(2008全国Ⅱ21．）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
例2、设椭圆方程为142
2
=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)2
1,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最小值与最大值.
【例2】 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.
（1）求证：OA ⊥OB ；
（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.
例3、已知双曲线的方程2 x 2－y 2=2
（1）求以A （2，1）为中点的双曲线弦所在的直线方程。
（2）过（0，1）且交双曲线A ，B 两点且弦长为4的直线方程。
例4、在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.
考题再现：
1、（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
2、（07湖南）已知双曲线22
2x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，．
（I ）证明CA ，CB 为常数；
（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．
直线与圆锥曲线的位置关系作业
1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为
A.－
21 B.21 C.±2
1 D.±
2 2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m y 2
=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是
A.（0，1）
B.（0，5）
C.［1，5）∪（5，+∞）
D.［1，5）
3.已知双曲线x 2－
3
2
y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.
4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.
5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.
6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为
2
3，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.
圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0
数学专题复习系列 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0 两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点? f 2(x 0,y 0) =0 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2+y 2=r 2 (2)一般方程 当D 2+E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是2 4F -E D 22+.配方，将方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则
第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2
江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》椭圆中的最值导学案 苏教版选修1-1 1、点P （x ，y ）为椭圆13422=+y x 上的任意一点，求y x -21的范围 2、求定点A （a ，0）到椭圆12 22 =+y x 上点之间的最短距离 3、设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23= e ，已知点P )2 3,0(到椭圆 上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程。 4、设A,B 分别是椭圆120 362 2=+y x 长轴的左、右顶点，点F 为右焦点，点P 在椭圆上 且位于x 轴的上方，PF PA ⊥ （1）求P 点的坐标； （2）设点M 是椭圆长轴上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ， 求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值 教师个人研修总结 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。 所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下： 1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开
展交流研讨，分享提高。 2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。 3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。 4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。 5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。 6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。 7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。 8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。 我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。反思本学期的工作，还存在不少问题。很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。“校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。
专题30圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀?每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分 值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性?比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传 统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； (2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围； (3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 2 2 1. 已知双曲线务-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲 a2 b2 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2, ?：：) 2 2 2. P是双曲线—-y 1的右支上一点，M N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和(x —5)2+ y2= 1上 9 16 的点，贝U |PM| —|PN|的最大值为乙 24 3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是一 2 4. 已知抛物线y2=4x,过点F(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y",B(x 2,y 2)两点，贝U y^+y?2 的最小值是32 . 5. 已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件| FM |-|PN |=2、.2.记动点F的轨迹为W (I)求W的方程；_1 (n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值. 解：(I)依题意，点P的轨迹是以M N为焦点的双曲线的右支， 2 2 所求方程为：———=1 (x 0) 2 2 (n)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为斗x= x o, 此时A (x o,?林0 —2 ), B (X0, —丿X。一2 ), (A(B' = 2
绝密★启用前 2013-2014学年度12月练考卷 圆锥曲线 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．F 1，F 2是双曲线22 22:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与 双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ） A B C ．2 D 【答案】A 【解析】 试题分析： 22||:||:||3:4:5AB BF AF =，令)0(3>=m m AB ，m BF 4||2=， m AF 5||2=， ∴2BF AB ⊥， 由双曲线的定义a AF AF 2||||12=-，a BF BF 2||||12=-， a m AF 25||1-=∴，a m BF 24||1+=， ||||||11AB AF BF +=， ∴m a m a m 32524+-=+，即a k =， ∴由勾股定理知，222)2()4()6(c a a =+，求得 13=a c （负值舍去）， 故13=e . 考点：双曲线的定义，性质.
2．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为 （ ） D.56 或7 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，实数4,,9m 构成一个等比数列，所以， 6m ==±. 当6m =时，圆锥曲线22 1x y m +=为2216 x y +=， 表示焦点在x 轴的椭圆，其离心率6 e ==； 当6m =-时，圆锥曲线22 1x y m +=为-2216 x y -+=表示焦点在y 轴的双曲线，其离 心率为e ==C ． 考点：椭圆、双曲线的几何性质. 3．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F ，1，则双曲线的方程是（ ） A ．22 1 2x y - = B ．22 12y x -= C ．221x = D ．221y -= 【答案】A 【解析】 试题分析：由焦点为(0F ，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c ，焦点到 1，所以，a 1）＝1，所以，b = ， 所以，双曲线方程为：2 2 12 x y -=.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 4．设12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若 a PF PF 6||||21=+，且12PF F ?的最小内角为30，则C 的离心率为（ ）
4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．
高中数学复习专题讲座 第讲圆锥曲线综合题 Last revised by LE LE in 2021
题目 高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 典型题例示范讲解 例1已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C y 2 =2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦 (1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化 (2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系 命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+ 2 a 与R =a x +2 0的大小 解 (1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02 =2ax 0, 圆k 的半径R =|AK |=22 02020)(a x y a x +=+- ∴|MN |=22 02202022x a x x R -+=-=2a (定值) ∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化 (2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k (x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2 中， 令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0，∴y 1y 2=y 02－a 2 ∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项 ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a 又|MN |=|y 1－y 2|=2a ， ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2| ∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2 ≤0 ∴0≤x 02 a 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+ 2 a ≤a ,而圆k 半径R =22 0a x +≥a 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交 例2如图，已知椭圆1 2 2-+ m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及
1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：直线与圆锥曲线问题的处理 方法(1) 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解 例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π 的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△ AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积 命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程 的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0 由方程组???=+=x y m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0,解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2,∴|MN |=4)1(2m - 点A 到直线l 的距离为d ∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128 ∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号
圆锥曲线综合检测1 一、单选题 1．已知椭圆22 1102 x y m m +=--的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．8 B ．7 C ．5 D ．4 2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 3．已知直线l 在y 轴上的截距为2，且与双曲线22 13 y x -=的渐近线平行，则直线l 的 方程是（ ） A ．2y = + B ．2y =+或2y =+ C ．2y x = +或2y x =+ D ．2y x = + 4．已知双曲线()22 22100x y a b a b -=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2 C 1 D 1 5．已知双曲线22 215 x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦 点到其渐近线的距离等于() A B ．3 C ．5 D ．6．已知点P 是双曲线C ：x 2 2 4 y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线 C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（ ） A ． B C ．± D ．7．若双曲线2 22312x y a -=的离心率为2，则其渐近线方程为（ ） A ．3 y x =± B ．y =
C ．1 3 y x =± D ．3y x =± 8．抛物线2y mx =的准线方程为（ ） A ．4m y =± B ．14x m =± C ．1 4y m =- D ．4 m x = 9．与直线240x y -+=平行的抛物线2y x 的切线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．210x y --= 10．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点，则3 2 PA PF + 的最小值为（ ） A ． 72 B ． 92 C ． 112 D ． 132 11．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1?F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（ ） A ．3倍 B ．4倍 C ．5倍 D ．7倍 12．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 3 3 B 3 C ． 13 D ． 16 二、填空题 13．若椭圆2 2 1y x m +=的焦距是4，则m =________ 14．设F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_______ 15．设F 为抛物线2 :12C y x =的焦点，经过点()1,0P 的直线与抛物线交于A ， B 两点，且2BP PA =，则||||AF BF += __________． 16．已知,A B 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，过点B 与双曲线的一条
圆锥曲线 圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点 .纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三 角形、直线等结合时 ,多以综合解答题的形式考查 ,属于中高档题 ,甚至是压轴题 ,难度值一般控制在0.3~ 0.7 之间. 考试要求⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简 单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物 线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握 数形结合、等价转化的思想方法. 题型一圆锥曲线的定义及应用 例 1⑴已知点 F 为椭圆x2 y 2 1 的左焦点,M是此椭圆上的动点, A(1,1)是一定点 ,则95 |MA|| MF | 的最大值和最小值分别为________. 6 ,离心率为7 ⑵已知双曲线的虚轴长为, F1、F2分别是它的左、右焦点 ,若过F1的直线与 2 双曲线的左支交于A、B两点 ,且| AB|是| AF|与 |BF|的等差中项则 | AB | ________. 22, 点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线 与数列性质的综合题 ,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a的值 ,再应用双曲线的定义与等差中项 的知识求 | AB |的值. 解：⑴设椭圆右焦点为F1,则 |MF ||MF1 | 6,∴|MA||MF | |MA | |MF1 | 6 .又|AF1| |MA| |MF1| |AF1|(当M、A、F1共线时等号成立).又|AF1|2,∴|MA| |MF | 6 2 , |MA||MF | 6 2.故|MA|| MF | 的最大值为6 2 ,最小值为6 2 . 2b6 c7 ,解得a2.∵A、在双曲线的左支上 ,∴| AF2||AF1 |2a , ⑵依题意有 a23 c 2a2b2 |BF2 || BF1 | 2a,∴|AF2||BF2 |(| AF1 | | BF1 |)4a.又|AF2 | |BF2| 2|AB|,|AF1| |BF1| |AB|. ∴ 2| AB | | AB | 4a ,即 | AB | 4a .∴ | AB | 4 2 3 83. 易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻； ⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由M 、 A、F1三点共线求出 | MA | | MF | 的最值也是值得注意的问题. 变式与引申
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ? 面积的取值范围是
1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。 解析：（1）由中点弦公式22OM b k k a ?=-，解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内，故302m << ，故1 2 k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k = =-，即3||2 FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有
二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠．
圆锥曲线2018年高考小题解析 一、 考点分析 1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系； 2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法； 3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质； 4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析 1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则 ||AB =___________ 解析：2222230(1)4x y y x y ++-=?++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r = 圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程； （2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8 sin p AB θ = = ，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =- （2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+ 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005 (1)(1)162 y x y x x =-+?? ?-++= +?? 解得0000311 2-6 x x y y ==??? ?==??或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：
江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质（二）导学案 苏教版选修1-1 学习目标： 1. 了解圆锥曲线的共同性质并能够解决有关简单问题； 2. 能够根据圆锥曲线的标准方程求准线方程，能够熟练运用直接法和定义法 求曲线方程。 教学重点：圆锥曲线的准线定义与方程的求解。 教学难点：用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题． 课前预习： 1. 已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ． 2. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12 ， 则C 的方程是 ． 3.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直x 轴的直线交C 于 A ， B 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为 4. 在y ＝2x2上有一点P ，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小， 则点P 的坐标是 课堂探究： 1.椭圆x225＋y29 ＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到右焦点的距离为________． 变式： 已知椭圆x24b2＋y2b2 ＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P 到左准线的距离． 2.已知椭圆x28＋y26 ＝1内有一点P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点， 在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小． 变式：已知双曲线x29－y216 ＝1的右焦点为F ，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M ， 使MA ＋35 MF 的值最小，并求这个最小值．
变式：已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a ，求该双曲线的离心率。 课堂检测： 1. 椭圆14922=+y x 上一点P 到左焦点的距离是4， 则它到右准线的距离是 ． 2. 椭圆x2a2＋y2b2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c ， 若d1，2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为 ． 3. 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x2m2－y2n2 ＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点 (－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项， 则椭圆的离心率是________． 教师个人研修总结 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。 所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下： 1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己
专题24圆锥曲线证明（解析版） 易错点1：忽视定义中的隐含条件致误； 易错点2：忽视直线存在性的检验致误； 易错点3．忽视斜率不存在致误； 易错点2．忽视截距为0致误； 易错点4：忽视曲线的范围致误； 易错点5：缺乏对圆锥曲线定义的深刻理解致误。 题组一：两直线的斜率关系 1.(2015年新课标2卷）已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 【解析】设直线:(0,0),l y kx b k b =+≠≠1122(,),(,),(,)M M A x y B x y M x y 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2 2 2 2 (9)20k x kbx b m +++-=， 故1222 9,299 M M M x x kb b x y kx b k k +-= ==+=++ 于是直线OM 的斜率9 M OM M y k x k ==-，即9OM k k =- 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. 2.(2016年新课标3卷）已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点，若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ. 【解析】由题设)0,2 1(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2 ,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则 22 2111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. 3．已知o 为坐标原点，抛物线2 y x 与直线(1)y k x 相交于A,B 两点．求证：OA ⊥OB. 【解析】 2 220,14(1) y x x ky y k k y k x 由 消去得>0
圆锥曲线结构思想与解题策略 内容简介 由于书中的例题都是闻杰老师常年研究的心得，经过了反复筛选，所以极具典型性；书中提供的每一个问题都通过现代信息技术进行探索、归纳、类比而得出，进而还实施了相应的证明，从发现问题到分析问题，再到解决问题，过程完整，所以每一个问题都可以看成是一个研究性学习的课题；《从高考到联赛一试专题讲座丛书·圆锥曲线结构思想与解题策略》展示的135个课例基本涵盖了圆锥曲线的常见性质，历年全国各省市的解析几何比较有内涵的具有动态背景的试题基本都与此有着密切的相关性，学生如能理解掌握《从高考到联赛一试专题讲座丛书·圆锥曲线结构思想与解题策略(附光盘)》提供的课例，不但能对解析几何与圆锥曲线在头脑中构建起一个完整的知识系统，而且完全能够顺利地完成高考的解析几何试题，因此《从高考到联赛一试专题讲座丛书·圆锥曲线结构思想与解题策略》具有很好的实用性。 目录 第一部分动态结构(案例图示) 一、几个统一定义 1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一 2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二 二、与焦半径相关的问题 3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质(准线作法) 4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质 5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质 6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质 7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质 三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1) 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2) 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质(定值3) 11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1(中点共线) 12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2(三点共线) 13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3(对焦点直张角) 14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系 15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系(角平分线) 16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广 17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值 18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值 四、相交弦的蝴蝶特征 19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一 20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二 五、切点弦的相关问题 21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1(等比中项) 22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2(倒数和2倍) 23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3(外项积定值) 24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4(平行线族) 25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5(切点弦过定点) 六、等角问题