课程论文
题目
学生毛文龙
所在院系理学院
指导教师职称
完成日期2011年6月20日
含参变量有限积分的计算
一、引言
含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。
二、定义及性质 1.积分限固定的情形
定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义，
[]βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b
a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都
对应唯一一个确定的积分（值）()?b a
dx u x f ,。于是，积分()?b
a
dx u x f ,是定义在区
间[]βα,的函数，表为()()?=b
a
dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变
量。
性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b
a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。
这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()?
?→→=b
a u u
b a
u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim
0。
同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d
c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。
性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数
u
f
??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b
a
dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且
[]βα,∈?u ，有()()()dx u
u x f u du d
u b a ???==
',??。
说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。（积分号下求导定理）
性质3(可积性) 若函数()u x f ,在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 连续，则
()()?=b
a
dx u x f u ,?在区间[]βα，上可积，且
()()()dx du u x f du dx u x f du u b a b a ???????
????=??????=β
αβαβ
α?,, 表明定义在举行区域上的连续函数，关于不用变数的积分（简称累次积分）可交换积分次序。
推论 在闭矩形域上连续函数()y x f ,，其累次积分可交换求积顺序。 2积分限变动的情形
性质4(连续性) 若函数()y x f ,在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，函数()y a ，()y b 在[]d c ,上连续，并且()b y a a ≤≤，()b y b a ≤≤，()d y c ≤≤，则()()()
()?
=y b y a dx y x f y F ,在[]d c ,上连续。
性质5(可微性) 若()y x f ,，()y x f y ,都在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，函数()y a ，()y b 在[]d c ,上可微，且满足()y a a ≤，()b y b ≤则函数
()()()
()
?
=y b y a dx y x f y F ,在[]d c ,上可微，且有 ()()()
()
()[]()()[]()y a y y a f y b y y b f dx y x f y F y b y a y '-'+='?
,,,。
三、基本方法
1.含参变量有限积分的基本计算 方法1.交换积分顺序
例 求()?
<<-=1
0ln b a dx x
x x I a
b 。 解 由被积函数的特点想到积分x x x x x dy x a b b
a
y b
a
y
ln ln -=
??????=?
， 所以 ??=b
a
y dy x dx I 1
，y x 在[][]b a ,1,0?上连续
dy y x dx x dy b
a
y y
b
a 1
!1
01?????????+==+ 1
1ln 11++=+=?
a b dy y b
a
。 方法2.换元法
例 若函数()x f 连续，且()x dt t x tf x
cos 10-=-?，求()dx x f ?20
π
。
解 做换元u x t -=， 则
()()()()du u f u x dt t x tf x x
--=-??
()()()()du u uf du u f x du u f u x x
u
x
???-=-=0
， 所以题意条件就被变形为
()()x du u uf du u f x x
x
cos 10
-=-??，
等式两边对x 求导，得
()()()x x xf x xf du u f x
sin 0
=-+?
，即()x du u f x
sin 0
=?，
令2
π
=
x ，得
()12
=?dx x f π
。
方法3.先求导再积分
例 计算()()?+=πθθ0
cos 1ln dx x I ，()1<θ。
解 因为()??
+-=+=ππ
θθθπθθ00
cos 11
1cos 1cos dx x
dx x x I ，
利用万能公式2
tan 12tan 1cos 22
x x
x +-=
，在上式中令2tan x t =有 ()
?
??
+∞
+∞+-++=
-++=+0
20220
111212112cos 11t dt
t t dt dx x θ
θθ
θθπ
，
2
02111arctan -12
θπθθθ-=???????????? ??+-+∞
t 。 于是 ()2
1θθπ
θπθ--=
'I ， 积分得到 ()()
C I +-+=211ln θπθ， 显然，()00=I ，从而2ln π-=C ，
即 ()211ln 2
θπθ-+=I 。
方法4.积分号下求导法求积分
例 计算()()?=2
tan tan arctan π
dx x
x a a I ，1 解 令()()x x a a x f tan tan arctan ,= ，则当2 ,0π =x 时，f 无定义， 但()a a x f x =+→,lim 0 ，()0,lim 2 =-→ a x f x π ， 故补充定义()a a f =,0，0,2=?? ? ??a f π， 则f 在[][]b b ,2,0-?π连续()10< ???? ?? ? <=<∈+=1 || ,2,0 ,01|| ),2 ,0( ,tan 11),(22a x a x x a a x f a ππ， 显然()0,x f a 在2 π = x 点不连续，但()a x f a ,分别在[]()0,12,0-?π和 []()1,02,0?π连续。 故有()()??+=='20 2 22tan 11 ,ππ dx x a dx a x f a I a ，()0,1-∈a 或()1,0∈a ， 令t x =tan ，得 ()( )() ()() dt t a t a t a t a a dt t a t a I ? ? ∞ +∞ +++--+-= ++='0 2 22 22222 22211111 111 ()a dt t a a t a +=?? ????+-+= ? ∞ +12111-11 22222 π ，()0,1-∈a 或()1,0∈a 。 积分得()()11ln 2 C a a I ++= π ，()1,0∈a ； ()()21ln 2 C a a I +-- =π ，()0,1-∈a 。 因为()a I 在()1,1-连续，故 ()()()a I a I I a a -+→→===0 lim 0lim 0。 得021==C C ，从而得 ()()a a I += 1ln 2 π ，1 方法5.含多个参变量情形的讨论 例 计算() ?+20 2222cos sin ln π dx x b x a ，()0,0>>b a 解 将a 视作参变量，b 视作常数， 则 ()() ?+=20 222cos sin ln π ?dx x b x a a ， ()? +='2 22222cos sin sin 2π ?dx x b x a x a a 。 当b a =时，()b b xdx b b 22212sin 2202π π?π =??=='?； 当b a ≠时，做代换x t tan =，得 ()( ) ?? ?? ? ??++='2 22 222 12 π ?dt a b t t t a x +∞ ???? ???---= 222 22arctan arctan 2b at b a b a b t b a a a b a += π 。 将()()+∞<<+= 'a b a a 0π ?积分，得 ()()()+∞<<++=a c b a a 0ln π?。 再令b a =,则 ()C b b +=2ln π?。 但 ()() ?=+=20 222ln sin cos ln π π?b dx x x b b ， 所以 2 1ln π=C ， 于是 ()()()+∞<<+=++=a b a b a a 02 ln 21ln ln πππ?， 如果0a 且0>b 的情形，于是()2 ln b a a +=π?。 2.含参变量的变上限积分函数的计算 习惯上，我们称()()?=x a dt t x f x F ,为“含参变量的变上限积分函数”，还有更 复杂一点的形式是()()() () ? =x x dt t x f x G βα,，对于这一类函数的相关计算，主要分为求 积分、求导、求极限三类。 方法1.运用公式直接计算 例 设()?-=2 2 x x xy dy e x F ，求()x F 。 解 设()2 ,xy e y x f -=，则()2 2,xy x e y y x f --=， 因()y x f ,，()y x f x ,'在2R 上连续， 所以，由可微性定理得 ()()2222 2x x x x x x xy e e dy e x x F ?----+??='? 3 5 2 2 2x x x x xy e e dy e y ----+-=?。 3.含参变量的变上限积分函数的求导 这类函数在求导时导数不能只考虑上下限是变量，如果简单地把函数 ()()() ()? =x x dt t x f x G βα,的导数写成()()[]()()[]()x x x f x x x f x G ααββ'-'=',,是极为错误 第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； §1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分 第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈. 5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分 含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法 含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+ (4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = - §12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分. 第十六章 含参量积分 关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ? -2/0 22sin 1π，从形式可以看出， 积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。 §1含参变量的常义积分 只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设),(y x f 在],[],[d c b a D ?=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。考虑其积分dx y x f b a ?),(0，显然其与0y 有关， 记为dx y x f y I b a ?=),()(00，更一般，引入 dx y x f y I b a ?=),()(， 称其为含参变量y 的积分。 注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。 第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ， 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x 连续性定理得dx a x ? -+1 1 22在[-1,1]上连续.则 ???--→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是 正的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b] 上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 解 记? +++α ααα1221)(x dx I .由于2211 ,1,α αα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4 1)0()(lim 1020π αα=+==?→x dx I I . 例5 证明函数dx e y F y x ?-∞ --=0)(2 )(在),(+∞-∞上连续. 证明 对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得 课程论文 题目 学生毛文龙 所在院系理学院 指导教师职称 完成日期2011年6月20日 含参变量有限积分的计算 一、引言 含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。 二、定义及性质 1.积分限固定的情形 定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义， []βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都 对应唯一一个确定的积分（值）()?b a dx u x f ,。于是，积分()?b a dx u x f ,是定义在区 间[]βα,的函数，表为()()?=b a dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 量。 性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()? ?→→=b a u u b a u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim 0。 同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。 性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数 u f ??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且 []βα,∈?u ，有()()()dx u u x f u du d u b a ???== ',??。 重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名张杨府 年级 2009级 学号 200906034142 指导教师刘学飞 2011年6月 含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班) 摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。 关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性 1 含参变量的有限积分的定义 设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在 ?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b a f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分 (,)b a f x u dx ?.于是,积分 (,)b a f x u d x ? 是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ) = (,)b a f x u dx ? 称为含参变量的有限积分, μ称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理 定理1 如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续 ,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b a f x u dx ? 在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算的顺序是可以交换的. 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有 )()(u u u ??-?+=?-?+b a dx u x f u u x f )],(),([ |)()(u u u ??-?+|≤?-?+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数 ) ,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即 0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-< 第十二章 反常积分与含参变量的积分 §12.1 .无穷积分 一、无穷积分收敛和发散概念 实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的 火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2 2mgR F r =所作的 功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号 ()a f x dx +∞ ? （或(),()b f x dx f x dx +∞ -∞ -∞ ? ? ） 称为函数()f x 的无穷积分. 设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a f x dx +∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a f x dx +∞ ? （的值）， 即 ()lim ()p a a p f x dx f x dx +∞→+∞=? ? . 设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b f x dx -∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞ ? （的值）， 即 ()lim ()b b q q f x dx f x dx -∞ →-∞=??. 若c R ?∈，两个无穷积分 ()c f x dx -∞ ? 与 ()c f x dx +∞ ? 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞ ? 收敛（发散），且 ()()()c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =+? ? ? . 显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2 2()mgR F r r =的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分 2 , x x e dx xe dx +∞ +∞ --? ? .第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件
第十八章 含参变量的广义积分
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量的积分
含参变量的积分
第16章 含参量积分
第十讲含参变量的积分
含参量积分的分析性质及其应用
含参变量有限积分的计算
含参变量有限积分的性质及应用
反常积分及含参变量的积分
相关主题
文本预览