第二章 等比数列性质典型题(最全整理)含解析
2.4 第1课时
基础巩固
一、选择题
1.等比数列{a n }中,a 1=4,a 2=8,则公比等于( ) A .1 B .2 C .4 D .8
[答案] B
[解析] ∵a 1=4,a 2=8,∴公比q =a 2
a 1
=2.
2.若等比数列的首项为98,末项为13,公比为2
3,则这个数列的项数为( )
A .3
B .4
C .5
D .6 [答案] B
[解析] 98·(23)n -1=13,∴(23)n -1=827=(2
3
)3∴n =4.
3.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=( ) A .64 B .81 C .128 D .243 [答案] A
[解析] ∵{a n }是等比数列,a 1+a 2=3,a 2+a 3=6, ∴设等比数列的公比为q ,
则a 2+a 3=(a 1+a 2)q =3q =6,∴q =2. ∴a 1+a 2=a 1+a 1q =3a 1=3,∴a 1=1, ∴a 7=a 1q 6=26=64.
4.已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3·a 9=2a 25,a 2=1,则a 1=( ) A .1
2
B .
2
2 C . 2 D .2
[答案] B
[解析] 设公比为q ,由已知得a 1q 2·a 1q 8=2(a 1q 4)2,即q 2=2, 因为等比数列{a n }的公比为正数,所以q =2,
故a 1=a 2q =12=2
2
,故选B .
5.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( ) A .b =3,ac =9 B .b =-3,ac =9 C .b =3,ac =-9 D .b =±3,ac =9
[答案] B
[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
=-b b 2
=ac =9
c 2=-9b
,∵⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
≥0a ≠0,∴a 2>0,∴b <0,∴b =-3,故选B .
6.已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列,a n >0,m =a 5+a 6,k =a 4+a 7,则m 与k 的大小关系是( )
A .m >k
B .m =k
C .m D .m 与k 的大小随q 的值而变化 [答案] C [解析] m -k =(a 5+a 6)-(a 4+a 7) =(a 5-a 4)-(a 7-a 6) =a 4(q -1)-a 6(q -1)=(q -1)(a 4-a 6) =(q -1)·a 4·(1-q 2) =-a 4(1+q )(1-q )2<0(∵a n >0,q ≠1). 二、填空题 7.已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n =__________. [答案] 3·2n - 3 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3=3a 10=384,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2 =3 a 1q 9=384 ∴q 7=128,∴q =2,∴a 1=34 ,∴a n =a 1q n -1=3·2n - 3. 8.已知等比数列前3项为12,-14,1 8,则其第8项是________. [答案] -1 256 [解析] ∵a 1=12,a 2=a 1q =12q =-1 4, ∴q =-12,∴a 8=a 1q 7=12×(-12)7=-1 256 . 三、解答题 9.若a,2a +2,3a +3成等比数列,求实数a 的值. [解析] ∵a,2a +2,3a +3成等比数列, ∴(2a +2)2=a (3a +3), 解得a =-1或a =-4. 当a =-1时,2a +2,3a +3均为0,故应舍去. 当a =-4时满足题意,∴a =-4. 10.已知:数列{a n }的首项a 1=5,前n 项和为S n ,且S n +1=2S n +n +5(n ∈N *).求证:数列{a n +1}是等比数列. [证明] 由已知S n +1=2S n +n +5(n ∈N *). 当n ≥2时,S n =2S n -1+n +4.两式相减 得S n +1-S n =2(S n -S n -1)+1, 即a n +1=2a n +1,从而a n +1+1=2(a n +1).当n =1时,S 2=2S 1+1+5, ∴a 2+a 1=2a 1+6. 又∵a 1=5,∴a 2=11,从而a 2+1=2(a 1+1),故总有a n +1+1=2(a n +1),n ∈N *. 又∵a 1=5,a 1+1≠0. 从而a n +1+1a n +1 =2,即数列{a n +1}是首项为6,公比为2的等比数列. 能力提升 一、选择题 1.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 2,1 2a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5 的值 为( ) A .1-5 2 B .5+1 2 C . 5-1 2 D . 5+12或5-1 2 [答案] C [解析] ∵a 2,1 2a 3,a 1成等差数列,∴a 3=a 2+a 1, ∵{a n }是公比为q 的等比数列,∴a 1q 2=a 1q +a 1, ∴q 2-q -1=0,∵q >0,∴q =5+1 2 . ∴ a 3+a 4a 4+a 5=a 3+a 4(a 3+a 4)q =1 q =5-12. 2.数列{a n }是公差不为0的等差数列,且a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }的连续三项,则数列{b n }的公比为( ) A . 2 B .4 C .2 D .1 2 [答案] C [解析] ∵a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }中的连续三项, ∴a 23=a 1·a 7,设{a n }的公差为d ,则d ≠0, ∴(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),∴a 1=2d , ∴公比q =a 3a 1=4d 2d =2,故选C . 3.在等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为( ) A .16 B .27 C .36 D .81 [答案] B [解析] 设公比为q ,由题意,得⎩⎪⎨⎪ ⎧ a 1+a 1q =1a 1q 2+a 1 q 3 =9, ∴q 2=9,∵a n >0,∴q =3. ∴a 1=14,∴a 4=a 1q 3=274, a 5=a 1q 4=814 , ∴a 4+a 5=274+814=108 4 =27. 4.若正数a ,b ,c 依次成公比大于1的等比数列,则当x >1时,log a x ,log b x ,log c x ( ) A .依次成等差数列 B .依次成等比数列 C .各项的倒数依次成等差数列 D .各项的倒数依次成等比数列 [答案] C [解析] 1log a x +1log c x =log x a +log x c =log x (ac )=log x b 2 =2log x b =2 log b x ∴ 1log a x ,1log b x ,1log c x 成等差数列. 二、填空题 5.在8和5 832之间插入5个数,使它们组成以8为首项的等比数列,则此数列的第5项是__________. [答案] 648 [解析] 设公比为q ,则8q 6=5 832,∴q 6=729, ∴q 2=9,∴a 5=8q 4=648. 6.在等比数列{a n }中,a n >0,且a n +2=a n +a n +1,则数列的公比q =________. [答案] 1+5 2 [解析] ∵a n +2=a n +a n +1, ∴q 2a n =a n +qa n . ∵a n >0, ∴q 2-q -1=0,q >0, 解得q =1+52,或q =1-5 2(舍去). 三、解答题 7.等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a 3、a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . [解析] (1)设{a n }的公比为q , 由已知得16=2q 3,解得q =2, ∴a n =a 1q n - 1=2n . (2)由(1)得a 3=8,a 5=32,则b 3=8,b 5=32, 设{b n }的公差为d ,则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ b 1+2d =8,b 1+4d =32,解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1=-16, d =12. 从而b n =-16+12(n -1)=12n -28, ∴数列{b n }的前n 项和S n =n (-16+12n -28) 2 =6n 2-22n . 8.在各项均为负数的数列{a n }中,已知2a n =3a n +1,且a 2·a 5=827,证明{a n }是等比数列, 并求出通项公式. [证明] ∵2a n =3a n +1, ∴ a n +1a n =23,故数列{a n }是公比q =2 3 的等比数列. 又a 2·a 5=827,则a 1q ·a 1q 4=827, 即a 21 ·(23)5=(23 )3 . 由于数列各项均为负数, 则a 1=-32 . ∴a n =-32×(23)n -1=-(23 )n - 2. 2.4 第2课时 基础巩固 一、选择题 1.在等比数列{a n }中,a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,那么a 4+a 5=( ) A .27 B .27或-27 C .81 D .81或-81 [答案] B [解析] ∵q 2=a 3+a 4 a 2+a 1 =9,∴q =±3, 因此a 4+a 5=(a 3+a 4)q =27或-27.故选B . 2.如果数列{a n }是等比数列,那么( ) A .数列{a 2 n }是等比数列 B .数列{2a n }是等比数列 C .数列{lg a n }是等比数列 D .数列{na n }是等比数列 [答案] A [解析] 设 b n =a 2 n ,则b n +1b n =a 2n +1a 2n =(a n +1a n )2=q 2, ∴{b n }成等比数列;2a n +1 2a n =2a n +1-a n ≠常数; 当a n <0时lg a n 无意义;设c n =na n , 则 c n +1c n =(n +1)a n +1na n =(n +1)q n ≠常数. 3.在等比数列{a n }中,a 5a 7=6,a 2+a 10=5.则a 18 a 10等于( ) A .-23或-32 B .2 3 C .32 D .23或32 [答案] D [解析] a 2a 10=a 5a 7=6. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 10=6a 2+a 10=5,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=2a 10=3或⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 2=3a 10=2. ∴ a 18a 10=a 10a 2=32或2 3 .故选D . 4.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列,c 、a 、b 成等比数列,且a +3b +c =10,则 a =( ) A .4 B .2 C .-2 D .-4 [答案] D [解析] ⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2b =a +c a 2=bc 消去a 得:4 b 2-5b c +c 2=0, ∵b ≠c ,∴c =4b ,∴a =-2b ,代入a +3b +c =10中得b =2,∴a =-4. 5.设{a n }是由正数组成的等比数列,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230,那么a 3·a 6·a 9·…·a 30 等于( ) A .210 B .220 C .216 D .215 [答案] B [解析] 设A =a 1a 4a 7…a 28,B =a 2a 5a 8…a 29, C =a 3a 6a 9…a 30,则A 、B 、C 成等比数列, 公比为q 10=210,由条件得A ·B ·C =230,∴B =210, ∴C =B ·210=220. 6.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( ) A .13项 B .12项 C .11项 D .10项 [答案] B [解析] 设前三项分别为a 1,a 1q ,a 1q 2,后三项分别为a 1q n - 3,a 1q n - 2,a 1q n - 1. 所以前三项之积a 31q 3=2,后三项之积a 31q 3n - 6 =4. 两式相乘得,a 61q 3(n -1) =8,即a 21q n - 1 =2. 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n - 1=a n 1q n (n -1) 2 =64, 即(a 21q n - 1)n =642,即2n =642.所以n =12. 二、填空题 7.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a 2b 2的值为________. [答案] 5 2 [解析] 解法一:∵a 1+a 2=1+4=5, b 22=1×4=4,且b 2与1,4同号, ∴b 2=2. ∴ a 1+a 2 b 2=5 2 . 解法二:设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , ∵1+3d =4,∴d =1,∴a 1=2,a 2=3. ∵q 4=4.∴q 2=2.∴b 2=q 2=2. ∴ a 1+a 2 b 2=2+32=5 2 . 8.公差不为零的等差数列{a n }中,2a 3-a 27+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 6b 8=________. [答案] 16 [解析] ∵2a 3-a 27+2a 11=2(a 3+a 11)-a 27 =4a 7-a 27=0, ∵b 7=a 7≠0,∴b 7=a 7=4. ∴b 6b 8=b 27=16. 三、解答题 9.有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数. [解析] 由题意设此四个数为b q ,b ,bq ,a , 则有⎩⎪⎨⎪ ⎧ b 3 =-82bq =a +b ab 2q =-80 ,解得⎩⎪⎨⎪ ⎧ a =10 b =-2 q =-2 或⎩⎪⎨ ⎪⎧ a =-8 b =-2q =52 . 所以这四个数为1,-2,4,10或-4 5,-2,-5,-8. 10.已知数列{a n }为等比数列, (1)若a 3a 5=18,a 4a 8=72,求公比q ; (2)若a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,求项数n . [解析] (1)∵a 4a 8=a 3q ·a 5q 3=a 3a 5q 4=18q 4=72,∴q 4=4,故q =±2. (2)由a 3+a 6=(a 2+a 5)·q ,得9=18q ,故q =12 . 又∵a 2+a 5=a 1q +a 1q 4=18,解得a 1=32.再由a n =a 1q n - 1,得1=32×(12 )n -1,解得n =6. 能力提升 一、选择题 1.设等比数列的前三项依次为3,33,6 3,则它的第四项是( ) A .1 B .83 C .93 D . 1215 [答案] A [解析] a 4=a 3q =a 3·a 2a 1=63×3 3 3 =316×313312 =1. 2.已知2a =3,2b =6,2c =12,则a ,b ,c ( ) A .成等差数列不成等比数列 B .成等比数列不成等差数列 C .成等差数列又成等比数列 D .既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A [解析] 解法一:a =log 23,b =log 26=log 2 3+1, c =log 2 12=log 2 3+2. ∴b -a =c -B . 解法二:∵2a ·2c =36=(2b )2,∴a +c =2b ,∴选A . 3.在数列{a n }中,a 1=2,当n 为奇数时,a n +1=a n +2;当n 为偶数时,a n +1=2a n -1,则a 12等于( ) A .32 B .34 C .66 D .64 [答案] C [解析] 依题意,a 1,a 3,a 5,a 7,a 9,a 11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a 11 =a 1×25=64,a 12=a 11+2=66.故选C . 4.若方程x 2-5x +m =0与x 2-10x +n =0的四个根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m n 的值是( ) A .4 B .2 C .1 2 D .14 [答案] D [解析] 由题意可知1是方程之一根,若1是方程x 2-5x +m =0的根则m =4,另一根为4,设x 3,x 4是方程x 2-10x +n =0的根,则x 3+x 4=10,这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4,公比为2、x 3=2、x 4=8、n =16、m n =1 4 ;若1是方程x 2-10x +n =0的根,另一根为9, 则n =9,设x 2-5x +m =0之两根为x 1、x 2则x 1+x 2=5,无论什么顺序均不合题意. 二、填空题 5.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6则成等比数列,则此未知数是__________. [答案] 3或27 [解析] 设此三数为3、a 、b ,则⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2a =3+b (a -6)2=3b , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =3b =3或⎩⎪⎨⎪⎧ a =15 b =27. ∴这个未知数为3或27. 6.a ,b ,c 成等比数列,公比q =3,又a ,b +8,c 成等差数列,则三数为__________. [答案] 4,12,36 [解析] ∵a ,b ,c 成等比数列,公比q =3,∴b =3a ,c =9a ,又a ,b +8,c 成等差数列,∴2b +16=a +c , 即6a +16=a +9a ,∴a =4,∴三数为4,12,36. 三、解答题 7.等差数列{a n }中,a 4=10,且a 3,a 6,a 10成等比数列,求数列{a n }前20项的和S 20. [解析] 设数列{a n }的公差为d ,则 a 3=a 4-d =10-d ,a 6=a 4+2d =10+2d , a 10=a 4+6d =10+6D . 由a 3,a 6,a 10成等比数列得,a 3a 10=a 26, 即(10-d )(10+6d )=(10+2d )2,整理得10d 2-10d =0, 解得d =0,或d =1. 当d =0时,S 20=20a 4=200; 当d =1时,a 1=a 4-3d =10-3×1=7, 因此,S 20=20a 1+20×192 d =20×7+190=330. 8.设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =kn 2+n ,n ∈N *,其中k 是常数. (1)求a 1及a n ; (2)若对于任意的m ∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,求k 的值. [解析] (1)由S n =kn 2+n , 得a 1=S 1=k +1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2kn -k +1. 经验证,n =1时,上式也成立, ∴a n=2kn-k+1. (2)∵a m,a2m,a4m成等比数列,∴a22m=a m·a4m, 即(4mk-k+1)2 =(2km-k+1)(8km-k+1), 整理得mk(k-1)=0. ∵对任意的m∈N*成立, ∴k=0或k=1. 第二章 等比数列性质典型题(最全整理)含解析 2.4 第1课时 基础巩固 一、选择题 1.等比数列{a n }中,a 1=4,a 2=8,则公比等于( ) A .1 B .2 C .4 D .8 [答案] B [解析] ∵a 1=4,a 2=8,∴公比q =a 2 a 1 =2. 2.若等比数列的首项为98,末项为13,公比为2 3,则这个数列的项数为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 [答案] B [解析] 98·(23)n -1=13,∴(23)n -1=827=(2 3 )3∴n =4. 3.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=( ) A .64 B .81 C .128 D .243 [答案] A [解析] ∵{a n }是等比数列,a 1+a 2=3,a 2+a 3=6, ∴设等比数列的公比为q , 则a 2+a 3=(a 1+a 2)q =3q =6,∴q =2. ∴a 1+a 2=a 1+a 1q =3a 1=3,∴a 1=1, ∴a 7=a 1q 6=26=64. 4.已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3·a 9=2a 25,a 2=1,则a 1=( ) A .1 2 B . 2 2 C . 2 D .2 [答案] B [解析] 设公比为q ,由已知得a 1q 2·a 1q 8=2(a 1q 4)2,即q 2=2, 因为等比数列{a n }的公比为正数,所以q =2, 故a 1=a 2q =12=2 2 ,故选B . 5.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( ) A .b =3,ac =9 B .b =-3,ac =9 C .b =3,ac =-9 D .b =±3,ac =9 [答案] B [解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2 =-b b 2 =ac =9 c 2=-9b ,∵⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 2 ≥0a ≠0,∴a 2>0,∴b <0,∴b =-3,故选B . 6.已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列,a n >0,m =a 5+a 6,k =a 4+a 7,则m 与k 的大小关系是( ) A .m >k B .m =k C .m 高中数学必修五: 等比数列性质典型题(最全整理)含解析
等比数列的性质(含解析)