第1章数值分析中的误差
一、重点内容
误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。常用计算。
相对误差限
是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)
ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)
有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：
(1) 设精确值x* 的近似值x，
x＝±0.a1a2…a n×10m
a1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，
|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n
则x 有l位有效数字.
(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限
(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于
则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例
例1 设x*＝ ＝3.1415926…
近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有
|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3
即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。x＝3.14 准确到小数点后第2 位。
又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有
|x－x*|＝0.0000074…≤0.5×101－5
即m＝1，l＝5，x＝3.1416 有 5 位有效数字。
而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有
|x－x*|＝0.0000926…≤0.5×101－4
即m＝1，l＝4，x＝3.1415 有 4 位有效数字。
这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s 位或s－1 位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00
解因为x1＝2.000 4＝0.200 04×101，它的误差限0.000 05＝0.5×10 1―5，即m＝1，l＝5，故x1
＝2.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限。
x2＝－0.002 00，误差限0.000 005，因为m＝－2，l＝3，x2＝－0.002 00 有3 位有效数字。相对
误差限εr＝0.000 005/0.002 00＝0.25%。
x3＝9 000，绝对误差限为0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9 000 有4 位有效数字，相对误差限εr ＝0.5/9 000＝0.005 6%。
x4＝9 000.00，绝对误差限0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为εr＝0.005/9 000.00＝0.000 056%。
由x3 与x4 可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。
例3ln2＝0.69314718…，精确到10－3 的近似值是多少？
解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2≈0.693。
三、练习题
1. 设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是。
2. 设某数x*，它的精确到10－4 的近似值应取小数点后位。
3. ( )的3 位有效数字是0.236×102。
(A) 235.54×10－1(B) 235.418
(C) 2354.82×10－2(D) 0.0023549×103
4. 设a*＝2.718181828…，取a＝2.718，则有( )，称 a 有四位有效数字。
(A) |a－a*|≤0.5×10－4(B) |a－a*|≤0.5×101－4
(C) |a－a*|≤10－4(D) |a－a*|≤0.0003
5. 设某数x*，对其进行四舍五入的近似值是( )，则它有 3 位有效数字，绝对误差限是0.5×10－4。
(A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.00315
6. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25×10－3。
(A) 0.01234 (B) –12.34 (C) –2.20 (D) 0.2200
7. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。
(1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.003922
8. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：
(1) 13267 e r＝0.1% (2) 0.896 e r＝10%
9. 已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。
(1) 0.3941 e＝0.25×10－2(2)293.481 e＝0.1
(3) 0.00381 e＝0.1×10－4
10. 已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。
(1) 1.8921 e r＝0.1×10－2(2) 22.351 e r＝0.15
(3) 48361 e r＝1%
四、练习题答案
1．该数有效数字第四位的一半。
2 . 五 3. (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D)
7. (1)2.15, e＝－0.14×10－2，e r＝0.65×10－3；(2) －393，
e＝－0.15，e r＝0.38×10－3；(3)0.00392，e＝－0.2×10－5，e r＝
0.51×10－3
8. (1) e＝0.13×10 2；(2) 0.9×10－1
9. (1) 2；(2)3；(3)2
10.(1) 3；(2)1；(3)2
第15章线性方程组的数值解法
一、重点内容
1. 高斯顺序消去法
解线性方程组AX＝b，对增广矩阵
顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变
换消元过程中，。
注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。
2. 高斯列主元消去法
在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，
( k＝1，2，3，…，n－1)
把第r行作为主方程，做第k次消元。
把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。
3. 雅可比迭代法(简单迭代法)
解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为
( k＝0，1，2，…)
4. 高斯――赛德尔迭代法
解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为
(i＝1，2，…，n；k＝0，1，2，…) 5．解的收敛性定理
【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。
【定理4】(迭代法基本定理)
设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式X(k＋1)＝B (k)X
＋f收敛的充分必要条件是,其中λi (i＝1，2，…，n)为迭代矩阵B的特征根。当λi为复数时，|λi|表示λi的模。
【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b，
(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；
(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。
注：设矩阵A＝[a ij ]n，若
则称矩阵A是严格对角占优矩阵。
二、实例
例1用顺序消去法解线性方程组
解顺序消元
于是有同解方程组
回代得解
x3＝－1，x2＝1，x1＝1，原线性方程组的解为X＝(1，1，－1)T。
例2取初始向量X(0)＝(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组
解建立迭代格式
(k＝1，2，3，…)
第1次迭代，k＝0
X(0)＝0，得到X(1)＝(1，3，5)T
第2次迭代，k＝1
X(2)＝(5，－3，－3)T
第3次迭代，k＝2
X(3)＝(1，1，1)T
第4次迭代，k＝3
X(4)＝(1，1，1)T
例3 填空选择题：
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解选a21＝2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1＋2x2＋3x3＝3，消元得到
是应填写的内容。
2. 用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了( )
(A) 提高计算速度(B) 减少舍入误差
(C) 减少相对误差(D) 方便计算
答案：选择(B)
3. 用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组
的迭代格式中
＝(k＝0，1，2，…)
答案：
解答：高斯――赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。
4. 当a ( )时，线性方程组
的迭代解一定收敛。
(A) ＞6 (B) ＝6 (C) ＜6 (D) ＞6或＜－6
答案：(D)
解答：当|a|＞6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。
三、练习题
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
2. 用高斯――赛德尔迭代法求解线性方程组
取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。
3. 证明线性方程组
的迭代解收敛。
4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是
5. 用列主元消去法解线性方程组
，第1次消元，选择主元为( )
(A) 3 (B) 4 (C) －4 (D)－9
四、练习题答案
1. X＝(－4，1，2)T
2. (4.666 19，7.618 98，9.047 53)T
3. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。
4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。
5. (C)
第2章函数插值与最小二乘拟合
一、重点内容
1. 函数插值
已知函数f(x)的n个函数值y k＝f(x k)，k＝0，1，2，…，n。构造一个多项式P(x)，使得P(x k)＝y k。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，x k就是插值节点。误差R(x)＝f(x)－P(x)。
2. 拉格朗日多项式
称n次多项式P n (x)＝y0l0＋y1l1＋…＋y n l n＝为拉格朗日插值多项式，其中基函数
(i＝0，1，2，…，n)
当n＝1时，线性插值P1(x)＝y k l k(x)＋y k+1l k+1(x)
其中基函数。
当n＝2时，得到二次多项式，就是二次插值。
拉格朗日插值多项式的余项为:,其中ξ∈(a，b)
注意：过n＋1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。
3. 均差与牛顿插值多项式
函数值与自变量的差商就是均差，
一阶均差(或记作f[x0，x1])；
二阶均差(或记作f[x0，x1，x2])
均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。
用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式
N n(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x－x0)＋f[x0，x1，x2](x－x0)(x－x1)＋
…＋f[x0，x1，x2，…，x n](x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n-1)
牛顿插值多项式的余项为：R n(x)＝f(x)－N n(x)
＝f[x，x0，x1，x2，…，x n](x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)
4. 分段线性插值
已知n＋1个互异节点x0，x1，…，x n构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在[a，b]上连续；(2) P(x k)＝y k (k＝0，1，2，…，n)；(3)P(x)在[x k，x k+1]上是线性函数。
分段线性插值函数
其中l k(x)(k＝0，1，2，…，n)是分段线性插值基函数。
(i＝1，2，…，n－1)
5. 三次样条插值函数
(k＝0，1，2，…，n－1) (x k≤x≤x k＋1)
其中S"(x k)＝m k (k＝0，1，2，…，n)，h k＝x k+1－x k (k＝0，1，2，…，n－1)，m0，m1，…，m n满足的方程组是
(*)
其中：，
(k＝1，2，…，n－1)
(1) 当已知S'(x0)＝y'0，S'(x n)＝y'n时，(*)式中μ0＝1，λn＝1，
(2) 当已知S"(x0)＝y"0＝m0，S"(x n)＝y"n＝m n时，(*)式化为
6. 最小二乘法
用ϕ(x)拟合数据(x k，y k) (k＝1，2，…，n)，使得误差的平方和
为最小，求ϕ(x)的方法，称为最小二乘法。
(1) 直线拟合若
，a0，a1满足法方程组
(2) 二次多项式拟合若
，a0，a1，a2满足法方程组
二、实例
例1 已知函数y＝f(x)的观察数据为
试构造拉格朗日多项式P n(x)，并计算P(－1)。
[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]
解先构造基函数
所求三次多项式为
P3(x)=
＝
P3(－1)＝
例2已知函数y＝f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。
解依据均差计算公式，结果列表中。
计算公式为
一阶均差(k＝0，1，2，3)
二阶均差(k＝0，1，2)
三阶均差(k＝0，1)
四阶均差
例3设x0，x1，x2，…，x n是n＋1个互异的插值节点，l k(x) (k＝0，1，2，…，n)是拉格朗日插值基函数，证明：
(1) ；(2) (m＝0，1，2，…，n)
证明(1) P n(x)＝y0l0＋y1l1＋…＋y n l n＝
∴
当f(x)≡1时，
1＝
由于，故有
(2) 对于f(x)＝x m，m＝0，1，2，…，n，对固定x m (0≤m≤n)，作拉格朗日插值多项式，有
当n＞m－1时，f(n+1) (x)＝0，R n(x)＝0，所以
注意：对于次数不超过n的多项式
，
利用上结果，有
=
=
可见，Q n(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n＋1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例4已知函数e－x的下列数据，用分段线性插值法求x＝0.2的近似值。
解用分段线性插值，先求基函数。
所求分段线性插值函数为
所以，e－0.2＝P(0.2)＝－0.819 07×0.2＋0.983 569＝0.819 755
例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。
解计算列入表中。
n＝5。a0，a1满足的法方程组是
解得a0＝2.45，a1＝1.25。所求拟合直线方程为y＝2.45＋1.25x
例6 选择填空题
1. 设y＝f(x)，只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P(x k)＝y k(k＝0，1，2)的f(x)的插值
多项式P(x)是(就唯一性回答问题)
答案：唯一的
解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)＝a2x2＋a1x＋a0，其中a2，a1，a0是待定数。P(x k)＝y k，即
这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式
所以，不超过2次的多项式是唯一的。
2. 通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( ), 则P(x)是不超过一次多项式。
(A) 初始值y0＝0 (B) 一阶均差为0
(C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0
答案：(C)
解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x－x0)
它是不超过一次的多项式。
3. 拉格朗日插值多项式的余项是( )，牛顿插值多项式的余项是( )
(A)
(B) f[x，x0，x1，x2，…，x n](x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)
(C)
(D) f[x，x0，x1，x2，…，x n](x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)
答案：(A)，(D)。见教材有关公式。
4. 数据拟合的直线方程为y＝a0＋a1x，如果记
那么系数a0，a1满足的方程组是( )
(A) (B)
(C)
(D)
答案：(B)
解答：因为法方程组为
由第1个方程得到
，将其代入第2个方程得到
整理得
故(B)正确。
三、练习题
1. 已知函数y＝f(x)，过点(2，5)，(5，9)，那么f(x)的线性插值多项式的基函数为。
2. 过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x)＝。
3. 已知多项式P(x)，过点(0，0)，(2，8)，(4，64)，(11，1331)，(15，3375)，它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P(x)是( )
(A)二次多项式(B)不超过二次的多项式(C) 三次多项式(D) 四次多项式
，，，
4. 已知y＝f(x)的均差
。那么f[x
(A) 5 (B) 9 (C)14 (D) 8
5. 求数据拟合的直线方程y＝a0＋a1x的系数a0，a1是使最小。
6. 求过这三个点(0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。
7. 构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。
8. 设l0(x)是以n＋1个互异点x0，x1，x2，…，x n为节点的格朗日插值基函数
试证明：
9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。
数值分析基础 整理：朱华伟 参考文献：张卫国讲义
一、绪论 1.1数值分析理论 1、课程介绍 数值分析：是指用计算机求解各类数学问题的方法与理论。 数值分析中需要考虑的问题： a、理论可靠性：指由数值分析算法得出的结果值不值得信赖； b、计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。时间复杂性是指算 法运行时间的长短；空间复杂性是指数据占据空间的大小，这里理解为数据占据计算机存储空间的大小。 c、结构要好：指实现算法的程序可移植性要好，可修改性要好等 等。 早期主要考虑计算复杂性，现在主要考虑结构性要好，计算复杂度适中即可，也就是，在保证结构性要好的同时，计算复杂度要尽可能的小。 2、主要内容 主要的数学模型： a、方程求根模型，如，一元二次方程。可以用迭代法求解，迭即 是重复，代即是代入。 b、线性方程组模型，可以用迭代法，直接法求解。 c、特征值的特征向量模型。 d、插值方法与数值微分模型。 e、数值逼近与数值拟合模型。
f 、 数值积分模型。 g 、 微分方程组的解的模型。 1.2误差及有效数字 1、误差的来源 解决一个实际问题的过程： 分析问题假设、简化、抽象 数学模型 构造算法 编程求解 误差有四种：a 、模型误差：由数学模型与实际问题的差别所造成。 b 、方法（算法）误差：有些问题需要截断进行处理，这样就会产生余项误差。 c 、舍入误差：计算机存储时出现的误差。 d 、观测（测量）误差：在进行实际数据的测量时产生的误差。 在数值分析中我们只关心舍入误差和观测误差。 2、误差的度量 有三种方式： a 、绝对误差与绝对误差界 ， 是绝对误差的界， 为准确值，x 为 的一个近似值。 ，n 的取值取决于具体的 b 、相对误差与相对误差界 ， 是相对误差的界。 通常
第1章数值分析中的误差 一、重点内容 误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。 误差限近似值x 的误差限 是误差 e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|?ε。 相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。常用计算。 相对误差限 是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。 ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2) ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1) 有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。 关于有效数字： (1) 设精确值x* 的近似值x， x＝±0.a1a2…a n×10m a1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0， |x－x*|?ε＝0.5×10m－l，1?l?n 则x 有l位有效数字. (2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限 (3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于
则它至少有n 位有效数字。 (4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。 一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。 一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。 二、实例 例1 设x*＝ ＝3.1415926… 近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有 |x－x*|＝0.001526…?0.5×101－3 即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。x＝3.14 准确到小数点后第2 位。 又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有 |x－x*|＝0.0000074…?0.5×101－5 即m＝1，l＝5，x＝3.1416 有 5 位有效数字。 而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有 |x－x*|＝0.0000926…?0.5×101－4 即m＝1，l＝4，x＝3.1415 有 4 位有效数字。 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s 位或s－1 位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1＝2.000 4＝0.200 04×101，它的误差限0.000 05＝0.5×10 1―5，即m＝1，l＝5，故x1 ＝2.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限。 x2＝－0.002 00，误差限0.000 005，因为m＝－2，l＝3，x2＝－0.002 00 有3 位有效数字。相对
数学专业参考书整理推荐 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社
第十章 数值分析方法 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
第1章 绪论 数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下: 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。 第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。 第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。 1.1 误差的基本概念 除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。 数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。 一、误差的来源 1、模型误差 用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。 2、观测误差 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。观测误差在数值计算方法中也不予讨论。 3、截断误差（方法误差） 在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。 4、舍入误差 在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。。 二、绝对误差和相对误差 1、绝对误差秘绝对误差限 设数x (精确值)有一个近似值为*x ，记 称e(x)为近似值*x 的绝对误差，简称误差。 当e(x)为正时，近似值*x 偏大，叫做强近似值 ；当它为负时，近似值*x 偏小，叫作弱近似值。 准确值x 一般是未知的，因而绝对误差)(*x e 也是未知的，但往往可以估计出绝对误差的一个上界，即可以找出一个正数η， 使 η≤*)(x e 称η为*x 的绝对误差限(或误差限)。 显然，误差限η总是正数，且η≤-||*x x ，在应用上常常采用如下写法： 例：用毫米刻度的米尺测量一长度x 时，如果该长度接近某一刻度*x ，则*x 作为x 的 近似值时 21)(≤ -=**x x x e 绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量=±=y x ,110101000±， 2、相对误差及相对误差限 我们把近似值的误差)(*x e 与准确值x 的比值，记作 (毫米)=0.5(毫米)
第一章 1、 隧道力学：是岩土力学的一个重要组成部分。其所采用的数值方法与结构物的周围环境、 施工方法等因素息息相关。 研究范围：隧道围岩的工程地质分级；隧道和地下结构物的静力分析和动力分析；现场测试和室内模型试验与数值方法的相互验证及参数获取；岩土物理力学性质和本构关系的研究 2、 隧道与地下结构设计模型：经验法、收敛—约束法、结构力学法、连续介质法 第二章 相应减少，同时还能够保证较高的计算精度1、对原结构可采用不规则单元，真实模拟复杂的边界形状。2、建立一基准单元：通过简单变化，能代表各类曲边、曲面单元，且完全不影响单元的特性计算；或不规则单元变换为规则单元，从而容易构造位移模式。3、引入数值分析方法，对积分做近似计算。在基准单元上实现规则化的数值积分，可使用标准数值计算方案，形成统一程序。等参变换条件：如果坐标变换和未知函数（如位移）插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数。 第三章 1.非线性问题：采用数值方法分析结构时，离散化后得到代数方程组：KU+F=0，当总刚度矩阵K 中的元素k ij 为常量时，所代表的的问题为线性问题，当k ij 为变量时，则式为非线性方程组，它所描述的问题为非线性问题。材料非线性：指的是当应力超过某一限值后，应力与应变的变化不成线性关系，但应变与位移的变化仍成线性关系。几何非线性：指的是当应变或应变速率超过某一限值以后，应变与位移的变化不成线性关系，但应力与应变的变化仍成线性关系。 有些情况下，非线性问题即包括材料非线性又包括几何非线性的特征。 2.非线性问题的四种求解方法 直接迭代法 ：① 给定初值0x 、计算精度； ② 用迭代格式()1k k x g x +=进行迭代计算； ③ 判断迭代结果是否满足收敛判据，如果满足，终止计算并输出结果，否则返回步骤②。 特点：适用于求解很多场的问题，但不能保证迭代过程的收敛。 牛顿法—切线刚度法：使用函数f(x ）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。 其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛 。特点：如果初始试探解误差较大，则迭代过程也可能发散。只要初始刚度矩阵式对称的，则切线刚度矩阵将始终保持对称，而在大变形下割线刚度矩阵则不一定能保持这种对称性。 修正的牛顿法—初始刚度法 ：每条线均为平行，均采用初始刚度，显然不用每次迭代都计算刚度矩阵，迭代次数增多，但计算时间不一定多。特点：对于材料应变软化以及体系中塑性区域发展范围较大的情况，采用初始刚度矩阵仍能取得迭代求解的收敛，而在这种情况下采用切线刚度法则难以甚至不能达到收敛。 混合法该法为切线刚度法与初始刚度法联合使用的方法。为此必须采用增量加荷的方式，将总荷载分成几级，逐级加荷。在每一级荷载作用下采用一种初始刚度进行迭代运算，达到收敛后再施加下一级荷载，并采用新的切线刚度矩阵[]r K 进行迭代运算。 3.岩土材料的弹塑性应力应变关系即本构关系四个组成部分：1.屈服条件和破坏条件，确定材料是否塑性屈服和破坏。2.硬化定律，指明屈服条件由于塑性应变而发生的变化。3.流动法则，确定塑性应变的方向。 4.加载和卸载准则，表明材料的工作状态。
数学分析习题课讲义 数学分析是学术范畴完整而严谨的系统理论，它不仅涉及许多关系、性质、构造和结构，而且解决实际问题，也显示出它极为复杂的和严格的系统结构。正是这种复杂性和严谨性，使得数学分析在社会上受到了普遍的重视和重视。 根据学者们的分析，数学分析具有许多不同的应用领域，例如：统计学中的数据分析、概率论的计算、美术数学的分析与绘图、制图计算机绘图、图像处理等都离不开数学分析。 我们以《数学分析习题课讲义》为例，来看看数学分析理论的应用。《数学分析习题课讲义》是一本深入介绍数学分析的书，它从以下几个方面深入介绍数学分析： 1、定理定义函数，及其应用，包括高次多项式、重根函数和复杂函数的定义，及其用于求解一元几何问题的应用； 2、近似法通过把复杂的函数分解成简单的函数，以求解一元数学问题； 3、数值分析用数值方法和计算机程序以求解复杂的函数； 4、泛函分析介绍一个特定函数集合的一般性特性。 在《数学分析习题课讲义》中，作者深入探讨了数学分析在实际问题中的应用。从书中可以看出，数学分析可以用来求解许多复杂的函数，表现出它的复杂性和严格性。 此外，数学分析还可以用来解决实际问题，例如，利用泛函分析来研究变量的变化规律，可以求得其最优解，从而解决最优化问题；
利用数值分析来计算非线性方程的解，从而解决许多高精度问题；使用统计方法来分析大量数据，发现其内在规律，从而解决复杂数据处理问题等等。 综上所述，数学分析是一个强大而完整的理论体系，它可以用来求解复杂的函数，而且可以解决多种实际问题。《数学分析习题课讲义》帮助我们更好地理解和掌握数学分析的理论和应用，有助于我们在学术和实践上的发展。
第十章 数值分析方法 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
李治平偏微分方程数值解讲义 【李治平偏微分方程数值解讲义】知识文章 一、前言 在现代科学和工程中，偏微分方程是一种非常重要的数学工具，常常用于描述自然界各种现象和规律。而对于偏微分方程的数值解法，也是数值计算中的一个重要分支。本文将围绕着李治平教授的偏微分方程数值解讲义展开讨论，详细探究其中的价值和意义。 二、总览李治平教授的偏微分方程数值解讲义 李治平教授的偏微分方程数值解讲义是在对数值计算和偏微分方程研究领域拥有丰富经验的学者对该领域的总结和共享。其讲义通过结合理论和实践，系统地介绍了偏微分方程的数值解方法及其在实际问题中的应用。涵盖了有限差分法、有限元法、谱方法等多种数值解法，还对常见的偏微分方程进行了具体案例分析，展现了其深度和广度。 三、深度分析 1. 有限差分法
有限差分法是一种常见的偏微分方程数值解法，它将偏微分方程中 的导数用离散的差分表示，通过有限差分逼近来求解偏微分方程的近 似解。在李治平教授的讲义中，对有限差分法的原理和应用进行了详 细介绍，并结合了具体的案例来展示其解题过程和应用效果。 2. 有限元法 有限元法是一种更为精确的数值解法，它将求解区域划分成有限个 单元，通过建立单元之间的关系来逼近原偏微分方程的解。在讲义中，李治平教授对有限元法的算法和实现进行了深入讲解，并指导学生如 何应用该方法解决实际问题，具有很高的指导意义。 3. 谱方法 谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法，它通过将方程中的 未知函数表示成正交多项式的线性组合，来逼近原偏微分方程的解。 与有限差分法和有限元法相比，谱方法在精度和稳定性上更具优势。 在讲义中，李治平教授对谱方法的理论和实践进行了讲解，并指引学 生如何利用该方法处理实际问题。 四、回顾与展望 李治平教授的偏微分方程数值解讲义涵盖了丰富的内容，深入浅出地 介绍了多种数值解法及其应用。通过学习这门课程，可以帮助学生建 立起对偏微分方程数值解的深刻理解，并掌握相关的数值计算技能。
前言 由于计算机的普及，科学计算已成为各学科领域的一项重要工作。学习和掌握数值计算方法的基本原理及应用已成为现代科学工作者不可缺少的一个环节。 用计算机解决科学计算问题需经历几个过程：由实际问题建立数学模型，根据数学模型提出求解的数值计算方法，编出程序、上机求出结果。通过以上过程，可以看出，数值计算方法是计算机、数学和应用科学之间的桥梁，是程序设计和对数值结果进行分析的依据，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。目前，数值计算方法已经成为理工科院校（非数学专业）硕士学位研究生的学位课。在农业科学研究中，数值计算方法已经成为不可缺少的有力工具。 学生通过本课程的学习，能掌握科学计算中常用的算法，能独立地用学过的算法编程，测试。并能解决工作中遇到的实际问题。 本教材同时也适当增加一些只供阅读，而不在课堂教授的内容，这样在规定的课时内可完成基本内容的讲授，又可以作为今后科研的参考书。 各章节要点及授课时数 本教材的特点：对现有的已知的数学模型建立起相应的一系列数值求解方法，力求设计计算量小、存储量少、精度高，特别是计算机所能接受且执行计算方法，兼顾分析方法的收敛性、稳定性及误差估计。在不失科学性的前提下，尽量做到深入浅出地介绍计算机上常用的数值方法，使学生能用数值计算方法对建立的数学模型实际求解。 本教材既坚持介绍数值计算方法基本原理，又兼顾应用学科的特点，这是现有教材所不具备的。 使用范围：理工科非数学学科公共专业课教材。 本教材主要介绍计算机上常用的各种数值计算方法以及相关的基本概念及理论。内容包括误差分析初步，方程求根，线性方程组的直接解法与迭代法，插值法，最小二乘曲线拟合，数值积分计算，常微分方程数值解法和偏微分方程数值解法。本课程中对主要基本算法的推导、构造原理、收敛性、误差估计进行了讨论。 本教材的另一个特色是侧重于计算机应用，各章均有例题及数值算例，并指出应掌握的基本问题，对每一个算法都给出伪代码，以便于学生编制程序的需要，且有适当的书面练习及一些上机计算题。 本教材可作为理工科（非计算数学）各专业研究生及大学本科高年级的数值计算方法教材，也可供工程技术人员参考。
第3章 电磁场分析的数学模型 3.1 电磁场控制方程的表述 电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。根据数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。对于静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。针对这一定解问题的求解，发展了如上节所述的各种解算方法。因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表达式，也就是建立特定电磁场问题的恰当的数学模型。定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程度。本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。 3.1.1 麦克斯韦方程组 [54] 100多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升，引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。其著作《Treatise on Electricity and Magnetism 》成书于1873年。从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算公式，合起来构成了静止及运动媒质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。 在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。本节主要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。 麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为： t ∂∂+=⨯∇D J H (3-1) t ∂∂-=⨯∇B E (3-2) 0=⋅∇B (3-3) ρ=⋅∇D (3-4) 式中，H 、B 、D 、E 、J 、ρ 分别为磁场强度（A/m ）、磁感应强度（或称磁通密度，T ）、电位移（或称电通密度，C/m 2）、电场强度（V/m ）、电流密度（A/ m 2）和电荷密度（C/ m 3）。式（3-1）右端第二项t ∂∂/D 具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。事实上，上面的四个方程并不是独立的，可以证明（见文献[54]第1.3节），后两个方程（式（3-3）和（3-4））是基于高斯定理和斯托克斯定理从前两个方程导出的。前两个方程，即式（3-1）和（3-2），分别称为麦克斯韦第一方程和第二方程。在这两个矢量方程中，含有5个独立的矢量函数，为了得到确定的解答，还需要增加3个独立的矢量方程，这就是 E D ε= (3-5)
数值分析第一次作业及参考答案 1. 设2 12 S gt = ，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解： 2**2 2211()0.122 ()0.10.2 ()1122 ,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-= -====∴↑↑↓ 2. 设2 ()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证2''1 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤ - 解：由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =⨯+⨯=（两点线性插值 插值余项为" 111()()()()()()[,]2 R x f x L x f x a x b a b ξξ=-= --∈ [,].x a b ∴∀∈有 12211 ()()"()()()max "()[()()]221()()1max "()[]()max "(). 228 a x b a x b a x b f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤== --≤---+-≤=- 21 max ()()max "()8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤∴≤- 3. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插 值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑
第一章实验的目的和要求 1.1 实验目的 为了掌握计算方法的基本思想、原理和方法，要注意计算方法的处理技巧与计算机实现的结合，需将各种数值方法设计成算法，并编制好程序，拿到计算机上实现，最后得到可行性的验证。 1.2 实验要求 ⑴用C或C++、Java、FORTRAN、Matlab等计算机程序设计语言编写程序。 ⑵上机前充分准备，复习相关知识，选用合适的数据结构并详细设计算法，尽量写出具有通用性的程序，反复检查程序。 ⑶上机时快速输入程序；首先排除语法错误；然后采用多组数据，详细测试，排除逻辑错误；最后将程序调试成功，运行程序得到准确结果。 ⑷完成计算后，反复体会和分析，试着改善计算复杂性，使程序或算法更加完美。 1.3 实验环境 1.3.1 硬件环境 CPU : Pentium 4以上 内存：256MB以上 1.3.2 软件环境 (1)操作系统：Microsoft Windows XP 和 2000 (2)编译器：C或C++、Java、FORTRAN、Matlab 1.4 本实验课程与其它课程的关系 本课程的前导课程有高等数学、线性代数（或高等代数）、C语言或FORTRAN语言等，最好事先开设数据结构；后续课程有计算机图形学、图像处理、模式识别等。
第二章 实验的计划和内容 2.1 实验计划 计算方法实验课共安排20学时。计算方法实验计划如下 ⑴Lagrange 插值多项式 ⑵Newton 插值多项式 ⑶Hermite 插值多项式 ⑷最小二乘法 ⑸复化求积公式 ⑹Romberg 求积公式 ⑺数值微分的外推算法 ⑻Gauss 消元法 ⑼直接三角分解法 ⑽解方程组的迭代法 2.2 实验内容 共十个实验题目，每次课(2学时)一个题目。 2.2.1实验一 实验题目：Lagrange 插值多项式 相关知识：通过n+1个节点的次数不超过n 的Lagrange 插值多项式为： ∑==n k k k n x l y x L 0 )()( 其中，Lagrange 插值基函数∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)(，k=0,1,…,n 。 另外，补充C 语言绘制图形方面的内容如下 1． 屏幕坐标系 坐标原点在屏幕的左上角，x 轴水平向右，y 轴垂直向下。 2． 常用的绘图函数(绘图库函数所在的头文件 graphics.h) 初始化图形系统的函数 void initgraph(int *graphdriver,int *graphmode,
数值分析讲义 第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结
§3.0 引言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.
§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： ⎪⎩⎪ ⎨⎧++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式： ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0)0(3 )0(2 ) 0(1 ===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp
第1章绪论 1.1 课程内容 (1) 研究内容 本课程主要研究工程结构计算机分析（数值分析）的常用方法——有限单元法、加权残数（余量）法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。 (2) 参考书籍 课程的主要参考书籍如下： 唐锦春，孙炳楠，郭鼎康，计算结构力学，浙江大学出版社，1989 丁皓江, 谢贻权, 何福保，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1989 王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理与数值方法，第二版，清华大学出版社，1997 徐次达，固体力学加权残数法，同济大学出版社，1987 孙炳楠，项玉寅，张永元，工程中边界单元法及其应用，浙江大学出版社，1991 Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996. Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001. Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978. Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002. 1.2 结构分析方法概述 一个工程技术问题总可由一组基本方程（通常是微分方程）加一组边界条件描述，即由下式给出： 基本方程：L(u)-p=0，∈V（域内） 边界条件：B(u)-g=0，∈S（边界） 式中L、B为算子，p、g为已知函数。 工程技术问题的常用分析方法有： (1) 解析方法 只适用于少数简单问题，即形状规则且外部作用（如外荷载）简单的结构分析
《数值计算方法与应用》 讲义 王恩宇 2008.3.
《数值计算方法与应用》讲义 考核方式：期末考试、上机大练习与平时作业相结合 预修课程：流体力学、数值分析、高等数学、线性代数 适用专业：供热、供燃气、通风与空调工程，热能工程 一、课程目标： 本课程是为动力工程、热能工程、燃烧、供热、制冷空调及能源工程等专业研究生所设的一门专业理论基础课程。本课程侧重于计算流体力学的理论知识和相关软件的具体使用。 计算流体力学是利用计算方法，在计算机上数值模拟流动问题的一门学科，是研究流体流动、传热和传质的重要方法，也是流体工程中分析和设计流动元件的重要手段。本课程通过讲授计算流体力学的基本概念、理论和方法，培养学生利用计算流体力学方法，解决工程中遇到的流动问题的能力。并通过介绍相关商业软件FLUENT帮助学生提高利用商业CFD软件解决工程实际问题的能力。 二、教学要求： 本课程要求学生掌握计算流体力学的基本理论知识，并结合FLUENT商业软件求解实际的工程问题。 三、教学内容: 第一章计算流体力学基础知识； 第二章基于有限体积法的控制方程离散； 第三章流动问题的数值解法； 第四章湍流与湍流模型； 第五章边界条件的应用； 第六章网格的生成； 第七章常用计算流体力学软件介绍； 第八章CFD后处理问题
第一章：计算流体力学基础知识 (1) 1. 计算流体力学的概念、特点及意义 (1) CFD的基本思想： (1) CFD的特点： (1) CFD的意义 (1) 2．流体力学中控制方程组及其定解条件 (1) 定解条件—边界条件和初始条件 (4) 3. 计算流体力学基本步骤 (4) 4. CFD软件结构 (4) 前处理器 (4) 求解器 (4) 后处理器 (4) 第二章：基于有限体积法的控制方程离散 (5) 1. 方程离散的方法 (5) 离散化的目的 (5) 离散方法 (5) 有限体积法的特点 (5) i. 节点为中心：CVs的节点在控制体积的中心。()w xδ (6) ii. 界面为中心：CVs的边界线在节点间中心线上。 (6) 2. 一维稳态对流扩散问题的有限体积法 (7) 一维稳态对流扩散问题 (7) 3. 对流扩散方程的五种常用离散形式 (8) 一维稳态无源项对流扩散问题 (8) 4．对流扩散方程的三种高阶离散格式 (11) 5．一维瞬态问题的有限体积法 (14) 6．二维及三维对流扩散方程的离散方法 (16) 第三章：流动问题的数值解法 (18) 1．流动控制方程组的对流扩散形式 (18) 2．数值求解流动控制方程组的几个困难 (20) 耦合式解法： (21) 分离式解法 (21) 3．时间推进法基本思想 (22) 4．交错网格上的压力修正方程 (22) 5．Navier-Stokes方程的压力修正方法及其改进方法 (26) 第四章：湍流与湍流模型 (30) 湍流的特点： (30) 1．湍流的基本方程 (30) 2．湍流的数值模拟方法 (32) （1）直接数值模拟（DNS）Direct Numerical Simulation (32) （2）大涡模拟（LES） (32) （3）Reynolds平均法（RANS） (33) 零方程模型 (33) 一方程模型 (34) 标准k-ε两方程模型 (34) RNG k-ε模型（Renormalization Group） (35)