5 层次分析评价方法
5.1 概述
层次分析法（The Analytic Hierarchy Process,即AHP ），又称多层次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂（T.L.Saaty ）教授首次提出来的。该方法是定量分析与定性分析相结合的多目标决策分析方法，把数学处理与人的经验和主管判断相结合，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度评价决策者的判断和比较。由于它系统、简洁、实用，在资源系统分析、城市规划、招标评标、经济管理、教育管理、科研成果评价、社会科学等许多领域，得到越来越广泛的应用。
5.1.1 层次分析法德基本原理
人们在日常生活中要从一堆同样大小的物品中挑选出最重要的物品，如重量最大的物品，即至少要确定各物品的相对重量。这是，经验和常识告诉我们，可以利用两两比较的方法来达到目的。
假设有n 个物体，其真实重量为1ω，2ω，……，n ω，如果人们可以精确地判断两两物品之重量比，那么就可以得到一个重量比矩阵A 。
111211112
12122221
22212
1
2
//////()///n n n n ij n n
n n nn n n n n
A δδδωωωωωωδδδωωωωωωδδδδωωωωωω⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
（5—1）
显然，1/ij ji δδ=，1ii δ=，,,1,2,,.i j k n =
用重量向量12(,,
,)T n W ωωω= 右乘矩阵A ，其结果为：
1112
11121
22
22212
/////////n n n n n n n n
n n AW nW n ωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ （5—2） 从上式不难看出，以n 个物品重量为分量的向量W 是比较判断矩阵A 的对应于n 的特
征向量。根据矩阵理论可知，n 为上述矩阵A 唯一非零的最大特征根，W 是矩阵A 的特征根n 对应的特征向量。
由此可知，若在没有称量仪器的条件下对一组物体的重量进行估计，则可以通过逐对比较这组物体相对重量的方法，得出每对物体相对重量比的判断，从而形成比较判断矩阵，再通过求解判断矩阵的最大特征根和它所对应的特征向量问题，就能计算出这组物体的相对重量。
将此方法应用到复杂的社会、经济和科学管理等领域中，就能确定各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性排序情况，以供领导者决策。例如，城市交通规划方案的选择问题，决策者可以针对衡量交通规划方案的各个影响因素和总目标，通过对各个方案的重要性进行两两比较，构造各个方案之间的相对重要性矩阵，计算该矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，则特征向量就是各个方案的优劣排序结果。因此，决策者可以选择出对于评价目标最优的方案。
5.1.2 层次分析法的分析过程
采用层次分析发对系统进行分析的思路如下：
（1）首先把问题层次化，即根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的基本组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素案不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，由高层次到低层次分别包括目标层、准则层、指标层、方案层、措施层等。这样，将系统分析归结为最低层（供决策的方案、措施等）相对于最高层（总目标）的综合相对重要性系数的确定，即相对优劣次序的排序问题。
引例：如某资源开发利用方案的优选评价问题的层次结构如图5—1所示。模型分为4层，上层为目标层A ，即选择最优的方案；第二层为准则层，以经济性1B 、技术性2B 、可持续性3B 、风险性4B 四个准则作为决策准则；第三层为指标层，有工程总投资11C ,产品总成本12C ，产品总利税13C ，投入产出比14C ，工程难以程度21C ，生产协调性22C ，环境影响程度31C ，资源有效利用程度32C ，资源量可靠性41C ，生产安全性42C ，资源质量可靠性
43C 共11项指标；最下层为方案层，有4个方案，
，，，。
目标层
准则层
指标层
城市层
（２）分析每一层次的因素相对于上一次层某因素的单排序情况。通过对一系列成对因素的量化判断比较，并写成矩阵形式，即构成判断矩阵。通过计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，得到每一层的各个因素相对于上一层某因素的相对重要性系数。 在上述引例中，指标层和准则层相邻层判断矩阵及相对重要性系数见表5—1。
表5—1 评价因素单层比较判断矩阵
而处理方案层对指标层的相对重要性时，按指标属性不同分别处理。定量指标用指标准
化方法计算，可用评价级量化的定性指标采用打分法标准化处理，而不可用评价级量化的定性指标则用两两比较的判断矩阵计算见表5—2。
（3）计算层次总排序系数。依次由上而下计算方案层相对于目标层的重要性系数或相对优劣次序的排序值，其方法是用下一层各个因素的相对重要性系数与上一层次因素本身的重要性系数进行加权综合。实际计算中可以用表格形式分步计算，既先计算指标层相对总目标层的相对重要性系数（权重系数），然后计算方案层相对指标层的相对重要性系数，最后综合计算方案层相对于最高层的相对重要性系数（相对优劣次序的排序值）。
引例中的指标层C相对总目标层A的相对重要性系数（指标权系数）为，W=（0.225，0.088，0.046，0.044，0.056，0.114，0.114，0.056，0.051，0.092，0.027）T，继而计算各评价方案的排序系数，见表5—2。
表5—2 评价方案相对重要性系数计算表
资源分配等评价决策工作。
5.1.3 层次分析法的特点
人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法为分析这类复杂的社会、经济以及科学管理领域中的问题提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。
层次分析法具有如下特点：
（1）AHP 法从本质上讲是一种思维方式。它是一个将思维数字化的过程，把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总排序。整个过程体现了人的决策思维的基本特征，即分解、判断与综合。
（2）决策者利用判断矩阵，能较好地衡量相互惯量的事物之间的优劣关系，可以简化系统分析和计算，也有助于决策者保持其思维过程的一致性。直接使用AHP 法进行决策，方法简便，易于接受。
（3）判断矩阵所需的尺度蛇形便于决策者使用，它改变了评价决策者与决策分析者之间难于沟通的状态，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性。应用AHP 法所需信息量较少，但要求分析者对问题的本质、结构，包含的因素及内在的关系分析清楚。
5.2 层次分析法的结构模型
应用层次分析法分析社会的、经济的以及科学管理领域的问题，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个层次分析结构的模型。这个模型就是层次分析发的分析模型。
5.2.1 几个决策问题的层次分析模型 A 设备选型评价分析模型
对于一个企业来说，购买机械设备时常常会在众多的备选机械设备中进行挑选。例如，某矿山根据生产计划和投资计划，需要购买矿用汽车以满足生产要求。经过调研和讨论，将价格、汽车使用性能、汽车维护性能作为选择矿用汽车的影响因素，并将3种矿用汽车作为备选对象。因此，可以得到如图5—2所示的层次分析结构模型。
目标层
指标层
方案层
B 城市竞争力评价分析模型
在对城市竞争力的评价研究中，可以从城市实力、城市能力、城市活力、城市潜力和城市魅力等5个方面来衡量，而这5个方面又可以分解为更具体的因素，然后再用一系列指标来体现这些因素。例如，对城市魅力进行评价考虑城市品牌认知度、城市形象影响力、城市文化凝聚力和城市游客满意度等因素。下一层次的城市游客满意度则由游客期望值指数、城市信用指数、城市秩序指数、公共服务质量指数和城市文明程度指数等来衡量，从而构成了关于城市魅力的层次分析结构模型如图5—3所示。
目标层
准则层
图5—3 关于城市魅力的层次分析结构模型
由图5—3可知，评价不同城市的魅力是目标，处于层次分析结构的最高层，各个城市组成层次分析结构的最低层次，其他层次是由关于评价各个城市的因素或指标组成的评价准则层，处于层次结构分析的中间。
C 科研课题选择分析模型
对于一个研究单位来说，科研课题的选择是组织管理的首要任务，课题选择合适与否直接关系到科研单位的贡献大小，因此是一项关键性的技术决策和管理决策。对于一个具体的科研课题的选择，要考虑的选择因素很多，主要有：
（1）实用价值，即科研课题具有的经济价值和社会价值，或完成后预期的经济效益和社会效益。
（2）科学意义，即科研课题本身的理论价值，以及对某个科学技术领域的推动作用，关系到科研成果的贡献大小、人才培养和科研单位水平的提高。
（3）优势发挥，即选择科研课题要将经济建设的需要同发挥本单位学科及专业人才优势结合起来考虑。
（4）难易程度，即科研课题因自身的科学储备、成熟程度，以及科研单位人力、设备等条件等限制所决定的成功肯能性及难易程度。
（5）研究周期，即科研课题预计所花费的时间。
（6）财政支持，即科研课题研究所需要的经费、设备，以及经费来源等情况。仔细分析后，以上因素都共同体现了科研贡献大小、人才培养以及科研课题的可行性等方面，最终体现了科研更好地为经济建设服务的根本目标。因此，可以构造出关于选择科研课题层次分析模型，如图 目标层A
准则层B
图5—4 关于选择科研课题的层析分析结构模型
5.2.2 层次分析模型结构
分析上述几个评价决策问题的层次分析模型，不难发现，层次分析结构模型是一个多级递阶结构，通常由最高层、中间层和最低层组成。
最高层是表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。
中间层是表示采取某种措施、政策、方案等来实现预定总目标所涉及的，可以分为策略层、约束层和准则层等。
最低层是表示选用解决问题的各种措施、政策、方案等。
在层次分析模型中，用作用线标明上一层次因素同下一层次因素之间的关系。根据各层次因素之间的不同联系，可以将层次分析模型分成不同的层次关系和不同的结构类型。如果某个层次中的某个因素与下一层次所有因素均有联系，则称这个因素与下一层次存在着完全层次关系，如图5—1、图5—2、图5—3、图5—4中目标层元素与其下一层准则层各个因素的均有联系，即为完全层次关系。如果某个因素仅与下一层中的部分因素有联系，则称为不完全层次关系，如图5—1、图5—3、图5—4中准则层各个因素与其下一层指标层部分因素有联系，即为不完全层次关系。如果上一层各个因素都各自有独立的、完全不同的下级因素，则称为完全独立的机构。如图5—3关于城市魅力的层次分析结构中，准则层各个因素都与指标层的城市品牌认知度、城市形象影响力、城市文化凝聚力和城市游客满意度都有各自不同的衡量指标。如果上一层各个因素不是都各自有独立的、完全不同的下级因素，则称为非完全独立的结构，如图5—4关于选择科研课题的层次分析结构中，准则层中成果贡献与人才培养有联系，它们都用实用价值、科学意义和优势发挥3项指标度量，两者具有相同的下级因素。层次之间可以建立子层次，子层次从属于主层次中某个因素，它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次。如图5—4关于选择科研课题的层次分析结构中，经济价值和社会价值组成子层次，从属于指标层中实用价值这个因素。
综上所述，层次分析结构模型是一个多级递阶结构。通过对问题的系统分析，分别建
立研究目标集、影响因素集、衡量标准集和备选对象集，并将之作为多级递阶结构中的一个层次；研究上、下相邻两层各个因素之间的关系，并用作用线标明这些联系，从而构造出层次分析的结构模型。
层次结构模型是层次分析法的基础和重要环节。其完整性和准确性将影响分析过程和最终的决策结果。 5.3 判断矩阵
任何系统分析都以一定的信息为基础，层次分析法的信息基础主要是人们对于每一层次中各因素相对重要性给出定性的判断。通过引入合适的标度用数值将这些定性判断定量描述，得到的判断矩阵是进一步分析的基础。
5.3.1 判断矩阵的形式和含义
判断矩阵表示针对上一层次的某因素，本层次与之有关的因素之间相对重要性的比较。假定A 层因素中A k 与下一层次B 中的1B ，2B ，…，n B 有联系，则将构造的判断矩阵以表格形式表示为：
k A 1B 2B … n B 1B 11δ 12δ … 1n δ 2B 21δ 22δ … 2n δ
n B 1n δ 2n δ … nn δ
判断矩阵也可以表示为：
111212122212
()n n ij n n
n n nn A δδδδδδδδδδ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
（5—3）
其中，ij δ（1,2,
,;i n =1,2,
,j n =）表示因素i B 与j B 相对k A 的重要性标度值。
在判断矩阵A 中，其元素ij δ满足一下关系：
0ij δ〉（,1,2,,i j n =） （5—4） 1ii δ= （1,2,,;i n =） （5—5）
1/ij ji δδ= （5—6）
由矩阵理论可知，矩阵A 是正互反矩阵。 5.3.2 判断矩阵的标度及其含义
在层次分析法中，一系列成对因素的相对重要性的比较是定性的，为了使决策判断定量化，形成上述数值判断矩阵，必须引入合适的标度值对各种相对重要性的关系进行度量。A.L.Saaty 引用了表5—3所示的1～9标度方法是定性评价转化为定量的评价。
表5—3 判断矩阵标度及其含义
选择1～9比率标度方法是基于下述的一些事实和科学依据确定的。
（1）实际中，当被比较的事物在被考虑的属性方面具有同一个数量级或很接近时，定性的区别才有意义，也才有一定的精度。
（2）在估计事物值的区别性时，可以用5种判断很好地表示；即相等、较强、强、很强、绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较。这样，总共有9个数值，具有连贯性，即其具有较强的应用可操作性。
（3）在同时比较中，7±2个项目为心理学极限。如果取7±2个元素进行逐对比较，它们之间的差别可以用9个数字表示出来。
（4）社会调查也说明，在一般情况下，人们至多需要7个标度点来区分事物之间质的差别或重要性程度的不同。
（5）如果需要用比标度1～9更大的数，可以用层次分析法将因素进一步分解聚类，在比较这些因素之前，先比较这些类，这样就可以使所比较得因素间质的差别落在1～9标度范围内。
5.3.3判断矩阵的一致性条件
判断矩阵使得决策者判断思维数学化。但是，人类的思维具有一致性的特点，即认为因素之间的关系应该具有传递性：若已知因素2X 与因素1X 的相对重要关系系数21δ，因素
3X 与因素2X 的相对重要关系系数32δ，则可以根据21δ和32δ得到3X 与1X 的相对重要关
系系数312132δδδ=
。推广到一般的情况，即为判断矩阵()ij n n A δ⨯=一致性条件。
/ij ik jk δδδ=或ij jk ik δδδ= （5—7）
定义5.1 若判断矩阵()ij n n A δ⨯=满足一致性条件/ij ik jk δδδ=，或i j j k i k δδδ=，则称A 为一致性矩阵（以下简称一致阵）。
设A 为一致阵，则A 具有下列性质： （1） 一致性正矩阵是正互反矩阵；
（2） A 的转置矩阵A T 也是一致性矩阵；
（3） A 的每一行均为任意指定一行的正数倍数，并且秩（A ）=1；
（4） A 的最大特征值max n λ=；其余特征值均为0；
（5） 若A 的属于
max λ的特征向量12(,,,)T n W ωωω=，则i
ij j
ωδω=
，（,1,2,,i j n =）。
由一致性正矩阵的性质可知，一致性正矩阵是正互反矩阵。反之，正互反矩阵不
一定是一致性正矩阵。根据主观判断所构造的判断矩阵具有互反性，但由于判断矩阵的确受到专家知识水平和个人偏好的影响，构造的判断矩阵一般很难满足一致性条件。因此，为保证可信度和准确性，必须进行一致性检验。 5.3.4判断矩阵的一致性检验方法
根据矩阵理论，判断矩阵式正互反矩阵，有以下定理。
定理5.4 设正互反矩阵()ij n n A δ⨯=，max λ是A 的最大特征值，则
max n λ≥
定理5.5 设正互反矩阵()ij n n A δ⨯=，12,,
,n λλλ是A 的特征值，则
,0i j
i j i j
λλ
≠=∑
定理5.6 设正互反矩阵()ij n n A δ⨯=，A 是一致性矩阵的充分必要条件是
max n λ=
对于判断矩阵而言，理想的判断矩阵应该满足一致性条件式（5—7）。然而由于判断矩阵的元素ij δ是成对的因素关于某评价目标的相对重要性程度的之比的赋值，这些赋值是由决策者直接提供，或由决策者同分析者对话来确定，或由分析者通过各种技术咨询而获得。由于专家的知识水平和个人偏好的影响，现实的判断矩阵往往很难满足一致性条件，特别是当n 较大时，更是如此。
由矩阵理论可知，特征值是连续地依赖于ij δ，根据判断矩阵与其特征值的变化特点：若n 阶判断矩阵A 的最大特征值max λ比n 大得多，矩阵A 的不一致性就越严重；若n 阶判断矩阵A 的最大特征值max λ和n 接近，则矩阵A 的一致性就越好。当判断矩阵不具有一致性时，相应的判断矩阵的特征值也将放生变化。因此，可以用判断矩阵的特征值的变化来检查判断矩阵的一致性程度。
定义 5.2 衡量矩阵A 的不一致程度的数量指标为一致性指标..C I (consistency index)，满足：
max ..1
n
C I n λ-=
-
为了得到一个对不同阶数的判断矩阵均使用的一致性检验的临界值，还必须考虑一致性与矩阵阶数之间的关系。一般地，判断矩阵的阶数越大，元素之间的关系就更难
达到一致性。例如，2阶互反矩阵总是一致性矩阵，构造3阶判断矩阵也容易达到，而对于9阶矩阵需独立给出的两两比较判断的数据为36个，这就很难使这36个判断达到一致性。因此，需要根据判断矩阵的阶数对一致性指标..C I 进行修正。T.L.Saaty 提出用平均随机一致性指标..R I (random index)修成..C I 的方法。 平均随机一致性指标..R I 的计算过程如下：
(1)对于固定的n 阶矩阵，从1,2，…，9，12，…，19
中独立地随机抽取
(1)
2
n n -个值，作为矩阵上三角元素，主对角线元素取为1，下三角元素取三角对称元素的倒数，得到随机正互反矩阵'
A ；
（2）计算矩阵'
A 的一致性指标..R I ，'max ..1
n
R I n λ-=
-；
（3）重复上述步骤得到足够数量的样本，计算..R I 的样本均值，表（5—4）给出
了样本容量为1000的..R I 均值。
表5—4 平均随机一致性指标..R I 值
这里，对于2阶判断矩阵，..R I 只是形式上的，因为2阶判断矩阵总是具有一致性。当阶数大于2时，将判断矩阵的一致性指标..C I 与同阶平均随机一致性指标..R I 的比值称为随机一致性比率并记为..C R （consistency ratio ），即
..
....
C I C R R I =
（5—9） 则判断矩阵的一致性准则为： ..
..0.10..
C I C R R I =< （5—10） 即当..
..0.10..
C I C R R I =
<时，则判断矩阵有可接受的不一致性；否则，就认为初步建立的判断矩阵式不能令人满意的，需要重新赋值，仔细修正，直至一致性检验通过为止。 5.3.5 判断矩阵的相关计算
A 特征向量的最大特征值max λ计算
判断矩阵式评价决策者主观判断的定量描述，一般求解判断矩阵不需要太高的精度，这里给出计算判断矩阵最大特征值所对应的特征向量的两种方法及其计算过程。
（1）乘积方根法（几何平均值法）：
1）构造如式（5—3）的矩阵A ，即1112
12122212
()n n ij n n
n n nn A δδδδδδδδδδ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
；
2）先按行将各元素连乘并开n 次方，即求隔行元素的几何平均值：
1
1()n
n
i ij j b δ==∏ 1,2,,i n = （5—11）
3）再把i b （1,2,
,i n =）归一化，即求得最大特征值所对应的特征向量：
1
(1,2,
,)j
j n
k
k b j n b
ω==
=∑ （5—12）
4）由12(,,,)T n W ωωω=,则判断矩阵A 的最大特征值max λ满足：AW =max W λ。即
得到：
max
1
(1,2,,)n
ij j
j j j n δωλ
ω===∑ （5—13）
5）计算判断矩阵的最大特征值max λ。
1
max
1
1
n
ij j
n
j i i
n δω
λω===∑∑ （5—14）
例5.1 引例中，由A-B 的判断矩阵
()1
33311113
1
111311
1
13
A B A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由式（5—11）和式（5—12）得
B b =(2.28，,076,0.76,0.76)T
(0.49,0.17,0.17,0.17)T B W =
所以， (2.02,0.67,0.67,0.67)T
AW =
则
max 1 2.020.670.670.67 4.0040.490.170.170.17λ⎡⎤
=+++=⎢⎥⎣⎦
(2)和法：
1）构造如式（5—3）的矩阵A ；
2）将判断矩阵A 按列做归一化处理，得矩阵()ij n n Q q ⨯=，其中
1
(,1,2,
,)ij
ij n
kj
k q i j n δδ
==
=∑ （5—15）
3）将矩阵Q 按行相加得向量12(,,
,)T n c c c c =，其中
1
(1,2,
,)n
i ij
j c q i n ===∑ （5—16）
4）把12(,,
,)T n c c c c =归一化，即求得最大特征值所对应的特征向量：
1
(1,2,
,)j
j n
k
k c j n c
ω==
=∑ （5—17）
5）按式（5—14）计算判断矩阵的最大特征值max λ。
例5.2 例5.1中A-B 的判断矩阵用列和求逆法计算最大特征值max λ的过程为：
由式（5—15）得
0.5000.5000.5000.5000.1670.1670.1670.1670.1670.1670.1670.1670.167
0.1670.167
0.167Q ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
由式（5—16）和式（5—17）得
(2.00,0.667,0.667,0.667)T B c =
(0.49,0.17,0.17,0
T
B W = 所以， (2.02,0.67,0.67,0.67)T
AW = 则
max 1 2.020.670.670.67 4.0040.490.170.170.17λ⎡⎤
=+++=⎢⎥⎣⎦
例5.3 引例B 1—C 1一致性检验
由表5—1有
11132
411133
2
1213211114
3
3B C A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
由式（5—11）～式（5—14）得max λ=0.49；这里n=4，则
max
1..0.031
c n
C R n λ
-=
=-
查表5—4，得..0.8931R I =，有
111..0.03
..0.0340.10..0.8931
c c c C I C R R I =
==< 根据判断准则式（5—10），该矩阵满足一致性要求。 B 判断矩阵调整
若判断矩阵不满足一致性条件，必须对判断矩阵进行重新赋值。目前，修正赋值的方法，仍需借助于经验和技巧,一般采用如下的方法：
（1）利用矩阵的行变换把判断矩阵中的第n 列元素变成1，即
111212122212
()n n ij n n
n n nn A δδδδδδδδδδ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢
⎥⎣⎦1112
21221211()1ij n n
n n B βββββββ⨯⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(5—18)
若ik
ij jk δδδ≈
，则矩阵B 各列的元素彼此相近，即ik jk ββ=。
（2）观察矩阵B 各列的数据是否相近，如果某列中有数据互不相近，则可重新考虑判断矩阵A 中相应元素的赋值，从多方面进行推敲，给予适当的修正，使之相近。
（3）如果B 各列在某同一行上的元素都出现偏大或偏小的情况，则可修正矩阵A 相应行的最后一列元素的赋值。 例5.4 设有判断矩阵
1
1
1555
1
31
513
A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
经计算有..
..0.1260.10..
C I C R R I =
=>，不满足判断准则式（5—10）即不符合一致性条件，必须对判断矩阵的赋值进行调整。
（1）利用矩阵的行变换把判断矩阵中的第3列元素变成1，即
1
11555
1
31
513
A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦13
−−−−−−→第一行元素乘以5第二行元素乘以51
1151331513B ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）观察矩阵B 各列的数据是否相近，第2列中有数据相差较大，重新考虑判断矩阵A 中相应元素的赋值。这里B 种第2行上的元素都出现偏小的情况，则修正矩阵A 第2行的最后一列元素的赋值，即调整23δ，取为23δ=2，则新判断矩阵为：
'
1
1
1555
1
21
512
A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
（3）再进行一致性检验。
有 AW =1
1
1555
1
21
512
⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
0.0890.2710.559 1.7080.352 1.077⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1
max
1
110.271 1.708 1.07730.0890.5590.352
n
ij j
n j i i
n αω
λω====∑∑（++）=3.054 计算出判断矩阵'
A 的一致性指标max
3.0543
..0.02712
n C I n λ
--===-
得 ..0.027
..0.0520.10..0.5149
C I C R R I =
==< 即满足一致性检验。 5.4 层次排序 5.4.1 层次单排序
以层次结构图为基础，分别构造各层次元素相对于上层次某个因素的判断矩阵，计算出判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。判断矩阵的特征向量就是各个层次各个因素对上一层次某因素的相对重要程度，即层次单排序值。
引例中，由图5—1所示结构，两相邻层中下层对其上层的相对重要程度，即为按5.3节计算方法的判断矩阵特征向量。
依表5—1的判断矩阵，按上述方法计算得：
(0.49.17.17.17)T
B W =，0，0，0 1(0.46.18.27.09)T c W =，0，0，0
2(0.33.67)T c W =，0
3(0.67.33)T c W =，0 4(0.30.54,0.16)T c W =，0
图5—1中方案层相对于指标的单层排序系数（相对重要程度）依指标的属性不同采用不同计算方法，见表5—2. 5.4.2 层次总排序
层次单排序是各层次中各个因素相对于上一层次中某因素的相对重要性系数。在层次单排序的基础上，需要计算出各层次的总排序值，即要计算方案层各方案相对目标层总目标的重要性系数。
总排序系数是自上而下，将单层重要性系数进行合成。
假定已经算出第1k -层上1k n -个元素相对于总目标的重要性系数向量
1
(1)(1)(1)
(1)12(,,
,)k k k k k T
n W ωωω-----=，第k 层上k n 个元素对第k-1层上第j 个元素的相对重要性系数向量设为()()()
()12(,,
,)kj k k k k T j j j n P P P P =，其中不受元素j 支配的元素的相对重要性系
数为零。令1()
()()
()12(,,
,)k k k k k T
n P
P P P -=，这是1k k n n -⨯的矩阵，
表示k 层上元素对k-1层上个元素的相对重要性系数，那么第k 层上元素对总目标的合成重要性系数向量()
K W 由下式
给出：
()()()
()(1)
12(,,,)k
k k k k T k k n W P W ωωω-== （5—19） 并且，一般地有
()
()(1)(2)k k k p p W -=。
这里，(2)
W
是第二层上元素对总目标的相对重要性系数向量，实际上它就是单层排序
的重要性系数向量。
5.4.3 总排序的一致性检验
总排序的一致性检验也是从上到下逐层进行的。若已求得以k-1层上元素j 为准则的一致性指标()
..k j
C I 、平均随机一致性指标()..K j R I 以及一致性比例()
..K j
C R ，11,2,
,k j n -=，
则k 层的综合指标()..K C I 、()..K R I 、()..K C R 应为：
1
()()
()(1)
1..(..,
,..)k K K K k n C I C I C I W --= (5—20) 1
()
()
()(1)
1..
(..
,
,..)k K K
K k n R I R I R I W --= （5—21） ()
()
()....
..
k K k C I C R R I = （5—22） 当()
..
0.1K C R <时，认为递阶层次结构在k 层水平以上的所有判断具有整体满意的一
致性。
一般的，如果A 层n 个因素的排序系数（相对重要程度）已知为12(,,
,)T n W ωωω=，
若B 层次某些因素对于上层次A 的某个因素j A 单排序的一致性指标为..j C I ，相应的平均随机一致性指标为..j R I ，则B 层次总排序随机一致性比率为：
1
1
..
....
n
j
j
j n
j j
j C I C R R I ωω===
∑∑ （5—23）
例5.5 引例中，指标层C 对总目标层A 的综合总排序值（重要性系数），由式（5—19）有
0.46
0.000.000.000.180.000.00
0.000.270.000.000.000.090.000.000.000.000.330.000.000.00
0.670.000.000.000.000.670.000.000.000.330.000.000.000.000.300.000.000.000.540.00
0.000.000.16C B C B W W W -⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
==⎢⎢⎢⎢⎢⎣0.490.170.170.17(0.225,0.088,0.046,0.044,0.056,0.114,0.114,0.056,0.051,0.092,0.027)T
⎤⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎡⎤
⎥⎢
⎥⎥⎢⎥⨯
⎥⎢⎥⎥⎢
⎥⎥⎣⎦
⎥⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎦
= 其中，B C W -由1C W 、2C W 、3C W 、4C W 复合而来，复合中无关系的两两因素的重要性系数补0。
由前例计算有
..0B C I =，..0.8931,B R I =..0B C R = 1..0.03c C I =，1..0.8931,C R I =1..0.03c C R =
2..0c C I =，2..0C R I =，..0B C R =
3..0c C I =，3..0C R I =，3..0C C R =
4..0c C I =，4..0.5149,C R I =4..0C C R =
则由式（5—20）可得
1234..(..,..,..,..)(0.03,0,0,0)(0.49,0.17,0.17,0.17)0.0147
C C C C C B
T C I C I C I C I C I W ==⨯= 由式（5—21）可得
1234..(..,..,..,..)(0.8931,0,0,0.5149)(0.49,0.17,0.17,0.17)0.5252
C C C C C B
T
R I R I R I R I R I W ==⨯=
由式（5—22）得
..0.0147
..0.0280.1..0.5252
C C C C I C R R I =
==< 因此，C 层对于A 层满足整体一致性要求，即具有整体满意的一致性。 5.5 层次分析法评价实例 5.5.1 层次分析法的基本步骤
层次分析法的基本步骤可归纳为：
（1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构；
（2）对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则（或要素）的重要性进行两两比较，构造判断矩阵；
（3）由判断矩阵计算层次单排序重要性系数，并进行一致性检验；
（4）对层次单排序重要性系数进行综合，计算层次总排序重要性系数；并进行层次总排序的一致性检验；
（5）按层次总排序重要性系数对评价系统的方案进行排序。
上面介绍的层次分析法的基本步骤可以用于解决不太复杂的问题。当面临的问题比较复杂时，可以采用扩展的层次分析法，如动态排序法、边际排序法、前向反向排序法等。这些扩展方法的基本步骤与上述的有所不同，读者可以参考相关文献。 5.5.2 建筑工程项目完整层次结构评标模型
工程建设的招标投标是国际上通用的工程建设的承包方式，是国际公认的选择施工企业的有效方法。 A 系统概况
某工程项目，按工程基本要求和评价体系特点选择工程报价（万元）、施工方案合理性、施工工期（天）、施工单位质量实绩状况、企业信誉度、项目经理等级等6项指标作为评价参数，其中定性比指标评定等级由招标评为综合评定。工期预计268天。共有4家单位参加该项目的施工投标。4家投标单位的基本情况见表5—5。
B 建立递阶层次结构
根据评价内容将分析层次设总目标层为最佳中标企业，指标层为评标方案参数，方案层为投标企业，构建的递阶结构模型如图5—5所示。、
图5—5 工程评标递阶层次结构
C 单层排序重要性系数计算
首先建立评价指标层的判断矩阵，从而计算其排序重要性系数，见表5—6。
表5—6 判断矩阵A—B
建筑工程评标中，工程报价对于工程项目的影响较大，也是影响工程评标体系最重要的定量指标。一般情况下，并非报价越低越好。
为了防止投标者因无意中标而故意抬高或者压低标价，一般规定，标书报价与报价平均值相比较，凡高出10%和降低15%者取消其投标资格。这里，由于该工程中没有给出标的，采用无标的招标法来确定标的。所谓无标的招标就是剔除一个最高报价和一个最低报价，取剩余报价的平均值作为标的。计算得该工程标的为918万元。并且根据规定将每个报价与所有报价平均值相比较均为合理报价，本例没有废标。
对于合格标书，报价与标的的差异百分数a定义为：a=（标的—报价）/标的。
同样，对于投标单位所报的工期也不是越小越好，按类似报价的计算模式，即算出各单位所报工程与计划工期的差异百分数b，b定义为：b=（计划工期—所报工期）/计划工期。
将a,b值划分浮动范围并按此划分等级，该等级可根据具体工程而定，这样就把定量指标转换为定性指标了，然后再根据1～9标度法建立庞端矩阵惊醒量化。一般先制定等级标准然后构建对比矩阵。
根据工程情况，由评标方专家根据具体条件制定a,b浮动范围及等级，见表5—7。等级越高表示其在用1～9标度评价时优先度越高。
表5—7 工程报价、工期指标等级及评分
将报价、工期由定量指标转换成定性指标后，该工程的评价指标均为定性指标，然后利用1～9标度法对各定性评价指标进行重要性比较，从而计算出投标企业相对于各评价指标的重要性系数，见表5—8
五种综合评价方法 综合评价方法是指对一些事物或现象进行全面深入的评价，并从多个角度进行综合分析。以下是五种常见的综合评价方法。 1. 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP） 层次分析法是一种将复杂问题分解、层级化和比较的综合评价方法。它可以将一个问题拆分成多个层次，并在每个层次上进行判断和比较。通过建立判断矩阵和计算权重系数，可以得到各个因素的重要性排序，从而进行综合评价。 主成分分析法是一种通过线性变换将高维数据降维到低维空间进行综合评价的方法。它可以从多个指标中提取出少数几个最能代表数据集特征的主成分，并对这些主成分进行综合分析和判断。主成分分析法可以帮助我们更好地理解和解释数据的结构和变化。 3. 熵权法（Entropy Weight Method） 熵权法是一种基于信息熵的综合评价方法。它通过计算每个评价指标的信息熵值以及各个指标的权重系数来进行综合评价。熵权法可以有效地处理评价指标之间的相关性问题，并对指标进行合理的权重分配，确保评价结果更加准确和可靠。 4.灰色关联度分析法 灰色关联度分析法是一种基于灰色关联度理论的综合评价方法。它通过计算样本序列与参照序列之间的关联度，来描述两个序列之间的接近程度和相似性。灰色关联度分析法可以用于对复杂的多指标问题进行综合评价，并找出最具代表性的综合指标。
5.实证研究方法 实证研究方法是一种基于实证数据的综合评价方法。它通过收集和分析实际数据，使用统计分析、回归分析等方法来评估事物或现象的性质和效果。实证研究方法可以提供客观的事实依据，并帮助我们进行科学的综合评价。 这些综合评价方法各有特点和适用范围，根据具体情况选择合适的方法进行综合评价。通过综合分析，我们可以更全面地了解问题的本质，为决策提供更准确的依据。
层次分析法 层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法 目录 [隐藏] ? 1 什么是层次分析法 ? 2 层次分析法的基本步骤 ? 3 层次分析法的优点 ? 4 建立层次结构模型 ? 5 构造成对比较矩阵 ? 6 作一致性检验 ?7 层次总排序及决策 ?8 层次分析法的用途举例 ?9 层次分析法应用的程序 ?10 应用层次分析法的注意 事项 ?11 层次分析法应用实例 ?12 外部链接 ?13 相关条目 [编辑] 什么是层次分析法 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件
层次分析法步骤及案例分析 层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行 决策的方法。它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代 初提出，并逐渐应用于各个领域。本文将介绍层次分析法的步骤，并 通过一个实际案例来进行分析。 一、层次分析法的步骤 层次分析法主要包括以下几个步骤： 1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。将问题划 分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。 例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自 己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。 2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较 进行判断。判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。 对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是 1/A。 3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层 次中各个因素的权重向量。通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行 计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。 5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。 二、案例分析 为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。 假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。我们可以按照以下步骤进行决策： 1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。 2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。假设在产品质量和交货周期之间进行比较，判断矩阵如下所示： 产品质量交货周期 产品质量 1 3 交货周期 1/3 1 同样地，可以得到产品质量和价格之间的判断矩阵和交货周期和价格之间的判断矩阵。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 目录 1简介 2定义 3优缺点 ?优点 ?缺点 4基本步骤 5注意事项 6应用实例 1简介编辑 层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升 购物层次分析模型
学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据。 2定义编辑 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。 及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 3优缺点编辑 优点 1. 系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。
层次分析法 一、简介 层次分析法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。 层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。 二、层次分析法的步骤和方法 1、建立层次结构模型 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。其中，最高层为决策的目的、要解决的问题；最低层为决策时的备选方案；中间层为考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。 2、构造判断矩阵 所谓判断矩阵，即由决策问题中关联因素间权重所构成的矩阵，记为 1112121 22 21 2 /////////n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ?? ? ? = ? ? ?? A 中的元素ij a 通常是由决策问题的有关因素按其重要程度经两两比较而得。为了对决策问 题因素的重要程度有一个量化的描述，“135”法则是普遍运用的技术： 若两因素相比较时，其程度介于上述“135”法则的相邻两状态之间，则分别以2,4,6,8度量之。若两因素逆向比较，则其值为正向相较之倒数。 若判断矩阵A 的元素ij a 满足：ij ik kj a a a = ，则该判断矩阵成为完全一致判断矩阵。 3、确定目标权重 a 、将判断矩阵各列归一化。对于,1,2,,,i j n = 计算
层次分析法评价模型 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸 因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个 排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心 理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
5 层次分析评价方法 5.1 概述 层次分析法（The Analytic Hierarchy Process,即AHP ），又称多层次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂（T.L.Saaty ）教授首次提出来的。该方法是定量分析与定性分析相结合的多目标决策分析方法，把数学处理与人的经验和主管判断相结合，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度评价决策者的判断和比较。由于它系统、简洁、实用，在资源系统分析、城市规划、招标评标、经济管理、教育管理、科研成果评价、社会科学等许多领域，得到越来越广泛的应用。 5.1.1 层次分析法德基本原理 人们在日常生活中要从一堆同样大小的物品中挑选出最重要的物品，如重量最大的物品，即至少要确定各物品的相对重量。这是，经验和常识告诉我们，可以利用两两比较的方法来达到目的。 假设有n 个物体，其真实重量为1ω，2ω，……，n ω，如果人们可以精确地判断两两物品之重量比，那么就可以得到一个重量比矩阵A 。 111211112 12122221 22212 1 2 //////()///n n n n ij n n n n nn n n n n A δδδωωωωωωδδδωωωωωωδδδδωωωωωω⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣⎦ （5—1） 显然，1/ij ji δδ=，1ii δ=，,,1,2,,.i j k n = 用重量向量12(,, ,)T n W ωωω= 右乘矩阵A ，其结果为： 1112 11121 22 22212 /////////n n n n n n n n n n AW nW n ωωωωωωωωωωωω ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦ （5—2） 从上式不难看出，以n 个物品重量为分量的向量W 是比较判断矩阵A 的对应于n 的特 征向量。根据矩阵理论可知，n 为上述矩阵A 唯一非零的最大特征根，W 是矩阵A 的特征根n 对应的特征向量。 由此可知，若在没有称量仪器的条件下对一组物体的重量进行估计，则可以通过逐对比较这组物体相对重量的方法，得出每对物体相对重量比的判断，从而形成比较判断矩阵，再通过求解判断矩阵的最大特征根和它所对应的特征向量问题，就能计算出这组物体的相对重量。 将此方法应用到复杂的社会、经济和科学管理等领域中，就能确定各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性排序情况，以供领导者决策。例如，城市交通规划方案的选择问题，决策者可以针对衡量交通规划方案的各个影响因素和总目标，通过对各个方案的重要性进行两两比较，构造各个方案之间的相对重要性矩阵，计算该矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，则特征向量就是各个方案的优劣排序结果。因此，决策者可以选择出对于评价目标最优的方案。 5.1.2 层次分析法的分析过程
基于层次分析评价模型的课程思政有效性评价探索 随着新时代的到来，教育在我国的各个领域中都受到了越来越多的关注。课程思政是 当前教育改革中的一项重要工作，通过课程思政增强学生的思想道德素质，培养学生的爱 国主义、社会主义思想等核心价值观。然而，如何评价课程思政的有效性成为了一个关键 问题，需要利用科学方法进行深入研究。本文将基于层次分析评价模型，探讨课程思政有 效性评价的方法及其实践意义。 一、层次分析法的概述 层次分析法是一种逐级分解问题、逐级建立模型的多层次决策方法。它将一个复杂问 题分解成一系列相对简单的部分，从而建立简单的模型来解决复杂的问题。利用层次分析 法可以对多个因素进行比较，确定其在整体目标中的权重，是一种常用的决策评价方法。 层次分析法的核心思想是将复杂问题分层，将一个复杂的系统分解为多个子系统，再 将每个子系统分解为更细致、更简单的部分，从而逐步建立决策模型。 在层次分析法中，问题首先被分成不同的层次，比如目标层、因素层、子因素层等。 为了分析问题，要定义一组评价准则和相应的指标，用于考察不同因素的贡献。之后，可 以通过一系列定量或定性的方法对问题进行分析和结论得出。 基于层次分析法的课程思政有效性评价模型包括四个层次：目标层、维度层、因素层 和指标层，其中目标层主要是课程思政的目标和意义，维度层主要包括学生成长发展维度、教育效果维度、社会效应维度等，因素层包括教师和课程两个因素，指标层表示了因素对 不同维度的贡献程度。 在实践层面上，可以通过以下几个步骤进行课程思政有效性评价： 1.明确评价目标和内容 在评价前需要明确评价目标和内容，确立评价指标，对评价的目标需进行全面、具体 的界定，使问题得到更为精准的分析和定位。在明确评价目标和内容的基础上，确立评价 准则和评价指标，划分为学柿发展维度、教育效果维度、社会效应维度等三个层次。 2.构建层次分析模型 评价准则和评价指标之间是存在一定的逻辑关系的，需要将其构建为层次分析模型以 辅助设计评价方案。通过建立层次分析模型，表达关键指标的权重比重，从而进行有效性 评价。 3.设置权重
考夫曼的五个评价层次 考夫曼的五个评价层次是广泛应用于企业培训领域的评价模型，通过考夫曼的五个评价层次，组织可以全面了解培训项目的成功程度，并为未来的培训规划和设计提供有价值的反馈。 一、评价层次 1、学员对培训项目的满意程度。 这一层次评估通常通过问卷调查等方式来收集学员对培训项目的反馈。这有助于了解学员对培训项目的满意度，并确定培训项目是否满足了学员的需求。 2、学员从培训项目中学到了什么。 这一层次评估旨在了解学员在培训项目中获得了哪些知识和技能。这可以通过测试、考试或培训后的表现来衡量。 3、培训后工作行为方式的变化。 这一层次评估关注学员在培训后是否改变了自己的工作行为方式，是否运用了所学知识和技能，以及这些变化对组织的影响。这可以通过观察、反馈和绩效评估等方式来收集数据。 4、行为变化对所属组织的影响。 这一层次评估旨在了解培训项目对组织的影响，包括是否有助于提高组织的绩效、降低成本、改进工作流程等方面。这需要收集相关数据来进行分析。 5、培训所带来的效益。 这一层次评估旨在了解培训项目的投资回报率，即培训项目是否能为组织带来长期的效益。这需要考虑培训项目的成本和收益，以及收益与成本之间的关系。 二、评价工具 在考夫曼的五个评价层次中，每个层次都有不同的评估方法和工具： 第一层次的满意度评估可以通过问卷调查、访谈等方式进行；
第二层次的知识和技能评估可以通过测试、考试或培训后的表现来衡量； 第三层次的工作行为方式变化通过观察、反馈和绩效评估等方式来收集数据； 第四层次的组织影响评估需要收集相关数据来分析培训项目对组织的影响； 第五层次的效益评估需要考虑培训项目的成本和收益，以及收益与成本之间的关系。 三、培训启示 首先，评估企业培训项目需要全面考虑学员和组织的需要，不仅要关注学员对培训项目的反应和收获，还要考虑培训项目对组织的影响和投资回报。 其次，评估培训项目需要长期观察和追踪，不能仅仅关注短期的效果，而忽略了长期的效益。 最后，评估培训项目需要与培训规划和管理紧密结合，根据评估结果进行调整和优化，以确保培训项目的质量和效果。 总之，考夫曼的五个评价层次是一个重要的评估工具，可以帮助组织了解培训项目的成功程度，并为未来的培训规划和设计提供有价值的反馈。同时，评估培训项目也需要全面考虑学员和组织的需要，长期观察和追踪，并与培训规划和管理紧密结合，以确保培训项目的质量和效果。
基于支持向量机的层次分析评价例 随着社会经济的发展和科技的不断进步，人们对环境的要求也越来越高。如何科学、客观地评价环境质量成为了一个重要的问题。层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)在环境评价中得到广泛的应用。然而，AHP存在着某些局限性，例如难以处理具有复杂非线性关系的数据，且结果受主观因素影响较大。为了克服这些困难，本文提出了一种基于支持向量机的层次分析评价方法。该方法可以有效地解决AHP存在的问题，具有可行性和实用性。本文通过实例分析，详细介绍该方法的应用过程和结果分析。 一、方法流程 该方法的具体流程如下： 1. 定义评价指标。 2. 将指标层次化。 3. 对层次结构进行一致性检验。 4. 基于支持向量机的多层次回归模型。 5. 得出最终的环境质量评价结果。 二、实例说明 为了验证该方法的可行性和实用性，本文选取了某地区的环境质量评价作为例子进行分析。 评价指标主要包括环境空气质量、环境水质量、环境噪声等三个方面。 本文采用四层层次结构:目标层、准则层、子准则层和指标层。 本文采用专家问卷和矩阵计算法对层次结构进行一致性检验。结果表明，本文所建立的评价模型具有较高的一致性。 本文采用支持向量机对数据进行处理和分析。该模型可以对非线性关系进行有效的处理，并且具有很强的泛化性能。 根据模型的预测结果，本文对环境质量进行了评价。结果表明，该地区的环境综合质量较好，但是环境空气质量方面需要进一步改善。 三、结果分析
通过在某地区的环境质量评价数据上的实验，本文展示了基于支持向量机的层次分析评价方法的有效性。该方法能够较好地处理复杂的非线性关系，并且在主观和客观因素的影响下能够对环境质量进行客观的评价。该方法具有实用性和可行性，对于环境质量评价等相关领域具有重要的参考意义。
基于层次分析法的配电网建设项目投资决策评价方法 层次分析法是一种多因素决策的常用方法，可以在多个层面上对决策因素进行比较评价，以辅助投资决策。在配电网建设项目的投资决策中，层次分析法也可以被应用。 首先，确定目标层次。在配电网建设项目投资决策中，目标往往是实现最大化经济效益，在此基础上可以进一步确定具体的目标因素，如收益、投资风险、技术难度等。 其次，构建层次结构模型。基于目标层次要素进行分析，将其拆分成若干个层次和子因素，每个层次和子因素之间存在“上 下层次关系”和“代替或互补关系”，依此逐步建立层次模型。 然后，对各层次和因素进行量化分析。量化方法可以基于统计数据、专家判断或成本-benefit分析等不同方法实现，将各个 因素的贡献及重要程度转化为数值，以获得可比较的评估结果。 最后，进行综合评价。根据权重比例计算出各因素权重值，并将其综合得分，得出总体评价指标，以判定该投资决策是否合理。 需要注意的是，在进行层次分析法时，应该参照实际市场环境，结合项目特点进行建模。此外，要充分考虑不确定因素带来的影响，如政策环境、市场变化等，定期进行动态评估和修改，并适时调整决策。 总之，层次分析法为配电网建设项目投资决策提供了一种科学
和系统的评价方法。合理利用层次分析法可以减少投资风险、提高决策效率和精度，更好地实现决策目标，促进项目的成功实施。作为一位AI助手，我无法准备与实际投资决策相关的数据。因此，以下只是给出一个假设情境，希望对读者有所启发。 假设我们进行配电网建设项目投资决策评价，以下是可能的数据和相关分析： 1.投资额：1000万元 2. 折旧年限：10年 3. 项目周期：5年 4. 初始投资D：1000万元。 5. 更新换代费用U：100万元。 6. 预期收益：每年300万元，总计1500万元。 7. 资本回收期：3.76年。 8. 投资回报率：30%。 基于这些数据，我们可以进行如下分析： 1. 投资额为1000万元，折旧年限为10年，因此每年折旧额为
风险评价方法 1. 概述 风险评价是指对潜在风险进行系统性的分析和评估，以确定其可能性和影响程度，并提供相应的控制措施和管理建议。本文将介绍几种常用的风险评价方法，包括风险矩阵法、层次分析法和事件树分析法。 2. 风险矩阵法 风险矩阵法是一种直观的风险评价方法，通过将风险的可能性和影响程度分别划分为几个等级，并将其表示在一个二维矩阵中，来评估风险的严重程度。通常，可能性和影响程度分别划分为五个等级，从低到高分别为：极低、低、中、高和极高。根据风险事件所在的矩阵位置，可以确定相应的风险等级和采取的控制措施。 3. 层次分析法 层次分析法是一种定量的风险评价方法，通过构建层次结构和建立判断矩阵，来确定各个因素对风险的贡献程度。首先，将风险因素分解为不同的层次，然后对每个层次的因素进行两两比较，得到判断矩阵。通过计算判断矩阵的特征向量和特征值，可以确定各个因素的权重，最终得到总体风险评估结果。层次分析法可以较准确地评估风险，并提供权重分配的依据。 4. 事件树分析法 事件树分析法是一种逻辑推理的风险评价方法，通过构建事件树来描述风险事件的发展过程和可能的结果。事件树由一系列事件节点和逻辑门组成，每个事件节点表示一个可能发生的事件，逻辑门表示事件之间的逻辑关系。通过计算每个事件节点的概率和结果的影响程度，可以得到风险事件的概率和影响程度。事件树分析法可以帮助识别潜在风险和可能的影响，为决策提供依据。 5. 总结
风险评价是企业和组织管理风险的重要环节，选择适合的风险评价方法对于准确评估风险、制定有效控制措施至关重要。本文介绍了风险矩阵法、层次分析法和事件树分析法三种常用的风险评价方法。风险矩阵法直观简单，适用于初步评估风险；层次分析法定量准确，适用于综合评估风险；事件树分析法逻辑严密，适用于分析复杂的风险事件。根据实际情况，选择合适的方法进行风险评价，有助于提高风险管理的效果。
层次分析法的具体步骤 (1)建立层次结构模型如上所述，家纺纺织产业实施循环经济评价指标体系可被分为四层，最上层为最高层(目标层)，即纺织企业循环经济各个方面的综合 水平；第二层为准则层，即相互独立、分别隶属于总系统层的子系统；第三层为 指数层，是对准则层的进一步细分和阐述；最底层为指标层，该层隶属于准则 层，是对纺织企、Ek循环经济各个方面具体的评价指标。在层次分析法巾多采用三层分析，即目标层、准则层和指标层。 (2)构造比较判断矩阵根据层次结构模型，通过对某层次中各元素的相对 重要性做出比较判断，即对于上一层次某一推则而言，在其下一层次中所有与之 相关的元素中依次两两比较，从而得出逐层进行判断评分，进而构成两两判断矩阵，如表6—2所示。 如A1，A2，…，久，在考虑相对上一层准则H：前提下构造判断矩阵H‘— A。具体的做法是：先将矩阵左侧的指标A1依次与矩阵上边一排所列的指标Al—A。相对于目标Hf做两两比较，比较结果按AHP法设计的范围标度(表6—3)对它的重要性给予量化，并相应填入矩阵第一行；接着依次用左列指标A2，A3，…，A4重复进行上述比较，以完成矩阵的第二行至第n行。对于每个准则 层以及每个准则下的指标群，进行同样过程，这样也就形成了多级比较判断 矩阵。 AHP采用这种标度方法，不仅能克服一些指标和指标子系统无标度情况下 无法测量、统计等困难，而且这种标度法有特定的科学依据，这主要表现为：第一。实验心理学有关研究表明，人们对不同程度刺激的感觉区别，最佳 的区别个数为7土2，若取其最大的极限，恰好是9个。也就是说，人们对某 个事物的属性同时进行比较，要使其前后的判断基本保持一致，最多只能对9 个不向事物向时进行比较判断。按照人们惯用的相邻标度差为1的离散标度值 确定法，对1—9种事物进行比较判别时，其比例标度恰好为[1，9]间的 整数。
AHP层次分析法原理 一. AHP 层次分析法介绍 •AHP 层次分析法简介 AHP，即层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）是一种系统化的、层次化的多目标综合评价方法。在评价对象的待评价属性复杂多样，结构各异，难以量化的情况下AHP层次分析法也能发挥作用。 •AHP 基本思想 AHP 把复杂的问题分解为各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成 地递阶层次结构。通过两两比较的方式确定方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合有人员的判断，确定备选方案相对重要性的总排序。整个过程体现了入门分解问题—判断—综合，的思想特征。 •AHP 步骤 1)分析问题，明确需求，确定评价指标，并建立评价层次关系。 2)构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵。 3)由判断矩阵得出层间的相对权重（层次单排序及一致性检验）。 4)计算各层对总评价目标的总权重（层次总排序），得出各备选方案的评 估结果。 二. AHP 的实际问题应用案例 本章节我们将在选择购买空调的过程中使用 AHP 来完成决策。 为了从三种空调，空调A、空调B、空调C，中选购最合适的空调，我们采用 AHP 法对我们的需求进行分析与评估，最终完成决策。 1. 确定评价指标，建立层次关系 为了选出最合适的空调，我们确定从四个指标来对空调进行评估，分别是：价格、噪声、功耗、寿命。在AHP 中，要构建三层层次关系：目标层、准则层、方案层。
•目标层 只有一个要素，是分析问题的预期结果或期望实现的最终目标，是评价的最高准则，可称为目的或目标层 •准则层 准则层可以是多层构成，其包括所要考虑的准则，子准则等。 •方案层 表示实现目标所提供的各种方案与措施，是最终评价对象，决策的结果将从中选出。 2. 构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵 对一层的每一个节点，与其下层的所有与其有关联的节点构建判断矩阵。 判断矩阵描述了下一层节点之间的相对重要性或优越性。为了量化节点间的优劣先后，将用到以下判断矩阵标度定义。 标度含义 1 两个要素相比，重要性相 同 3 两要素相比，前者比后者 稍微重要或有优势 5 两要素相比，前者比后者 比较重要或有优势 7 两要素相比，前者比后者 十分重要或有优势 9 两要素相比，前者比后者 绝对重要或有优势 2,4,6,8 为上述标度之间的中间值若要描述后者与前者比较，则用倒数为标度。例如
安全风险分析评价方法 安全风险分析评价是指对一个系统或组织的安全情况进行全面评估， 识别可能存在的安全风险，并采取相应的预防和应对措施。安全风险分析 评价对于保障系统和组织的安全至关重要，它可以帮助发现潜在的安全漏 洞和薄弱点，并及时采取措施进行修复和加固，从而提高系统和组织的安 全性。 下面介绍几种常见的安全风险分析评价方法： 1. SWOT分析法：SWOT分析法是指通过评估系统或组织的优势（Strengths）、劣势（Weaknesses）、机会（Opportunities）和威胁（Threats）来识别安全风险。通过分析系统或组织的内部和外部环境， 可以帮助发现潜在的安全风险，并采取相应措施进行应对。 2.事件树分析法：事件树分析法是一种基于树形逻辑的风险分析方法，通过绘制事件树图来描述和分析可能发生的事件和结果，从而识别安全风 险并评估其潜在影响。通过对事件树的分析，可以帮助确定关键节点和薄 弱环节，并采取相应的措施进行风险控制和管理。 3.贝叶斯网络分析法：贝叶斯网络分析法是一种基于概率推理的风险 评估方法，通过建立贝叶斯网络模型来分析和评估系统或组织的安全风险。通过对各个因素之间的概率关系进行建模和推理，可以综合评估系统或组 织的安全风险，并确定相应的预防和应对措施。 4.层次分析法：层次分析法是一种将问题层次化的风险分析方法，通 过构建层次结构模型来评估和比较各个因素的重要性，从而确定系统或组 织的安全风险。通过层次分析法，可以将复杂的安全风险问题分解为不同 的层次，并根据各层次的重要性进行评估和决策。
5.风险矩阵法：风险矩阵法是一种将风险发生概率和风险影响程度综合考虑的风险评估方法。通过建立一个二维矩阵，将风险发生概率和风险影响程度分别划分为几个等级，并综合考虑二者的评估结果，可以帮助确定系统或组织的安全风险级别，并采取相应的措施进行风险管理。 在进行安全风险分析评价时，还需注意以下几点： 1.应结合具体的系统和组织特点进行分析评估，因为不同系统和组织的安全风险情况可能存在差异。 2.需充分利用现有的安全检测与评估工具和技术来辅助分析评估，例如漏洞扫描、入侵检测等。 3.需要广泛收集和分析相关数据和信息，包括历史安全事件、内部数据和外部情报等，以提高评估结果的准确性和可信度。 总之，安全风险分析评价是一个复杂而关键的过程，需要综合考虑多个因素和方法，以提供准确、全面的安全风险评估结果，并为后续的安全措施和决策提供依据。
层次分析方法基本原理 层次分析法简单的说就是运用多因素分级处理来确定因素权重的方法。它是一种定性分析和定量分析相结合的评价决策方法，它将评价者对复杂系统的评价思维过程数学化。 层次分析法基本思路是评价者通过将复杂问题分解为若干层次和若干要素，并在同一层次的各要素之间简单地进行比较、判断和计算。就可以得出不同替代案的重要度，从而为选择最优方案提供决策依据。 层次分析法特点是：能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受; 所需定量数据信息较少。 ⑵层次分析法图解: 评估每一层针对上一层的因素的重要程度，通过传递性，最后确定因素层的指标相对于目标层的重要程度，从而确定全部指标的权重系数⑶应用层次分析法进行综合评价其主要步骤有： 第一步：对构成评价问题的目标(准则)及因素等要素建立多级递阶结构模型。 第二步：在多级递阶结构模型中，对属同一级的要素，用上一级的要素为准则进行两两比较后，根据判断尺度确定其相对重要度，并据此建立判断矩阵。 对于递阶层次结构中各层上的元素可以依次相对于与之有关的上一层元素，进行两两比较，从而建立一系列的判断矩阵。判断矩阵A = (aij)n x n具有下述性质： 其中，aij(i,j = 1,2,…,n)代表元素Ui与Uj相对于其上一层元素重要性的比例标度。判断矩阵的值反映了人们对各因素相对重要性的认识，一般采用
1-9比例标度对重要性程度赋值。标度及其含义如下表所示 表&判断矩阵标度及其含义 标)K 二| 含义 「 1 表不两个兀素相比，具有同等重要性 3 表亦两个兀素相比，前着比后着稍微重要 5 r 表不两个兀素相比，前者上LS 者明显重要 —] 1 r 表乔两个兀素相比.前肴匕逅若强烈重要 g 表乔两个兀素相比，前看比后着极端重要 r 24 血 & 表示上述相邻判断的中间值 | 倒数 若芫素i 与芫素j 的重要性之比为珈那么元素j 与元素連要性之上匕为砸=1 / aij 第三步：通过一定计算后，确定各要素的相对重要度：四个步骤如下 ①计算单一层次下元素的相对权重并进行一致性检验 1矩阵A 的最大特征根为 入max ， 其相应的特征量为W ，解判断矩阵A 的 特征根问题 最大特征根及其对应的特征向量通常 应用方根法来求解，具体计算步骤如下: 为同一层次相应元素对于上一层次某一因素相对重要性的权重向量 2用估计得到的排序向量左乘判断矩阵得到一个新的向量， 依次用你排序向量的 每个分量去除这个新向量的每个对应分量， 得到了另一个向量，对这个向量的分 量求和然后除以分量的个数，得到了关于特征根入 max 的近似值 由于客观事物的复杂性以及人们对事物认识的模糊性和多样性， 所给出的判断矩 阵不可能完全保持一致，有必要进行一致性检验，计算一致性指标 CI 其中，n 为判断矩阵阶数。 若随机一致性比率CR = CI / RI v 0.10 ，则判断矩阵具有满意的一致性, 否则需要调整判断矩阵的元素取值。随机一致性指标 RI 取值见表-2 。 表％平均旄机一致性指标RI 取值表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.9 112 1 24 1.32 L44 145 ②计算组合权重及一致性检验 计算组合权重是指计算同一层次所有因素对于最高层因素相对重要性的权重。 若 上一层次A 含有m 个因素A1 ，A2，…，Am ，其组合权值为al , a2 ,…，am ，下一层次B 包含n 个因素B1 , B2 ,…，Bn ，它们 对于因素Aj 的相对权值分别为b1j ，b2j ，…，bnj （当Bi 与Aj 无 关时，bij = 0 ），此时B 层因素的组合权重由表-3给出。 (1)计算判断矩阵每一行元素的乘积 M AW= 所得W 经归 化后，即
层次分析法本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。 [编辑本段] 层次分析法定义 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 [编辑本段] 层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。 2、构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。