第十二章 反常积分与含参变量的积分
§12.1 .无穷积分
一、无穷积分收敛和发散概念
实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的
火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2
2mgR F r
=所作的
功
为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号
()a
f x dx +∞
?
（或(),()b
f x dx f x dx +∞
-∞
-∞
?
?
）
称为函数()f x 的无穷积分.
设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a
f x dx +∞
?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a
f x dx +∞
?
（的值），
即
()lim
()p
a
a
p f x dx f x dx +∞→+∞=?
?
.
设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b
f x dx -∞
?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b
f x dx -∞
?
（的值），
即
()lim ()b
b
q
q f x dx f x dx -∞
→-∞=??.
若c R ?∈，两个无穷积分
()c
f x dx -∞
?
与 ()c
f x dx +∞
?
都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞
?
收敛（发散），且 ()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
.
显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2
2()mgR F r r
=的无穷积分，即
例1 . 求下列无穷积分
2
,
x x e dx xe dx +∞
+∞
--?
?
.
解 ：0
lim
lim ()lim (1)1p
p
x
x x
p p p p e dx e dx e e +∞
----→+∞→+∞
→+∞
==-=-=??
例2.求下列无穷积分
201dx dx x +∞+?；021dx
dx x -∞+?；21dx dx x +∞-∞+?. 解： 220
00
lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π+∞→+∞→+∞→+∞====++?
?.
00
022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++??. 0222
0111dx dx dx dx dx dx x x x +∞
+∞-∞-∞=++++???＝22ππ
π+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则 其中符号()lim ().p F F p →+∞
+∞=
例3 .判别无穷积分a
dx
dx x
λ+∞
?的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有 当1,λ=有
于是，当1λ>时，无穷积分a
dx
dx x λ+∞
?收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dx x
λ+∞?发散
例4.判别无穷积分2
(ln )
dx
x x λ
+∞?
的敛散性. 解：当1λ≠，有 当1λ=，有 二、无穷积分与级数
上述三种形式的无穷积分： 其中 ()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
，
于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()a
f x dx +∞?的敛散性即可.
无穷积分
a
dx x λ
+∞
?
与广义调和级数11
n n
λ
∞
=∑
，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分
第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
§1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分
第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈.
5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分
含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期
摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+
(4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = -
§12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分.
第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ，
§2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy
192含参变量的反常 积分
幻灯 片 1 ?Skip Record If...? 幻灯片 2 ?Skip Record If...?板书积分(1)收敛的分析 定义. 幻灯片 3 ?Skip Record If...?在积分(1)收敛的分析定 义基础上,对比地,板书出 积分(1)一致收敛的分析 定义. 下面首先引入含参变量广 义积分的一致收敛概念及 Cauchy准则. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
幻灯片 4 ?Skip Record If...?证明方法,由定义,分析法 证. 幻灯片 5 ?Skip Record If...?证明方法,由定义1的否 定判断,分析法证.此证明 过程与教材上的证明略的 不同. 幻灯片 6 ?Skip Record If...?含参变量广义积分与函数 项级数的关系，由此关 系，我们容易把函数项级 数的性质与一致收敛性判 别法，移植给含参变量广 义积分。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
幻灯片 7 ?Skip Record If...?由柯西收敛准则,分析法 来证. 幻灯 片 8 ?Skip Record If...? 幻灯 片 9 ?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
幻灯片 10 ?Skip Record If...?下面我们把函数项级数的 一致收敛性判别法，移植 给含参变量广义积分。给 出含参变量广义积分的一 致收敛性的判别法，它们 的证明相仿。 幻灯 片 11 ?Skip Record If...? 幻灯 片 12 ?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分 一、一致收敛性及其判别法 概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分?+∞ c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=?+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称?+∞ c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分. 定义1： 若含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M c Φ-?<ε, 即?+∞ M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛. 定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有?2 1 ),(A A dy y x f <ε. 定理19.8：含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是： +∞ →A lim F(A)=0, 其中F(A)=? +∞ ∈A I x dy y x f ),(sup . 例1：证明含参量反常积分?+∞ 0sin dy y xy 在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.
重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名张杨府 年级 2009级 学号 200906034142 指导教师刘学飞 2011年6月
含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班) 摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。 关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性 1 含参变量的有限积分的定义 设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在 ?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b a f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分 (,)b a f x u dx ?.于是,积分 (,)b a f x u d x ? 是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ) = (,)b a f x u dx ? 称为含参变量的有限积分, μ称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理 定理1 如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续 ,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b a f x u dx ? 在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算的顺序是可以交换的. 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有 )()(u u u ??-?+=?-?+b a dx u x f u u x f )],(),([ |)()(u u u ??-?+|≤?-?+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数 ) ,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即 0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-<
116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛.
第十二章 反常积分与含参变量的积分 §12.1 .无穷积分 一、无穷积分收敛和发散概念 实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的 火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2 2mgR F r =所作的 功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号 ()a f x dx +∞ ? （或(),()b f x dx f x dx +∞ -∞ -∞ ? ? ） 称为函数()f x 的无穷积分. 设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a f x dx +∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a f x dx +∞ ? （的值）， 即 ()lim ()p a a p f x dx f x dx +∞→+∞=? ? . 设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b f x dx -∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞ ? （的值）， 即 ()lim ()b b q q f x dx f x dx -∞ →-∞=??. 若c R ?∈，两个无穷积分 ()c f x dx -∞ ? 与 ()c f x dx +∞ ? 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞ ? 收敛（发散），且 ()()()c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =+? ? ? . 显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2 2()mgR F r r =的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分 2 , x x e dx xe dx +∞ +∞ --? ? .
课程论文 题目 学生毛文龙 所在院系理学院 指导教师职称 完成日期2011年6月20日
含参变量有限积分的计算 一、引言 含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。 二、定义及性质 1.积分限固定的情形 定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义， []βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都 对应唯一一个确定的积分（值）()?b a dx u x f ,。于是，积分()?b a dx u x f ,是定义在区 间[]βα,的函数，表为()()?=b a dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 量。 性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()? ?→→=b a u u b a u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim 0。 同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。 性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数 u f ??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且 []βα,∈?u ，有()()()dx u u x f u du d u b a ???== ',??。