高 等 数 学（1）学 习 辅 导（8）
不定积分习例题讲解（一）
（一）填空题
1. 设
，则f (x )＝_______________。
解： 由不定积分性质，
故应填 10ln 2102
⋅⋅x x
2. 曲线在任意一点处的切线斜率为2x ，且曲线过点(,)25，则曲线方程
为 。
解： c x x x +=⎰2d 2，即曲线方程为c x y +=2。
将点)5,2(代入得1=c ，所求曲线方程为12+=x y 故应填 12+=x y
3. 设
，则
＝_____________。
解：
故应填 3
1)('=x f
4. 已知函数f x ()的一个原函数是2arctan x ，则=')(x f 。 解：4
212)(arctan )(x x
x x f +=
'=
244
44)1(8)1(2)12()(x x x x x x f +-+='+=' 2
44)1(62x x +-= 故应填 244
)1(62x x +-
5. 设
，则
。
解：
故应填 c x +--22)1(21
6. 已知F x ()是f x ()的一个原函数，那么f ax b x ()+=⎰d 。
解：用凑微分法
)d()(1
)d()(1d )(⎰⎰⎰++=+=
+b ax b ax f a ax b ax f a x b ax f c b ax F a
b ax F a ++=+=⎰)(1
)(d 1
故应填
c b ax F a
++)(1
7. ，则
。
解：
故应填 c x F x xf +-)()(
二、单项选择题
1. 当x ＜0时，
（ ）。
A ln|x |
B
C －ln(－x ) C C ＋ln(－x )
D ln x ＋C
解：A 缺少积分常数, D 不满足前提条件,经验证，只有C 中函数的导数为被积函数，
即C 正确 故应填 C
2. 设c x x x x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ ）。 A. 1ln +x ； B. x ln ；
C. x ；
D. x
x ln 解：
因为 1ln ln )ln ()(+=+='=x x
x
x x x x f
故应填 A
3. 下列式子中，只有（ ）是正确的。
A
（其中a 是任意常数）
B
（a ＞0，a ≠1）
C
D
解：A 缺少a ≠－1的条件，B 、C 与导数公式混淆了,D 正确 故应填 D 4. 设F x ()是f x ()的一个原函数，则等式（ ）成立。
A.
d
d d x f x x F x (())()⎰
=； B.'=+⎰F x x f x c ()()d ； C.'=⎰F x x F x ()()d ； D.d
d d x f x x f x (())()
⎰=
解：正确的等式关系是
)()d )((d d
x f x x f x =⎰
c x F x x F +='⎰)(
d )(
D 正确． 故应填 D
5. 下列函数中，（ ）是x sin x 2
的原函数。
A
B
C 2cos x 2
D －2cos x 2
解：22'2sin 2)sin (2
1
)cos 21(x x x x x =--=-,经验证A,C,D 不正确
故应填 B
6. 设F x ()是f x ()的一个原函数，则=-⎰x x xf d )1(2（ ）。 A. c x F +-)1(2； B. c x F +--)1(2；
C. c x F +--
)1(21
2； D. c x F +)(
解：由复合函数求导法则得
)1)(1(2
1
])1(21[222'---='--x x f x F )1()1)(1(2
1
222x xf x x f -='---=
C 正确． 故应填 C
7. 若
，则（ ）成立。（其中C 是任意常数）
A
B
C dF (x )＋C ＝f (x )dx
D
解：由原函数的定义，只有D 正确
故应填 D
8． 下列等式成立的是（ ）。
A
B
C
D
解：B 与D 右边缺少积分常数，C 右边应为微分式。只有A 正确 故应填 A
9．
=⋅⎰21x dx
e x
( )
A B
C D
解：由凑微分法或直接积分验证，可知C 正确
故应填 C
10．下列等式成立的是（ ）。
A
B
C sin xdx ＝d (cos x ) D
解：经验证
dx dx d x x
x 22ln 22
ln 122ln 1==，C 正确 故应填 D
11．若
，则
（ ）。
A
B
C xF (x 2)＋C
D F (x 2)＋C
解：
，A 正确
故应填 A
12．若 ，则f (x )＝（ ）。
A
B
C
D
解：
积分式两边求导，得
，从而A 正确
故应填 A
13．若f (x )＝（ ），则有
。
A
B x
C x 2
D 2x 解： 22'2)(22)()(x x x x x e e e x f e ===
令y e x =，有2
2)(y y yf =，则 x x f 2)(=，从而D 正确 故应填 D
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 52 x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2) dx ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 411 1 333 2223()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 53 222223)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰ ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 413 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 3 (1dx x +⎰思路:分项积分。 解： 2 23 1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★(9)思路？111 7 2 48 8x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x dx x C == +⎰
第三讲 不定积分 一、 考试内容与要求 1 概念与性质 （1）原函数 '=∈F x f x x I ()(), （2）不定积分 f x dx F x C ()()=+? （3）性质：1) ? +='C x f dx x f )()(或?+=C x f x df )()( 2) d dx f x dx f x (())()?=或?=dx x f dx x f d )()( 一般地， d df x f x C ()()??= + 3）??=dx x f k dx x kf )()( 4) ?? ?± =±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ (4) 基本积分公式表： 2 基本积分公式表 3 求不定积分的基本方法 (1) 第一换元积分法 f x x dx f x d x f u du F u C F x C [()]()[()]()()()[()]?????'===+=+??? 常用“凑”微分公式： (2) 第二换元积分法 f ax b ()+ 根式代换 f a x ()22-, f a x ()22+ , f x a ()22- 三角代换 t x = 1 倒代换 注：e t x t x t x ===,ln ,arcsin (3) 分部积分法 uv dx udv uv vdu '==-??? 常用分部积分法：P x e dx P x axdx n kx n (),()sin ?? P x xdx P x xdx n n ()ln ,()arcsin ?? e bxdx ax sin ? (4)* 有理函数的积分:四种类型 (5)* 三角有理函数的积分: ① ??== du u R xdx x R u x )(cos )(sin sin ② ??- = =du u R xdx x R u x )(sin )(cos cos
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
不定积分与定积分部分典型例题 例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 2 1 )(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系. 分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有 )()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可. 解 因为x x x x x F ln 11)ln 1()(+= ? +=' x x x x x x G ln 111ln )(+=+?=' 所以2 )ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数. 且有2 1)(21ln ln 21)ln 1(21)(22 +=++=+=x G x x x x F 说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为 x 21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程. 分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x x f 21)(=的积 分曲线. 解 c x x x x x f y +=== ? ?d 21d )( 且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c 于是所求曲线方程为 1+=x y 例3 判断下列等式是否正确. （1）x x x x d 11d 11d 2 2 -= -? （2）c x x x +-='? cos d )(sin （3）2 1d ln d d e 1=?x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'=' dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）?=dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ? sin ；dx e x ?-2 ；dx x ? ln 1；? -x k dx 2 2 sin 1（其中10< 244 44)1(8)1(2)12()(x x x x x x f +-+='+=' 2 44)1(62x x +-= 故应填 244 )1(62x x +- 5. 设 ，则 。 解： 故应填 c x +--22)1(21 6. 已知F x ()是f x ()的一个原函数，那么f ax b x ()+=⎰d 。 解：用凑微分法 )d()(1 )d()(1d )(⎰⎰⎰++=+= +b ax b ax f a ax b ax f a x b ax f c b ax F a b ax F a ++=+=⎰)(1 )(d 1 故应填 c b ax F a ++)(1 7. ，则 。 解： 故应填 c x F x xf +-)()( 二、单项选择题 1. 当x ＜0时， （ ）。 A ln|x | B C －ln(－x ) C C ＋ln(－x ) D ln x ＋C 解：A 缺少积分常数, D 不满足前提条件,经验证，只有C 中函数的导数为被积函数， 即C 正确 故应填 C 2. 设c x x x x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ ）。 A. 1ln +x ； B. x ln ； C. x ； D. x x ln 解： 因为 1ln ln )ln ()(+=+='=x x x x x x x f 故应填 A 3. 下列式子中，只有（ ）是正确的。 A （其中a 是任意常数） B （a ＞0，a ≠1） C D 解：A 缺少a ≠－1的条件，B 、C 与导数公式混淆了,D 正确 故应填 D 4. 设F x ()是f x ()的一个原函数，则等式（ ）成立。 不定积分例题及答案LT ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰ ，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]() d f x dx f x dx =⎰即可。 解：等式两边对x 求导数得： 2 2 ()()11xf x f x x x x =∴=-- ★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰ 所以()f x 的原函数全体为：112 cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰ （）。 ★4、证明函数21 ,2 x x e e shx 和x e chx 都是 s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。 解： 2x x e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx x = ，()ln ||f x x C ∴=+；又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有 23ln(),1e C C =+∴=，所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+ ★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt ， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3 (3)3 27f ==米； (2)令33360360t t =⇒ 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）3t e dt ⎰思路:凑微分。 解：33311(3)33 t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰ 第4章不定积分 内容概要 习的深入，同学们会慢慢体会到! 课后习题全解 习题4TL 1. 求下列不定积分： 知识点：宜接积分法的练习一一求不泄积分的基本方法。 思路分析：利用不左积分的运算性质和基本枳分公式，直接求出不左积分! 思路：被积函数-^7= = x~i ,由积分表中的公式（2）可解。 天 解: dx x 2y/x 严一討+C 思路:根据不立积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别枳分。 丄 丄 1 1 j(x 3 -x 2\lx = ^x 3dx-^x 2 3， 丄 x 2dx = -x 3 -2x 2 +C ★⑶ J （2T +x 2to 思路:根据不立积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别枳分。 解：|(2V +x 2)(lx = ^2\lx + ^x 2dx = -^ + ^x 3 +C 思路:根据不龙积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分別积分。 3 1 少 5 3 解：f-7x(x-y)dx = J x^dx-3^x 2dx = —x 2 -2x 2 +C ★★⑸严;曹+认 3r 4 + 3r 2 + 1 1 思路:观察到 一匸—— =3/+ —后，根据不左积分的线性性质，将被积函数 分项，分别积分。 ★⑴ =J 3x 2dx + J ] " M = x' + arctan x + C ★★⑹ JR y- y- I 1 _ 1 1 思路:注意到一^= _ r =1 ---------------------- ，根据不世积分的线性性质，将被积函数分 1 + x" 1 + ；r 1 + 项，分别积分。 牙z B ：— -^dx= [ -1 --------------- Zv = x-arctanx + C. J 1 + ；r 」 」1 +对 注：容易看出(5) (6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假 分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★⑺ f (f--+4_4to j 2 x x 3 x l 思路:分项积分. g r z x 1 , 3 解：J (Z"_ —" J 2 x x 3 =—x 2 - In I x I - - x'2 + —x'3 + C ・ 4 2 3 ★⑻"Kk 思路:分项积分。 ★ ★⑼ J* \lxy]xyfxdx 思路：\jx\lxyfx =看到 J X J XA /7 = X 2 4*8 = X S ,直接积分。 解：I* Jxjx 長tlx = j x^dx =善JV * + C. **<10)L 2(I L 2)^ 思路:裂项分项积分。 f ~3 ----- —dx = f ( ---------- r* 任=f ~7 dx — f ------- dx = ------ n rctcin x + C. xdx- J ^-clx + 3 J x~\lx - 4j x~^dx 解："忌一沽严呵心心T d 1 dx = 3 arctan x - 2 arcsin x + C. Jl - .J 不定积分例题及答案 求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 2 x x 思路: 被积函数 52 2x x x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 222 23x dx x C x x -- =-+⎰ ★(2) 3 ( x dx x ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 4 11 1 333 2223()()24 dx x x dx x dx x dx x x C x - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰3 x ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 5 3 22222(3)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰x ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 4 1 3 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 2 3 ()11x x +-⎰思路:分项积分。 解： 2 22 23 1()323arctan 2arcsin .1111dx dx x x C x x x x =-=-+++--⎰⎰ ★★(9)x x x dx 思路x x x 111 7 2 48 8x x x x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x x x dx x dx x C == +⎰不定积分例题及答案
不定积分例题及答案
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