§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )
(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）
第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈.
5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分
常微分方程的积分因子求解法 容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即 d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??) ,(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为
x y x y x N ??) ,(ln ) ,(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)) ,(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ??) ,() ,(μ-y y x y x M ??),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ???? ????-??. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。 为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。 二、特殊形式的积分因子的求法 情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为 dx x d y x N )(ln ) ,(μ=x y x N y y x M ??-??) ,(),(， 即 dx x d )(ln μ=??? ? ????-??x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到： 定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为 ??? ? ????-??x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N e x ?=??? ? ? ???-??),(),(),(1 )(μ. 类似地
第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
§1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分
利用一元一次方程解积分问题 【知识与技能】 通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法. 【过程与方法】 培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度， 借助学生身边熟悉的例子认识数学的应用价值. 【教学重点】 1.让学生知道球赛积分的算法. 2.把生活中的实际问题抽象成数学问题. 【教学难点】 弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系. 一、情境导入,初步认识 上一课时我们探究了有关销售中的盈亏问题，通过学习学生应初步掌握了 有关一元一次方程实际问题的解决办法.本课时我们继续探讨有关球赛积分表的 问题，先来看一个问题： 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一 轮比赛中共赛了9场，得分17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场 得0分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 二、思考探究，获取新知 探究球赛积分表问题 设问1：通过观察积分榜，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗 ？进而你能得到胜一场积几分吗？ 【教学说明】教师让学生观察教材或课件中的积分表进行思考. 观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积1分；设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值，如可以从第一行列方程10x＋4＝24. 由此得x＝2. 即：负一场积1分，胜一场积2分. 设问2：你能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系吗？ 教师引导学生分析：如果一个队胜m场，则负（14－m）场，胜场积分2m 分，负场积分（14－m）分，总积分为2m＋（14－m）＝m＋14. 设问3:某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 教师引导学生分析：设一个队胜了x场，则负了（14－x）场.如果这个队的
含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法
目录 摘要 (1) 前言 (2) 一、预备知识 (2) （一）、含参变量积分的定义 (2) （二）、含参变量反常积分的定义 (2) （三）、定理 (3) 1、含参变量积分的相关定理 (3) 2、含参变量反常积分的相关定理 (4) 二、含参变量积分的应用 (5) （一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5) 1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5) 2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6) （二）、证明等式 (7) （三）、证明不等式 (9) （四）、求极限 (10) （五）、求隐函数的导数 (12) 三、含参量反常积分的性质 (13) （一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13) 1、局部一致收敛概念 (13) 2、连续的等价条件 (13) 3、几种收敛性的关系 (15) （二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17) 1、主要结果 (17) 2、主要引理 (18) （三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21) 1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21) 2、通过建立微分方程求积分值 (21) 3、引入收敛因子法求解 (22) 4、级数解法 (23) 5、利用其他的积分 (24) 总结 (25) 参考文献 (25)
含参变量积分 赵洁 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。 关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分 Parameter Integral Zhao Jie (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given. Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral
含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+
(4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = -
§12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分.
第十六章 含参量积分 关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ? -2/0 22sin 1π，从形式可以看出， 积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。 §1含参变量的常义积分 只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设),(y x f 在],[],[d c b a D ?=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。考虑其积分dx y x f b a ?),(0，显然其与0y 有关， 记为dx y x f y I b a ?=),()(00，更一般，引入 dx y x f y I b a ?=),()(， 称其为含参变量y 的积分。 注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。
第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ，
第一篇积分方程 第一章方程的导出和基本概念 §1.1 方程的导出 许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。 例1：弹性弦负荷问题 一根轻且软的弹性弦,长为l,两端固定,如图所示,静止时与x轴重合,弦内张力为 T.今在其上加以强度为
()x ?的负荷.设在任一点M (横坐标 为x ) ()x ?, 且设 解：在任一点x ξ=处取微小的一段弦d ξ,则作用于其上的重力为 ()d ?ξξ,记之为0P ,则这一重力0P 必 引起弦的形变,记ξ处位移为S ,则： 01020sin sin T T P θθ+=, 因为0()T x ?>>,所以12,1θθ<< 112sin tan ,sin .S S l θθθξξ ?≈=≈- 所以000S S T T P l ξξ ?+? =-, 得
00()P l S T l ξξ-=?. 记0P 引起的x 处位移为* ()y x , 则0x ξ≤≤时, 由y S x ξ *=得 * 00() ()P l S y x x x T l ξξ-=?=??; 当x l ξ≤≤时，y S l x l ξ*= -- , ? 00()()P l x y x T l ξ* -= ??; 记：0 0,0(,),.l x x T l G x l x x l T l ξ ξξξξ-??≤≤??=?-??≤≤?? 则 0()(,)y x G x P ξ* =, ()(,)()y x G x d ξ?ξξ* =， 对ξ从0l 到求积分,
积分方程理论的发展，始终与数学物理问题的研究紧密相联，它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。通常认为，最早自觉应用积分方程并求出解的是阿贝尔(Abel)，他在1823年研究质点力学问题时引出阿贝尔方程。此前，拉普拉斯(Laplace)於1782年在数学物理中研究拉普拉斯变换的逆变换以及傅里叶(Fourier)於1811年研究傅里叶变换的反演问题实际上都是解第一类积分方程。随着计算技术的发展，作为工程计算的重要基础之一，积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今，“物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有用”。 积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。积分方程论中许多思想和方法，例如，关於第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇异积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法，本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。 编辑本段起源 积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。积分方程起源于物理问题。牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。1823年，N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。“积分方程”一词是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。 1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程 公式 , (1) 式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域0 ≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。1900年，弗雷德霍姆在
含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日
含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x
连续性定理得dx a x ? -+1 1 22在[-1,1]上连续.则 ???--→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是 正的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b] 上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 解 记? +++α ααα1221)(x dx I .由于2211 ,1,α αα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4 1)0()(lim 1020π αα=+==?→x dx I I . 例5 证明函数dx e y F y x ?-∞ --=0)(2 )(在),(+∞-∞上连续. 证明 对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为， 故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：
课程论文 题目 学生毛文龙 所在院系理学院 指导教师职称 完成日期2011年6月20日
含参变量有限积分的计算 一、引言 含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。 二、定义及性质 1.积分限固定的情形 定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义， []βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都 对应唯一一个确定的积分（值）()?b a dx u x f ,。于是，积分()?b a dx u x f ,是定义在区 间[]βα,的函数，表为()()?=b a dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 量。 性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()? ?→→=b a u u b a u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim 0。 同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。 性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数 u f ??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且 []βα,∈?u ，有()()()dx u u x f u du d u b a ???== ',??。
重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名张杨府 年级 2009级 学号 200906034142 指导教师刘学飞 2011年6月
含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班) 摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。 关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性 1 含参变量的有限积分的定义 设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在 ?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b a f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分 (,)b a f x u dx ?.于是,积分 (,)b a f x u d x ? 是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ) = (,)b a f x u dx ? 称为含参变量的有限积分, μ称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理 定理1 如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续 ,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b a f x u dx ? 在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算的顺序是可以交换的. 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有 )()(u u u ??-?+=?-?+b a dx u x f u u x f )],(),([ |)()(u u u ??-?+|≤?-?+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数 ) ,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即 0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-<
第十二章 反常积分与含参变量的积分 §12.1 .无穷积分 一、无穷积分收敛和发散概念 实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的 火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2 2mgR F r =所作的 功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号 ()a f x dx +∞ ? （或(),()b f x dx f x dx +∞ -∞ -∞ ? ? ） 称为函数()f x 的无穷积分. 设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a f x dx +∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a f x dx +∞ ? （的值）， 即 ()lim ()p a a p f x dx f x dx +∞→+∞=? ? . 设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b f x dx -∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞ ? （的值）， 即 ()lim ()b b q q f x dx f x dx -∞ →-∞=??. 若c R ?∈，两个无穷积分 ()c f x dx -∞ ? 与 ()c f x dx +∞ ? 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞ ? 收敛（发散），且 ()()()c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =+? ? ? . 显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2 2()mgR F r r =的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分 2 , x x e dx xe dx +∞ +∞ --? ? .