六、数列（必修五）
1.（东城期末1）在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，
则7a 的值为（ A ） A ．64- B ．64 C ．48- D ．48
考点：等比数列的通项公式及推广形式 11-=n n q a a （0,1≠q a ）；m n m n q a a -=。
略解：-642-8q a a 3
347=⨯
==）（
2．（丰台期末6）互不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，又x 是 a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x 2、b 2、y 2三个数（ A ）
(A)成等差数列，非等比数列 (B)成等比数列，非等差数列
(C)既是等差数列，又是等比数列 (D)既不成等差数列，又不成等比数列 考点：等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2
等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2 i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac
b =、b 、
c 等比数列.
ii. ac b =（ac ＞0）为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac 为a 、b 、c 等比数列的充要.
若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
略解：解法1 取特殊值法 令6y 4,b 2,x 3c 2,b 1,a 222===⇒===。 解法2 b)-b(c b -bc b -y b),-b(a ab -b x -b 222222====
⇒=b -c b -a 2222b -y x -b =，故x 2、b 2、y 2
三个数成等差数列。
若x 2、b 2、y 2三个数成等比数列，则
c a ac )2
c a (
ac b bc ab b y x b 2
24224=⇒=+⇒=⇒∙=⇒=与题意矛盾。故选A 方法与技巧：含字母较的题，可考虑取特殊值法处理。
3.（延庆期末2）在等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为9，则
=++543a a a ( C )
A.9
B.36
C.9或36
D.36或84
略解：设公比为q,则1-2q 02-q q 93q 3q 322或=⇒=+⇒=++
369)a a (a q 3212543或=++=++∴a a a 。
特别提醒：
23
215
43q a a a =++++a a a
4.（昌平期末5）数列{n a }的前n 项和223(N*)n S n n n =-∈，则4a =( A ) A. 11 B. 15 C. 17 D.20
5．（石景山期末13）已知函数()31
x
f x x =
+， 对于数列{}n a 有1()n n a f a -= （n N *∈，且2n ≥），如果11a =，那么2a = ，n a = ．
14，132
n a n =-（n N *∈）
6．（西城期末14）无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公 差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题； ①对任意满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②对任意满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项； ③存在满足条件的数列}{n a ，使得对任意的n ∈N *，n a S S 42=成立。 其中正确命题为 。（写出所有正确命题的序号）①③
7．（海淀期末14）考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：
① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1
n n
a n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，
212
n n
n a a a +++≤都成立”的数列有（写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，
2058a =，则10a 的最小值为 .②③;28
8.（昌平期末14）把数列1
{
}21
n -（*N n ∈）的所有项按照从大到小的原则写成如右图所示的数表，其中的 第k 行有12k -个数，第
k 行的第s 个数(从左数起)记为(,)A k s ，则(5,12)A 表示的数是
___;12009这个数可记为A(_____).1
53
；（10，494）
9.（东城期末20）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =(3)a >，
13n n n a S +=+，*n
∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若2
3log 13
n
n b c a =+-*()n ∈N ，证明对任意的*n ∈N ，不等式 12
111
(1)(1+)(1+
)n
c c c +
⋅⋅>
（Ⅰ）解：依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．
因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．…5分
（Ⅱ）证明：由已知1
2
2(3)23log 13log 1323(3)
n n n b a c n a a --=+=+=---， 则11
1132
n c n +
=+-，所以 12
1111
1
(1)(1+)(1+
)(11)(1)(1)4
32
n c c c n +
⋅⋅=++⋅⋅+
-.…7分 下面用数学归纳法证明不等式
312
1111
1
(1)(1+)(1+
)(11)(1)(1)3
4
32
n n c c c n
+
⋅⋅=++⋅⋅+
>-. ①当1n =时,左边=2,右边,因为2>所以不等式成立.8分 ②假设当n k =时不等式成立,即
312
1111
1
(1)(1+)(1+
)(11)(1)(1)34
32
k k c c c k +
⋅⋅=++⋅⋅+
>-. 则当1n k =+时,左边 =1
2
11111111
(1)(1+
)(1+
)(1)
(11)(1)(1)[1]4
323(1)2
k k c c c c k k ++
⋅⋅+=++⋅⋅+
+-+-
1[1]3(1)2k >++
-32
()31k k +=+=11分 >成立， 只需证
3
2
(32)34(31)k k k +>++成立， 由于2(31)0k +>，
只需证32(32)(34)(31)k k k +>++成立，
只需证323227543682754274k k k k k k +++>+++成立， 只需证940k +>成立，
由于*k ∈N ，所以940k +>成立． 即1
2
1
1111(1)(1+
)(1+
)(1)k k
c c c c ++⋅⋅+ 1
11
(11)(1)(1)[1]4323(1)2
k k =++⋅
⋅+
+>-+-. 所以当1n k =+时,不等式也成立.
由①，②可得不等式恒成立. ………14分
10．（西城期末17）已知数列}{n a 的前n 项和)(*2N n n S n ∈=，数列}{n b 为等比数列，且满足11a b =，432b b = （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和。
解：（1）由已知2n S n =，得111==S a 1分 当n ≥2时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n 3分 所以)(12*N n n a n ∈-= 5分 由已知，111==a b
设等比数列}{n b 的公比为q ，由432b b =得322q q =，所以2=q 7分 所以12-=n n b 8分
（2）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ， 则122)12(...252311-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T ，
n n n T 2)12(...252321232⋅-++⨯+⨯+⨯=，
两式相减得n n n n T 2)12(22...22221112⋅--⨯++⨯+⨯+⨯=-- 10分
n n n 2)12()2...22(2112⋅--++++=- n n n 2)12()12(411⋅---+=- 11分 32)32(-⋅--=n n 12分
所以32)32(+-=n n n T 13分
11．（调研20）数列{}n a 满足：2
133n n n a a a +=-，1,2,3,n =.
（Ⅰ）若数列{}n a 为常数列，求1a 的值；
（Ⅱ）若112a =，求证：22334
n a <≤ (1,2,3,n =.)； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列2{}n a 单调递减. 解：（Ⅰ）当数列{}n a 为常数列时，1n n a a +==1a ， 由条件得11(32)0a a -=， 解得10a =或123
a =． （Ⅱ）用数学归纳法证明22334
n a <≤. ① 当1n =时，234
a =，符合上式. ② 假设当(1)n k k =≥时，2233
4
k a <≤， 因为 22
33
4
k a <≤， 所以
2
229233163k k a a ≤-<，即2192163
k a +≤<. 从而2
21212
189333
256k k a a ++<-≤
，即222189
3256
k a +<≤. 因为
18932564<，所以，当1n k =+时，2223
34
k a +<≤成立.
由①，②知，22
334
n a <≤.
（Ⅲ）因为 22222222222222223(33)3(33)n n n n n n n a a a a a a a -------=----
432
222222222754368n n n n a a a a ----=-+-+(2n ≥)，
所以只要证明432
2222222227543680n n n n a a a a -----+-+<.
由（Ⅱ）可知，220n a ->，
所以只要证明3222222227543680n n n a a a ----+-+<，
即只要证明3222222227543680n n n a a a ----+->.
令32()2754368f x x x x =-+-，
222'()273542369(9124)9(32)0f x x x x x x =⨯-⨯+=-+=-≥，
所以函数()f x 在R 上单调递增. 因为222
334
n a -<≤，
所以222()()03
n f a f ->=，即3222222227543680n n n a a a ----+->成立.
故222n n a a -<. 所以数列2{}n a 单调递减.
12.（崇文期末20）已知)(x f 为二次函数，不等式02)(<+x f 的解集为1
(1,
)3
-，且对任意α，β∈R 恒有(sin )0f α≤，(2cos )0f β+≥.数列}{n a 满足11a =，1131()()
n n a n f a *+=-
∈'Ν
（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）设n
n a b 1
=
，求数列}{n b 的通项公式； （Ⅲ）若（Ⅱ）中数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列{cos ()}n n S b π⋅的前n 项和n T .
解：（Ⅰ）依题意，)3
1
)(1(2)(-+=+x x a x f )0(>a ,即23
32)(2--+
=a
x a ax x f 令πβπ
α==,2
，则sin 1,cos 1αβ==-，有(1)0,(21)0f f ≤-≥，
得0)1(=f ，即02332=--+
a a a ，得2
3
=a . 235
()22
f x x x ∴=
+-. - 4分 （Ⅱ）'()31f x x =+，则1311
311'()3131
n n n n n a a f a a a +=-
=-=++ 即131+=
+n n n a a a ，两边取倒数，得n
n a a 1
311+=+，即n n b b +=+31.
∴ 数列{}n b 是首项为11
1
1==
a b ，公差为3的等差数列. 1(1)332()n b n n n *∴=+-⋅=-∈N . --- 9分
（Ⅲ）
cos()cos(32)cos()(1)n n b n n πππ=-==-
cos()(1)n n n n S b S π∴⋅=-⋅
n n n S S S S S T )1(4321-+-+-+-=∴ .
（1）当n 为偶数时
2143124()()()n n n n T S S S S S S b b b -=-+-++-=++
+
22()
322(432)244
n n
b b n n n n ++==+-=
（2）当n 为奇数时
213(1)2(1)(132)
42
n n n n n n n T T S --+-+-=-=-
2321
4
n n --+=
综上，22321
(432(4
n n n n T n n n ⎧--+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数),为偶数）. --1 3分
13.（宣武期末20）已知函数5
55)(+=
x
x f ，m 为正整数．
（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值；
（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(m
n
f a n =（m n ,,2,1 =），求数列}{n a 的前m 项和m S ；
（Ⅲ）设数列}{n b 满足：2
11=b ，n n n b b b +=+21，设
1
1
111121++++++=
n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3 的正整数n ，57774+ 155 55)0()1(++ += +f f =1； )1()(x f x f -+= 5 5 55 551++ +-x x = x x x 5 55555 55 ⋅+⋅+ +=1；………４分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 )11( 1)1()(-≤≤=-+m k m k f m k f ,即 ,1 1)()(=+∴=-+-k m k a a , m k m f m k f 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ……② 由①＋②, 得,21)1(2m m a m S +⨯-= ∴4 5 52 1)1()1(2 1)1(-+ ⨯-=+⨯-=m f m S m ，…10分 （Ⅲ） ∵,2 1 1=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n . ∴ ,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1 n +-=+= +即1 n n n b 1 b 11b 1+-=+. ∴1 11132211211)11()11()11( +++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T . ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256 777 )11621(1621,1621)14 3(43 ,4 3)12 1(21,2 14321= +==+==+==b b b b ∴.777 256 21243-=-=≥b T T n ∴,577743+ ∴m 的最大值为650. ……1４分 14.（丰台期末18）数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *∈N 在函数 ()2f x x =+的图象上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，122n -+，…项，组成新数列{}n b ， 试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S . 解：（Ⅰ）∵点1(, )n n a a +在函数()2f x x =+的图象上，∴12n n a a +=+。 2分。 ∴12n n a a +-=，即数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列， …4分。 ∴1(1)221n a n n =+-⨯=-。………… 6分 （Ⅱ）依题意知：11222(22)123n n n n b a --+==+-=+,……8分 ∴12n n S b b b =+++=11 (23)23n n i i i i n ==+=+∑∑=1 122323212n n n n ++-+=+--. 12分 15．（石景山期末16）已知数列}{n a ，其前n 项和为2 3 7()22 n S n n n N *=+∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列； （Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和； （Ⅲ）设9 (27)(21) n n n c a a = --，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式 57n k T > 对一切n N *∈都成立的最大正整数k 的值. 解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， 1分 当2n ≥时，2213 7[(1)][(1)]2 2 n n n a S S n n n n -=-=--+-- 37 (21)3222 n n =-+=+． …2分 又15a =满足32n a n =+， …3分 32()n a n n N *∴=+∈． …4分 ∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈， ∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． 5分 （Ⅱ）由已知得2n a n b = ()n N *∈， 6分 ∵ +1 +13+12==2=2=82 n n n n a a -a n a n b b ()n N *∈， 7分 又1 1232a b ==， ∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. …8分 ∴数列}{n b 前n 项和为 32(18)32(81)187 n n -=--. 9分 （Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121 n n n c a a n n n n = ==----+-+ 10分 ∴1111111 [()()( )]213352121n T n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)22121 n n n =-= ++． …11分 ∵11 0(23)(21) n n T T n n +-= >++ ()n N *∈， ∴n T 单调递增． ∴min 11()3 n T T ==． ……12分 ∴13 57 k > ，解得19k <，因为k 是正整数， ∴max 18k =．…13分 16.（延庆期末17）已知)1,0(log )(≠>=a a x x f a ， 设数列),(1a f ),(2a f ),(3a f …, )(n a f …是首项为4，公差为2的等差数列. （I ）设a 为常数，求证：}{n a 成等比数列； （II ）设}{),(n n n n b a f a b 数列=的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S . （I ）证明：222)1(4)(+=⨯-+=n n a f n , 即22log +=n a n a , 可得22+=n n a a . ∴ =-1n n a a =+-+2)1(222n n a a ),2(*222 2N n n a a a n n ∈≥=+为定值. ∴}{n a 为等比数列. …5分 (II)解：.)22(log )(222222++++===n n a n n n n a n a a a f a b 7分 当2=a 时，.2)1()2)(22()(222+++=+==n n n n n n n a f a b 8分 +⨯+⨯+⨯=543242322n S …22)1(+⋅++n n ① +⨯+⨯+⨯=6542423222n S …22+⋅+n n 32)1(+⋅++n n ② ①-②得 +++⨯=-5432222n S …322)1(2++⋅+-+n n n 12分 2 1) 21(21614--+ =-n 32)1(+⋅+-n n .2222163343+++-⋅--+=n n n n .23+⋅=∴n n n S 14分 七、不等式（必修五） 1．（西城期末7）已知10<< l og =，b y a 1log =，b z z log =，则（ D ） A ．z x y << B ．x z y << C ．y z x << D ．z y x << 2.（崇文期末4）设0.51()2 a =，0.50.3 b =，0.3log 0.2 c =，则,,a b c 的大小关系是( C ) （A ）a b c >> （B ）a b c << （C ）b a c << （D ）a c b << 3.（昌平期末7）函数 1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A,若点A 在直线10mx ny +-=上，其中0m n >、，则 21 m n +的最小值为( A ) A. B. 3 C. 3+ 4．（海淀期末12）设关于x 的不等式2*2()x x nx n -<∈N 的解集中整数 的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为_____.10100 5．（丰台期末12）若a >0,b >0 ,且ln(a +b )=0，则1 1a b +的最小值是 ________.4 6．（西城期末4）已知曲线1:=xy C ，过C 上一点),(111y x A 作斜率1k 的直线，交曲线C 于另一点),(222y x A ，再过),(222y x A 作斜率为2k 的直线，交曲线C 于另一点),(333y x A ，…，过),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线，交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A …，其中11=x ，)(41* 2 N x x x x k n n n n ∈++-= （1）求1+n x 与n x 的关系式； （2）判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：2|2|...|2||2|21<-++-+-n x x x . 解：（1）由已知过),(n n n y x A 斜率为n n n x x x 41 2 ++- 的直线为 =-n y y n n n x x x 41 2 ++- )(n x x -， 直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A 所以n n y y -+1=n n n x x x 41 2 ++-)(1n n x x -+ 2分 即 =- +n n x x 1 11 n n n x x x 412++-)(1n n x x -+，n n x x -+1≠0， 所以)(1 4 *1N n x x x n n n ∈++= + 4分 （2）解：当n 为奇数时，2 2 21421111+-=-++= -----n n n n n x x x x x ， 6分 注意到0>n x ，所以2-n x 与21--n x 异号 由于211<=x ，所以22>x ，以此类推， 当)(12*N k k n ∈-=时，2 3 1141++=++= +n n n n x x x x ， 所以n x ≥1（3,2,1=n ，…） 9分 所以1|2||12| |2|1+-=+-=-+n n n n n x x x x x ≤|2|2 1 -n x 10分 所以|2|-n x ≤|2|2 11--n x ≤ |2|2122--n x ≤…≤1 112 1 |2|21--=-n n x 12分 所以|2|...|2||2|21-++++-n x x x ≤12)2 1 (...)21(211-++++n 2)2 1 (21<-=-n 14分 7.（丰台期末19）二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)满足条件：①f(0)=-1；②对任x ∈R ，均有f(x-4)=f(2-x);③函数f(x)的图象与函数g(x)=x-1的图像相切. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式； (Ⅱ)当且仅当x ∈[4,m](m>4)时，f(x-t)≤g(x)恒成立，试求t ，m 的值. 解：(Ⅰ)由①得c=-1，………… 2分 由②知，12b a - =-， 即b=2a ， 所以f(x)=ax 2+2ax-1…………… 4分 由③知:方程ax 2+2ax-1=x-1，即ax 2+(2a-1)x=0有两个相等的实根， ∴12a =，故21()12 f x x x =+-。…………7分 (Ⅱ)∵当且仅当x ∈[4,m](m>4)时，f(x-t)≤g(x)恒成立, ∴不等式21()112 x t x t x -+--≤-，即x 2 -2tx+t 2 -2t ≤0的解集为[4,m]， 9分 ∴2 4242m t m t t +=⎧⎨=-⎩,解得t=8,m=12或t=2,m=0. ………12分 ∵m>4, ∴t=8,m=12符合题意。…… 13分 八、极坐标、参数方程（选修4-4） 1．（海淀期末9）若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩ ， （为参数），，则直线l 的 斜率为_______. 3- 2.（调研9）已知圆C 的极坐标方程是2sin ρθ=，那么该圆的直角坐标方程为_____，半径长是_____.22(1)1x y +-= 1 3.（崇文期末10）在极坐标系中，曲线2cos ρθ=所表示图形的面积为_________.π 4.（延庆期末14）从圆θθ θ (sin 3cos 2:⎩⎨ ⎧+=+=y x C 为参数)外一点),(y x P 向圆引 切线T PT ,为切点，且O PO PT (||||=为原点).则点P 的轨迹方程是 ；||PT 的最小值是 . 0632=-+y x ， 1313 6 九、常用逻辑用语（选修2-1） 1.（东城期末2）下列四个命题中的真命题为（ D ） A ．0x ∃∈Z ，0143x << B ．0x ∃∈Z ，0510x += C ．x ∀∈R x ，210x -= D ．x ∀∈R x ，220x x ++> 2.（东城期末4）“4 x π =”是“函数sin 2y x =取得最大值”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（调研2）已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，那么命题p ⌝为( C ) （A ）x ∃∈R ，20x < （B ）x ∀∈R ，20x < （C ）x ∃∈R ，20x ≤ （D ）x ∀∈R ，20x ≤ 4.（崇文期末2）已知命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤，那么下列结论 正确的是( B ) （A ）0:p x ⌝∃∈R ，200220x x ++> （B ）:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++> （C ）0:p x ⌝∃∈R ，200220x x ++≥ （D ）:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++≥ 5.（崇文期末3）“2m =-”是“直线(1)20m x y ++-=与直线 (22)10m x m y +++=相互垂直”的( A ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6.（宣武期末2）“2=a ”是“直线03:21=++y a x l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的（ A ） 7.（宣武期末3）下列结论正确的是 ( D ) 8.（丰台期末2）命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是（ B ） (A) ,cos 1x R x ∃∈≥ (B) ,cos 1x R x ∃∈> (C),cos 1x R ∀∈≥ (D) ,cos 1x R x ∀∈> 9.（延庆期末3）对于不重合的两个平面α与β，则“存在异面直线l 、 m ，使得α//l ,β//l , α//m ,β//m ”是“β α//”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 10.（昌平期末3）已知直线12:210:(1)10l x my l x m y -+=+--=与,则“m =2”是“1l ⊥2l ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 A ．,R x ∈∃ 使0122 <+-x x 成立 B ． 0>∀x ，都有2lg 1 lg ≥+ x x 成立 C ．函数 y =的最小值为2 D ． 02x <≤时，函数=y 1 x x - 有最大值为23 11.（昌平期末12）已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x ．写出﹁p : ___________;若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．R,x ∀∈ 220x ax a ++>; 10< 12.（调研14）在数列{}n a 中，1a a =，2a b =，且12n n n a a a --=-，3,4,5, n =. 给出下列命题： ① ,a b ∃∈R ，使得1a ，2a ，3a 均为负数； ② ,a b ∃∈R ，使得1a ，2a ，3a 均为正数； ③ 若5,1a b ==，则883a =-. 其中真命题的序号为___________.（填出所有真命题的序号）② ③ 13．（石景山期末14）给出下列四个命题： ①命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“2,13x R x x ∀∈+>”； ②在空间中，m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，那么m β⊥； ③将函数x y 2cos =的图象向右平移3 π 个单位，得到函数sin(2) 6 y x π =-的图象； ④函数()f x 的定义域为R ，且21(0) ()(1)(0) x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩,若方程 ()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为(,1)-∞. 其中正确命题的序号是 ．③④ 一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+= 六、数列（必修五） 1.等比数列}{n a 的首项与公比分别是复数2(i i +是虚数单位)的实部与虚部，则数列}{n a 的前10项的 和为（ A ） A ．20 B ．1210- C.20- D.i 2- 2.公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列.若1a =1，则4s = （ C ） A ．7 B. 8 C.15 D.16 4.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以 构成一个“锯齿形”的数列{}n a :1,3,3,4,6,5,10,, 记其前n 项和为n S ，则19S 的值为（ D ） A ．129 B ．172 C ．228 D ．283 5.等差数列{}n a 中，11a =，5998a a +=，n S 为其前n 项和，则9S 等于（ A ） A ．297 B ．294 C ．291 D ．300 6.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n n S 为{a }的前n 项和，则3253 S S S S --的值为 （ A ） A ．2 B ．3 C ． 15 D ．不存在 7.等差数列} {n a 的前n 项和 13 4111073,4,8,S a a a a a S n 则若=-=-+等于（ C ） A ．152 B ．154 C ．156 D ．158 8.已知等差数列}{n a 的前13项之和为4 13π ，则)tan(876a a a ++等于（ C ） A ． 3 3 B ．3 C ．1- D ．1 9.已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足2 3711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则 ()= 86b b （ D ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 必修五第二章数列及等差数列复习 一、数列 知识要点 一、 数列的概念： 二、数列的表示方法 数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、数列的分类 1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。 2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑== ++++=n i i n n a a a a a S 1 321 2．?? ? ≥-==-2 11 1 n S S n S a n n n 课前热身 1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) Ａ．)1(2--=n n a n B ．12-=n a n C ．2)1(+= n n a n D ．2 ) 1(-=n n a n 2.在数列 ,55,34,21 ,,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( ) A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项 4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是___. 5．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则____ 典例精析 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，… ⑵ ,63 8 ,356,154,32-- ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 题型二 应用?? ?≥-==-) 2()1(1 1 n S S n S a n n n 求数列通项 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式. ⑴23-=n n S ⑵)0()2(8 1 2>+= n n n a a S 精品文档 1欢迎下载 1等差数列｛a n ｝中已知a , a 4 a^39,a s a 6 a=2，则前9项和S 9的值为（ ） A. 66 B . 99 C . 144 D . 297 2 •已知数列 a 「是公比为2的等比数列，若a^16，则a i =（） A. 1 B . 2 C . 3 D . 4 3.公差不为零的等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a ?的等比中项，S * =32,则編等于 A. 18 B 24 C . 60 D .90 4 . 已知等比数列 {a n } 的公比为正数，且 a 3 • a 9 =2a 5 2 ,a 2 =1 , 则 a 1 =() A. 1 B 2 ■ / C ■ 2 D .2 5 . 已知等差数列 {a n } 的前n 项和为S n , 且 a 4 =18- -a 5,则 S 8 = :( ) A. 18 B .36 C . 54 D 72 6.等比数列爲冲，a 4=4，则a 2 a 6 =（ ） A. 4 B . 8 C . 16 D . 32 7.数列 中，a i 一 -60,a n a n 3，则此数列前30项的绝对值的和为() A.720 B.765 C.600 D.630 &已知等比数列前n 项和为S n ,若S 2 =4, S 4 10 .数列｛a n ｝为等差数列，ai,a 2,a 3为等比数列, A. 5 B . -1 C . 0 D . 1 11.已知等比数列、a n 中，a 1 a^1, a 4 • a 5 - -8，则公比q =( ) (A ) -2 (B ) 2 1 1 (C ) - 1 (D ) 1 2 2 12 .观察下列数的特点, 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55, A. 12 B . 13 C . 14 D . 15 13 .右 a 1 =3,a 2 -6, a n 2 - a n 1 —a .，贝V 833= ( ) A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 14 .已知数列{a n }满足二二;让、二那么坛碍的值是() 2 — A. 2011 B . 2012 X 2011 C . 2009 X 2010 D . 2010 X 2011 15 .数列 --------- 1 ------- ，… 的一个通项公式是 1 2 2 3 3 4 A. 160 B. 64 C. -64 D. -160 9.公比为2的等比数列｛a n ｝的各项都是正数，且 a 3 311=16，贝U a 6 = (A ) 1 (B ) 2 (C ) 4 (D ) =16，则 S & 二( a5 =1，贝U aw =( …中，其中x 是（） 等比数列的概念、性质 考查重点：等比数列的概念性质、通项公式等 所占分数：10--25分 教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系 1. 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示。 2. 等比数列的通项公式 111n n n a a a q q q -== 3. 等比中项 如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________ 4. 等比数列的性质 （1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q （2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________ （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ??????是以 _________ 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 5. 等比数列与指数函数的关系 等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q -== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q =则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。 数列知识点总结 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n 1 - a n =d a n 1 =q(q 0) 通项公式 递推公式 中项 前 n 项和 性质 a n a n = a 1 +（ n-1 ） d a n = a 1 q n 1 (q 0) a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)d a n = a n 1 q a n = a m q n m a b 推广： A= a n k a n k （ n,k G 2 ab 。推广：G= a n k a n k （ n,k A= + 2 2 ;n>k>0 ）。任意两数 a 、c 不一定 N + 有等比中项， 除非有 ac ＞ 0，则等比中 N ;n>k>0 ） 项一定有两个 n a n ） S n = a 1 (1 q n ) S n = （ a 1 + 1 q 2 S n =n a 1 + n(n 1) d S n = a 1 a n q 2 1 q m n p q ， 则 （ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； （ 1 ） 若 （ 2 ）数列 a 2n 1 , a 2n , a 2n 1 仍为等差数 a m · a n a p · a q 列，S n ， S 2 n S n ， S 3 n S 2 n ?? 仍为等差数 （ 2） S n ， S 2n S n ， S 3n S 2n ?? 仍 列，公差为 n 2 d ； 为等比数列 ,公比为 q n （3）若三个成等差数列，可设为 a d ，a ，a d （ 4）若 a n ， b n 是等差数列，且前 n 项和分别 a m S 2 m 1 为 S n ， T n ，则 T 2 m 1 b m （ 5） a n 为等差数列S n an 2 bn （ a ，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数） （ 6） d= a m a n (m n) m n (7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列 二、求数列通项公式的方法 1、通项公式法： 等差数列、等比数列 2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用 a n 与 S n 的基本关系式来求。 即 a n s 1 a 1 ( n 1) s n s n 1 (n 2) 例 1、在数列｛ a n ｝中， S n 表示其前ｎ项和，且 S n n 2 , 求通项 a n . 例 2、在数列｛ a n ｝中， S n 表示其前ｎ项和，且 S n 2 3a n , 求通项 a n 3、已知递推公式，求通项公式。 （ 1）叠加法： 递推关系式形如 a n 1 a n f n 型 六、数列（必修五） 1.（东城期末1）在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-， 则7a 的值为（ A ） A ．64- B ．64 C ．48- D ．48 考点：等比数列的通项公式及推广形式 11-=n n q a a （0,1≠q a ）；m n m n q a a -=。 略解：-642-8q a a 3 347=⨯ ==）（ 2．（丰台期末6）互不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，又x 是 a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x 2、b 2、y 2三个数（ A ） (A)成等差数列，非等比数列 (B)成等比数列，非等差数列 (C)既是等差数列，又是等比数列 (D)既不成等差数列，又不成等比数列 考点：等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2 i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、 c 等比数列. ii. ac b =（ac ＞0）为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac 为a 、b 、c 等比数列的充要. 若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 略解：解法1 取特殊值法 令6y 4,b 2,x 3c 2,b 1,a 222===⇒===。 解法2 b)-b(c b -bc b -y b),-b(a ab -b x -b 222222==== ⇒=b -c b -a 2222b -y x -b =，故x 2、b 2、y 2 三个数成等差数列。 若x 2、b 2、y 2三个数成等比数列，则 c a ac )2 c a ( ac b bc ab b y x b 2 24224=⇒=+⇒=⇒∙=⇒=与题意矛盾。故选A 方法与技巧：含字母较的题，可考虑取特殊值法处理。 第一章数列 一、课程要求 数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。 1、了解数列的概念，概念 2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。 3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。 4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。 5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。 6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 二、编写意图： 1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是 定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。 2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究， 理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。 3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、 求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。 4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结合 思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。 5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用 现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。 三、教学内容及课时安排建议。本章教学时间约13课时。 §1数列 1.1数列的概念约1课时 1.2数列的函数特性约1课时 六、数列（必修五） 1.（2012年朝阳二模理14）在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足1 1,,12 ,j j i a a i -==， 1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的第5行第 3列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13， 22， ??? 为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 . 答案：16，1 2 1n n a n -=++ 2.（2012年丰台二模理18）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+?+(n * ∈N ，p 为 常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列 {b n }满足2n n n b a n =-，证明：49 n b ≤． 解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+?+， 所以1 213135a a p p =+?+=+；2 3231126a a p p =+?+=+． 因为1a ，26a +，3a 成等差数列， 所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =． 依题意，1231n n n a a +=+?+， 所以当n ≥2时，1 21231a a -=?+， 232231a a -=?+， …… 212231n n n a a ----=?+， 11231n n n a a ---=?+． 相加得1 2212(3 333)1n n n a a n ---=+++++- ， 所以 113(13) 2 (1)13 n n a a n ---=+--， 第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … 高二必修五《数列》大题精选 1、设{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,且a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10． 2、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 3、已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 4.有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列, n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式. 5、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 6.已知 n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设 ,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）. （I ）证明数列 }{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1{,32212++?= n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T . 7.已知数列 {} n x 满足 , 2143.1,,211*1-==∈??? ??-=-+n n n n n x a x N n x x 设且且.2)12(322123212n n n na a n a a a T +-++++=- （Ⅰ）求n x 的表达式； （Ⅱ）求n T 2； 数列是几年级学的 数列是高中数学必修五的内容。 “数列”的主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。 教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系。 感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。教科书还通过在“阅读与思考”中介绍“九连环”问题。 以及在“探究与发现”中设计“购房中的数学”，使学生进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。 扩展资料 一、数列的函数理解： 1、数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值 域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集｛1，2，3，…，n｝的函数，其中的｛1，2，3，…，n｝不能省略。 2、用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数 有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法。 a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式 给出数列和以递推公式给出数列。 2、函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 二、公式： 1、通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n）来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如。数列通项公式的特点：有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，1）。 2、递推公式：如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点：有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。 高二数学必修五教案：《数列》 数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。下面是本文库带来的高二数学必修五教案：《数列》。 （一）教学目标 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数； 2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； 3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。 教学重、难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）； 难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。 （二）学法与教学用具 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。 教学用具：多媒体、投影仪、尺等 （三）教学设想 1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律与它所表示的图形的序号有什么关系 2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 （2）辩析数列的概念：＂1，2，3，4，5＂与＂5，4，3，2，1＂是同一个数列吗与＂1，3，2，4，5＂呢给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an} （3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。 3、数列的表示方法 1 第3讲 等比数列及其前n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2)，q 为常数． (2)等比中项 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q,则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m . (2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n ) 1－q ＝ a 1－a n q 1－q . 3．等比数列及前n 项和的性质 (1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . (4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬ ⎫a n b n 仍是等比数列． 考点一 等比数列的判定与证明 【例1】 (2015·济宁测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n ＝2a n －3n ，设b n ＝a n ＋3. 求证：数列{b n }是等比数列，并求a n . 高一数学数列知识总结 知识网络 二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨ ⎧ ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值 的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： 第二章 数 列 §2.1 数 列 1．从函数的观点看数列 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9. 答案 C 2．了解一点周期数列的知识 类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期． 例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1 (n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1 ， 《等比数列与不等式》知识要点 一．数列的概念与简单表示法． (1)数列是定义域为(或它的有限子集{1，2，…，n})的特殊函数， (2)数列的表示方法： 解析法(通项公式法)；列表法；图象法；递推法（递推公式法）． (3)a n与S n的关系式：a n＝ 二．等差数列 (1)定义：． (2)公差为d的等差数列{a n}的通项公式：， 等差数列中任意两项的关系：. 即：d ＝ (3)等差中项： 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，可表示成． (4)前n项和公式S n＝＝． (5)等差数列的判断：定义法: 等差中项法： 通项公式法：形如 求和公式法：形如 (6)等差数列的性质 ①若公差，则{a n}是递增等差数列； 若公差，则{a n}是递减等差数列； 若 ，则{a n }是常数列． ②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则 ． 若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则 ③若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ， ，…仍成等差数列，公差 (7) 若{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项的和，T n 是{|a n |}的前n 项的和， 若0 n a 是正负项的分界项，它与1a 的符号一致。 前正后负：T n = ； 前负后正：T n = （8）等差数列前n 项和的最值 ①等差数列{a n }中， a 1>0，d <0时，S n 有 ； a 1 ，d ，S n 有最小值． ②最值的求法 配方或求二次函数最值的方法： 等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝An 2＋Bn ，可通过 求得． 邻项变号法：． 当a 1>0，d <0时，满足 的n ，使S n 取最大值； 当a 1<0，d >0时，满足 的n ，使S n 取最小值． 三．等比数列 (1)定义： (q 为常数，且q ≠0)． (二)数列 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 比如-1，1，-1，1，-1，1，…. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式），比如下面的一个数列.每一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 514 1312 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的每一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1= 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列1，1.4，1.41，1.414，… ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11+-+= n n a ，也可以是 |21 cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式 反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列 的每一项． 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数() n a f n =，当自变 量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 第二章数列第一节：数列及其通项公式 一．数列的概念 1．数列的定义：； 2．表示法：； 3．数列的分类：； 4．通项公式：； 5．递推公式的概念：； 注意：①数列与集合有本质的区别；②项与项数的区别；③} a { n 与 n a的 区别；④不是每一个数列都有通项公式；⑤ n a是n的函数。 二．数列通项公式的求法 1．根据数列的有限项，写出数列的通项公式。 练习 1．已知数列{a n }的前几项，写出数列的一个通项公式（1）1，4，9，16，……；a n =; （2）2468 ,,,, 392781 ……；a n =; （3）31313 1,,,,,,, 23456 L L a n =; （4）9，99，999，9999，……；a n =; （5）7，77，777，7777，……；a n =; （6）7，-77，777，-7777，……；a n =; （7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ……；a n =; （8）1．-1，1，-1，……；a n =; （9）1，0，1，0，……；a n =; （10）11，101，1001，10001，……；a n =; （11）12341,2,3,4,2345……；a n =; （12）1375 ,,,,24816L L ；a n =; （13）210172637 ,1,,,,3791113 ---，……；a n =; 2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z ，122，……，中x,y,z 的值依次是（ ） A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，123 3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是。 4．数列}a {n 中，11(2)(n n n a n n n -⎧ ⎪=⎨ ⎪-⎩为奇数） （为偶数） ， 则}a {n 的前5项是。 5.已知函数x x x f 1 -)(= ，设*))((N n n f a n ∈= (1)求证：1 第六章数列(必修5) 第一节数列的概念与简单表示方法 高考概览：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数． [知识梳理] 1．数列的有关概念 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的分类 (3)数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. [辨识巧记] 1．一个重要关系 数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 2．两个特殊问题 (1)对于数列与周期性有关的题目，关键是找出数列的周期． (2)求数列最大项的方法： ①利用数列{a n }的单调性； ②解不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧ a k ≥a k －1， a k ≥a k ＋1， [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(必修5P 31例3改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1 (n ≥2)， 则a 5＝( ) A.32 B.53 C.85 D.23 [解析] 由a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1 (n ≥2)，得a 2＝1＋1＝2，a 3＝1 －12＝12，a 4＝1＋2＝3，a 5＝1－13＝2 3.故选D. [答案] D 3．已知数列{a n }为32，1，710，9 17，…，则可作为数列{a n }的通项公式的是( ) A ．a n ＝n －1 n 2＋1 B ．a n ＝n ＋1 n 2＋1 C ．a n ＝2n ＋1 n 2＋1 D ．a n ＝2n －1 n 2＋1 [解析] 由32，55，710，9 17，…，归纳得a n ＝2n ＋1n 2＋1，故选C. [答案] C高中数学必修五数列知识点
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