不定积分的例题分析及解法
这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=,而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来"的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如
dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2
；dx x ⎰ln 1；⎰-x k dx 22sin 1（其中10< 这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分 的无限形式的表示。 一、疑难分析 （一）关于原函数与不定积分概念的几点说明 （1）原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系.对于定义在某区间上的函数 )(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。 （2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分 ⎰dx x f )(时，只需求出 )(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即 ⎰+=C x F dx x f )()(。 （3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数,而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数,因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分，例如 3,2 1 ,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是 任意常数）。 (4))(x f 的不定积分⎰dx x f )(中隐含着积分常数C ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C . （5）原函数存在的条件：如果函数)(x f 是某区间上连续，则在此区间上)(x f 的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初 等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数,例如下列不定积分 dx e x dx dx x x x ⎰⎰⎰-2 ,ln ,sin 都不能“积"出来，但它们的原函数还是存在的。 （二）换元积分法的几点说明 换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法. （1）第一换元积分法（凑微分法):令)(x u u = 若已知⎰+=C x F dx x f )()(，则有 [][]C x F dx x x f +='⎰)()()(ϕϕϕ 其中)(x ϕ是可微函数,C 是任意常数. 应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。 (1)a b ax d a b x d dx )((1 )(+=+=、)0≠，a b 为常数 具体应用为 ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax a dx b ax m m =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++⋅+C b ax a C m b ax a m ln 11)(11 )1()1(-=-≠m m (2） )(1 1 1b x d a dx x a a ++= + )()1(1 1b ax d a a a ++= + a (、 b 、a 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。例如： x d dx x x x d dx x dx xdx 21),(32,212=== (3))ln (1 ln 1b x a d a x d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a （4）,0(ln ) (,>= =a a a d dx a de dx e x x x x 且)1≠a ; （5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7))(arctan 11 2 x d dx x =+ (8） )(arcsin 112 x d dx x =- 在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用,例如求 ⎰+dx x x f 2 11 )(arctan 时，应将dx x dx 2 1+凑成x d arctan ；求 dx x x arc f ⎰+211 )cot ( 时，应将dx x 2 11+凑成x darc cot -；而求dx x x ⎰+2 12时，211 x +就不能照搬上述两种凑法，应将xdx 2凑成2dx ，即)1(222x d dx xdx +==。 （2）第二换元法积分法:令)(t x ϕ=，常用于被积函数含22x a ±或22a x -等形式。 常见的元理函数积分所采用的换元式如表5—1所示: （3)同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。 （三)关于积分形式不变性 在讲第一换元积分法时,讲过这样一个定理： 如果⎰+=C x F dx x f )()(，那么有⎰+=C u F du u f )()(，其中)(x u ϕ=是x 的可微函数。这个定理说明： （1）积分变量x 无论是自变量,还是中国变量，积分公式的形式不变,这一特性叫做积分形式不变性. （2）根据这个定理，基本积分表中的x 既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数)，因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了,例如基本积分公式 C x dx x +=⎰ln 1 现在就可以看作是 ()()()C d +=⎰ln 1 其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来,即如果被积函数⎰dx x f )(能够写成[]dx x x g )()(ϕϕ'⋅⎰的形式，且已知⎰+=C u F du u g )()(，则有 []dx x x g dx x f )()()(ϕϕ'=⎰⎰ [])()(x d x g ϕϕ⎰= []C x F +=)(ϕ 同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致．．的,否则将出现错误. （四）分部积分法 设)(),(x x u u υυ==是可微函数，且)()(x x u υ⋅'或)()(x x u υ'⋅有原函数，则有分部积分公式： ⎰⎰'⋅-⋅='⋅dx x u x x x u dx x x u )()()()()()(υυυ 或 ⎰⎰-=du u ud υυυ 当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成⎰'dx u υ或⎰υud 的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式⎰'-du u υυ，或⎰'-dx u u υυ，再计算⎰'dx u υ,即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u 和υ'的原则是：①根据υ'容易求出υ;②⎰'dx u υ要比原积分⎰'dx u υ容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u 和υ'的选择规律，一归纳如表5-2. 说明(1）表5—2中，)(x p x 表示n 次多项式。 （2）表5—2中的x e x x x arcsin ,,cos ,sin 等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型,例x sin ，表示对所有正弦函数)sin(b ax +均适用，而x e 表示对所有b ax e +均适用，其它几个函数也如此。 （3）III 类积分中，也可选择x e u x sin ,='=υ（或x cos ），无论怎么样选择，都得到递推循环形式，再通过移项、整理才能得到积分结果。 （五）有理函数的积分 有理函数可分为如下三种类型: (1)多项式:它的积分根据积分公式表即可求得,是最易计算的类型。 （2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和： k k q px x B Ax q px x B Ax a x A a x A )(, ,)(,22++++++-- 其中k q p ,,为常数,1,042≠<-k q p 。 因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分. （3）有理假分式(分子次数不低于分母次数）；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2） 综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分,而前者是易于求得的,后者可通过凑微分法求出的结果. 二、例题分析 例1 为下列各题选择正确答案: （1)（ ）是函数x x f 21 )(=的原函数 A ．x x F 2ln )(= B ．2 21)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F 3ln 2 1 )(= (2）若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ ） A ．x 2sin 4 B ．x 2cos 2 C ．x 2sin 4- D ．x 2cos 2- (3)下列等式中（ ）是正确的 A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()( C ．C x f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+-- =-'C x f dx x f x )1(2 1 )1(22 （4）若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin ( ） A ．C x F +-)(cos B ．C x F +)(cos C ．C x f +-)(sin D ．C x F +)(sin （5）下列函数中，( )不是x 2sin 的原函数。 A ．x 2cos 21 - B ．x 2cos - C ．x 2sin D ．x 2cos - 解（1）根据原函数的概念，验证所给函数)(x F 是否满足x x F 21 )(= '。由于 A 中x x x x 21122)2(ln ≠== ' B 中x x x 21 41)21(32≠='- C 中[]x x x 2121)2ln(≠+=' + D 中x x x 21 3321)3ln 21(=⋅=' 故正确选项为D 。 （2）根据不定积分的性质可知 ⎰='+='=x C x dx x x f 2cos 2)2(sin ))(()( x x x f 2sin 4)2cos 2()(-='=' 于是 故正确选择为C （3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知 ⎰+= 'C u f du u f )()( 其中u 是变量或可微函数，据此可知： A 中应为⎰+='C x f dx x f )()(（缺C ) B 中应为 C e f dx e e f x x x +='⎰)()(（缺x e ） C 中应为⎰ +='C x f dx x x f )(2) (（不应没有x 2) D 中应为⎰⎰ --'- =-')1()1(21)1(2 22x d x f dx x f x C x f +-= )1(2 1 2 正确选项应为D （4）设,cos x u =则xdx du sin -=，于是 ⎰⎰+-=+-=-=C x F C u F du u f dx x xf )(cos )()()(cos sin 正确选项应为D （5)根据原函数定义，对所给答案一一求导可知x 2cos -不是x 2sin 的原函数,故正确选项B 。 例2 给出下列各题的正确答案: （1)=-⎰x d x 211 ; (2）⎰=)(ln ln x xd ； （3）若)0()(>+=x x x x f ,则⎰='dx x f )(2 ； （4）通过点)4,1(π斜率为2 11 x +的曲线方程为 ； 解（1）设x u 21-=,则du dx 2 1 -=，于是 )21 (1211du u dx x -⋅=-⎰⎰ C x C u +--=+-=21ln 2 1 ln 21 应填C x +--21ln 2 1 (2）设x u ln =,则 ⎰⎰+=+==C x C u udu x xd 2 2ln 2 121)(ln ln 应填C x +2ln 2 1 （3)由于x x f 211)(+ =',故,21 1)(2x x f + ='因此 ⎰ ⎰++=+ ='C x x dx x dx x f ln 2 1 )211()(2 应填C x x ++ ln 2 1 注意：C x f dx x f +≠'⎰)()(22 （4）设曲线方程为)(x f y =,则,11 )(2 x x f += '于是 C x dx x x f +=+=⎰arctan 11 )(2 通过点)4,1(π，则有C +=1arctan 4 π ，即0=C ，故所求曲线方程为.arctan x y = 例3 求下列不定积分: （1）⎰-dx e x x 5; (2)⎰+dx x 2)4( （3）⎰+++-dx x x x x x x )sin 23 (3； （4)⎰++dx x x x ) 1(212 2 2. 分析 题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不定 各分的运算性质,便可得出结果. 解 （1）⎰⎰=-dx e dx e x x x )5 (5 根据积分公式 ⎰+=C a a dx a x x ln 1 在此,5 e a =故 原积分C e C e e x x +-=+=)5(5ln 11)5(5ln 1 （2）由于168)4(2++=+x x x ，根据不定积分的运算性质，有 ⎰⎰++=+dx x x dx x )168()4(2 ⎰⎰⎰++=dx dx x xdx 168 C x x x ++⨯+=1632 82123 2 C x x x x +++= 163 16 212 （3）dx x x x x x x )sin 23 (3+++-⎰ dx x x x x x )sin 23 1(2+++ -=⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰+++-=xdx dx x dx x dx x dx x sin 21 312 C x nx x x x x +-++-= cos 23123 2 313 （4）由于2 2222222211 1)1()1()1(21x x x x x x x x x ++=+++=++,所以 ⎰⎰++=++dx x x x x dx x )11 1()1()21(22222 C x x dx x dx x ++-=++=⎰ ⎰arctan 111122 小结：（1）从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进行计算，而要先对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用的恒等变形手段主要有:分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。 （2)将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C 即可。 (3）检验积分结果正确与否时,只需将所得结果求导(或微分）即可，若其导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）时,则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。 例4 求下列不定积分 （1)⎰dx x 2sin 2 （2）⎰+-dx e e x x 1 12 (3）dx x x ⎰ 2 2sin cos 2cos (4）⎰-dx x x 2)53( 解 （1）由于2 cos 12sin 2x x -=，所以 C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰sin 2121)cos 2121(2sin 2 （2)由于11 )1)(1(112-=+-+=+-x x x x x x e e e e e e ,所以 ⎰⎰⎰⎰-=-=+-dx dx e dx e e e x x x x 1)1(112 C x e x +-= (3）由于x x 22sin cos 2cos -=所以 x x x x x x x x 22222222cos 1 sin 1sin cos sin cos sin cos 2cos -=-= 故 原积分⎰ ⎰+--=-=C x x dx dx x tan cot cos 1 sin 122 （4） ⎰⎰+⋅⋅-=-dx dx x x x x x x )55323()53(222 ⎰+⋅-=dx x x x )251529( C x x x +⋅+⋅-⋅= 2525 ln 11515ln 299ln 1 例5 计算下列不定积分 （1）⎰+dx x )1sin(π （2)⎰+dx e e x x 21 (3)⎰ dx x x 2 1 cos （4） ⎰dx x x ln 1 分析 观察这些积分中的被积函数，发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的变形也化不成表中公式的形式,因此需采取新的方法——换元积分法求解。 解 (1）观察题目发现,此被积表达式与基本各分表中公式 ⎰+-=C x xdx cos sin （*） 类似，但又不完全一致，那么能否套用公式（＊）直接得到 C x dx x ++-=+⎰)1(cos )1sin(ππ 呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式（＊)中的被积函数x sin 已换为 )1sin(+x π, 而积分变量的微分依然是dx ，没有相庆地换为)1(+x d π。正确的做法是先设中间变量1+=x u π，然后使被积表达式化成公式（＊)的形式再求解. 设1+=x u π，则ππ1-=u x ，du dx π 1 =，于是 ⎰ ⎰⎰= ⋅ =+udu du u dx x sin 1 1 sin )1sin(ππ π C u +- =cos 1 π 再将1+=x u π代回，得 原积分C x ++- =)1cos(1 ππ 注：本题也可不写中间变量u ，而用凑微分法来解:根据)1(1 += x d dx ππ 有 ⎰⎰+⋅ +=+)1(1 )1sin()1sin(x d x dx x ππ ππ ⎰++= )1()1sin(1 x d x πππ C x ++- =)1cos(1 ππ （2）设x e u =，则dx e du x =,于是 ⎰⎰+=+=+=+C e C u u du dx e e x x x arctan arctan 1122 本题也可采用凑微分法求解:由于x de dx e =2，想到公式 ⎰+=+C x x dx arctan 12 于是有 ⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x x x x arctan )(1122 （3）设x u 1= ，则u x 1=，du u du 21 -=，于是 ⎰ ⎰⎰-=-=udu du u u u dx x x cos )1()1(cos 1cos 222 C x C u +-=+-=1 sin sin 如果熟悉凑微分式子:),1 ()1(12算如下则可用凑微分法直接计x d x d dx x -=-= ⎰⎰⎰ +-=-=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=C x x d x x d x dx x x 1sin )1(1cos )1(1cos 1 cos 2 （4）设x u ln =，则dx x du 1 = ，于是 ⎰⎰⎰+==⋅=C u du u dx x x dx x x ln 1 1ln 1ln 1 或者用凑微分法计算：因为x d dx x ln 1 =所以 ⎰⎰+==C x x d x dx x x ln ln ln ln 1ln 4 用第一换元积分法（凑微分法）计算不定积分时，要根据被积函数的形式来决定如何来设置中间变量或凑微分,一般常见的符合凑微分形式的不定积分类型可参阅疑难解析中的（二）。 例6 计算下列不定积分： （1）dx x e x ⎰ （2）⎰ +dx x 2 941 （3）dx x x 323-⎰ （4)⎰ +dx x x 2 1 解 （1）设x t =，则,2,2tdt dx t x ==于是 C e C e dt e tdt t e dx x e x t t x +=+='=⋅=⎰⎰ ⎰2222 或凑微分法计算：由 x d x d dx x 2)2(1 ==，得 C e x d e dx x e x x x +==⎰ ⎰22 (2）观察题目，不易直接看出如何进行换元，不妨将积函数先做变形 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+=+=+222 22)23(121) 3(21 941x x x 联想到积分公式⎰ +=+C x dx x arctan 11 2 ，于是有 ⎰⎰⎰⋅+==+=+du u u x dx x dx x 32 11412 3)23(1141941222换元 C x x u C u +==+=)23 arctan(612 3arctan 61还原 熟练掌握凑微分形式后,可以省去换元步聚，直接求出结果。 （3)由3323,3 1 x dx dx x -=可以看成是于关3x 的函数，所以 ⎰⎰⋅-=-33323 133dx x dx x x ⎰---=)3(33 1 33x d x C x +-⋅-=23 3)3(3 2 )31( C x +--=23 3)3(9 2 （4）C x x x d x dx dx x x ++=++=+=+⎰⎰⎰)1ln(2 11)1(211211222222 进行换元积分（或凑微分）运算时，有时由于中间变量设置的不同，所得的积分结果形式有可能不同，但实质是等价的；有时被积函数不易看出如何换元,则应先做适当变形.请看下面例子。 例7 计算下列不定积分 (1）⎰ +dx x nx 211 (2）⎰-dx x x 221 (3）dx x x x x ⎰-⋅4932 (4)⎰-dx xe x 2 3 （5）⎰ -+x x e e dx 解 （1）由于,ln 1 x d dx x =所以 ⎰⎰⎰++=+=+)ln 21()ln 21(21 ln )ln 21(ln 21x d x x d x dx x x C x ++= 2)ln 21(4 1 或 原积分⎰⎰⎰+=+=x xd x d x d x ln ln 2ln ln )ln 21( C x x ++=2ln ln 想一想，这两个计算结果是否相同？为什么？ （2）由于 222)1(1)21(12--=+--=-x x x x x 联想到⎰ -=+=-),1(,arcsin 11 2 x d dx C x dx x 故 ⎰ ⎰ ---=-)1() 1(11212 2 x d x dx x x C x +-=)1arcsin( （3）将分子、分母同除以x 9，得 x x x x x 22 )3 2(1)32(4932-=-⋅ 设x t )32(=，则,13 2ln 1,32ln ln dt t dx x t ==于是 ⎰⎰⋅-=-⋅dt t t t dx x x x x 1 32ln 1149322 ⎰-⋅-= dt t 2 11 3ln 2ln 1 dt t t ⎰-++⋅-=)11 11(213ln 2ln 1 C t t +--+-= )1ln 1(ln ) 3ln 2(ln 21 C t t +-+-= 11ln )3ln 2(ln 21 C x x +-+-= )3 2(1)32(1ln )3ln 2(ln 21 C x x x x +-+-=2323ln )3ln 2(ln 21 （4）由于)3(6 1 2122x d dx xdx --== ,所以 C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰22232 336 1)3()61( （5） C e e de e e e dx e e e dx x x x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰--arctan 1 )(2 例8 计算下列不定积分 （1）⎰xdx x 5sin 3sin （2）⎰xdx 6cos （3）⎰xdx x 23cos sin (4）⎰ dx x x cos sin 1 分析 这些积分中的被积函数都是三角函数，一般说来，三角函数的积分比较复杂,不易直接看出求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式。 解 （1）观察被积函数知，须先对被积函数作积化和差变形后，再凑微分去求解。 ⎰⎰ ⎰⎰-=-=xdx xdx dx x x xdx x 8cos 21 2cos 21)8cos 2(cos 215sin 3sin C x x C x x +-=+⋅-⋅=8sin 16 1 2sin 418sin 81212sin 2121 （2)利用公式2 2cos 1cos 2x x +=，将被积函数降次，于是 dx x xdx 3 6 )22cos 1(cos ⎰⎰+= ⎰+++= dx x x x )2cos 2cos 32cos 31(813 2 ⎰⎰+++=xdx xdx x x 2cos 81 2cos 832sin 1638132 ⎰⎰++++=x xd dx x x x 2sin cos 161 )4cos 1(1632sin 163812 ⎰-++++=x d x x x x x 2sin )2sin 1(161 4sin 6431632sin 163812 C x x x x x +-+++=2sin 481 2sin 1614sin 6432sin 1631653 C x x x x +-++=2sin 481 4sin 6432sin 411653 （3）⎰⎰⋅=xdx x x xdx x sin cos sin cos sin 2223 ⎰--=)cos (cos )cos 1(22x d x x ⎰⎰+-=x xd x xd cos cos cos cos 42 C x x ++-=53cos 5 1 cos 31 (4）由于,cos tan 1cos sin 12x x x x =而),(tan cos 1 2 x d dx x = 所以 ⎰ ⎰+==C x x d x dx x x tan ln )(tan tan 1 cos sin 1 例9 计算下列不定积分 （1）⎰ -dx x dx 2 32) 1( （2）⎰ -9 2 2 x x dx （3)⎰+dx x x 2 123 )1( 分析 这几个不定积分的被积表达式中都含有222222,,a x a x x a -+-类的式子，要用三角代换来求解。各自的代换式是 （1)含22x a -：设t a x sin =，则tdt a dx cos =； （2）含22a x -:设t a x sec =,则tdt t a dx tan sec ⋅=； （3）含22a x +:设t a x tan =,则tdt a dx 2sec =； 解 （1）因被积表达式含有21x -，故设)2 2 (sin π π < <- =t t x ，则tdt dx cos =， t t x 32 322 3 2cos )sin 1()1(=-=- 于是 dt t dt t t x dx ⎰ ⎰⎰ ==-232 32cos 1 cos cos ) 1( 由,sin t x =可知21cos x t -=，21cos sin tan x x t t t -= = ，所以 C x x x dx +-= -⎰ 2 2 321) 1( （2）为了去掉根式92-x 设)2 0(sec 3π < <=t t x ,则 tdt t dx tan sec 3= t x tan 31sec 3922=-=- 于是 dt t t t t x x dx ⎰ ⎰ ⋅⋅=-tan 3sec 9tan sec 39 222 ⎰⎰+=== C t tdt dt t sin 9 1 cos 91sec 191 由,sec 3t x =得x t 3 cos =，x x t t 9 cos 1sin 22-= -=，所以 C x x x x dx +-= -⎰99 922 2 （3）为了去掉2 12)1(x +，设)2 2 (tan π π < <- =t t x ，则tdt dx 2sec = t t x sec )tan 1()1(2 12 2 12=+=+ 于是 ⎰⎰⎰⋅=⋅⋅=+tdt t tdt t t dx x x 33232 123 sec tan sec sec tan )1( ⎰⎰--=⋅=t t d t dt t t 62333cos ) cos ()cos 1(cos 1cos sin t d t t cos )cos 1 cos 1(46⎰+- = C t t +-=--35cos 3 1 cos 51 由,tan t x =可知,1cos 1 , 11cos 22 x t x t +=+= 于是 ⎰++-+=+C x x dx x x 2 3 225 22 1 23 )1(3 1)1(51)1( 小结 从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于t 的三角函数式，用x 还原t 时，虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但较麻烦,为了直观起见,往往用“三角形法”进行还原计算，如图5—1的常用的三种三角代换类型简图,根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。 例如图5—1（2)，设,tan t a x =则可设直角三角形角t 的对边长为x ,邻边长为a ，故斜长为22x a +，从图中看出2 2 2 2 cos ,sin x a a t x a x t += += 。 例10 计算⎰ ++5 8162 x x dx 分析 对于被积函数含有c bx ax ++2的积分,一般不能做代换C bx ax t ++=2，而应将C bx ax ++2配平方,然后作变量代换，归结为含22x a ±、22a x -的积分后再用第二换元法求解. 解 由于4)14(581622++=++x x x 设14+=x t ，则,4 1 ,414141dt dx t t x =--= 于是 ⎰⎰ ⎰ +=+=++4 41441 5 816222 t dt t dt x x dx 根据材料上的补充公式(8），再将14+=x t 代回，所以 原积分C t t +++=4ln 41 2 C x x x +++++=581614ln 4 1 2 对于被积函数含有根式或其它较为特殊的情形，也可以采用第二换元积分法计算。 例11 计算下列不定积分: (1)⎰-dx x x 2 （2）⎰-dx x x 1023)31( (3）⎰ ++) 1(x x dx 解 (1）被积函数是无理函数，又不能凑微分计算，因此选择根式代换，使之有理化。 设2-=x t ，则,2,22tdt dx t x =+=于是 ⎰⎰⋅+=-tdt t t dx x x 2)2(22 ⎰+=dt t t )2(224 ⎰++=C t t )3 2 51(235 C x x +-+-=23 25)2(3 4 )2(52 （2）被积函数是有理多项式,如若展开102)31(x -去计算，将是很麻烦的,不妨设231x t -=，于是 dt dx t x 31),1(3122-=-=，再考虑到2232 1 dx x dx x =，所以 ⎰⎰⋅-=-2102210232 1)31()31(dx x x dx x x ⎰-⋅⋅-=)31 (21)1(3110dt t t C t t +--=)121 111(1811211 C x x +-+--=122112)31(216 1)31(1981 (3）方法一：设x t =，则2t x =，tdt dx 2=，于是 ⎰⎰⎰ +=+=+2212)1(2) 1(t dt t t tdt x x dx C t +=arctan 2 C x t +=arctan 2 方法二：凑微分法 由于 2)(11),(2)2(1 x x x d x d dx x +=+==，所以 C x ac x x d x x dx +=+=+⎰⎰ tan 2)(12)1(2 小结 利用第二换元积分法计算不定积分时，要特别注意被积函数的特点，针对这些特点，选择适当 的代换，常见的第二换元积分法求解的类型请见疑难解析中的有关内容。 例12 计算下列不定积分 （1）⎰xdx x 2cos （2)⎰dx e x x 2 （3)⎰+xdx x ln )1(2 (4）⎰xdx x arctan 2 分析 计算形如⎰'dx u υ的积分时，如果不能用换元积分法求解,则可考虑用分部积分法求解，具体步骤是： （1）凑微分：从被积函数中选择恰当的部分作为dx υ'，凑微分υυd dx ='，这样积分就变成⎰υud 的形式： (2）代公式：⎰⎰-=du u ud υυυ，并计算出微分dx u du '=； （3)计算积分⎰'dx u υ 这些积分都不能用换元积分法计算，故考虑用分部积分法,u 和υ'的选择参见表5—2 解 （1）设,2cos ,x x u ='=υ故 )2sin 2 1 (2cos x d xdx dx d =='=υυ 代入分疗积分公式，有 )2sin 21 (2cos x xd xdx x ⎰⎰= ⎰-=xdx x x 2sin 21 2sin 21 C x x x ++=2cos 41 2sin 21 如果设x x u ='=υ,2cos ，会出现什么情形呢？事实上，由 υυd x d xdx dx ===')2 (2 故 ⎰⎰=)2 (2cos 2 x xd ud υ ⎰-=x d x x x 2cos 2 2cos 22 2 ⎰+=xdx x x x 2sin 2cos 2 22 显然积分⎰xdx x 2sin 2比原积分⎰xdx x 2cos 中的x 次数更高了，即更难计算了，因此这种选择是不恰当的。 （2）设,2x u =x e ='υ，则 x x de dx e dx d =='=υυ 于是 ⎰⎰⎰-==2222dx e e x de x dx e x x x x x ⎰-=dx xe e x x x 22 虽然，⎰dx xe x 还不能直接积分,还须再做一次分部积分，这时设x e x u ='=υ,,于是 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 因此 ⎰+--=C e xe e x dx e x x x x x )(222 C e xe e x x x x ++-=222 （3)设1,ln 2+='=x x u υ，则 )3 ()1(3 2 x x d dx x dx d +=+='=υυ 于是 )3(ln ln )1(3 2 x x xd xdx x +=+⎰⎰ x d x x x x x ln )3(ln )3(3 3⎰+-+= dx x x x x x x 1 )3(ln )3(33⋅+-+=⎰ dx x x x x ⎰+-+=)13(ln )3(2 3 C x x x x x +-- +=9 ln )3(3 3 （4）设2,arctan x x u ='=υ,则 )3 (3 2 x d dx x dx d =='=υυ 于是 dx x x x x x xd xdx x 23332 11 3arctan )3 ()3(arctan arctan +⋅-==⎰⎰⎰ ⎰+-+-=dx x x x x x x 2331)(31arctan 31 ⎰+--= dx x x x x x )1(31arctan 3123 C x x x x +++-=)1ln(6 1 61arctan 31223 一般说来，如果被积函数是多项式与三角函数或指数函数的乘积时,则u 选择多项式，而υ'选择三角函数或指数函数；如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数的乘积时，则u 选择对数函数或反三解函数,而υ'选择多项式. 例13 计算下列不定积分 （1)⎰+xdx x 2sin )2(2 （2）xdx x ln 1 3⎰ （3）⎰xdx x 2sin (4）⎰xdx x arcsin 2 解 （1） ⎰⎰⎰+⋅=+xdx xdx x xdx x 2sin 22sin 2sin )2(22 ⎰-=x xdx x 2cos 2sin 2 对第一项用分部积分法求解 ⎰⎰⎰+-=-=2 2222cos 212cos 2 1)2cos 21(2sin xdx x x x d x xdx x 不定积分与定积分部分典型例题 例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 2 1 )(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系. 分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有 )()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可. 解 因为x x x x x F ln 11)ln 1()(+= ? +=' x x x x x x G ln 111ln )(+=+?=' 所以2 )ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数. 且有2 1)(21ln ln 21)ln 1(21)(22 +=++=+=x G x x x x F 说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为 x 21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程. 分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x x f 21)(=的积 分曲线. 解 c x x x x x f y +=== ? ?d 21d )( 且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c 于是所求曲线方程为 1+=x y 例3 判断下列等式是否正确. （1）x x x x d 11d 11d 2 2 -= -? （2）c x x x +-='? cos d )(sin （3）2 1d ln d d e 1=?x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断. 例题1 dx e x x ? +)12( c e e x dx e e x x d e e x de x x x x x x x x +-+=?-+=+-+=+=???2)12(2)12() 12()12()12( 根据分部积分法??-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。 例题2 dx xe x ?- c e xe dx e e xe dx e xe xde x x x x x x x ++-=?+-=--=-=-------???1) ( x e -是一个复合函数，其导数应为1-?-x e 例题3 ?xdx arctan c x x x x d x x x dx x x x x x xd x x ++-=++-=+-?=-?=?? ?)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222 arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。其它的反三角导数是arcsinx ’=211 x -、 arccosx ’=211 x --、arccotx ’=211x +- 例题4 dx x x ?2cos 2sin |cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d x dx x x dx x x x -=-===??? 这里用到二倍角公式，如下： Sin2x=2sinxcosx Cos2x=2cos 2x-1=1-sin 2 x-1 例题5 dx x x ?++2cos 1sin 12 c x x x xdx dx dx x dx x x +-=-=-=-=????2 1tan 2 1sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。 例题6 dx x x ? +32 设t x =+3，则32-=t x 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422331 1x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 不定积分例题及参考答案第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C - -==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★(9) 思路=？111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解： 715 8 88 .15 x dx x C ==+? ? 第4章不定积分 容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★ (1)? 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全) 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设，，若存在函数，使得对任意均有或，则称为的一个原函数。 的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。 性质性质1：或；性质2：或；性质3：，为非零常数。 计算方法 第一换元积分法（凑微分法）设的原函数为，可导，则有换元公式： 第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，则分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程 度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-1 1、求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解：★(2) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：★(3) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：★(4) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：★★(5) 思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：★★(6) 思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 不定积分例题及答案 求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 2 x x 思路: 被积函数 52 2x x x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 222 23x dx x C x x -- =-+⎰ ★(2) 3 ( x dx x ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 4 11 1 333 2223()()24 dx x x dx x dx x dx x x C x - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰3 x ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 5 3 22222(3)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰x ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 4 1 3 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 2 3 ()11x x +-⎰思路:分项积分。 解： 2 22 23 1()323arctan 2arcsin .1111dx dx x x C x x x x =-=-+++--⎰⎰ ★★(9)x x x dx 思路x x x 111 7 2 48 8x x x x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x x x dx x dx x C == +⎰ 第4章不定积分 习题4-1 ： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的根本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和根本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ⎰ 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式〔2〕可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★(5)422331 1x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 52 x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 22 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2) dx ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 4 11 1 333 2223()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 53 222223)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰ ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 22 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 4 1 3 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 3 (1dx x +⎰思路:分项积分。 解： 2 23 1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★(9) 思路？111 7 2 48 8x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x dx x C == +⎰ 不定积分100道例题及解答摘要： 一、引言 1.1 积分的概念 1.2 不定积分的概念 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 2.2 不定积分的线性性 2.3 不定积分的连续性 三、不定积分的计算方法 3.1 基本积分公式 3.2 反常积分 3.3 复合函数积分 3.4 隐函数积分 3.5 参数方程积分 四、100 道不定积分例题及解答 4.1 例题1-10 4.2 例题11-20 4.3 例题21-30 ... 4.10 例题91-100 五、结论 5.1 不定积分在实际问题中的应用 5.2 不定积分的技巧和策略 正文： 一、引言 1.1 积分的概念 积分学是微积分学的一个重要分支，它主要研究如何求解一个函数在某一区间上的累积效应。积分可以形象地理解为“求曲边梯形的面积”，即将函数的图像与坐标轴所围成的曲边梯形面积分解为无数个无穷小的矩形，然后求和得到总面积。 1.2 不定积分的概念 不定积分，又称为一元函数的不定积分，是指求解一个函数f(x) 在区间[a, b] 上的原函数F(x)。原函数F(x) 的导数等于原函数f(x)，即F"(x) = f(x)。不定积分的目的是找到一个函数F(x)，使得F"(x) = f(x)，并在给定的区间[a, b] 上求解该函数。 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 根据牛顿- 莱布尼茨公式，几乎所有的连续函数都存在原函数，即具有不定积分。然而，存在一些特殊的函数，例如非连续函数、含有分段的函数等，它们可能没有不定积分。 2.2 不定积分的线性性 不定积分具有线性性，即对于任意的两个函数f(x) 和g(x)，它们的和的不定积分等于各自不定积分的和，即∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) 不定积分的应用题解析 解析一： 在数学中，不定积分被广泛应用于求解各种函数的原函数。不定积分的概念可以追溯到牛顿和莱布尼茨等著名数学家的工作。它为解决实际问题提供了有效的工具，尤其在面积、体积、物理学等领域的计算中具有重要的应用。本文将通过几个应用题来解析不定积分的使用方法。 解析二： 题目一：求函数的原函数 假设有一个函数f(x)，我们需要求解它的原函数F(x)。首先，我们可以通过不定积分的定义来解决这个问题。根据不定积分的定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意的x值，有F'(x) = f(x)。我们可以利用这个等式来求解F(x)。 举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 2x的原函数F(x)，我们可以计算F(x)的导数F'(x)，即F'(x) = 2x。由此可得F(x) = x^2 + C，其中C为常数。所以，函数F(x) = x^2 + C是函数f(x) = 2x的一个原函数。 题目二：计算曲线下的面积 不定积分还可以用来计算曲线下的面积。假设我们需要计算曲线y = f(x)与x轴之间某一区间[a, b]内的面积。我们可以使用不定积分来求解。 具体方法是将曲线y = f(x)与x轴围成的区域进行划分，然后将每个小区间的面积相加。假设我们将区间[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。那么，每个小区间的面积可以近似表示为Δx乘以f(x)。 通过求和，我们可以得到近似的曲线下面积，即Σ[1, n]Δx * f(x)。当n趋向于无穷大时，这个近似的面积将趋向于确切的面积。因此，我们可以利用不定积分来计算曲线下的确切面积。 题目三：求物体的体积 不定积分还可以应用于求解物体的体积。假设我们需要计算一个旋转体的体积，该旋转体是由曲线y = f(x)绕x轴旋转一周所得。 为了求解这个问题，我们可以使用“圆盘法”或者“柱体法”。以“圆盘法”为例，我们将曲线y = f(x)绕x轴旋转一周得到的旋转体分解为无数个圆盘，每个圆盘的厚度为Δx，半径为f(x)，面积为π * [f(x)]^2。 通过计算每个圆盘的体积并进行求和，我们可以得到旋转体的体积的近似值，即V ≈ Σ[1, n] π * [f(x)]^2 * Δx。当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋向于旋转体的确切体积。因此，我们可以利用不定积分来求解旋转体的确切体积。 结论： 不定积分的应用广泛且重要。通过求解函数的原函数、计算曲线下的面积以及求解物体的体积等问题，不定积分为实际问题的解决提供了有效的工具。我们可以根据具体问题选择合适的方法和公式，利用 不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知⎰+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对⎰+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ⎰ 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+⎰ 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时， 对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+⎰dx x x x )12(3 ++=⎰ c x x x dx x dx x xdx +-+=++=⎰ ⎰⎰22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+⎰dx x dx e x ⎰⎰+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分 1、dx x x ⎰-21 2、dx e e x x ⎰+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积 分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分。 解：1、dx x x ⎰-21c x x d x +--=---=⎰222 1)1(1121 2、dx e e x x ⎰+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=⎰11)1()1(12 例5、计算⎰+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积 分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为⎰udv ；②代公式，⎰udv ⎰-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分⎰vdu 解：⎰+xdx x sin )1(⎰⎰⎰--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ⎰+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos ( 不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰ du υ,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分,)(x f 为无理函数时,常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强,而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来"的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2 ；dx x ⎰ln 1;⎰-x k dx 22sin 1（其中10< 积分法 （凑 微分 法） 第二 类 换元 积 分法 设() x t ϕ =单调、可导且导数不为零，[()]() f t t ϕϕ'有原函数()F t，则 1 ()(())()()(()) f x dx f t t dt F t C F x C ϕϕϕ- ' ==+=+ ⎰⎰ 分部 积分 法 ()()()()()()()() u x v x dx u x dv x u x v x v x du x '==- ⎰⎰⎰ 有理 函数 积分 若有理函数为假分式，则先将其变 为多项式和真分式的和；对真分式 的处理按情况确定。 本章的地位与作在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）⎰2 x dx ２） ⎰ x x dx 2 ３） dx x ⎰-2)2 ( ４） dx x x ⎰ +2 2 1 ５）⎰⋅- ⋅ dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ⎰2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(⎰+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ⎰- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ⎰-3)2 3( ２） ⎰ - 33 2x dx ３） dt t t ⎰sin ４） ⎰ ) ln(ln ln x x x dx ５）⎰ x x dx sin cos６） ⎰- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ⎰ ８） dx x x ⎰ -4 3 1 3 ９） dx x x ⎰3 cos sin 10） dx x x ⎰ - - 2 4 9 1 11）⎰ -1 22x dx 12） dx x ⎰3 cos 13)⎰xdx x3 cos 2 sin 14) ⎰xdx x sec tan3 15) dx x x ⎰ +2 3 916) dx x x ⎰ +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ⎰ -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ⎰ +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ⎰ +2 1 1 ２） dx x ⎰sin ３） dx x x ⎰-4 2 ４） ⎰> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）⎰ +3 2)1 (x dx ６） ⎰ +x dx 2 1 ７）⎰ - +2 1x x dx ８） ⎰ - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ⎰ ２） ⎰xdx arcsin ３）⎰xdx x ln 2 ４） dx x e x ⎰- 2 sin 2 ５）⎰xdx x arctan 2 ６） ⎰xdx x cos 2 ７）⎰xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ⎰ ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ⎰ +3 3 ２）⎰ - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）⎰ +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ⎰ 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+⎰ 思路:分项积分。 解： 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰ ⎰ ★★(9) 思路=？111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解： 715 8 88 .15x dx x C ==+⎰ ⎰ ★★(10) 221 (1)dx x x +⎰ 思路:裂项分项积分。不定积分与定积分部分典型例题
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