解法1
而(x 2 . 2x 1) (x 2 - ,2x 1) = 2(x 2 1)所以
(x 2 - - 2x 1)「；2x ,
—2 2 dx (x - 2x 1)(x 、、2x 1) 2x 4 dx x 1
+ -^arcta nx 2 +c. 解法3
lim 1 arctanf -, x )°一一2 .2x 2、2
2 x
例1 .計算 x
x 4
1 = (x 1
2 、2x 1)(x 2 -,2x 1).
x 2 - 一 2x 1
dx 2 1 dx) 'x 2 + J2x +1 1 ^/2-^r dx) (x 云)2 d . 2x 1) 「T+1 4[ 1 2 ( 02j (x )- 2 2 二 1 d(.2x-1) 一 2 (2x -1)2 1 [a r dx 1 2 1 2 (”2x 1) dx
x 2 . 2x 1
1
=^^arcta n(寸 2x +1) (x£)2 2 x 2 -1 arctan ------ V2x -1
x 2 -1 arctan 八
厂' x 0
-2 2x 1
x 弓
x 二 解法2 当 x = 0.
x d(x-」) x
2 x
,2 2x 2、2
解将被积函数化为简单的部分分式
x 3 2
A B Cx D 1
D = 分解式（*）两边同乘以X ,再令X…,得 1 = A ，C,= C - -1.故有
, dx=f[——B —+Cx + D ]d X (x 1)3(X 2 1)
[ X 1 (X 1)2 X 2 1 ] 1 1 1
1 2 arctan x c. 2(x 1) 2ln (x 2 1) 2
例 3. 求(x 4 1)2(x 4 x 2)dX.
解 令u =X 2,再用部分分式，則
3 B (-1) 2 1 B 2 3 2 2 — (X 1) (X 1) X 1 (X 1) X 1
两边同乘以（X • 1）2，约去x - 1的因子后令
(-1)2 1 2
x 3 2 例 2.求(x 1)2() 1
严 两边同乘以（x 1）2，对
x 求导，再令x — -1，施以 上运算后，右端得A,而左端为 d x 3 2 — 八 一 2 lim [ 2 2 (x 1) x dx (x 1) (x 1) 3 2 2 3 d _x 2. .. 3x (x 1) -2x(x 2) =lim [= x r 1 dx x 2 6 2 2. 4 +1】迥 (x 2 1)2 A =2. 在分解式 (* )中令x =0,得A B D,所以
由拼接法可有
1 x
2 -1 二 —arctan — 2 2x 2、2
0 1 * x 2 -1 —arctan --------
c, x = 0. JI (*)
x 3 2 =2 In x + x =
彳
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1 8 ln (x 8 1) 8 (x 4 1) (x 4 x 1 2)dx du
2 2
2 (u 1)(u u) 2 2 — 2 (u 1) (u u) u u 1 u 1
—C^-D,两边乘以u, 令u —• 0,得A =1.两边乘以u • 1,再令u —•
1, 1
B .两边 2
乘以u,再 令 u —., 0 = A B C,= C
1 .令 u =1 2
(x 4 1) (x 4 x 2)dx du 2 (u 2 1)(u 2 u) 1
1 1 二.[— u 2(u 1)
u 2 1
2]du 」n 2 1. In 2 」n 8 1 2 ln(u 8 … 1. 1 1) arctanu c 4 1 4 1 2 In (x 1) ln(x 1) arcta nx c 4 8 4
1 2 arcta nx c. 4 x 8 (X 2 1)2(X 4 1) 15 x i 8 2
dx = (x 8 1)2 7 1 x 8 1 -1 8 八 2dx 8 8 2 x dx 8—— (x 8 1)2
8 (x 8 1) x 8 1 (x 8
1)2
1
]d(x 8 1) 1 8
8(x 1) c.
优质资料
欢迎下载 例10.
4 1 -t 2 i 竺 1 t 2
「(甘 t 2 1 =—I
nt- 一1 +*ln (t 2 +1) +arctant +c
一1 n(1—sin x) - c. 2 2
X 4 x 2dx 2
1 2 H 2 1 x(2x 2 1) x 2 1 ln 8 8
-2x 2 x 2)dx
----- 1 ■-1 xdx - dx 71 + x
例6
店2冷）2一（1內（/勺=1Ru 2—（1）2du 分部积分 4u 」2t )2 16 1 ln(u u 2 1 2 -(2) ) c 分项
=2 x
5x 2 1/ 例9. 1
In 4 1 -x 1 arctan x c. 2
1 x -1 .1 x
-------- dx .1 x
2 £ i t 2 i~V t i )dt
2 dx 2 dt 」(1+t 2)(1-1) + Px 2 +1 +c.
例11
• 1丄 彳 -arcs in c, x 1 x
arcs in c, x ： -1. x
例 12.求.(x — a)(b - x)dx,其中 a b. 解由配方得
1 1 sin 2x)dx = x cos2x c.
2 4
1 (cosx -sin x)(1 sin 2x)
I -J 5 5 2
1 (cos x-sin x)(1 sin 2x) dx dx d/) 1 si n x 1 -x) cos 2( x
) 4 2 S )c. 2 (x 「a)(b 「x)二 R 「(x a b 2 b _a 人 〒），其中R 二〒，令 xm 专,则有原式 — u =Rsint 2 . i\R 2_u 2du 二 _2 2 . _2 1 cos2t . R cos g R w dt t 1 R R 2 R 2( sin 2t) c t sin tcost c 2 4 2 2 =」(b - a)2
arcs in 4 2x - (a b) b 「a …b ),(x -a)(b -x) c. 4 3 cos x .3 sin x
cosx sin x dx,J dx,
' cosx +sin x (cosx sin x)2
dx dx dt x 、x 2 -1
d-t 2 =-arcsint c
cosx sin x
dx
1 2 3 x
解上面的联立方程可得出I,J. 从而可解出I.(略) 例 15. arcsin
二 arcsin ^-^d (x 1) / 、 2JX r 1 (x 1) arcs in ------- dx 1+x \x 2\i~x f - =(1 x)arcsin 2 , x c.
例17.设f(x)有一个原函数 沁，求.xf (x)dx.(1 si n2x)cos2x 2
dx 」sin 1 sin2x
4 1 2x In (sin 2x 1) c. 3 ]dt
+ ---- 亍—
2(2、x 2 x 1 2x1) c.
1 a dx. 例14.计算I 二 」1+x
1 x -X 」 dx I ‘1 +x
1
2dx - 1 -x x 1 x
x 3dx,令 J x 3dx.可求出 1 x I J=2、3arcta n 2、3(x-」)c, 3 3 2
2 2 1 -X X 「X , dx
I - J 二 」1 +x 3 —dx - 2
x a dx
1 x 3
=ln(x 1) 一1|n(x 3 1) c, 3 分部积分 例16.求I dx t 2 -1 .x 2 x 1 = -x t,= x
,dx = 2 1 +2t
t 2 t 1 (1 2t)2 dt,
例21.
例19.求 sin xdx
3 sin 2 x
d (tan x) 1 2~
cos x d(ta n x)
3 tan 2 x
解用分部积分法有
xf (x)dx 二 xdf (x) = xf (x) - f(x)dx (*)
sin x
丁 ]f(x)dx= --------- +&二 f (x) =[ f f (x)dx]" x
si nx 「 x cosx —si nx
珂 G]二 x
x 2
代入（* ）有
sinx sinx xf(x)dx=cosx G ， x x 2sin x 即 xf (x)dx =cosx c. x 例18. 求 12sinx cosx dx. 5sin x — 2cosx
[5sin x 「2cosx] =5cosx 2sin x.被积函数的 分子是cosx, sin x 的线性组合，故有
12sin x cosx 二 A(5sin x —2cosx) B(5sin x -2cosx) = (5A 2B)sin x (5B -2A)cosx,二 A = 2, B =1. 于是
12sinx cosx , dx 二 5sin x -2cosx =2x +ln 5sin x —2cosx +c. 2(5sinx-2cosx) (5sin x - 2cosx) 5si nx — 2cosx dx sin xdx 2 3 sin x d (cosx) cosxzt 2 — 1 1 1 1 2 -
cosx [- ]dt ln c. 4 t -2 t 2 4 2 cosx
3 1「cos x dx 例20. 『 dx 1 2 cos 2 x 1 — ( —2) cos
2
x cos x =Aarcta n ■■■/ 3 丄+c=丄 、3 、3
tan x
3
例30.
dx
x z sint x J -x 2
=-[arctan x +1n x + 心 - x 2 ] + c. 例24.
、1 x 2dx
J 3 x
x =ta nt 1 x 2 2x 2 c, 例25. dx
e x =t ： 例26. 例27. 例28. 例29. < 2x x e -3e 2
分部积分
arcsin xdx 二
e x -
f x e e x dx
二 cos2xdx
xarcsin x ,1 - x 2 c- e x x e x e (e )dx 匸e c.
1 sin xcosx =ln 1 sin xcosx
_ d(1 sin xcosx)
1 sin xcosx
c (妙用“T) l ：『(x 2 x)e x (x 3x 1)e x dx- [(x 2 x)e e ] =(x 2 3x 1)e 3
二 原式=J J(x 2 +x)e x d[(x 2 +x)e x ]
2 - [(x 2 x)e x ]2 c.
6
x -2 61
“ 3 x"二 3 2 x 3 -6、x 93 x -18 6 x 18In(1 6 x) c. 2 例22.
例23.
2 3-x ： x-1
5 - x •、x -1 dx = =In
5-x -x -1 ；5 —x -2arctan. ------- : c. V x —1
例34.
x 1 1 1 2 dx (arctan-) c. (arctan-) 1 x 2 x
x 例31
2 2 2 2
d (a cos x b sin x) 2 2、a 2 cos 2 x b 2sin 2
x c. b -a 2 2 2 2 2 2 (a cos x b sin x) =(b -a )sin2x.
例32.
1 -In x
. dx (X _ln X)2
x
c
x -1 n x 例33.
当x =0,利用原函数的连续性
arcta n 1
1 x
2 ■ sin 2x _____ dx
x b 2 sin 2
x
b 2 -a 2 a 2 cos 2 x b 2sin 2 x
x 2
=-[ (X _ln X)2
d(7 x 2 1 dx = 1 dx
2 1 X —
x d (x
£)
(x*
2 =$ arcta n 1
x - X
、2
=arcta n x 2 -1 + c. (x = 0)
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例34.xdx
(x21) ‘ 1 - x2
Lln ..2 、1 -
x2
2巨V'2-^-x2
c.
例35. dx
例36. 例37
(1 x2)
x2
2
x c.
-a dx xwsect x2-a
3a2
c. dx x^si nt cost
1,1 1 cost
cost 一cos2
t dt 2 .
1 - cos t arcs in x c.
例38.
dx
例39. 例40. x(x72) (1)7 2
1
(-尹dt
1 , 1 ,
—In 2 +x7+ — ln x
14 2
c.
dx dx
(1 x x2)
tdt
(14t2)
(x 2)
dx 例41.
dx
x(2 x10)
例42.
(1 -x7)dx
x(1 x7)
【a y 3]2
2(2x1)
x9dx
(x2e x) dx =
x -2
x10(2 x10)
讨1nx一
丄ln(x10
20 2)
c.
(1 -x7)x6dx
x7(2 x10)
+c.
二
In
例43.
n 1.
x dx
1 / n
(x -ln n
n n」
x x -. -dx
1 x x n
+1)+c.
1
dx.(令x-1 ，—■
u
2x3 1 (x-1)10°dx
1
99
3
99 —98 33(x -1) 49(x -1)
dx x仝
例45.[—= =…（先约分，分子加一减一）' vX +V x
例46. J ‘x n dx分子分母同乘（J x+1 —J x
例47.
1 sin xdx
. 2 x 2 x x x
|\.si n — +cos —+2s in — cos—dx= ■ ■
L V 2 2 2 2
例48.
dx J —~3~ sin x
sin2 x cos2 x
dx 二cscxdx 亠i cot xcscxdx sin3 x
分部积分
= cscxdx - cot xd(cscx) =
例49.
1
cscx
21
sin x , dx
二 1 s inx
-cotx ----------------- : c.
2 cotxcscx
sin x(1 -s inx)
2 d =
cos x
例50.
: ------------------dx
1 sin x cosx
1 sinx cosx =sinx (1 cosx)
x x 2 x 2 x “丄X、
= 2sin cos 2cos 2cos (1 tan )
2 2 2 2 2 1 sin x cosx
x dx = In 1 +ta
n—
2
1
k)d(x n)
2x3 1
100 例44. (x_1)
x+2s in _ cos^ dx ： 2 2 二
2 cos 2? 2
(分项分部积分)=xta n^+c. 2
d (®U 丽而c. f(lnx)
3 x , f (x) =maX x 3, x 2,1)=』x 2,
1,
Jmax(x 3,x 2,1)dx =卜 x 3 +c 2, x 兰 _1. 利用原函数的连续性，有
1 4 lim (_x G ) = lim^x
C 3);
1 +—— 1 cosx ,
例5.求 dx. 1 +cosx -sinx
x 1 cosx ,
解令tan t,则
dx =
例52. f (ln x )
dx 」(ln x) J f (ln X) 求 x f(lnx)
d(ln x) 3 从而解出 C 3 =C,C | =—+c,c 2 4 ‘1 4 -x 4 1 3 _ __ +c ,x 兰 _1. 3 3 X + C, l x " 故 max(x 3,x 2,1)dx = 2 -c , 3
3 c,x_1
4 2 3 c, x sin x I --------- 1 1 cosx 例51. 例53. 2
求 max( x , x ,1 )dx
3 - x+C 3,|x| <1
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2 T+cosx—s inx
(x72dx「(x
, 1
t t
I _2 t(1 2t)2 dt _2 [t 2(2t 1) 2(2t 1)2=2In x + Jx2 +x +1 _3In 2x +1 + 2Jx2 +x +1
1 3
lim (x Q)二lim (_x g),
x -.4 ' x …
不定积分与定积分部分典型例题 例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 2 1 )(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系. 分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有 )()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可. 解 因为x x x x x F ln 11)ln 1()(+= ? +=' x x x x x x G ln 111ln )(+=+?=' 所以2 )ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数. 且有2 1)(21ln ln 21)ln 1(21)(22 +=++=+=x G x x x x F 说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为 x 21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程. 分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x x f 21)(=的积 分曲线. 解 c x x x x x f y +=== ? ?d 21d )( 且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c 于是所求曲线方程为 1+=x y 例3 判断下列等式是否正确. （1）x x x x d 11d 11d 2 2 -= -? （2）c x x x +-='? cos d )(sin （3）2 1d ln d d e 1=?x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2)dx ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)2 2x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)422 331 1 x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 2 1x dx x +⎰
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ⎰ 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+⎰ 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰ ⎰ ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+⎰ ★★(10) 221 (1)dx x x +⎰ 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21 1 x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x e dx ⎰
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 52 x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 22 23x dx x C -- =-+? ★(2) dx ?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 411 1 333 2223()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-= -+???? ★(3)22x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 53 222223)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+?? ★★(5)422 3311 x x dx x +++? 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 2 2 1x dx x +?思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ?3 4 13 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 3 (1x +?思路:分项积分。 解： 2 23 1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9)思路？111 72 48 8 x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x dx x C == +?
不定积分的例题 以下是一些不定积分的例题： 1. 计算 $\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx$ 解：首先我们可以按照幂函数的积分公式来计算每一项的不定积分： $\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 + C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C_1$ $\int 5x^2 dx = \frac{5}{3}x^3 + C_2$ $\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_3$ $\int 2 dx = 2x + C_4$ 因此，$\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$ 2. 计算 $\int \frac{3}{x} dx$ 解：这是一个倒数函数的不定积分。倒数函数的积分公式为：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 在本题中，我们可以把 3 看作是$\frac{3}{1}$，然后应用常数 倍公式得到： $\int \frac{3}{x} dx = 3\int \frac{1}{x} dx = 3\ln|x| + C = \ln|x^3| + C$ 3. 计算 $\int (2e^x - \sin x) dx$ 解：根据指数函数和三角函数的不定积分公式，我们可以得到：$\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$ $\int \sin x dx = -\cos x + C_2$
因此，$\int (2e^x - \sin x) dx = 2e^x - \cos x + C$ 这些例题可以帮助理解不定积分的概念和计算方法。在实际应用中，不定积分常常用于求解曲线下的面积、求解物理、经济等问题中的累积效应等。
例题1 dx e x x ? +)12( c e e x dx e e x x d e e x de x x x x x x x x +-+=?-+=+-+=+=???2)12(2)12() 12()12()12( 根据分部积分法??-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。 例题2 dx xe x ?- c e xe dx e e xe dx e xe xde x x x x x x x ++-=?+-=--=-=-------???1) ( x e -是一个复合函数，其导数应为1-?-x e 例题3 ?xdx arctan c x x x x d x x x dx x x x x x xd x x ++-=++-=+-?=-?=?? ?)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222 arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。其它的反三角导数是arcsinx ’=211 x -、 arccosx ’=211 x --、arccotx ’=211x +-
例题4 dx x x ?2cos 2sin |cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d x dx x x dx x x x -=-===??? 这里用到二倍角公式，如下： Sin2x=2sinxcosx Cos2x=2cos 2x-1=1-sin 2 x-1 例题5 dx x x ?++2cos 1sin 12 c x x x xdx dx dx x dx x x +-=-=-=-=????2 1tan 2 1sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。 例题6 dx x x ? +32 设t x =+3，则32-=t x
不定积分100题（附答案） 容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设?-= 1 tan cos 2 x x dx I ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221 C x +- 2．设? -= 1 2 x x dx I ，则=I （ ）。 (D).C x +-1arcsin . 3．设?= x dx I sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln 4．设? = ax dx I 2 ,则=I （ ）。 (A). C a x +2; 5．设? ++=dx e e I x x 1 1 3,则=I ( ). (B). C x e e x x ++-22 1 6．设?=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设?=xdx I ln 则（ ） 。(D).C x x x I +-=ln 8．设?= xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 2 9．设 ?=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +- =2cos 4 1 10．设? += 2 1x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln 11．设2 11)(x x f -= ，则的一个原函数=)(x F （ ）。(A). x x -+11ln 2 1 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。(C).?=')())((x f dx x f 13．设?=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+2 1arcsin 14．=+? x x dx sin 2)2sin(( ) （B ） c x x ++ |2 tan |ln 4 12 tan 8 12 15．=-? ) 4(x x dx ( ) （C ）c x +2 arcsin 2 16． =-? dx x x 2 1ln ( ) （B ）c x x +- ln
304 不定积分的典型例题 例1．計算 dx x x ?++1 14 2 解法1 ).12)(12(12 24+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(2 111 2 2 4 2 dx x x dx x x dx x x ???+++ +- = ++ . )]12arctan( )12[arctan(2 11)12( ) 122 11 )12( )12(21) 2 1)22(12 1)2 2(1 [2 12 2 2 2 c x x x x d x x d dx x dx x +++-=++++ +--= + ++ + - = ??? ? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??++ +-+ +- = ++) 12)(12(2)12(1 1 2 2 2 4 2 . arctan 2 1)12arctan(2 11 21 22 4 2 c x x dx x x x x dx ++ += ++ ++=?? 解法3 ? ? ?+ - = + += ++≠2 2 2 2 2 42 1) 1 (111 1 1 , 0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-= +- -= ? 21arctan 2 12 )1() 1(2 2 ,2 221arctan 2 1lim 2 π- =-+ →x x x ,2 221arctan 2 1lim 2 π= -- →x x x 由拼接法可有
305 .0 2221arctan 2 1000,2221arctan 2 1112 2 4 2? ???? ??<+--=>++-=++? x c x x x x c x x dx x x π π 例2.求 .) 1()1(22 2 3 dx x x x ? +++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 ) 1(1 ) 1()1(22 2 2 2 3 ?????+++ ++ += +++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2 )1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11 )1(2)1(2 3 = +-+-= B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26) 1() 2(2)1(3lim ]1 2[lim ) 1()1()1(2 [ lim 2 2 3 22 1 2 3 1 2 2 2 3 1 =∴=+= ++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令 ,+∞→x 得.1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1) 1ln(21 )1(21 1ln 2]1 )1(1[ ) 1()1(22 2 2 2 2 3 c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+- +- +=+++ ++ +=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 4 2 4 dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 ??++= ++) )(1(21 )()1(2 2 2 44 u u u du dx x x x x ,1 1 ) ()1(1 2 2 2 +++ ++ = ++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）⎰2 x dx ２） ⎰ x x dx 2 ３） dx x ⎰-2)2 ( ４） dx x x ⎰ +2 2 1 ５）⎰⋅- ⋅ dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ⎰2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(⎰+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ⎰- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ⎰-3)2 3( ２） ⎰ - 33 2x dx ３） dt t t ⎰sin ４） ⎰ ) ln(ln ln x x x dx ５）⎰ x x dx sin cos６） ⎰- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ⎰ ８） dx x x ⎰ -4 3 1 3 ９） dx x x ⎰3 cos sin 10） dx x x ⎰ - - 2 4 9 1 11）⎰ -1 22x dx 12） dx x ⎰3 cos 13)⎰xdx x3 cos 2 sin 14) ⎰xdx x sec tan3 15) dx x x ⎰ +2 3 916) dx x x ⎰ +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ⎰ -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ⎰ +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ⎰ +2 1 1 ２） dx x ⎰sin ３） dx x x ⎰-4 2 ４） ⎰> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）⎰ +3 2)1 (x dx ６） ⎰ +x dx 2 1 ７）⎰ - +2 1x x dx ８） ⎰ - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ⎰ ２） ⎰xdx arcsin ３）⎰xdx x ln 2 ４） dx x e x ⎰- 2 sin 2 ５）⎰xdx x arctan 2 ６） ⎰xdx x cos 2 ７）⎰xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ⎰ ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ⎰ +3 3 ２）⎰ - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）⎰ +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
例1．dx x x ⎰++1 1 42 例2..)1()1(2 223dx x x x ⎰+++ 例3. .) ()1(2424dx x x x x ⎰ ++ 例4. 828872882815) 1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+ 例5..sin cos 1cos 1dx x x x ⎰ -++ 例6.dx x x 122+⎰ 例8.dx x x dx x ]1111[21112 24++-=-⎰⎰ 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+11 11 例10． ⎰⎰ ⎰---=-+=+) 2 4(cos )24()2 cos( 1sin 12x x d x dx x dx πππ 例 11.c t t dt x x dx t x +=-=-⎰⎰=arcsin 11 2 12 例12． ⎰⎰+=+=,sin cos sin ,sin cos cos 33dx x x x J dx x x x I 例13．.11 3 dx x I ⎰ += 例14．) 1(12arcsin 12arcsin ++=+⎰⎰x d x x dx x x 例15．.1 2 ⎰+++=x x x dx I 例16．.cos 2sin 5cos sin 12dx x x x x ⎰ -+ 例17． .sin 3sin 2 ⎰+x xdx 例18． ⎰ ⎰+=+x x dx x dx 22 2cos )2cos 1 ( cos 21 例19． . )1ln(1818962 32 66332 3 66c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰ (题目只到dx,忽略右上角的东东) 例20．.15arctan 21515ln 153215c x x x x x x dx x x x t x x +-------+-=⋅ ⋅⋅=---=--⎰ 例21．]1ln [arctan 2112sin 2 2x x x x x dx t x t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22． 1 1ln 21211222tan 2 32x x x x x dx x t x t +++-+-=⋅⋅⋅=+=< ⎰ π 例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x x e e dx 2 32 例24．1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分 例25．)(c e dx e e dx e x x x e x e x e +==⎰⎰ + 例26． ”） 妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1) cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰ 例27. .)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰ 例28. 1 )1(arctan .)1(arctan 2111arctan 2 x c x dx x x -='+-=+⎰ 例29 =++-=+⎰⎰x b x a x b x a d a b dx x b x a x 22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin 例30. ) ln ()ln (1) ln (ln 1)ln (ln 12222x x x d x x x dx x x x x x dx x x x ---=--=--⎰⎰⎰
高数不定积分62道经典例题 有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。 首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。 其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题： （1）计算cosx dx （2）计算sinx dx （3）计算2x^2+3x+1dx （4）计算∫ex^2dx （5）计算∫tanxdx （6）计算∫secx dx （7）计算sin(2x)dx （8）计算∫cos2x dx （9）计算∫(x+1)^2dx （10）计算∫e^x dx （11）计算∫cos(2x+1) dx
（13）计算∫e^(-x^2) dx （14）计算∫sin^3xdx （15）计算∫sin2x dx （16）计算∫cotxdx （17）计算∫tan2x dx （18）计算∫3x+2 dx （19）计算∫sin(3x+1)dx （20）计算∫tan^2(x) dx （21）计算∫sec^2x dx （22）计算∫2x+3 dx （23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx （24）计算∫(x+1)^3 dx （25）计算∫cos^2x dx （26）计算∫cos(3x+1) dx （27）计算∫(x+1)(x+2)dx （28）计算∫e^(2x+3)dx （29）计算∫x^3+3x^2+1dx （30）计算∫sin^2(x)dx （31）计算∫cot^2x dx （32）计算∫tan(2x+1) dx （33）计算∫sec(2x+1) dx
第4章不定积分 容概要
解：(2x x 2)dx 2x dx x 2dx 2x In 2 思路:根据不定积分的线性性质, 将被积函数分为两项，分别积分。 解： x(x 3)dx 3 x 2dx 1 x 2dx 1 -dx 1 思路：观察到 3x 4 3x 2 1 2 x 3x 2 -后，根据不定积分的线性性质, 1 将被积函数分项, 3x 2 1 dx 3x 2dx 1 3 dx x arcta n x C 1 x 习题4-1 1•求下列不定积分: 知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分! ★ (1) dx x 2 . x 思路： 1 被积函数 5 X 至， 由积分表中的公式（2）可解。 x , x 解： dx |d 2 dx 2 x 3 3 2 C 2 x . x ★⑵ (皈 A )dx V x 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 ★⑶（2x x ）x 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 ★⑷x(x 3)dx 3x 4 3x 2 2 x 分别积分。 解：(3x 」-)dx V x 1 1 1 x^dx • 4 1 (x 3 X 芳dx x 3dx 2x 2
思路：注意到 1 x 2 X 2 解：一dx 1 x dx 7 x 8，直接积分。 15 C. 2 2 dx x 2 (1 x 2) 1 解：卡一- x 2(1 丁 dx x 2) 1 rv )dx Wdx x —dx x 1 arctan x C. x 1 1 一厶，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项, 1 x 1 dx x arctanx C. 1 x 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 思路:裂项分项积分。 2x e ★ (11)匚 e 分别积分。 / x 1 3 4、 ★⑺ (x- + 3 " -p )dx 2 x x x 思路: 分项积分。 / x 1 3 4、 1 1 解： - + —)dx xdx dx 2 x x x 2 x 1 2 3 2 4 3 x ln |x| x x C. 4 2 3 3 x 3dx 4 x 4dx ★ (8) (宀 思路:分项积分。 )dx 看到 3arctanx 2arcsin x C. ？ 1 1 1 X” 15 8 8 思路 7 x 8 dx ★★ (10)
不定积分100道例题及解答摘要： 一、引言 1.1 积分的概念 1.2 不定积分的概念 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 2.2 不定积分的线性性 2.3 不定积分的连续性 三、不定积分的计算方法 3.1 基本积分公式 3.2 反常积分 3.3 复合函数积分 3.4 隐函数积分 3.5 参数方程积分 四、100 道不定积分例题及解答 4.1 例题1-10 4.2 例题11-20 4.3 例题21-30 ... 4.10 例题91-100 五、结论
5.1 不定积分在实际问题中的应用 5.2 不定积分的技巧和策略 正文： 一、引言 1.1 积分的概念 积分学是微积分学的一个重要分支，它主要研究如何求解一个函数在某一区间上的累积效应。积分可以形象地理解为“求曲边梯形的面积”，即将函数的图像与坐标轴所围成的曲边梯形面积分解为无数个无穷小的矩形，然后求和得到总面积。 1.2 不定积分的概念 不定积分，又称为一元函数的不定积分，是指求解一个函数f(x) 在区间[a, b] 上的原函数F(x)。原函数F(x) 的导数等于原函数f(x)，即F"(x) = f(x)。不定积分的目的是找到一个函数F(x)，使得F"(x) = f(x)，并在给定的区间[a, b] 上求解该函数。 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 根据牛顿- 莱布尼茨公式，几乎所有的连续函数都存在原函数，即具有不定积分。然而，存在一些特殊的函数，例如非连续函数、含有分段的函数等，它们可能没有不定积分。 2.2 不定积分的线性性 不定积分具有线性性，即对于任意的两个函数f(x) 和g(x)，它们的和的不定积分等于各自不定积分的和，即∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)
分部积分法不定积分例题 不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积分来解决。所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。 一、什么是分部积分 分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思想。 二、分部积分法不定积分实例 例1：求下列不定积分： $$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$ 解： 首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和[2.5,3]两段，则可得： $$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5} ^{3}3x^2+2x+1dx$$ 设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：
$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.12 5$$ $$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1 49.0625$$ 则最后，可得： $$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$ 例2：求下列不定积分： $$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$ 解： 同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和[1,4]两段，则可得： $$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{ 1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$ 设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得： $$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$ $$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$ 则最后，可得： $$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$
不定积分例题及答案
★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰ ，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]() d f x dx f x dx =⎰即可。 解：等式两边对x 求导数得： ()()xf x f x =∴= ★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰ 所以()f x 的原函数全体为：112 cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰ （）。 ★4、证明函数21 ,2 x x e e shx 和x e chx 都是 s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。 解： 2x x e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx x = ，()ln ||f x x C ∴=+；又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有 23ln(),1e C C =+∴=，所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+ ★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt ， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3 (3)3 27f ==米； (2)令33360360t t =⇒ 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）3t e dt ⎰思路:凑微分。 解：33311(3)33 t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰
不定积分典型例题 一、直接积分法 H 接积分法是利用基木积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时 往往需对被积甫数进行简单恒等变形，使之逐项能用某本积分公式. 例 1、求 f (1 - A) Jx 石dx 例趴求佚扑 解 原式=j (e 2x - e x 4- l)t£v = j e 2x - e x + x+C 例 3、求[,1 d x J sur xcos - x 解 原式 =( 血 f+c 。] ' dx = [—— dx+[ ——dx = tan x-coxx+C J sin ・xcos ・x J cos~ x J sin* x 例4、 Jc 呻 h" 才亠 r 1 + cosx . x+sinx 小 解原式 ---- )dx = x-aictan x + C 1 + x" 注，本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧. 二、第一类换元积分法(凑微分法) 3 原式=J(F 原式
r 凑成『“(x)厶訂ggx)]0(x)dx 令ea戶“ e 求岀连甌=Jg(")d" =G(”) + C -G[(p(x)]+C 在上述过程屮，关键的一步是从被积函数/(小屮选取适当的部分作为0(x),与办一起凑成卩(x)的微分d(p(x) = d"且J g(u)du易求. 例1、求 J Jcosx 解原式=[S17Y rfr = J COSX A/COSX-d cos x cos xjcosx 例2、求J护gdx J A/X-JT 解原式訂平£・士厶訂护酉(石) Jl-X y/x ^l-(Vx)2 =2| arcsmVxJ(arcsm仮)=(arcsin Jx)2 + C dx=2d(Jx) 例沢求J；&d” 解原式品(“) 2 岭)1 • 2 — arcsm—x+ 2 3 扌E+c
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=⎰一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =⎰、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________; 1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ϕ+++ 13()[()]()()[()]()() ()()() ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______1 1 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+⎰、设则：
不定积分的典型例题 例1．計算 dx x x ⎰++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =⎰⎰⎰⎰ 解法2 dx x x x x x x x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(21121224 2c x x dx x x x x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3 ⎰⎰⎰+-=++=++≠2222242 1)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x
,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <+--=>++-=++⎰x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 223dx x x x ⎰ +++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(22 2223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1()2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=⇒+=C C A 故有 .arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(22 22223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰