必修五阶段测试二(第二章 数列)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( )
A ．16
B ．32
C ．－16
D ．－32
2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝?????
3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30
3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( )
A ．5
B ．10
C ．20
D ．40
4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )
A ．102 B.9658 C.9178
D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )
A ．81
B ．120
C ．168
D ．192
6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( )
A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零
B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零
C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零
D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零
7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．不确定
8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5S 8，则下列结论错误的是( )
A ．d <0
B ．a 7＝0
C ．S 9>S 5
D ．S 6和S 7均为S n 的最大值
9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( )
A ．S 4＜S 5
B ．S 6＜S 5
C ．S 4＝S 5
D ．S 6＝S 5
10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n
(n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )
A.17
B.27
C.72
D ．7 11．(2017·安徽蚌埠二中期中)设a n ＝1n sin n π25
，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是( )
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋3n (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1
，则数列{b n }的前64项和为( )
A.63520
B.433 C .133 D.1132
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为________．
14．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．
15．(2017·广东实验中学)若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝4a n ＋2n ，则a 5＝________.
16．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n ；
(2)已知数列的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，求数列的通项公式．
18.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.
(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S 5＝3132
，求λ.
19．(12分)(2017·唐山一中期末)已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，前4项和S 4＝28.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .
20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．
(1)当t 为何值时，数列{a n }是等比数列；
(2)在(1)的条件下，若等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .
21．(12分)等差数列{a n }的各项都是整数，首项a 1＝23，且前6项和是正数，而前7项之和为负数．
(1)求公差d ；
(2)设S n 为其前n 项和，求使S n 最大的项数n 及相应的最大值S n .
22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足：b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)求数列{b n }的通项公式b n ；
(3)若c n ＝a n ·b n n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
答案与解析
1．A 在等比数列{a n }中，∵a 3a 7＝a 4a 6＝4a 4，
∴a 6＝4，∴a 8＝a 6q 2＝4×(－2)2＝16.故选A.
2．B 由已知得a 2·a 3＝(2×2－2)(3×3＋1)＝20.
3．B 由2b 3－b 2b 4＝0，
得2b 3＝b 23，∴b 3＝2，∴a 3＝2，
故S 5＝5(a 1＋a 5)2
＝5a 3＝10，故选B. 4．D 将a n ＝－2n 2＋29n ＋3看作一个二次函数，
但n ∈N *，对称轴n ＝294
开口向下， ∴当n ＝7时离对称轴最近，∴a n 的最小值为a 7＝108，故选D.
5．B 设等比数列的公比为q ，
∴a 5＝a 2·q 3，
∴243＝9×q 3，∴q ＝3.
∴a 1＝93
＝3. S 4＝3(1－34)1－3
＝120，故选B. 6．B ∵a 10<0, ∴a 1＋9d <0.
∵a 11>0, ∴a 1＋10d >0.
又a 11>|a 10|, ∴a 1＋10d >－a 1－9d .
∴2a 1＋19d >0.
∴S 19＝19a 1＋19×182
d ＝19(a 1＋9d )<0. 排除A 、D.
S 20＝20a 1＋20×192
d ＝10(2a 1＋19d )>0. 排除C. 故选B.
7．B 由题可知数列{a n }为等差数列，
∴S 25＝25×(a 1＋a 25)2
＝100，∴a 1＋a 25＝8， ∴a 12＋a 14＝a 1＋a 25＝8，故选B.
8．C 由S 50，
由S 6＝S 7，得S 7－S 6＝a 7＝0，
∴d <0，S 9
9．C 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，
则????? a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得?????
a 1＝－8，d ＝2. ∴S n ＝－8n ＋n (n －1)2
×2＝n 2－9n ， S 4＝－20，S 5＝－20，
∴S 4＝S 5，故选C.
10．B 由已知可得数列????
??1a n 是等差数列． ∵a 1＝1，a 2＝23，∴1a 1＝1，1a 2＝32
， ∴公差d ＝32－1＝12，∴1a 6＝1a 1＋5d ＝1＋52＝72
， ∴a 6＝27
. 11．D f (n )＝sin n π25
的周期T ＝50. a 1，a 2，…，a 24>0，a 25＝0，a 26，a 27，…，a 49<0，a 50＝0.
且sin 26π25＝－sin π25，sin 27π25＝－sin 2π25
，… ∴S 1，S 2，…，S 50都为正，同理，S 51，…，S 100都为正，故选D.
12．B 由S n ＝n 2＋3n ，可得a n ＝2(n ＋1)，
∴b n ＝12(n ＋1)×2(n ＋2)＝14?
???1n ＋1－1n ＋2， 则数列{}b n 的前64项和为T 64＝
14????12－13＋13－14
＋…＋165－166＝433，故选B. 13．－10
解析：由等差数列的性质知，a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，
∴a 10＝10.∴a 18－2a 14＝(a 10＋8d )－2(a 10＋4d )＝－a 10＝－10.
14．4
解析：∵a 8＝a 6＋2a 4，∴a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4.
∵a 4>0，∴q 4－q 2－2＝0.解得q 2＝2.
又∵a 2＝1，∴a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.
15．496
解析：∵a n ＋1＝4a n ＋2n ，∴a 2＝4a 1＋2＝6，a 3＝4a 2＋22＝28；a 4＝4a 3＋23＝120，a 5＝4a 4＋24＝496.
16.8
解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.
又∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.
∴数列{a n }的前8项和最大，即n ＝8.
17．解：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝3＋2＝5；
当n ≥2时，∵S n ＝3＋2n ，S n －1＝3＋2n －1，
∴a n ＝S n －S n －1＝2n －1，而a 1＝5，
∴a n ＝?????
5，n ＝1，2n －1，n ≥2. (2)∵S n ＝2n 2＋n ，当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)，
∴a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1.
又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝4n －1.
18．解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1, 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1
≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n －1＝1＋λa n －1得a n ＝λa n －λa n －1，即a n (λ－1)＝λa n －1，由a 1≠0，λ≠0
得a n ≠0.所以a n a n －1＝λλ－1
. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ???
?λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－????λλ－1n ，由S 5＝3132得1－????λλ－12＝3132，即????λλ－15＝132
，解得λ＝－1.
19.解：(1)由题得????? a 1＋d ＝5，4a 1＋6d ＝28，∴?????
a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.
(2)b n ＝(－1)n (4n －3)，
T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n
＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋(－8n ＋7＋8n －3)
＝4n .
20．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．
∴当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t
＝3，从而t ＝1，即当t ＝1时，数列{a n }是等比数列．
(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，于是b 2＝5. 故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2.
解得d 1＝2，d 2＝－10.
∵等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，∴d <0，d ＝－10.
∴T n ＝15n ＋n (n －1)2
×(－10)＝20n －5n 2.
21.解：(1)由题意，得?????
S 6>0，S 7<0. ∴??? 6a 1＋12×6×5d >0，
7a 1＋12×7×6d <0.
∴－465 ，又等差数列各项都是整数， ∴d ＝－8或d ＝－9. (2)当d ＝－8时， S n ＝23n ＋12 n (n －1)(－8)＝－4n 2＋27n . 当n ＝3时，S n 最大，(S n )max ＝45. 当d ＝－9时， S n ＝23n ＋12n (n －1)×(－9)＝－92n 2＋552 n . 当n ＝3时，(S n )max ＝42. 22．解：(1)S n ＝3n ，S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3≠2×31－1， ∴a n ＝????? 3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3， 以上各式相加得，b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2 ＝(n －1)2. 又b 1＝－1，故b n ＝n 2－2n . (3)由题意得，c n ＝a n ·b n n ＝ ????? －3，n ＝1，2(n －2)×3n －1，n ≥2. 当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2×(n －2)×3n －1， ∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2×(n －2)×3n . 两式相减得，－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2×(n －2)×3n ， ∴T n ＝－(3＋32＋33＋…＋3n －1)＋(n －2)×3n ＝(n －2)×3n －3n －32＝(2n －5)3n ＋32 . 又T 1＝－3＝(2×1－5)×31＋32，符合上式，∴T n ＝(2n －5)3n ＋32 (n ∈N *)．
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