高考数学 压轴题专题训练定义新概念型综合1
1、已知在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线1C 的方程0),(=y x F 中，以),(y x λλλ(为正实数）代替),(y x 得到曲线2C 的方程0),(=y x F λλ，则称曲线21C C 、关于原点“伸缩”，变换),(),(y x y x λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．(Ⅰ)已知曲线1C 的方程为14
92
2=-y x ，伸缩比2=λ，求1C 关于原点“伸缩变换”后所得曲线2C 的标准方程；
(Ⅱ)射线l 的方程)0(22≥=x x y ，如果椭圆：1C 14
1622=+y x 经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆21C C 、分别交于两点B A 、，且2=AB ，求椭圆2C 的标准方程；
(Ⅲ)对抛物线x p y C 1212=：，作变换),(),(11y x y x λλ→，得抛物线x p y C 22
22=：；
对2C 作变换),(),(22y x y x λλ→得抛物线x p y C 3232=：，如此进行下去，对抛物线
x p y C n n 22=：作变换),(),(y x y x n n λλ→,得抛物线x p y C n n 1212++=： ，
．若n n p )2
1
(,11==λ，求数列{}n p 的通项公式n p ．
2对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()
-
污物质量
物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方
案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
0.8
1
x x ++(1x a >-),用y 质量的水第
二次清洗后的清洁度是
y ac
y a
++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
3、对于区间],[n m 上有意义的两个函数()x f 和()x g ，如果对任意的[]n m x ,∈，均有
1|)()(|≤-x g x f ，则称()x f 与()x g 在],[n m 上是接近的，则称否()x f 与()x g 在],[n m 上是非接近的。
现有两个函数)1,0(1
log )()3(log )(21≠>-=-=a a a
x x f a x x f a a 与 （1）求)()(21x f x f -的定义域；
（2）若)()(21x f x f 与在整个给定区间]3,2[++a a 上都有意义，
①求a 的取值范围；
②讨论)()(21x f x f 与在整个给定区间]3,2[++a a 上是不时是接近的。
4、（1）已知ABC ?的三个顶点为()()()4,2,2,3,1,1C B A ，求ABC ?的面积． （2）对于ABC ?的三个顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ．定义三阶行列式
23123113322133
22
11
1
11
y x y x y x y x y x y x y x y x y x D ---++==（当C B A 、、三点逆时针排列时，三阶行列式D 的值为正），试对（1）中ABC ?计算三阶行列式D 的绝对值的值，说
明其与ABC ?的面积的关系，并由此猜想三阶行列式1
11
33
22
11
y x y x y x D =的绝对值的几何意义．
（3）若ABC ?的顶点A 在直线x y =上运动，顶点()8,6B ，顶点C 在线段
()532≤≤=x x y 上运动，且B C A 、、三点的横坐标成等差数列，请问ABC ?的面积是
否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．
5、已知二次函数()()2
f x x ax a x R =-+∈同时满足：⑴不等式()0f x ≤的解集有且只
有一个元素；⑵在定义域内存在120x x <<，使得不等式()()12f x f x >成立。设数列{}n a 的前()n n S f n =项和，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{},3n
n n n
a b b n =
求数列的前项和；
（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足10i i c c i +<的正整数的个数称为这个数列{}n c 的变号数。另(){}1n n n
a
c n c a =-为正整数，求数列的变号数。
6、把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1 3 5 7 9 11 － － － － － － － － －
设ij a 是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数。 （1） 若2007mn a =，求,m n 的值； （2） 已知函数()f x 的反函数1
3()8(0)n f
x x x -=>为，若记三角形数表中从上往下数第
n 行各数的和为n b ，求数列(){}n f b 的前n 项和n S 。
7、在直角坐标平面xoy 上的一列点1122(1,),(2,),
(,),,n n A a A a A n a 简记为{}n A ，若由
1n n n b A A j +=?构成的数列{}n b 满足1,1,2,
,n n b b n +>=其中j 是y 轴正方向相同的单位
向量，则{}n A 为T 点列．
（1）判断123111(1,1),(2,),(3,)
(,),
,23n A A A A n n
是否为T 点列，并说明理由；
（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在1A 的右上方，任取其中连续三点12k k k A A A ++、、，判定12k k k A A A ++?的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+.求证：
n q m p A A j A A j ?>?
8、定义函数()(1)1,2,n
n f x x x n N =+->-∈
（1）求证：()n f x nx ≥
（2）是否存在区间[a ，0]（a <0），使函数32()()()h x f x f x =-在区间[a ，0]上的值域为[ka ，0]？若存在，求出最小的k 值及相应的区间[a ，0]，若不存在，说明理由。
9、定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数x 1，x 2，均有：
|||)()(|2121x x k x f x f -≤-成立，则称)(x f 在D 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件。
（1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz ）条件的函数及常数k 的值，并加以验证； （2）若函数),1[1)(+∞+=
在x x f 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件，求常数k 的最
小值；
（3）现有函数x x f sin )(=，请找出所有的一次函数)(x g ，使得下列条件同时成立： ①函数)(x g 满足利普希茨（Lipschitz ）条件；
②方程0)(=x g 的根t 也是方程))(())((0)(t g f t f g x f ==的根，且； ③方程))(())((x f g x g f =在区间)2,0[π上有且仅有一解。
10、两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE 与CF 所成的角； （2）问此正子体的体积V 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围． [解]
11、对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列
1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．
对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义22
2
1212()2(2)m m S B b b mb b b b =++
++++
+．
设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，
，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，
1()()k k S A S A +=．
A
B
E D
F C A B E D F C · · · · · ·
12、已知函数2(),,ax f x a b R x b
+=∈+，定义：()f x 函数图象的渐近线是指与()f x 图象无
限靠近，但永不相交的直线，若12:1,:1l x l y =-=分别是()f x 图象的两条渐近线。 ①求实数,a b 的值；
②若数列{}
n a 满足：1122,(*)()1
n n a a n n N f a +==
∈-≥1,，
求数列{}n a 的通项公式； ③数列{}
n b 满足：()2n n b n a =+，数列{}
n b 的前项的和为n S ，若
()12
n
n
S m n ≤-恒成立，求实数m 的最小值。
13、对于数列{}n a ，定义{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中
1(*)n n n a a a n N +?=-∈.
（Ⅰ）若数列{}n a 的通项公式2513
(*)22
n a n n n N =-
∈，求{}n a ?的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n a 的首项是1，且满足2n n n a a ?-=.
①设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； ②求{}n a 的前n 项和n S .
14、定义在定义域D 内的函数y =f (x ),若对任意的x 1、x 2∈D ,都有|f (x 1)－f (x 2)|＜1,则称函数y =f (x )为“Storm 函数”．已知函数f (x )=x 3－x +a (x ∈［－1,1］,a ∈R )．
（1）若2a =，求过点(1,2)处的切线方程；
（2）函数()f x 是否为“Storm 函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由．
15、造船厂年造船量20艘，造船x 艘产值函数为()2337004510R x x x x =+-（单位：万元），
成本函数()4605000c x x =+（单位：万元），又在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-
（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x （利润=产值—成本） （2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大 （3）边际利润函数()MP x 的单调递减区间
16、定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.
已知函数()11124x
x
f x a ????
=+?+ ? ?????
；x
x m m x g 2121)(?+?-=. （1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；
（3）若0>m ，函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ，求)(m T 的取值范围.
17、容器A 内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B 内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A 内的盐水倒1升进入B 内，再将B 内的盐水倒1升进入A 内，称为一次操作；这样反复操作n 次，A 、B 容器内的盐水的质量分数分别为,n n a b ，
（I ）问至少操作多少次，A 、B 两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求n n a b 、的表达式，并求n n n n b a ∞
→∞
→lim lim 与的值.
18、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．
（I ）判断()1f x =
，()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些
不是，并说明理由；
（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保
三角形函数”；
（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值． （可以利用公式sin sin 2sin cos 22
x y x y
x y +-+=）
19、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果
函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=
∈-有且仅有两个不动点0、2，且1
(2)2
f -<-． （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =，求证：1111
ln n n
n a n a ++-<<-；
（Ⅲ）设1
n n
b a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．
21、当n 为正整数时，区间(,1)n I n n =+，n a 表示函数3
1()3
f x x x =
-在n I 上函数值取整数值的个数，当1n >时，记1n n n b a a -=-．当0x >，()g x 表示把x “四舍五入”到个位
的近似值，如(0.48)0,1,g g ==(2.76)3,(4)4,...,g g ==当n 为正整数时，n c 表示
满足g n =的正整数k 的个数．
（Ⅰ）求22,;b c
（Ⅱ）求证：1n >时，;n n b c =
（Ⅲ）当n 为正整数时，集合1,2n k M g n k N +??==∈?
???
中所有元素之和为n S ，记(22),n n
n n T S -=+求证：123... 3.n T T T T ++++<
参考答案
1、解(Ⅰ) 由条件得14
)2(9)2(22=-y x ，得2C ：14
922
=-y x ；（2分）
(Ⅱ) 关于原点、12C C “伸缩变换”，对1C 作变换)0)(,(),(>→λλλy x y x ，
得到2
C 14
16
2
22
2=+
y x λλ，（3分）
解方程组???????=+≥=1416)0(2222y x x x y 得点A 的坐标为)362,334(；（4分） 解方程组???????=+≥=1416
)0(222222y x x x y λλ得点B 的坐标为)362,334(λλ；（5分） 22)3
62362()334334(
-+-=λλAB ＝
λλ1
22-＝2， 化简后得04832
=+-λλ，解得3
2221=
=λλ，， 因此椭圆2C 的方程为142
2=+y x 或19
3622=+y x ．（7分）（漏写一个方程扣1分） (Ⅲ)对n C ：x p y n 22=作变换),(),(y x y x n n λλ→得
抛物线1+n C ：，x p y n n n λλ2)(2=得x p y n
n
λ22
=
，
又n
n
n n p p x p y λ=
∴=++112
,2 ，即
n n
n n p p 21
1==+λ，（9分） ?12p p ?23p p ?? 34
p p ?-21n n p p －1
-n n p p ＝1322222-????n , 则)1()
1(3211
2122--++++==n n n n p p ，（11分） 或
1)1(21
112)2()1(1112
22,2p p p p p p n n n n n n n n n n -+++-+---+=
====
11=p ，)1(2
1
2
-=∴n n n p ．（12分）
2、解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z,由题设有0.8
1
x x ++=0.99,解得x=19…………2分.
由0.95c =得方案乙初次用水量为3…………3分, 第二次用水量y 满足方程:
0.950.99,y a
y a
+=+解得y=4a …………4分
,故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3…………5分.
因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少…………7分.
（II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得
54
5(1)
c x c -=
-…………8分，
(99100)y a c =-（*）…………9分
于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1
100(1)15(1)a c a c =+----
当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+
当且仅当
1
100(1)5(1)
a c c =--时等号成立…………11分.
此时1)1(0.8,0.99),
c c =+
=不合题意,舍去或
将1
c =-
代入（*）式得11,.x a y a =>-=
故1
c =-
时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为
1a 与…………12分
最少总用水量是()1T a a =-+.当'13,()10a T a ≤≤=
>时,故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量…………14分, 3、（1）定义域为),3(+∞a （2）①23+ ②若上接近在与]3,2[)()(21++a a x f x f a a x a x a a x a x a 1 ))(3(1|)(1log )3(log |2≤--≤≤---恒成立即则 1257901 694444,69]3,2[))(3(10min max -≤<∴?? ? ??≤-≥-∴-=-=∴++--=∴< a a y a y a a a x a x y a 上单调递增在函数 4、解：（1） 2 5 （2）三阶行列式 33 22 11 y x y x y x D =()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 为顶点三角形面积的2倍． （3） ()()() () 4 25,275,34252767121421 2186 162622,,8,6,62,622 22= =∴∈+ ??? ? ? --=-+-=-+-=--=--??最大值ABC ABC S x x x x x S x x x x x x x D x x C B x x A 5、（1）()0f x ≤∵的解集有且只有一个元素 ∴2 4004a a a a =-=?==或。 ∵在定义域内存在120x x <<，使得不等式()()12f x f x >成立 ∴()y f x R =函数在上是递减函数。 当0a =时，函数()()2 0f x x =+∞在，上递增， 故不存在()()12120,x x f x f x <<>使得不等式成立。 当4a =时，函数()()2 4402f x x x =-+在，上递增， 故存在()()12120,x x f x f x <<>使得不等式成立。 综上，得()2 4,44,44n a f x x x S n n ==-+=-+∴ 1111441n a S ===-+=当时，； 当1225n n n n a S S n -≥=-=-时， ∴1,1 25,2n n a n n =?=?-≥? （2）∵234 111325 33333n n n T --= +++++ ① ∴234511111325 33333 3 n n n T +--=+++++ ② ①－②得： 234512121111 252333333 33 n n n n T +-??=++++++ - ??? 22211111225 332133313 n n n -+??- ?--??=++-- ∴111 111125141 236233323n n n n n n T -++--= -+--=- ?? 10分 （3）解法一：由题设3,1 4 1,225 n n c n n -=?? =?-≥?-? ∵3n ≥时，1448 02523(25)(23) n n c c n n n n +-= -=>---- ∴3n ≥时，数列{}n c 递增 ∵4103a =- <，由410525 n n ->?≥-，可知450a a ?< 即3n ≥时，有且只有1个变号数 又∵1233,5,3c c c =-==-，即12230,0c c c c ? 14分 解法二：由题设3,1 4 1,225 n n c n n -=?? =?-≥?-? 2n ≥时，令129273500252322n n n n c c n n n +--? 22 n << 2n ?=或4n = 又∵123,5c c =-=，即120c c ?< 综上得，数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3 14分 6、解：（1）∵三角形数表中前m 行共有(1) 1232 m m m ++++ += 个数， ∴第m 行最后一个数应当是所给奇数列中第(1)2m m +项，即2(1) 2112 m m m m +?-=+-。 因此，使得2007mn a =的m 是不等式2 12007m m +-≥的最小正整数解。 由212007m m +-≥得2 20080m m +-≥，∴44m ≥>=。 ∴45m =。 第45行第一个数是2 4444121981+-+=，∴20071981 114.2 n -= += （2）∵1 3 ()8(0)n f x x x -=>，∴1()0)2n f x x ?? => ? ?? 。 ∵第n 行最后一个数是2 1n n +-，且有n 个数，若2 1n n +-将看成第n 行第一个数，则第 n 行各数成公差为2-的等差数列，故() 23(1) (1)22 n n n b n n n n -=+-+-=。∴ 11 ()()22 n n n f b n ??== ? ?? 。 故2 3 1111232222n n S n ???? ??=+++ ? ? ????? ??。用错位相减法可求得12(2)2n n S n ?? =-+ ??? 。 7、解：（1）11111 ,,,{}.1(1) n n n n n a b b b A T n n n n n +-= ∴=-=>∴++显然有为点列 （3分） （2）12111221,(1,),(1,),k k k k k k k k k k k A A A A A a a A A a a ++++++++?=--=-在 1122111()(),k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++?=-+-- （5分） 2112110,{}0,n A A b a a A T b ∴=->∴≥>n 点在点的右上方，为点列b 2111112()()0,0.k k k k k k k k k k a a a a b b A A A A +++++++--=- 1212,k k k k k k A A A A A A ++++∴∠∴?为钝角为钝角三角形. （8分） （3）1,m n p q ≤<< 112112(),q p q q q q p p q q p p a a a a a a a a b b b q p b ---+---=-+-+ +-=++≥-② 同理121(),n m n n m n a a b b b n m b ----=++ ≤-③ （12分） 由于{}n A 为T 点列，于是1,p n b b ->④ 由①②③④可推得,q p n m a a a a ->- （13分） ,q n p m n q m p a a a a A A j A A j ∴->-?>?即 （14分） 8、（1）证明：()(1)1n n f x nx x nx -=+-- 令()(1)1n g x x nx =+--，则()() 1 11n g x n x -??'=+-? ? 。 当()2,0x ∈-时，()0g x '<，当()0,x ∈∞，()0g x '> ∴()g x 在x ＝0处取得极小值(0)0g =，同时()g x 是单峰函数，则(0)g 也是最小值。 ∴()0g x ≥，即()n f x nx ≥（当且仅当x ＝0时取等号）。………………………（5分） （2）()2 32()()()1h x f x f x x x =-=+， ()()()()()2 121113h x x x x x x '=+++=++ 令()0h x '=，得1x =-，1 3 x =- ∴当()2,1x ∈--时，()0h x '>；当11,3x ??∈-- ???时，()0h x '<；当1,3x ??∈-+∞ ??? 时， ()0h x '>。故()h x 的草图如图所示。 方法1：下面考察直线()0y kx k =>与曲线()y h x =的相交情况 ①若103a - ≤<时，∵()h x 在1,03?? -???? 上增 令()21ka a a =+∴0a =（舍） 1a =（舍） 1a =，又∴1103-≤< 得4 19 k ≤< 此时存在区间 [] ,01,0a ?=? min 49k = []1,0,03a ?? =-???? ②若13 a <-时，如图，图象极小值点为14,3 27A ??-- ???，过A 作直线427 y =-， 与()h x 图象交于另一点B 。如果存在满足条件的区间[],0a 。 则须()13h a h ?? ≤- ??? 解得43 a ≤- 。令()2 1ka a a =+ 解得1a = 413≤- 得19k ≥∴min 19k = 此时 []4,0,03a ??=-???? 综上：存在k 的最小值 19，相应区间[]4,0,03a ?? =-???? ……………………………（14分） 方法2：①在103a -≤<时，()h x 最小值()h a ka =∴()2 419 k a =+≥ ②在4133a - ≤≤-时 ()h x 最小值14327h ka ?? =-=-= ??? ，427y a =-，1499k ≤≤ ③在43 a ≤- 时 ()h x 最小值＝()2 (1)h a a a ka =+= ∴()2 119k a =+≥，43 a =-时取等号。 综上讨论可知a 的最小值为 19，此时[]4,0,03a ?? =-???? 。………………………（14分） 9、解：（1）例如令||2||)(2121x x x x x x f -≤-=，由 知可取k=2满足题意（任何一次函数或常值函数等均或）。 …………2分 （2）Q ：1)(+= x x f 在),0[+∞为增函数 ∴对任意R x x ∈21,有 2 1 1 11|) 1()1(11||) ()(|2121212121< +++= +-++-+=--x x x x x x x x x f x f （当0,021→=x x 时取到）所以 2 1 min = k ………………6分 （3）由于所有一次函数均满足（1）故设0)(Q )0()(=≠+=x g t k b kx x g 是的根 ∴)0()0( ))(())((0)(g f t f g t g f k b t t g =∴=-=?=，又 ∴b=0， ∴kx x g =)( 若k 符合题意，则－k 也符合题意，故以下仅考虑k>0的 情形。 设 x k kx x f g x g f x h sin sin ))(())(()(-=-= ①若，且，则由0sin sin )(1<-=≥k k k h k π ππ 02 3sin 23sin 22sin )23( ≥+=-=k k k k h ππππ 所以，在]23,[π πk 中另有一根，矛盾。 ②若02sin 2sin ]2[,0sin sin )(121<-=≥-=<<ππππππk k h k k k h k ，则由 所以，在]2,[ππk 中另有一根，矛盾。 ∴2 1 0≤ 以下证明，对任意kx x g k =∈)(],21 ,0(符合题意。 当x y x sin ]2 , 0(=∈时，由π 图象在连接两点（0，0） ，)sin ,(x x 的线段的上方知 0)(,sin sin >>x h x k kx 当0)(,sin 2 sin 2sin sin ,]2, 2(>∴≥≥>∈x h x k k k kx k x π ππ π时 当0)(,0sin ,0sin )2,2( >∴<>∈x h x kx k x 时，ππ 综上，0)(=x h 有且仅有一个解x=0， ∴]2 1 ,0()(∈=k kx x g 在满足题意。 综上所述：]2 1 ,0()0,21[,)(?- ∈=k kx x g …………14分 10、解：（1）方法一：如图，分别以CA 、DB 为x 、y 轴建立空间直角坐标系． 因为1,1==BD AC ，所以)0,21,0(-D ，)21,0,0(E ，)0,0,21(-C )2 1 ,0,0(-F }21,21,0{=，}21 ,0,21{-=---------------4 分 2 1 cos -=θ-----------------6分 因为异面直线所成角为锐角，故异面直线DE 与CF 所成的角为 60----------------7 分 方法二：见文科答案与评分标准． （2）正子体体积不是定值．-------------8分 设ABCD 与正方体的截面四边形为 D C B A ''''， 设x A A =')10(≤≤x 则 x B A -='1----------------------------9分 2 1)2 1 (2)1(2 2 2 2 +-=-+=x x x AD 故 ]1,2 1[2 ∈=AD S ABCD ----------------------------------------------------------------------12分 ]3 1 ,61[3122131231∈=???=???=ABCD ABCD ABCD S S h S V -----------------------------14分 11、（Ⅰ）解：0532A ： ，，，10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，；11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，． （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -， 从而 112(())2[2(1)3(1)(1)(1)] n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-+ +-． 又22 2 1212()2(2)n n S A a a na a a a =++++++ +， 所以1(())()S T A S A - 122[23(1)]2()n n n a a a =--- -+++++2122()n n a a a n +-++ ++ 2(1)0n n n n =-+++=， 故1(())()S T A S A =． （Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ， 则()()S C S A =． 所以2(())()S T A S A ≤． 从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==， ，， 可知11()(())k k S A S T A +≤． A E D F C A B E D F C · · · · · · O 第二章 平面向量 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1 ． 下 列 物 理 量 中 ， 不 能 称 为 向 量 的 是 （ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2 ． 设 O 是 正 方 形 ABCD 的 中 心 ， 向 量 （ ） AO 、OB 、CO 、OD 是 A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是 （ ） A ．|a | = |b | ? a = b B ．|a |> |b | ? a > b C ．a = b ? a 与 b 共线 D ．|a | = 0 ? a = 0 4．在下列说法中，正确的是 （ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同; B ．模为 0 的向量与任一非零向量平行; C ．向量就是有向线段; D ．若|a |=|b |，则 a =b 5．下列各说法中，其中错误的个数为 （ ） （1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;（2）两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为 BC 、CA 、AB 的中点，在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有 （ ） A ．2 个 B ．3 个 C ．6 个 D ．7 个 二、填空题 7. 在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1） 与 AO 相等的向量有 ； （2） 与 AO 共线的向量有 ； （3） 与 AO 模相等的向量有 ； （4） 向量 AO 与CO 是否相等？答： ． 9．O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 AO = a ， OB = b ， AB = c ，在以 A 、B 、C 、D 、E 、 F 、O 为端点的向量中： E D （1） 与 a 相等的向量有 ； （2） 与 b 相等的向量有 ； F （3） 与 c 相等的向量有 ． *10．下列说法中正确是 （写序号） （1） 若 a 与 b 是平行向量，则 a 与 b 方向相同或相反； A B （2） 若 AB 与CD 共线，则点 A 、B 、C 、D 共线； （3） 四边形 ABCD 为平行四边形，则 AB = CD ； （4） 若 a = b ，b = c ，则 a = c ； （5） 四边形 ABCD 中， AB = DC 且| AB |=| AD | ，则四边形 ABCD 为正方形； （6）a 与 b 方向相同且|a | = |b |与 a = b 是一致的； 三、解答题 高中数学高考总复习函数概念习题及详解 一、选择题 1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1. (理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝? ???? 2x x ∈(－∞，2] log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是 ( ) A ．2 B ．16 C ．2或16 D ．－2或16 [答案] C [解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C. 2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝??? log 3x x >02x x ≤0 ，则f (f (1 9))＝( ) A ．4 B.1 4 C ．－4 D ．－14 [答案] B [解析] ∵f (19)＝log 31 9＝－2<0 ∴f (f (19＝f (－2)＝2－2＝1 4 . (理)设函数f (x )＝? ???? 21－x －1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(10，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(－1,10) D ．(0,10) [答案] A [解析] 由??? x 0<121－x 0－1>1或??? x 0≥1 lg x 0>1 ?x 0<0或x 0>10. 3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 [答案] C [解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C. 4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x 1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图 象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( ) A ．－32 B ．－1 C ．－12 D ．0 [答案] D [解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a 1＋a ＝1， ∴a ＝0. 5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( ) [答案] A [解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y ＝f (1－x )的图象，故选A. 解法2：由f (0)＝0知，y ＝f (1－x )的图象应过(1,0)点，排除B 、C ；由x ＝1不在y ＝f (x )的定义域内知，y ＝f (1－x )的定义域应不包括x ＝0，排除D ，故选A. 6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调，求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的 2020年高考数学试题分类汇编：复数 【考点阐述】 复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充． 【考试要求】 （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 【考题分类】 （一）选择题（共18题） 1．（安徽卷理1）复数 3 2 (1)i i +=（ ） A ．2 B ．－2 C ． 2i D ． 2i - 【标准答案】：A 。 【试题解析】：=+2 3 )1(i i 2)2)((=-i i 2．（福建卷理1）若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.-1 【标准答案】B 【试题解析】由2 320a a -+=得12a =或,且101a a -≠≠得2a ∴= 【高考考点】虚数的有关概念及二次方程的解 【易错提醒】对于纯虚数一定要使虚部不为0才可,往往很多考生就忽视了这点. 【学科网备考提示】对于书上的概念一定要熟记,特别注意易错点. 3．（广东卷理1文2）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．(15)， B ．(13)， C ．(1 D ． 【标准答案】Ｃ 【解析】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，同时考查利用函数思想求范围。 由于0＜a ＜2，故2 115a <+<∴(z = 4．（海南宁夏卷理2）已知复数z =1-i,则1 22--z z z = (A)2i (B)-2i (C)2 (D)-2 【标准答案】Ｂ 【试题解析】将1=-z i 代入得()()2 2121222 2111i i z z i z i i i ------====------，选Ｂ 5．（海南宁夏卷文3）已知复数1z i =-，则 2 1 z z =-（ ） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 【标准答案】Ａ 【试题解析】将1=-z i 代入得()2 2122111--===----i z i z i i ，选Ａ 6．（湖南卷理1）复数31 ()i i -等于( ) A.8 B.－8 C.8i D.－8i 【答案】D 【解析】由3 3412()( )88i i i i i i --==-?=-,易知D 正确. 7．（江西卷理1）在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D . 【解析】因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 8．（辽宁卷理4）复数 11 212i i + -+-的虚部是（ ） 专题02 函数的概念与基本初等函数I 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.2 02 21,b =>= 0.3000.20.21,c <=<=即01,c << 则a c b <<． 故选B ． 【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 【答案】D 【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()x f x f x --=-=-， 得()e 1x f x -=-+． 故选D ． 【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， a b c < 高中（高考）数学知识点 集合的概念练习卷 试卷排列：按知识点 知识点：集合的概念 难度：中等以上 版本：适合各地版本 题型：填空题40多道， 选择题20多道， 解答题20多道， 共100道 有无答案：均有答案或解析 价格：6元，算下来每题6分钱。页数：46页 1．已知A B ?，A C ?，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是（ ） A ．{}1,2 B ．{}2,4 C ．{}2 D ．{}4 【答案】C 【解析】解：因为{2}}8,4,2,0{},5,3,2,1{,可以是A C B B A C A ∴==?? 2．若A 、B 、C 为三个集合，且C B B A =，则一定有（ ） A 、C A ? B 、A C ? C 、C A ≠ D 、φ=A 【答案】A 3．： 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 【答案】：B ． 【解析】：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M ={}0,1,2 4．设a ,b ∈R ，集合a b b a b a b a -=+则},,,0{},,1{= （A ）1 （B ）－1 （C ）2 （D ）－2 【答案】C 5．已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)}M x y x y a =+<， {(,)()}P x y y f x ==， 现给出下列函数：①x y a =②log a y x =③sin()y x a =+④cos y ax =，若01a <<时，恒有U P C M P ?=，则()f x 所有可取的函数的编 号是 （ ） A ． ①②③④ B ．①②④ C ．①② D ．④ 【答案】B 【解析】 考点：补集及其运算；交集及其运算． 专题：计算题；数形结合． 分析：利用补集的定义求出?uM ，由P∩?uM=P ，得到P ??uM ，故P 中的函数f （x ）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件． 2015年高考数学中的新定义型试题例析 纵观近几年的高考数学命题，可以发现“新定义”问题越来越受到重视.这类题目以能力立意为目标，集应用性、探索性和开放性于一体，在全面考查学生的数学知识、方法及数学思想的基础上，进一步考查学生的创新探究能力与学习潜力等综合素质. 新定义题，是指在中学数学教材中没有学过的新概念、新符号、新运算等，需要学生利用已有知识、能力进行阅读理解，并结合新概念解决问题的题目.下面对2015年高考中新定义型试题的三种题型进行分析.1函数新定义 例1（2015年湖北理6）已知符号函数sgnx=1，x>0， 0，x=0， -1，x1），则（）. A.sgn[g（x）]=sgnx B.sgn[g（x）]=sgn[f（x）] C.sgn[g（x）]=-sgnx D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）] 解析分类比较x与ax的大小，根据f（x）的单调性确定g（x）的符号，从而确定sgn[g（x）]，再结合选项进行判断. 因为a>1，所以当x>0时，x0，sgn[g（x）]=1=-sgn（x）； 当x=0时，g（x）=0，sgn[g（x）]=0=-sgn（x）也成立，故C 正确. 点评此题结合高等数学中“符号函数”来编拟适合高中生的试题，体现了高等数学与中学数学的和谐美.本题较好地考查了学生的知识迁移能力、转化能力及探究能力，是高考命题者喜欢的题型.2实数运算新定义 例2（2015年山东文14）定义运算“”：xy=x2-y2xyx，y ∈R，xy≠0.当x>0，y>0时，xy+2yx的最小值为. 解析先利用定义的新运算写出解析式： xy+2yx=x2-y2xy+4y2-x22xy=x2y+yx，再利用基本不等式求得 xy+2yx的最小值为2，当且仅当x=2y时等号成立. 点评在高考题中引入新的符号，通过定义一种新的运算，考查学生的自学能力和探究能力.通过分析这类题目，给中学老师一种启发，就是在实际教学过程中，一定要注意培养学生的独立思考能力及自主探索的能力. 例3（2015年福建理15）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：x4?x5?x6?x7=0，x2?x3?x6?x7=0， x1?x3?x5?x7=0，其中?运算定义为：0?0=0，0?1=1，1?0=1， 高中数学“新定义”题型的解题策略 １.明确“新定义”题型的本质与特点 “新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。 ２.“新定义”题型解题步骤 解题时可以分这样几步： （１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。 （２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。 （３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。 ３.“新定义”题型的讲评建议 （１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。 （２）加强审题能力的培养。现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。 （３）拓宽学生的视野。可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。 波利亚在《怎样解题》的书中强调过“把解题认为是纯粹的智力活动是错误的。决心和情绪也起了重要的作用，要解决一个重大的科学问题，只有靠毅力才能坚持长年累月的艰苦工作，忍受痛苦的挫折”，而“新定义”题型一般都是在选择题、填空题、解答题的压轴题，培养学生能用自己的决心与之斗争，不被“新”所惑，透过“新”的表面把握问题的实质所在，能真正解决这类题目。 2018年高考数学试卷_浅析高考数学命题的几点新变化 从2004年至今，高考大规模地分省（市）命题已走过四年的历程. 纵观各地的高考数学试卷，在保持相对稳定、强调能力立意、体现各省（市）特色的基础上，数学命题呈现出以下新的特点： 1 顺应新课程新一轮高中课程改革正在全国轰轰烈烈地推进，作为对高中数学教学有着重要指导作用的高考理应关注新课改，顺应新课程，把新课程中的新知识、新方法、新思想有机地渗透到高考试卷中. 因此，比较好地体现新课程的内容与理念也就成为一些省（市）高考命题的创新点. 例1 （2007年高考?广东卷文7）例2 （2006年高考?陕西卷理12）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()．评析：例1源于新课程必修模块《数学3》中的算法，例2涉及的是新课程选修系列3中《信息安全与密码》的有关内容. 这两道题不但背景公平，而且也没有超纲，能比较好地考查考生的创新意识和思维能力，具有较强的选拔功能. 新考纲未到，考题已先行. 这就要求我们广大的高三老师在老高考向新高考过渡的过程中，不仅要重视老大纲、老考纲的学习，也要重视对新课程标准的学习与研究，关注新课程中新增的内容，汲取新课程的新鲜养分，创新高三复习思路. 在指导学生加强对基础知识、基本技能复习的同时，更要引导学生主动思考与探索，切实把提高学生的能力和数学素养放在重要的位置. 2 渗透高观念高观念问题指的是与高等数学有着密切内在联系的问题，这样的问题不是高等数学试题的简单“下嫁”，而是问题的背景源于高等数学. 命题者通过初等化的处理与巧妙设计，潜移默化地渗透高等数学中的一些观点与方法，考生通过长期积淀的数学素养照样可以解决. 这样的高观念问题融入到高考试卷中，使得试卷清新扑面，更能体现数学的内在联系，也更具选拔功能. 例3 （2007年高考?广东卷理8）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）．评析：分析这些试题，主要是通过以下两条途径渗透一些高观念. 一是初等化引进高等数学中的有关概念和运算. 高等数学中的一些概念与运算，有的是初等数学内容的延伸和拓展，有的则是以初等数学内容为载体在更高以及更广泛的领域内进行抽象和概括，命题人员正是抓住了这些高等数学概念与运算的初等数学背景，进行了合理的改造与设计，如上面的例3. 二是初等化处理高等数学中的一些性质、定理与公式，处理的方式是特殊化处理、变式化处理，如上面的例4涉及的是高等数学中的凸函数特性以及琴生不等式. 高观念试题进入高考试卷，拓展了高考命题的空间，顺应数学课程改革的潮流，更能体现高等数学与初等数学的内在联系. 因此在高中数学教学中，在注重初高中知识衔接的同时也要重视与大学内容的链接. 在这个过程中，教师要认真钻研教材，找准结合点，合理地设计一些含有高观念的问题来加强对学生的渗透，但切不可本末倒置，把高等数学中的有关习题原封不动地拿来给学生练习. 3 引入新概念所谓新概念问题指的是这类题目中给出了学生没有接触过的新知识或通过新的规定创设出的新的问题情景的试题，包括对新概念进行定义，对新概念、新情景中出现的新知识、新运算、新技能等进行说明，要求学生边读题审题边学习领悟新内容，以此考查学生进一步学习的潜能. 例5 （2007年高考?福建卷理16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a∈A，都有a~a；（2）对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；（3）传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c则有a~c. 则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数 导数的概念和运算 【考纲要求】 1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2.掌握常函数y=C ，幂函数y=x n （n 为有理数），三角函数y=sinx ，y=cosx ，指数函数y=e x ，y=a x ，对数函数y=lnx ，y=log a x 的导数公式； 3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。 4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数()y f x =，在点0x x =处给自变量x 以增量x ?，函数y 相应有增量00()()y f x x f x ?=+?-。若极限0000()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=??存在，则此极限称为()f x 在点0x 处的导数，记作0'()f x 或0'|x x y =，此时也称()f x 在点0x 处可导。 即：00000()()()x x f x x -f x y f 'x lim lim x x ?→?→+??==??（或0000()()()x x f x -f x f 'x lim x -x →=） 要点诠释： ①增量x ?可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f , 称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数。 函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，0'()f x 是常数，是函数'()f x 在0x x =处的函数值，反映函数()f x 在0x x =附近的变化情况。 要点诠释： 函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，0'()f x 是常数，是函数'()f x 在0x x =处的函数值，反映函数()f x 在0x x =附近的变化情况。 3．导数几何意义： 导数的概念和运算 导数的概念 导数的运算 初等函数的求导公式 导数的运算法则 复合函数求导 高中数学“新定义”题型的解题策略 １. 明确“新定义”题型的本质与特点 “新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。 ２. “新定义”题型解题步骤 解题时可以分这样几步： （１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。 （２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。 （３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。 ３. “新定义”题型的讲评建议（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。 （２）加强审题能力的培养。现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。 （３）拓宽学生的视野。可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。 波利亚在《怎样解题》的书中强调过“把解题认为是纯粹的智力活动是错误的。决心和情绪也起了重要的作用，要解决一个重大的科学问题，只有靠毅力才能坚持长年累月的艰苦工作，忍受痛苦的挫折”，而“新定义”题型一般都是在选择题、填空题、解答题的压轴题，培养学生能用自己的决心与之斗争，不被“新”所惑，透过“新”的表面把握问题的实质所在，能真正解决这类题目。 第五章 平面向量 一 平面向量的概念及基本运算 【考点阐述】 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示． 【考试要求】 （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 【2010年湖北卷理5文8】．已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC =0．若存在实数m 使得 AB +AC =m AM 成立，则m =B A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】由MA +MB +MC =0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则 AM = 31AD =32·21（AB +AC ）=3 1 （AB +AC ），所以有AB +AC =m AM ，故m =3，选B ． 【2010年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ．若CB =a ，CA =b ，| a |=1，| b |=1，则=B A ． 31a +32b B ．32a +31b C ．53a +54b D ．54a +5 3b 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得 CB CA DB AD =2，所以D 为AB 的三等分点，且=32=32（―），所以=+=32+31=32a +3 1b ． 【2010年陕西卷理11文12】．已知向量a =（2，―1），b =（―1，m ），c =（―1，2），若（a +b ）∥c ，则m = ． 【答案】―1 【解析】∵a +b =（1，m ―1），c =（―1，2），∴由（a +b ）∥c 得1×2―（―1）×（m ―1）=0，所以m =―1． 【2010年高考上海市理科13】．如图所示，直线x =2与双曲线Г：4 2 x ―y 2=1的渐近线交于E 1，E 2两点， 记1OE =e 1，2OE =e 2，任取双曲线上的点P ，若=a e 1+b e 2（a ，b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 ．4ab =1 【答案】4ab =1 【2010年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（5， 2021高考数学最可能考的80道题 高考数学历年考点框架 理科数学每年必考知识点： 复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。 理科数学每年常考的知识点： 常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。 最后冲刺指导（14个专题） 1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题 历年考情： 针对该考点，近9年高考都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。 2021高考预测： （2）常用逻辑用语小题 历年考情： 9 年高考中2017 年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。 简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。 2021高考预测： 、复数小题 历年考情： 9 年高考，每年 1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。 无法直接计算时可以先设z=a+bi 2021高考预测： 2020 年高考数学试题分类汇编：复数 【考点阐述】 复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充． 【考试要求】 （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 【考题分类】 （一）选择题（共18 题） 1．（安徽卷理 1）复数i3(1i )2（） A ． 2 B ．－ 2C．2i D ．2i 【标准答案】： A 。 【试题解析】： i 3 (1 i )2( i )( 2i )2 2．（福建卷理 1）若复数 (a2-3a+2)+(a-1) i 是纯虚数，则实数 a 的值为（） A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 【标准答案】 B 【试题解析】由a23a 20 得 a1或 2 ,且a 10得 a 1 a 2 【高考考点】虚数的有关概念及二次方程的解 【易错提醒】对于纯虚数一定要使虚部不为0 才可 ,往往很多考生就忽视了这点. 【学科网备考提示】对于书上的概念一定要熟记,特别注意易错点. 3．（广东卷理1文 2）已知0 a 2 ，复数z的实部为a，虚部为1，则 z 的取值范围是（）A ．(1，5)B．(13)，C．(1，5)D．(1，3) 【标准答案】Ｃ 【解析】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，同时考查利用函数思想求范围。 由于 0＜a ＜ 2，故 1 a 2 1 5∴ z a 2 1 1, 5 4．（海南宁夏卷理 2）已知复数 z=1-i, 则 z 2 2z = z 1 (A)2i (B)-2i (C)2 (D)-2 【标准答案】 Ｂ 2 2 1 i 2 1 i 【试题解析】 将 z 1 i 代入得 z 2z 2 2 2i ，选Ｂ 1 i 1 z 1 i i 5．（海南宁夏卷文 3）已知复数 z 1 i ，则 z 2 （ ） z 1 A. 2 B. － 2 C. 2i D. － 2i 【标准答案】 Ａ z 2 1 i 2 2i 【试题解析】 将 z 1 i 代入得 2，选Ａ 1 1 i 1 z i 6．（湖南卷理 1）复数 (i 1 ) 3 等于 ( ) i A.8 B.－ 8 C.8i D. －8i 【答案】 D 【解析】 由 (i 1)3 ( 2 )3 8 i 4 8i ,易知 D 正确 . i i i 7．（江西卷理 1）在复平面内，复数 z sin2 i cos2 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 D . 【解析】 因 sin 2 0,cos 2 0 所以 z sin2 i cos2对应的点在第四象限， 8．（辽宁卷理 4）复数 1 1 的虚部是（ ） 2 i 1 2i 2020年高考数学 必考题型总结 第一章 集合与常用逻辑用语 题型1 集合元素的“三性” （详见《专题课-集合的概念与运算》） 例1：设集合A ={2，3，a 2-3a ，a + 2 a +7}，B ={|a -2|，3}，已知4∈A ，且4?B ，则a 的取值集合为 . 题型2 集合间的关系 （详见《专题课-集合的概念与运算》） 例2：设集合A ={x |y =lg(x -x 2)}，B ={x |x 2-cx <0，c >0}，若A ?B ，则c 的取值范围为 . 题型3 集合间的基本运算 （详见《专题课-集合的概念与运算》） 例3：已知全集U =A ，A ={1，2，3，4}，B ={x ∈A |(x +1)(x -3)>0}，则A ∩(C U B )子集个数为 ( ) A.2 B.4 C.8 D. 6 例4：已知集合A ={x |x 2 -3x -4>0}，集合B ={x |-1 ≤ x ≤ 3}，则(C R A ) ∩B = ( ) A.(-1,3) B.[-1,3] C. [-1,4] D. (-1,4) 题型4 求集合中参数的取值范围 （详见《专题课-集合的概念与运算》） 例5：已知集合M ={x |3x 2-5x -2≤0}，集合N =[m ，m +1]，若M ∪N =M ，则m 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 例6：集合A ={x |-2≤x <1}，B ={x |x 1 C.a ≥-2 D.a >-2 题型5 四种命题及其真假判断 （详见《专题课-命题》） 例7：命题“若x ，y 都是偶数，则x +y 也是偶数”的逆否命题是 （ ） A.若x +y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B.若x +y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C.若x +y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D.若x +y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 例8：下列命题为真命题的是 （ ） A.若x=y ,??-????113,??-???? 223,?? -???? 123 ,??????113 2019高考数学一轮复习函数的概念专题测试题 (带答案) 在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x 值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数， 以下是2019 高考数学一轮复习函数的概念专题测试题，请大家仔细进行检测。 一、选择题 1. (文)(2019 朝阳一模) 已知函数y=f(x) 是奇函数，当x0 时，f(x)=lgx ，则f(f()) 的值等于() A. lg1 B.-lg1 C.lg2 D.-lg2 [ 答案] D [ 解析] 当x0 时，-x0 ，则f(-x)=lg(-x). 又函数为奇函数，f(-x)=-f(x) ， f(x)=-lg(-x). f()=lg=-2 ，f(f())=f(-2)=-lg2. ( 理)(2019 辽宁文，7) 已知函数f(x)=ln(-3x)+1 ，则 f(lg2)+f(lg)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 [ 答案] D [ 解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式. f(x)=ln(-3x)+1=-ln(+3x)+1 ，f(-x)=ln(+3x)+1 ，f(x)+f(-x)=2 ，又lg=-lg2 ，f(lg2)+f(lg)=2 ，故选D. 2. 已知f(x)=2x ，则函数y=f(|x-1|) 的图象为() [ 答案] D [ 解析] 法一：f(|x-1|)=2|x-1|. 当x=0 时，y=2. 可排除A、C. 当x=-1 时，y=4. 可排除B. 法二：y=2xy=2|x|y=2|x-1| ，经过图象的对称、平移可得到所求. 3. (2019新课标文，5)设函数f(x) , g(x)的定义域为R且f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论中正确的是() A. f(x)g(x) 是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)| 是奇函数 [ 答案] C [ 解析] 本题考查函数的奇偶性. 由f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，得f(-x)=-f(x) ，g(-x)=g(x). f(x)g(x) 是奇函数，|f(x)|g(x) 是偶函数，f(x)|g(x)| 是奇函数， |f(x)g(x)| 是偶函数，选C. 4. (2019 山东文，5) 函数f(x)=+ 的定义域为() A.(-3,0] B.(-3,1] §1.1集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A B(或B A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质： A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性” 在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．2020高考数学专题复习《平面向量基本概念》练习题
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