高中一年级数学必修5数列经典例题（裂项相消法）
2．（2014?模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．
故数列{a n}的通项式为a n=．
（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，
∴数列{}的前n项和为﹣．
7．（2013?）正项数列{a n}满足﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，
可有（a n﹣2n）（a n+1）=0
∴a n=2n．
（2）∵a n=2n，b n=，
∴b n=
=
=，
T n=
=
=．
数列{b n}的前n项和T n为．
6．（2013?）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，
a2n=2a n+1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．
解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，
解有a1=1，d=2．
∴a n=2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．
∴=，n∈N*
由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．
∴b n=，n∈N*．
又T n=+++…+，
∴T n=++…++，
两式相减有：T n=+（++…+）﹣
=﹣﹣
∴T n=3﹣．
28．（2010?）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a3=7，a5+a7=26，
∴有，
解有a1=3，d=2，
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；
S n==n2+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，
∴b n====，
∴T n===，
即数列{b n}的前n项和T n=．
25．（2008?）在数列{a n}中，a1=1，．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；
（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．
解：（Ⅰ）由条件有，又n=1时，，
故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．
（Ⅱ）由有，，两式相减，有：，∴．
（Ⅲ）由有．
∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．
3．（2010?）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
解：（1）设{a n}的公差为d，
由已知有
解有a1=3，d=﹣1
故a n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
（2）由（1）的解答有，b n=n?q n﹣1，于是
S n=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?q n﹣1．
若q≠1，将上式两边同乘以q，有
qS n=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?q n．
上面两式相减，有
（q﹣1）S n=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）
=nq n﹣
于是S n=
若q=1，则S n=1+2+3+…+n=
∴，S n=．
4．（2010?）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、
n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；
（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；
（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．
解：（1）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6
再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有
a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8 即b n+1﹣b n=8
∴{b n}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列
则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可有
a n=﹣（n﹣1）2．
∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c n=2nq n﹣1．
当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，S n=2?q0+4?q1+6?q2+…+2n?q n﹣1．
两边同乘以q，可有
qS n=2?q1+4?q2+6?q3+…+2n?q n．
上述两式相减，有
（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n
=2?﹣2nq n
=2?
∴S n=2?
综上所述，S n=．
16．（2009?）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
则依题意可知d＞0由a2+a7=16，
有，2a1+7d=16①
由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55②
由①②联立方程求，有
d=2，a1=1/d=﹣2，a1=（排除）
∴a n=1+（n﹣1）?2=2n﹣1
（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n
a n+1=c1+c2+…+c n+1
两式相减，有
a n+1﹣a n=c n+1，由（1）有a1=1，a n+1﹣a n=2
∴c n+1=2，即c n=2（n≥2），
即当n≥2时，
b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++=Λ求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++Λ求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
数列专项之求和-4 〔一〕等差等比数列前n 项求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n n 项求和 ② 数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 为等比数列,则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列 {}n n a b ⋅的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23.求和：1 32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2 2,,26,24, 232n n 前n 项的和. 一般地,当数列的通项12()() n c a an b an b = ++12(,,,a b b c 为常数）时,往往可将n a 变 成两项的差,采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设1 2 n a an b an b λ λ = - ++,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -,从而可得 常见的拆项公式有： ① 111(1)1n n n n =-++；② 1111 ();(21)(21)2212 1 n n n n =- -+-+ ③ 1a b =--④11;m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+-⑥ ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n
数列求和裂项相消法例题 摘要： 1.引言：裂项相消法求和 2.裂项相消法的基本原理 3.裂项相消法在数列求和中的应用 4.裂项相消法求和的例题解析 5.结论：裂项相消法的优点和局限性 正文： 一、引言：裂项相消法求和 数列求和是数学中一个重要的研究领域，它是指将一个数列按照一定规则进行求和。在数列求和中，裂项相消法是一种常用的求和方法，它通过将数列中的项进行裂项处理，再利用相消法进行求和，从而简化求和过程。本文将介绍裂项相消法的基本原理，以及它在数列求和中的应用。 二、裂项相消法的基本原理 裂项相消法的基本原理是将数列中的项进行裂项处理，使得相邻的项可以相互抵消，从而简化求和过程。具体来说，对于一个数列a1, a2, a3,..., an，我们可以将其拆分为两个数列，如： a1 + a2 + a3 +...+ an = (a1 + a2) + (a2 + a3) + (a3 + a4) +...+ (an-1 + an) 在这个过程中，我们可以发现，每个括号内的两项之和等于下一项，即：a1 + a2 = a2 + a3 a2 + a3 = a3 + a4
... an-1 + an = an + a1 通过这样的裂项处理，我们可以将原数列中的项相互抵消，从而得到一个新的数列，其求和过程更加简单。 三、裂项相消法在数列求和中的应用 裂项相消法在数列求和中的应用非常广泛，它可以用于各种类型的数列求和。下面我们通过一个具体的例题，来看一下裂项相消法在数列求和中的应用。 例题：求和数列1, 2, 4, 7, 11,... 这个数列的通项公式为：an = (n - 1) * n，其中n 表示项的位置。 我们可以使用裂项相消法来求解这个数列的和。首先，我们将数列进行裂项处理，得到： 1 = 0 + 1 2 = 1 + 1 4 = 2 + 2 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 接下来，我们可以将相邻的项进行相消，得到： 1 + 2 = 3 2 + 4 = 6 3 + 7 = 10 4 + 11 = 15
微专题1 裂项相消法 题型1 等差型数列求和 d N n d a b b a d b a c n n n n n n n ,,,1111* ∈=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-== 为常数。 例1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 5＝25，S 5＝55. (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设a n b n ＝ 1 31 -n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。 方法总结： 1.定义：如果一个数列的通项为“分式或根式”的形式，且能拆成结构相同的两式之差，通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩首尾有限项的求和方法叫做裂项相消法． 2.适用数列：d N n d a b b a d b a c n n n n n n n ,,,1111* ∈=-⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-== 为常数。 3.常见的裂项技巧： (1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1，特别地，当k ＝1时， 11 1)1(1+-=+n n n n ； (2) ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+--=+-= -12112121)12)(12(11 412n n n n n ； (3)() ()⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡+-=++222 22114121n n n n n 。
1.在等比数列{b n }中，已知b 1＋b 2＝ 43，且b 2＋b 3＝8 3. (1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 若数列⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n a n 是首项为b 1，公差为b 2的等差数列，求数列⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和． 题型2 “无理型”数列求和： ( ) n k n k n k n -+= ++1 1。 例2.若数列{a n }满足a 1＝1，22 +n a ＝a n ＋1(n ∈N * )． (1)求证：数列{a n 2}是等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若1 2 ++=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项和． 方法总结： 含有无理式常见的裂项有： (1) ( ) n k n k n k n -+= ++1 1。(2) 1 1 111+- =⋅+-+n n n n n n 等． 在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
数列裂项相消求和的典型题型 1.已知等差数列｛〜｝的前〃项和为=5,比=15,则数列｛一1_｝的前100项和为() A 122 R 99_ _99_ 101 101 °- 101 5 100 5 100 1 9 2.数列© =--------- ，其前〃项之和为一，则在平而直角坐标系中，直线⑺+ l)x + y + 〃 = 0在y轴上的截距 n(n +1) 10 为() A. 一 10 B. 一 9 C. 10 D. 9 3.等比数列｛©｝的各项均为正数，且2®+3色=1卫；=9°2心・ (【)求数列｛©｝的通项公式; (II )设b n = log3Cl｛ + k)g3色+…+ bg3 a n，求数列｛丄｝的前〃项和. 4.正项数列K)满足盗-(2/1 - 1)勺,一 2〃 = 0 . (I)求数列｛心｝的通项公式心； (II)令» = —!一.求数列｛仇｝的前舁项和T n・ ⑺+ 1心 5.设等差数列｛“”｝的前"项和为S”，且S4=4S2y a2…=2a…+l. (I)求数列｛"”｝的通项公式： (II)设数列｛化｝满足久+冬+…+如=1 一丄心“,求｛乞｝的前〃项和7；・ ⑷心 5 2 6.已知等差数列仗”｝满足:a3 = 7,心+"? = 26 . ｛%｝的前"项和为S”. (I)求心及九； (II)令仇=-4—(”已N、求数列｛化｝的前〃项和T n・ 听-1 7-在数列｛"”｝中S =1，2冇=(1 +丄)Z「 n (I)求仗”｝的通项公式; (II)令饥=一丄為,求数列｛乞｝的前"项和s n； (Ill)求数列｛%｝的前”项和T”. 2
8.已知等差数列也”｝的前3项和为6,前8项和为-4. (I)求数列｛①｝的通项公式; (II)设® =(4-a…)q n-1 (少0,"矿),求数列心｝的前"项和S” . 9.已知数列｛““｝满足a｝= 0,“2 = 2,且对e N"都有a lm_｝ + a2n_｛ = + 2(/?/ -n)2. (I )求a3i a s； (II)设S gNj,证明:｛b n｝是等差数列; (III)设c” =(“加一(g H 0丿 w AT),求数列｛c“｝的前”项和S“ . 10.已知数列｛%｝是一个公差大于0的等差数列,且满足勺他=55卫2+勺=16. (I)求数列｛"”｝的通项公式： (II)数列仏”｝和数列[b n｝满足等式①=如+早+二+…+工⑺已M),求数列｛乞｝的前"项和S…. 2 2 2 2 11.已知等差数列｛%｝的公差为2,前”项和为且成等比数列. (1)求数列｛©｝的通项公式： ⑵令b2 = (一1)心—^―,求数列｛"｝的前n项和T n・ 12.正项数列｛叫｝的前”项和S”满足:S；-(n2+n-l)S n-(n2 +n) = 0. (1)求数列｛©｝的通项公式心； (2)令化= 〃 + ]…数列｛化｝的前舁项和为人，证明：对于V/ze/V\都有7；, < —・ ⑺+ 2)564 答案： 1. A； 2・ B 3.解：(I )设数列｛an｝的公比为q,由a32=9a2a()有.“丄丄 9 由条件可知各项均为正数，故q」. 3 由 2ai+3a2=l 有 2ai+3aiq=l, .*.ai=-|. 故数列&｝的通项式为亦丄.
2．（2014•成都模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和． 解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=． 故数列{a n}的通项式为a n=． （Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣， 故=﹣=﹣2（﹣） 则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣， ∴数列{}的前n项和为﹣． 7．（2013•江西）正项数列{a n}满足﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0． （1）求数列{a n}的通项公式a n； （2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n． 解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0， 可有（a n﹣2n）（a n+1）=0 ∴a n=2n． （2）∵a n=2n，b n=， ∴b n= =
=， T n= = =． 数列{b n}的前n项和T n为． 6．（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有： ， 解有a1=1，d=2． ∴a n=2n﹣1，n∈N*． （Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有： 当n=1时，=， 当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合． ∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*． ∴b n=，n∈N*．
(n)令 b n a n 1 5.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4 4s 2,a 2n 2a n 1. (I )求数列｛a n ｝的通项公式; (n )设数列｛b n ｝满足—丝 a 1 a 2 b n a n , 1 …, * 1 —,n N ，求｛b n ｝的刖n 项和T n. 2 6.已知等差数列｛a n ｝满足：a 3 7,a 5 a 7 26 . ｛a n ｝的前n 项和为S n . (I )求 a n 及 S n ； 人. 1 , ..*、 ............. .... .. (n)令b n ——(n N ),求数列｛b n ｝的前n 项和T n. a n 1 1 2 7 •在数列｛a n ｝中，a 1 1,2a n 1 (1 一)a n - 数列裂项相消求和的典型题型 1 1.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,a 5 5,S 5 15,贝U 数列J ｛ -------- ｝的前100项和为( ) a n a n 1 100 99 99 101 A •而 B 101 C 100 D 100 1 ..一 一 一 . 9 2 .数列a n -------------- ,其刖n 项之和为 一，则在平面直角坐标系中，直线 (n 1)x y n 0在y 轴上的截距 n(n 1) 10 为() A. — 10 B. — 9 C. 10 D. 9 3 .等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a l 3a 2 1,a 2 9a 2a 6. (I )求数列｛a n ｝的通项公式； 1 ... ...... (n)设 b n log 3 a l log 3 a 2 log 3 a n ,求数列｛一｝的刖门项和. b n 4 .正项数列｛a n ｝满足 a 2 (2n 1)a n 2n 0. (I )求数列｛a n ｝的通项公式a n ； (1) (n )令b n -------------- ,求数列｛ b n ｝的刖n 项和T n . (n 1)a n
数列裂项相消求和的典型题型 1．等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 那么数列}1{ 1+n n a a 的前100项和为() A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9那么在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为() A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 {n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,21 1*22 11 N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11 *2N n a b n n ∈- =求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 211)1 1(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。 （1）若是{a n }等差数列，则)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)11.(2112 2n ++-=n n n a a d a a （2）1 1111+-=+n n n n ）（ （3） )11(1)(1k n n k k n n +-=+ （4）)1 21121(2112)121+--=+-n n n n ）（（ （5）]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++111 （7）)(11 n k n k k n n -+= ++ 1.已知数列的前n 项和为， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n 项和为．
[解析] (1) ……………① 时, ……………② ①②得: 即……………………………………3分 在①中令, 有, 即，……………………………………5分 故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值； （Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴=．…………………………………………6分 ∴ T n=