不定积分的例题
以下是一些不定积分的例题：
1. 计算 $\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx$
解：首先我们可以按照幂函数的积分公式来计算每一项的不定积分：
$\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 + C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C_1$ $\int 5x^2 dx = \frac{5}{3}x^3 + C_2$
$\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_3$
$\int 2 dx = 2x + C_4$
因此，$\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx = \frac{1}{2}x^4 +
\frac{5}{3}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$
2. 计算 $\int \frac{3}{x} dx$
解：这是一个倒数函数的不定积分。倒数函数的积分公式为：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
在本题中，我们可以把 3 看作是$\frac{3}{1}$，然后应用常数
倍公式得到：
$\int \frac{3}{x} dx = 3\int \frac{1}{x} dx = 3\ln|x| + C = \ln|x^3|
+ C$
3. 计算 $\int (2e^x - \sin x) dx$
解：根据指数函数和三角函数的不定积分公式，我们可以得到：$\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$
$\int \sin x dx = -\cos x + C_2$
因此，$\int (2e^x - \sin x) dx = 2e^x - \cos x + C$
这些例题可以帮助理解不定积分的概念和计算方法。在实际应用中，不定积分常常用于求解曲线下的面积、求解物理、经济等问题中的累积效应等。
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 52 x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2) dx ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 411 1 333 2223()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 53 222223)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰ ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 413 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 3 (1dx x +⎰思路:分项积分。 解： 2 23 1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★(9)思路？111 7 2 48 8x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x dx x C == +⎰
不定积分与定积分部分典型例题 例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 2 1 )(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系. 分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有 )()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可. 解 因为x x x x x F ln 11)ln 1()(+= ? +=' x x x x x x G ln 111ln )(+=+?=' 所以2 )ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数. 且有2 1)(21ln ln 21)ln 1(21)(22 +=++=+=x G x x x x F 说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为 x 21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程. 分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x x f 21)(=的积 分曲线. 解 c x x x x x f y +=== ? ?d 21d )( 且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c 于是所求曲线方程为 1+=x y 例3 判断下列等式是否正确. （1）x x x x d 11d 11d 2 2 -= -? （2）c x x x +-='? cos d )(sin （3）2 1d ln d d e 1=?x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.
不定积分的例题 以下是一些不定积分的例题： 1. 计算 $\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx$ 解：首先我们可以按照幂函数的积分公式来计算每一项的不定积分： $\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 + C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C_1$ $\int 5x^2 dx = \frac{5}{3}x^3 + C_2$ $\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_3$ $\int 2 dx = 2x + C_4$ 因此，$\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$ 2. 计算 $\int \frac{3}{x} dx$ 解：这是一个倒数函数的不定积分。倒数函数的积分公式为：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 在本题中，我们可以把 3 看作是$\frac{3}{1}$，然后应用常数 倍公式得到： $\int \frac{3}{x} dx = 3\int \frac{1}{x} dx = 3\ln|x| + C = \ln|x^3| + C$ 3. 计算 $\int (2e^x - \sin x) dx$ 解：根据指数函数和三角函数的不定积分公式，我们可以得到：$\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$ $\int \sin x dx = -\cos x + C_2$
因此，$\int (2e^x - \sin x) dx = 2e^x - \cos x + C$ 这些例题可以帮助理解不定积分的概念和计算方法。在实际应用中，不定积分常常用于求解曲线下的面积、求解物理、经济等问题中的累积效应等。
例题1 dx e x x ? +)12( c e e x dx e e x x d e e x de x x x x x x x x +-+=?-+=+-+=+=???2)12(2)12() 12()12()12( 根据分部积分法??-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。 例题2 dx xe x ?- c e xe dx e e xe dx e xe xde x x x x x x x ++-=?+-=--=-=-------???1) ( x e -是一个复合函数，其导数应为1-?-x e 例题3 ?xdx arctan c x x x x d x x x dx x x x x x xd x x ++-=++-=+-?=-?=?? ?)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222 arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。其它的反三角导数是arcsinx ’=211 x -、 arccosx ’=211 x --、arccotx ’=211x +-
例题4 dx x x ?2cos 2sin |cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d x dx x x dx x x x -=-===??? 这里用到二倍角公式，如下： Sin2x=2sinxcosx Cos2x=2cos 2x-1=1-sin 2 x-1 例题5 dx x x ?++2cos 1sin 12 c x x x xdx dx dx x dx x x +-=-=-=-=????2 1tan 2 1sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。 例题6 dx x x ? +32 设t x =+3，则32-=t x
解法1 而(x 2 . 2x 1) (x 2 - ,2x 1) = 2(x 2 1)所以 (x 2 - - 2x 1)「；2x , —2 2 dx (x - 2x 1)(x 、、2x 1) 2x 4 dx x 1 + -^arcta nx 2 +c. 解法3 lim 1 arctanf -, x )°一一2 .2x 2、2 2 x 例1 .計算 x x 4 1 = (x 1 2 、2x 1)(x 2 -,2x 1). x 2 - 一 2x 1 dx 2 1 dx) 'x 2 + J2x +1 1 ^/2-^r dx) (x 云)2 d . 2x 1) 「T+1 4[ 1 2 ( 02j (x )- 2 2 二 1 d(.2x-1) 一 2 (2x -1)2 1 [a r dx 1 2 1 2 (”2x 1) dx x 2 . 2x 1 1 =^^arcta n(寸 2x +1) (x£)2 2 x 2 -1 arctan ------ V2x -1 x 2 -1 arctan 八 厂' x 0 -2 2x 1 x 弓 x 二 解法2 当 x = 0. x d(x-」) x 2 x
,2 2x 2、2 解将被积函数化为简单的部分分式 x 3 2 A B Cx D 1 D = 分解式（*）两边同乘以X ,再令X…,得 1 = A ，C,= C - -1.故有 , dx=f[——B —+Cx + D ]d X (x 1)3(X 2 1) [ X 1 (X 1)2 X 2 1 ] 1 1 1 1 2 arctan x c. 2(x 1) 2ln (x 2 1) 2 例 3. 求(x 4 1)2(x 4 x 2)dX. 解 令u =X 2,再用部分分式，則 3 B (-1) 2 1 B 2 3 2 2 — (X 1) (X 1) X 1 (X 1) X 1 两边同乘以（X • 1）2，约去x - 1的因子后令 (-1)2 1 2 x 3 2 例 2.求(x 1)2() 1 严 两边同乘以（x 1）2，对 x 求导，再令x — -1，施以 上运算后，右端得A,而左端为 d x 3 2 — 八 一 2 lim [ 2 2 (x 1) x dx (x 1) (x 1) 3 2 2 3 d _x 2. .. 3x (x 1) -2x(x 2) =lim [= x r 1 dx x 2 6 2 2. 4 +1】迥 (x 2 1)2 A =2. 在分解式 (* )中令x =0,得A B D,所以 由拼接法可有 1 x 2 -1 二 —arctan — 2 2x 2、2 0 1 * x 2 -1 —arctan -------- c, x = 0. JI (*) x 3 2 =2 In x + x = 彳
304 不定积分的典型例题 例1．計算 dx x x ?++1 14 2 解法1 ).12)(12(12 24+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(2 111 2 2 4 2 dx x x dx x x dx x x ???+++ +- = ++ . )]12arctan( )12[arctan(2 11)12( ) 122 11 )12( )12(21) 2 1)22(12 1)2 2(1 [2 12 2 2 2 c x x x x d x x d dx x dx x +++-=++++ +--= + ++ + - = ??? ? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??++ +-+ +- = ++) 12)(12(2)12(1 1 2 2 2 4 2 . arctan 2 1)12arctan(2 11 21 22 4 2 c x x dx x x x x dx ++ += ++ ++=?? 解法3 ? ? ?+ - = + += ++≠2 2 2 2 2 42 1) 1 (111 1 1 , 0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-= +- -= ? 21arctan 2 12 )1() 1(2 2 ,2 221arctan 2 1lim 2 π- =-+ →x x x ,2 221arctan 2 1lim 2 π= -- →x x x 由拼接法可有
305 .0 2221arctan 2 1000,2221arctan 2 1112 2 4 2? ???? ??<+--=>++-=++? x c x x x x c x x dx x x π π 例2.求 .) 1()1(22 2 3 dx x x x ? +++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 ) 1(1 ) 1()1(22 2 2 2 3 ?????+++ ++ += +++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2 )1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11 )1(2)1(2 3 = +-+-= B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26) 1() 2(2)1(3lim ]1 2[lim ) 1()1()1(2 [ lim 2 2 3 22 1 2 3 1 2 2 2 3 1 =∴=+= ++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令 ,+∞→x 得.1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1) 1ln(21 )1(21 1ln 2]1 )1(1[ ) 1()1(22 2 2 2 2 3 c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+- +- +=+++ ++ +=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 4 2 4 dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 ??++= ++) )(1(21 )()1(2 2 2 44 u u u du dx x x x x ,1 1 ) ()1(1 2 2 2 +++ ++ = ++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令
分部积分法不定积分例题 不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积分来解决。所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。 一、什么是分部积分 分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思想。 二、分部积分法不定积分实例 例1：求下列不定积分： $$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$ 解： 首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和[2.5,3]两段，则可得： $$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5} ^{3}3x^2+2x+1dx$$ 设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：
$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.12 5$$ $$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1 49.0625$$ 则最后，可得： $$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$ 例2：求下列不定积分： $$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$ 解： 同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和[1,4]两段，则可得： $$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{ 1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$ 设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得： $$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$ $$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$ 则最后，可得： $$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$
不定积分典型例题 一、直接积分法 H 接积分法是利用基木积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时 往往需对被积甫数进行简单恒等变形，使之逐项能用某本积分公式. 例 1、求 f (1 - A) Jx 石dx 例趴求佚扑 解 原式=j (e 2x - e x 4- l)t£v = j e 2x - e x + x+C 例 3、求[,1 d x J sur xcos - x 解 原式 =( 血 f+c 。] ' dx = [—— dx+[ ——dx = tan x-coxx+C J sin ・xcos ・x J cos~ x J sin* x 例4、 Jc 呻 h" 才亠 r 1 + cosx . x+sinx 小 解原式 ---- )dx = x-aictan x + C 1 + x" 注，本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧. 二、第一类换元积分法(凑微分法) 3 原式=J(F 原式
r 凑成『“(x)厶訂ggx)]0(x)dx 令ea戶“ e 求岀连甌=Jg(")d" =G(”) + C -G[(p(x)]+C 在上述过程屮，关键的一步是从被积函数/(小屮选取适当的部分作为0(x),与办一起凑成卩(x)的微分d(p(x) = d"且J g(u)du易求. 例1、求 J Jcosx 解原式=[S17Y rfr = J COSX A/COSX-d cos x cos xjcosx 例2、求J护gdx J A/X-JT 解原式訂平£・士厶訂护酉(石) Jl-X y/x ^l-(Vx)2 =2| arcsmVxJ(arcsm仮)=(arcsin Jx)2 + C dx=2d(Jx) 例沢求J；&d” 解原式品(“) 2 岭)1 • 2 — arcsm—x+ 2 3 扌E+c
高数不定积分62道经典例题 有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。 首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。 其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题： （1）计算cosx dx （2）计算sinx dx （3）计算2x^2+3x+1dx （4）计算∫ex^2dx （5）计算∫tanxdx （6）计算∫secx dx （7）计算sin(2x)dx （8）计算∫cos2x dx （9）计算∫(x+1)^2dx （10）计算∫e^x dx （11）计算∫cos(2x+1) dx
（13）计算∫e^(-x^2) dx （14）计算∫sin^3xdx （15）计算∫sin2x dx （16）计算∫cotxdx （17）计算∫tan2x dx （18）计算∫3x+2 dx （19）计算∫sin(3x+1)dx （20）计算∫tan^2(x) dx （21）计算∫sec^2x dx （22）计算∫2x+3 dx （23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx （24）计算∫(x+1)^3 dx （25）计算∫cos^2x dx （26）计算∫cos(3x+1) dx （27）计算∫(x+1)(x+2)dx （28）计算∫e^(2x+3)dx （29）计算∫x^3+3x^2+1dx （30）计算∫sin^2(x)dx （31）计算∫cot^2x dx （32）计算∫tan(2x+1) dx （33）计算∫sec(2x+1) dx
第4章不定积分 容概要
解：(2x x 2)dx 2x dx x 2dx 2x In 2 思路:根据不定积分的线性性质, 将被积函数分为两项，分别积分。 解： x(x 3)dx 3 x 2dx 1 x 2dx 1 -dx 1 思路：观察到 3x 4 3x 2 1 2 x 3x 2 -后，根据不定积分的线性性质, 1 将被积函数分项, 3x 2 1 dx 3x 2dx 1 3 dx x arcta n x C 1 x 习题4-1 1•求下列不定积分: 知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分! ★ (1) dx x 2 . x 思路： 1 被积函数 5 X 至， 由积分表中的公式（2）可解。 x , x 解： dx |d 2 dx 2 x 3 3 2 C 2 x . x ★⑵ (皈 A )dx V x 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 ★⑶（2x x ）x 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 ★⑷x(x 3)dx 3x 4 3x 2 2 x 分别积分。 解：(3x 」-)dx V x 1 1 1 x^dx • 4 1 (x 3 X 芳dx x 3dx 2x 2
思路：注意到 1 x 2 X 2 解：一dx 1 x dx 7 x 8，直接积分。 15 C. 2 2 dx x 2 (1 x 2) 1 解：卡一- x 2(1 丁 dx x 2) 1 rv )dx Wdx x —dx x 1 arctan x C. x 1 1 一厶，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项, 1 x 1 dx x arctanx C. 1 x 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 思路:裂项分项积分。 2x e ★ (11)匚 e 分别积分。 / x 1 3 4、 ★⑺ (x- + 3 " -p )dx 2 x x x 思路: 分项积分。 / x 1 3 4、 1 1 解： - + —)dx xdx dx 2 x x x 2 x 1 2 3 2 4 3 x ln |x| x x C. 4 2 3 3 x 3dx 4 x 4dx ★ (8) (宀 思路:分项积分。 )dx 看到 3arctanx 2arcsin x C. ？ 1 1 1 X” 15 8 8 思路 7 x 8 dx ★★ (10)
不定积分例题及答案
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 2 x x 思路: 被积函数 52 2x x x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 222 23x dx x C x x -- =-+⎰ ★(2) 3 ( x dx x ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 4 11 1 333 2223()()24 dx x x dx x dx x dx x x C x - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰3 x ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 5 3 22222(3)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰x ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 4 1 3 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 2 3 ()11x x +-⎰思路:分项积分。 解： 2 22 23 1()323arctan 2arcsin .1111dx dx x x C x x x x =-=-+++--⎰⎰ ★★(9)x x x dx 思路x x x 111 7 2 48 8x x x x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x x x dx x dx x C == +⎰
例1．dx x x ⎰++1 1 42 例2..)1()1(2 223dx x x x ⎰+++ 例3. .) ()1(2424dx x x x x ⎰ ++ 例4. 828872882815) 1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+ 例5..sin cos 1cos 1dx x x x ⎰ -++ 例6.dx x x 122+⎰ 例8.dx x x dx x ]1111[21112 24++-=-⎰⎰ 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+11 11 例10． ⎰⎰ ⎰---=-+=+) 2 4(cos )24()2 cos( 1sin 12x x d x dx x dx πππ 例 11.c t t dt x x dx t x +=-=-⎰⎰=arcsin 11 2 12 例12． ⎰⎰+=+=,sin cos sin ,sin cos cos 33dx x x x J dx x x x I 例13．.11 3 dx x I ⎰ += 例14．) 1(12arcsin 12arcsin ++=+⎰⎰x d x x dx x x 例15．.1 2 ⎰+++=x x x dx I 例16．.cos 2sin 5cos sin 12dx x x x x ⎰ -+ 例17． .sin 3sin 2 ⎰+x xdx 例18． ⎰ ⎰+=+x x dx x dx 22 2cos )2cos 1 ( cos 21 例19． . )1ln(1818962 32 66332 3 66c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰ (题目只到dx,忽略右上角的东东) 例20．.15arctan 21515ln 153215c x x x x x x dx x x x t x x +-------+-=⋅ ⋅⋅=---=--⎰ 例21．]1ln [arctan 2112sin 2 2x x x x x dx t x t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22． 1 1ln 21211222tan 2 32x x x x x dx x t x t +++-+-=⋅⋅⋅=+=< ⎰ π 例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x x e e dx 2 32 例24．1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分 例25．)(c e dx e e dx e x x x e x e x e +==⎰⎰ + 例26． ”） 妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1) cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰ 例27. .)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰ 例28. 1 )1(arctan .)1(arctan 2111arctan 2 x c x dx x x -='+-=+⎰ 例29 =++-=+⎰⎰x b x a x b x a d a b dx x b x a x 22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin 例30. ) ln ()ln (1) ln (ln 1)ln (ln 12222x x x d x x x dx x x x x x dx x x x ---=--=--⎰⎰⎰
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=⎰一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =⎰、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________; 1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx dx y x x F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ϕ+++ 13()[()]()()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______11 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+⎰、设则：
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）⎰2 x dx ２） ⎰ x x dx 2 ３） dx x ⎰-2)2 ( ４） dx x x ⎰ +2 2 1 ５）⎰⋅- ⋅ dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ⎰2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(⎰+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ⎰- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ⎰-3)2 3( ２） ⎰ - 33 2x dx ３） dt t t ⎰sin ４） ⎰ ) ln(ln ln x x x dx ５）⎰ x x dx sin cos６） ⎰- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ⎰ ８） dx x x ⎰ -4 3 1 3 ９） dx x x ⎰3 cos sin 10） dx x x ⎰ - - 2 4 9 1 11）⎰ -1 22x dx 12） dx x ⎰3 cos 13)⎰xdx x3 cos 2 sin 14) ⎰xdx x sec tan3 15) dx x x ⎰ +2 3 916) dx x x ⎰ +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ⎰ -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ⎰ +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ⎰ +2 1 1 ２） dx x ⎰sin ３） dx x x ⎰-4 2 ４） ⎰> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）⎰ +3 2)1 (x dx ６） ⎰ +x dx 2 1 ７）⎰ - +2 1x x dx ８） ⎰ - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ⎰ ２） ⎰xdx arcsin ３）⎰xdx x ln 2 ４） dx x e x ⎰- 2 sin 2 ５）⎰xdx x arctan 2 ６） ⎰xdx x cos 2 ７）⎰xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ⎰ ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ⎰ +3 3 ２）⎰ - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）⎰ +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分 ★⑴ dx x2 . x 思路: 被积函数由积分表中的公式（2）可解。 解: dx x2-x 5 x 2dx ★⑵ 1 ^=) 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 (x3x 2)dx 1 x3dx 1 x 2dx 3 - 1 3x32x2C 4 ★(3)(2x x2) dx 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。 解：(2x x2)dx 2x dx x2dx 2 In 2 1x3 C 3 ★(4). x(x 3)dx 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。 解: ' x(x 3)dx 3 x2dx 1 x2dx 5 3 2 2x2 C 3x4 2 x Jx 1 思路：观察到 3x43x2 1 x2 1 3x2 -后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积1 分。解：（
注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 思路：分项积分。 思路：分项积分。 …、 1 ★★(10) - ------- -dx x (1 x ) 思路：裂项分项积分。 解: 4 2 , 3x 3x 1 2 , dx 3x dx . 3 —dx x arctan x C x ★★ (6) dx 思路：注意到 2 x 1 x 2 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 2 5 x . 斛： -------- 2dx 1 x dx ----- 2dx 1 x arctan x C. , / x ★⑺( --- 2 1 + 1- 4、 4)dx x … / x 斛：（一 ——i - 3 x x 4、 —)dx 1 2 -x 4 In |x| x 3 x 2 2 4 x 3 xdx -dx x 3 x 3dx 4 x 4 dx C. 3 ★ (8) ( rv 2 -解: 2 、 ， -dx 1 , c c . c ---- dx 3arctan x 2arcsin x C. x 2 ★★(9) x x xdx 1 1 x 2 4 7 x 8 ,直接积分。 解: ■ x x x dx 7 x 8 dx 15 C. 思路: ? 看到 : x . x x