )的图象与x轴有交点 函数y f ( x )有零点
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间(2,3)上有惟一解.
1．简述上述求方程近似解的过程
解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
- -
+ +
+
2
2.5
2.5
3
3
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
已知函数y f ( x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点 x 0的近似值x，使它满足给定的精确度.
步骤： 第一步 在Ｄ内取一个闭区间［a 0 ,b0 ],使f(a 0 )与f（b0） 异号，即f(a 0 ) f（b0）<0.零点位于区间［a 0 ,b0 ]中. 第二步 取区间［a 0 ,b0 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a 0 + （b 0 a 0） （a 0 b 0） 2 2
1
6
2 3 4 5
7 8 9 10
11 12 13 14 15
课堂小结
1. 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法． 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想． 3. 进一步认识数学来源于生活，又应用于 生活． 4. 感悟重要的数学思想：等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼 近的思想.
探索新授：
问题1．能否求解以下面方程
(1) x2-2x-1=0
指出：除用配方法外，如何可求得方程x22x-1=0的解的近似值。
如果函数y f ( x)在一个区间[a,b]上的图像不间断，并且 在它的两个端点处的函数值异号，即f (a) f (b) 0, 则这个函数 在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0 (a, b), 使f ( x0 ) 零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点
第三步 取区间［a1 ,b1 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a1 + （b1 a1） （a1 b1） 2 2
计算f ( x1 )和f (a1），并判断 （）如果 1 f ( x1 ) 0，则x1就是f ( x)的零点，计算终止; (2)如果f (a1 ) f (x1）<0,则零点位于区间[a1 , x1 ]中，令 a2 a1，b 2 x1； （3）如果f (a1 ) f (x1）>0,则零点位于区间[x1 , b1 ]中，令 a2 x1，b 2 b1；
作业：
习题2-4 A组 7 练习 B组1，2
0
x
0
x
0
x
0
x
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？ 1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 2. y=f (x)满足 f (a) · f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
回顾反思(理解数学)
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个 接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为 了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几 个接点？
计算f ( x0 )和f (a0），并判断 （）如果 1 f ( x0 ) 0，则x0就是f ( x)的零点，计算终止; (2)如果f ( x0 ) f (a0）<0,则零点位于区间[a0 , x0 ]中，令 a1 a0，b1 x0； （3）如果f ( x0 ) f (a0）>0,则零点位于区间[x0 , b0 ]中，令 a1 x0，b1 b0；
2
3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； (2)若f (a)•f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (a)•f(x1)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)). 4．判断两个区间端点按照给定的精确度所取 得近似值是否相同.相同时这个近似值就是所求 的近似零点
继续实施上述步骤，直到区间[a n ,bn ],函数的零点 总位于区间[a n ,bn ]上，当a n 和bn 按照给定的精确度所取得 近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似 零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.
问题3．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。
1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证 f (a)•f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b). 2 ．“二分”解所在的区间，即取区间 (a, b) ab 的中点 x
通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
+ + 2.5 + 2.5 + + +
3
2.25
-
3 3 3
2.25 2
y
y=x2-2x-1
+ 2.25 2.375 2.5 2.25 2.375 2.5 2.4375
- -
-1 0 1 2 3
x
0.如果函数图像通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号
y
a x0 b O x1 x2 x
如图，x 0、x 2为变号零点，x1为不变号零点.
问题 2 ．不解方程，如何求方程 x2-2x-1=0 的 一个正的近似解（精确到0.1）?
画出y=x2-2x-1的图象(如图)
由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内， 另一个根x2在区间(-1,0)内．
； ；
练习1： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
y
1
y=x3
有惟一解x0∈(0,1)
0
x
1
y=1-3x
练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求其零点的是 （C ） y y y y
求函数零点近数变号零点与不变号零点的概念。 根据函数图像会利用二分法求简单函数的零点。
重点和难点
重点：用二分法求函数的零点。 难点：理解用二分法求函数零点的原理。
复习：
函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f ( x) 0有实数根 函数y f ( x )的图象与x轴有交点 函数y f ( x )有零点
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间(2,3)上有惟一解.
1．简述上述求方程近似解的过程
解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
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+
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由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
已知函数y f ( x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点 x 0的近似值x，使它满足给定的精确度.
步骤： 第一步 在Ｄ内取一个闭区间［a 0 ,b0 ],使f(a 0 )与f（b0） 异号，即f(a 0 ) f（b0）<0.零点位于区间［a 0 ,b0 ]中. 第二步 取区间［a 0 ,b0 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a 0 + （b 0 a 0） （a 0 b 0） 2 2
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课堂小结
1. 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法． 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想． 3. 进一步认识数学来源于生活，又应用于 生活． 4. 感悟重要的数学思想：等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼 近的思想.
探索新授：
问题1．能否求解以下面方程
(1) x2-2x-1=0
指出：除用配方法外，如何可求得方程x22x-1=0的解的近似值。
如果函数y f ( x)在一个区间[a,b]上的图像不间断，并且 在它的两个端点处的函数值异号，即f (a) f (b) 0, 则这个函数 在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0 (a, b), 使f ( x0 ) 零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点
第三步 取区间［a1 ,b1 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a1 + （b1 a1） （a1 b1） 2 2
计算f ( x1 )和f (a1），并判断 （）如果 1 f ( x1 ) 0，则x1就是f ( x)的零点，计算终止; (2)如果f (a1 ) f (x1）<0,则零点位于区间[a1 , x1 ]中，令 a2 a1，b 2 x1； （3）如果f (a1 ) f (x1）>0,则零点位于区间[x1 , b1 ]中，令 a2 x1，b 2 b1；
作业：
习题2-4 A组 7 练习 B组1，2
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问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？ 1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 2. y=f (x)满足 f (a) · f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
回顾反思(理解数学)
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个 接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为 了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几 个接点？
计算f ( x0 )和f (a0），并判断 （）如果 1 f ( x0 ) 0，则x0就是f ( x)的零点，计算终止; (2)如果f ( x0 ) f (a0）<0,则零点位于区间[a0 , x0 ]中，令 a1 a0，b1 x0； （3）如果f ( x0 ) f (a0）>0,则零点位于区间[x0 , b0 ]中，令 a1 x0，b1 b0；