不定积分100道例题及解答
摘要：
1.进项税额抵扣概述
2.进项税额抵扣的计算方法
3.进项税额抵扣的实例分析
4.总结
正文：
一、进项税额抵扣概述
进项税额抵扣是指企业在购进货物、劳务、服务等过程中支付的增值税，可以在销售货物、劳务、服务等过程中产生的销项税额中抵扣。这种抵扣机制有助于减轻企业税收负担，促进社会公平竞争，提高资源配置效率。
二、进项税额抵扣的计算方法
进项税额抵扣的计算方法分为以下两步：
1.计算可抵扣进项税额：企业购进货物、劳务、服务等过程中支付的增值税税额，称为进项税额。在一般情况下，企业可以全部抵扣这些进项税额。但需要注意的是，有些项目，如用于非生产性支出、免税项目、简易计税方法项目等，其进项税额不能全部抵扣。
2.计算应抵扣进项税额：企业在销售货物、劳务、服务等过程中产生的销项税额，与可抵扣进项税额相抵消，得到应抵扣进项税额。应抵扣进项税额=销项税额- 进项税额。
三、进项税额抵扣的实例分析
假设一家企业A，在某季度购进货物、劳务、服务等过程中支付的增值税税额为100 万元。该企业在销售货物、劳务、服务等过程中产生的销项税额为120 万元。则该企业的应抵扣进项税额为20 万元（120-100）。这意味着该企业需要向税务部门缴纳的增值税为20 万元。
四、总结
进项税额抵扣是我国税收制度的重要组成部分，有助于减轻企业税收负担，促进社会公平竞争，提高资源配置效率。企业应准确计算进项税额抵扣，
确保税收合规。
不定积分与定积分部分典型例题 例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 2 1 )(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系. 分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有 )()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可. 解 因为x x x x x F ln 11)ln 1()(+= ? +=' x x x x x x G ln 111ln )(+=+?=' 所以2 )ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数. 且有2 1)(21ln ln 21)ln 1(21)(22 +=++=+=x G x x x x F 说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为 x 21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程. 分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x x f 21)(=的积 分曲线. 解 c x x x x x f y +=== ? ?d 21d )( 且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c 于是所求曲线方程为 1+=x y 例3 判断下列等式是否正确. （1）x x x x d 11d 11d 2 2 -= -? （2）c x x x +-='? cos d )(sin （3）2 1d ln d d e 1=?x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2)dx ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)2 2x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)422 331 1 x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 2 1x dx x +⎰
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ⎰ 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+⎰ 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰ ⎰ ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+⎰ ★★(10) 221 (1)dx x x +⎰ 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21 1 x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x e dx ⎰
不定积分的例题 以下是一些不定积分的例题： 1. 计算 $\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx$ 解：首先我们可以按照幂函数的积分公式来计算每一项的不定积分： $\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 + C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C_1$ $\int 5x^2 dx = \frac{5}{3}x^3 + C_2$ $\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_3$ $\int 2 dx = 2x + C_4$ 因此，$\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$ 2. 计算 $\int \frac{3}{x} dx$ 解：这是一个倒数函数的不定积分。倒数函数的积分公式为：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 在本题中，我们可以把 3 看作是$\frac{3}{1}$，然后应用常数 倍公式得到： $\int \frac{3}{x} dx = 3\int \frac{1}{x} dx = 3\ln|x| + C = \ln|x^3| + C$ 3. 计算 $\int (2e^x - \sin x) dx$ 解：根据指数函数和三角函数的不定积分公式，我们可以得到：$\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$ $\int \sin x dx = -\cos x + C_2$
因此，$\int (2e^x - \sin x) dx = 2e^x - \cos x + C$ 这些例题可以帮助理解不定积分的概念和计算方法。在实际应用中，不定积分常常用于求解曲线下的面积、求解物理、经济等问题中的累积效应等。
例题1 dx e x x ? +)12( c e e x dx e e x x d e e x de x x x x x x x x +-+=?-+=+-+=+=???2)12(2)12() 12()12()12( 根据分部积分法??-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。 例题2 dx xe x ?- c e xe dx e e xe dx e xe xde x x x x x x x ++-=?+-=--=-=-------???1) ( x e -是一个复合函数，其导数应为1-?-x e 例题3 ?xdx arctan c x x x x d x x x dx x x x x x xd x x ++-=++-=+-?=-?=?? ?)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222 arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。其它的反三角导数是arcsinx ’=211 x -、 arccosx ’=211 x --、arccotx ’=211x +-
例题4 dx x x ?2cos 2sin |cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d x dx x x dx x x x -=-===??? 这里用到二倍角公式，如下： Sin2x=2sinxcosx Cos2x=2cos 2x-1=1-sin 2 x-1 例题5 dx x x ?++2cos 1sin 12 c x x x xdx dx dx x dx x x +-=-=-=-=????2 1tan 2 1sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。 例题6 dx x x ? +32 设t x =+3，则32-=t x
不定积分100题（附答案） 容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设?-= 1 tan cos 2 x x dx I ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221 C x +- 2．设? -= 1 2 x x dx I ，则=I （ ）。 (D).C x +-1arcsin . 3．设?= x dx I sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln 4．设? = ax dx I 2 ,则=I （ ）。 (A). C a x +2; 5．设? ++=dx e e I x x 1 1 3,则=I ( ). (B). C x e e x x ++-22 1 6．设?=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设?=xdx I ln 则（ ） 。(D).C x x x I +-=ln 8．设?= xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 2 9．设 ?=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +- =2cos 4 1 10．设? += 2 1x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln 11．设2 11)(x x f -= ，则的一个原函数=)(x F （ ）。(A). x x -+11ln 2 1 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。(C).?=')())((x f dx x f 13．设?=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+2 1arcsin 14．=+? x x dx sin 2)2sin(( ) （B ） c x x ++ |2 tan |ln 4 12 tan 8 12 15．=-? ) 4(x x dx ( ) （C ）c x +2 arcsin 2 16． =-? dx x x 2 1ln ( ) （B ）c x x +- ln
不定积分例题及参考答案第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C - -==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422331 1 x x dx x +++?
思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★(9) 思路=？111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解： 715 8 88 .15 x dx x C ==+? ?
304 不定积分的典型例题 例1．計算 dx x x ?++1 14 2 解法1 ).12)(12(12 24+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(2 111 2 2 4 2 dx x x dx x x dx x x ???+++ +- = ++ . )]12arctan( )12[arctan(2 11)12( ) 122 11 )12( )12(21) 2 1)22(12 1)2 2(1 [2 12 2 2 2 c x x x x d x x d dx x dx x +++-=++++ +--= + ++ + - = ??? ? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??++ +-+ +- = ++) 12)(12(2)12(1 1 2 2 2 4 2 . arctan 2 1)12arctan(2 11 21 22 4 2 c x x dx x x x x dx ++ += ++ ++=?? 解法3 ? ? ?+ - = + += ++≠2 2 2 2 2 42 1) 1 (111 1 1 , 0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-= +- -= ? 21arctan 2 12 )1() 1(2 2 ,2 221arctan 2 1lim 2 π- =-+ →x x x ,2 221arctan 2 1lim 2 π= -- →x x x 由拼接法可有
305 .0 2221arctan 2 1000,2221arctan 2 1112 2 4 2? ???? ??<+--=>++-=++? x c x x x x c x x dx x x π π 例2.求 .) 1()1(22 2 3 dx x x x ? +++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 ) 1(1 ) 1()1(22 2 2 2 3 ?????+++ ++ += +++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2 )1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11 )1(2)1(2 3 = +-+-= B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26) 1() 2(2)1(3lim ]1 2[lim ) 1()1()1(2 [ lim 2 2 3 22 1 2 3 1 2 2 2 3 1 =∴=+= ++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令 ,+∞→x 得.1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1) 1ln(21 )1(21 1ln 2]1 )1(1[ ) 1()1(22 2 2 2 2 3 c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+- +- +=+++ ++ +=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 4 2 4 dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 ??++= ++) )(1(21 )()1(2 2 2 44 u u u du dx x x x x ,1 1 ) ()1(1 2 2 2 +++ ++ = ++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全) 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设，，若存在函数，使得对任意均有或，则称为的一个原函数。 的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。 性质性质1：或；性质2：或；性质3：，为非零常数。 计算方法 第一换元积分法（凑微分法）设的原函数为，可导，则有换元公式： 第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，则分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程
度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-1 1、求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解：★(2) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：★(3) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：★(4) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：★★(5) 思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：★★(6) 思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
不定积分例题及答案
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 2 x x 思路: 被积函数 52 2x x x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 222 23x dx x C x x -- =-+⎰ ★(2) 3 ( x dx x ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 4 11 1 333 2223()()24 dx x x dx x dx x dx x x C x - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰3 x ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 5 3 22222(3)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰x ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 4 1 3 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 2 3 ()11x x +-⎰思路:分项积分。 解： 2 22 23 1()323arctan 2arcsin .1111dx dx x x C x x x x =-=-+++--⎰⎰ ★★(9)x x x dx 思路x x x 111 7 2 48 8x x x x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x x x dx x dx x C == +⎰
不定积分100道例题及解答摘要： 一、引言 1.1 积分的概念 1.2 不定积分的概念 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 2.2 不定积分的线性性 2.3 不定积分的连续性 三、不定积分的计算方法 3.1 基本积分公式 3.2 反常积分 3.3 复合函数积分 3.4 隐函数积分 3.5 参数方程积分 四、100 道不定积分例题及解答 4.1 例题1-10 4.2 例题11-20 4.3 例题21-30 ... 4.10 例题91-100 五、结论
5.1 不定积分在实际问题中的应用 5.2 不定积分的技巧和策略 正文： 一、引言 1.1 积分的概念 积分学是微积分学的一个重要分支，它主要研究如何求解一个函数在某一区间上的累积效应。积分可以形象地理解为“求曲边梯形的面积”，即将函数的图像与坐标轴所围成的曲边梯形面积分解为无数个无穷小的矩形，然后求和得到总面积。 1.2 不定积分的概念 不定积分，又称为一元函数的不定积分，是指求解一个函数f(x) 在区间[a, b] 上的原函数F(x)。原函数F(x) 的导数等于原函数f(x)，即F"(x) = f(x)。不定积分的目的是找到一个函数F(x)，使得F"(x) = f(x)，并在给定的区间[a, b] 上求解该函数。 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 根据牛顿- 莱布尼茨公式，几乎所有的连续函数都存在原函数，即具有不定积分。然而，存在一些特殊的函数，例如非连续函数、含有分段的函数等，它们可能没有不定积分。 2.2 不定积分的线性性 不定积分具有线性性，即对于任意的两个函数f(x) 和g(x)，它们的和的不定积分等于各自不定积分的和，即∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)
不定积分例题及答案LT
★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰ ，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]() d f x dx f x dx =⎰即可。 解：等式两边对x 求导数得： 2 2 ()()11xf x f x x x x =∴=-- ★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰ 所以()f x 的原函数全体为：112 cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰ （）。 ★4、证明函数21 ,2 x x e e shx 和x e chx 都是 s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。 解： 2x x e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx x = ，()ln ||f x x C ∴=+；又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有 23ln(),1e C C =+∴=，所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+ ★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt ， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3 (3)3 27f ==米； (2)令33360360t t =⇒ 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）3t e dt ⎰思路:凑微分。 解：33311(3)33 t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰
不定积分-定积分复习题及答案
求3 1 (2)f x dx -⎰ 5、1 20 ln(1 ) (2) x dx x +-⎰ 6、计算1 1 x x +∞-⎰ 7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1 2 ,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的 切线，其交点为(2,4)。设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分3 20 ()()x x f x dx '''+⎰。 四、解答题（本题10分） 设()f x 连续，10 ()()x f xt dt ϕ=⎰，且0 ()lim x f x A x →=（A 为常 数），求()x ϕ'，并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。 五、应用题（本题6分） 设曲线方程为(0) x y e x -=≥，把曲线,x y e x -=轴、y 轴 和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足 1 ()lim ()2V a V ξξ→+∞ = 的a 值。 六、证明题（6分） 设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式 ()()2 b b a a a b xf x dx f x dx +≥ ⎰ ⎰。
不定积分、定积分 测验卷 答案 一． 选择题：（每小格3分，共30分） 1、（A ） 3sin ax C a x +； 2、（C ） ,0 ()2,0 x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩； 3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导； 4、（C ）1； 5、（B ）2 13 s s s <<。 二、填空题：（每小格3分，共30分） 1、一个导函数是2()4x f x e -'=。 2、10 3(2)4 xf x dx '=⎰。 3、2 1()(ln )2f x x =。 4、单调减少区间为1 (0,)4 。 5、13 。 三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分） 1、解：222(1)12 ()ln 2arctan (1)1x dx dx x x c x x x x +=+=++++⎰⎰ 2、解： 2 2 2 tan (sec 1)tan tan tan 2 x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰ 2 tan ln cos 2 x x x x c =+-+ 3、解：被积函数 1,10()1,0t t f t t t +-≤<⎧=⎨ -≤<+∞ ⎩， 当10x -≤<时，原式211 (1)(1)2 x t dt x -=+=+⎰； 当0x ≥时，原式0 2101 (1)(1)1(1)2 x t dt t dt x -=++-=--⎰⎰。 4、解：2310 1 2 1 1 1 71(2)()(1)3x t t f x dx f t dt t dt e dt e -=----====++= -⎰ ⎰⎰⎰。
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分：
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 ★(1) x~x 思路 : 被积函数 5 2 ，由积分表中的公式（2）可解。 解： dx x 2 x 5 x 2dx |x 2 C ★⑵(? x 1 、& ) dx _. 1 解：(Vx -^)dx V x 1 1 (x 3 x 2 )dx 1 x 3dx 1 x 2dx 1 2x" C ★⑶(2x x 2)dx 思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。 2x 解：(2x X 2)dx 2x dx x 2 dx R 1x 3 C 3 ★⑷.x(x 3)dx 思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。 解：\X(x 3)dx 3 x 2dx 3 1 x 2 dx 5 3 x 2 2x" C 4 2 思路 : 观察到3x 一尹 — x 1 3x 2 -后，根据不定积分的线性性质, 1 将被积函数分项，分别积分。 解： c 4 3x 3x 1 , dx x 2 1 3x 2 dx - dx x 3 arcta nx C 1 x 2
思路:注意到 x2 1 x2 x2 1 1 1 x2 ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 x 2 x 解：2dx 1 x dx 2dx 1 x arcta n x C. 注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致 的。 一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个 整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积 分。 ★⑺(|-1+^3-4T)dx 2 x x x 思路:分项积 分。 4 )dx x xdx 3 x 3dx 4 x 4dx L dx x2 思路:分项积 分。 「1『）dx x2 1 1 x2 dx 1 dx 3arctanx 2arcsin x C. x2 ★★ (9) x x . x dx 思路x x x ？看到 1 x2，直接积 分。 解：.x x xdx 7 x8dx 15 C. ★★ (10) —1厂dx x (1 x ) 思路:裂项分项积 分。 解： 1 x2(1 dx x ) Adx x 1 arcta nx C. x ★ (11) 解 ： (eL^eL^x (e x 1)dx x C.
第4章不定积分 习题4—1
1. 求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习一求不定积分的基本方法. 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分! 思路：被积函数-4-= = X ~9由积分表中的公式(2)可解。 )clx 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分. ★ (3) J(2V +X 2U V 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 ★ (4) JVx(x-y )dx 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 _ 3 解：［>/x (x - 3)dx = j x 2dx-3 3 / 3 】 ] i 思路：观察到 一一 ------------ = 3X 2+—一后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项, 旷 + 1 JT + 1 分别积分。 解：『 _= r 3/认 + f — lx = x 3 + arctan x + C J x 2 +1 」 J \ + x 2 ★★⑹ J —?/ 解：J(2" + x 2)cix = J 2x dx + J x 2 dx = r h?2 J X \/X = _X 2_2X 2+C ★★(5) J 3x 4 +3^+1 ~x 2 +l- 了- I•- I 1 __ 1 思路：注意到一^= --------------- =1-——,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项, 1 + JC 1 + JC 1 + X 「 分别积分。 Z ] 解：| ------- dx = ----- lx = x- arctan x + C. J 1 + x 2 」J 1 + x- 注：容易看出(5) (6)两题的解題思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分 式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 」2 x x 3 x 1 思路：分项积分。 _ 丄 加=* J xdx - j -L/r + 3j x~3dx - 4 J l x 2_ln|x|_3<2 + 4 2 ★⑻心护 思路：分项积分. 解:J JxJjCy/^dx = J X s dx =善X s + C. ★★ (10) f —~~!__ clx J x 2(l + x 2) 思路：裂项分项积分。 : f —z ------ :―clx = |* (-z~ — --- )clx = f —— dx — f -- clx = — — — arctan x + C. J x 2(l+x 2) J x 2 1 + x 2 J x 2 J \ + x 2 X ★⑴)忙^ 解：J ： + D 必=J @ +1 冶=/ + x+c. ★★(12) jVe x dx x^dx 解: J 1 + JT .)clx = 3(—dx — l\ VT7 Ji+Q 」 ■ P 「dx = 3 arctan x — 2 arcsin x + C. J\_x ★★(9〉 xdx 思路: =?看到 £ I 1 =x rr « = ,直接积分. 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 第4章不定积分 习题4-1 ： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的根本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和根本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ⎰ 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式〔2〕可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★(5)422331 1x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 52 x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★(2) dx ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 411 1 333 2223()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 53 222223)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰ ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 413 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 3 (1dx x +⎰思路:分项积分。 解： 2 23 1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★(9)思路？111 7 2 48 8x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x dx x C == +⎰高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
高等数学不定积分例的题目、思路和答案(超全)
不定积分例题及答案
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