重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学（师范）
姓名张杨府
年级 2009级
学号 200906034142
指导教师刘学飞
2011年6月
含参变量有限积分的性质及应用
张杨府
(重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班)
摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。
关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性
1 含参变量的有限积分的定义
设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在
?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b
a
f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分
(,)b
a f x u dx ?.于是,积分
(,)b
a
f x u d x ?
是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ)
= (,)b
a
f x u dx ?
称为含参变量的有限积分, μ称为参变量.
2 含参变量有限积分的性质定理 定理1
如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续
,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b
a
f x u dx ?
在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运
算的顺序是可以交换的.
证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有
)()(u u u ??-?+=?-?+b
a
dx u x f u u x f )],(),([
|)()(u u u ??-?+|≤?-?+b
a
dx u x f u u x f |),(),(|
函数
)
,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即
0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-<
2211特别是 ε?u ，
有 |)()(u u u ??-?+|≤
?-?+b
a
dx u x f u u x f |),(),(|a b a b --<)(ε，
即函数)(u ?在区间],[βα连续。 定理2
如果函数(,)f x μ与
(,)
f x μμ
??在矩形域(,R a x b αμβ≤≤≤≤) 连续,则函数?(μ)=
(,)b
a
f x u dx ?
在区间[α,β]可导,且?μ∈[α,β]有
(,)b a d f x dx d ?μμμ?=μ??()或(,)(,)b b a a d f x f x dx d μμμ
?=μ??? 简称积分号下可微。
该定理说明了被积函数及其偏导数在闭矩形上连续时,倒数与积分运算时可以交换次序的。 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u u ?+∈],[βα，有
)()(u u u ??-?+=?-?+b
a
dx u x f u u x f )],(),([. (1)
已知
u
f
??在R 存在，根据微分中值定理，有 ),(),(u x f u u x f -?+=u u u x f u ??+),('θ， 10<<θ。
将它代入（1）式等号两端除以u ?，有
u
u u u ?-?+)
()(??=
?
?+b
a
u dx u u x f ),('θ，10<<θ。
在上面等式等号两端减去
?
b
a
u dx u x f ),('，有
|
u
u u u ?-?+)
()(???-b
a
u dx u x f ),('|
≤?-?+b
a u u dx u x f u u x f |),(),(|''θ
由所学知，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即
0,0>?>?δε,δ
u u 从而，有
|
u
u u u ?-?+)
()(???-b
a u dx u x f ),('|)(a
b -≤ε
即0lim →?u u
u u u ?-?+)()(??=?b a u dx u x f ),('
或
du d
)(u ?=dx u
u x f b a ???),(. 定理3
如果函数(,)f x μ在矩形域(,R a x b αμβ≤≤≤≤)连续, 则函数((,)b
a
f x dx ?μμ?
)=
在区间 [α,β] 可积,且
{(,)}{(,)}b b
a
a
f x d f x dx β
β
α
α
μμμ=????简称积分号下可积。
该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序。
定理4
若函数(,)x u f 与
f
μ
??在矩形域R (,)a x b αμβ≤≤≤≤连续，而)(u a 与)(u b 在区间],[βα可导，],[βα∈?u ，有 b u a a ≤≤)(, b u b a ≤≤)(,
则函数)(u ψ=
?
)
()
(),(u b u a dx u x f 在区间],[βα可导，且
du d
)(u ψ=dx u
u x f u b u a ???)()(),(+)(]),(['u b u u b f )(]),(['u a u u a f - 证明 ],[βα∈?u ，设)(),(u b z u a y ==与
?
z
y
dx u x f ),(=),,(u z y F 有
)(u ψ=?
)
()
(),(u b u a dx u x f =]),(),([u u b u a F
已知
y
F ??，z F ??，u F
??都是连续函数。则函数),,(u z y F 关于变量u 可导，有 )('u ψ=
u F ??+y F ??du dy +z F ??du
dz
其中u F ??=
u
???
z
y
dx u x f ),(=???
z
y
dx u x f u
),( y F ??=
y ??
?z
y dx u x f ),(=),(u y f - z F ??=
z
??
?
z
y
dx u x f ),(=),(u z f
则 )('u ψ=
???z
y dx u x f u
),(),(u y f -'y ?+'
),(z u z f 将 )(),(u b z u a y ==代入上式得：
du d
)(u ψ=dx u
u x f u b u a ???)()(),(+)(]),(['u b u u b f )(]),(['u a u u a f - 例1 求 I=
1
b a
x x dx Inx
-?
(0 []y b a b y a b x x x x dy a Inx Inx -== ? 所以 I= 111 0111 0111y b b b b y y a a a a x b dx x dy dy x dx dy dy In y y a +??+====??+++???? ???? (y x 在[0,1] ?[a,b]上连续) 例2 求函数F(y)= 1 2 20 ln()x y dx +?的导数(y>0)。 解: 0y ?>, 暂时固定, 0,ε?>使 1 y εε ≤≤ 显然, 被积函数22 ln()x y + 2222 2ln()y x y y x y ?+=?+在矩形域 R 1)X εε(0≤≤1,≤Y ≤ 都连续,则有 F`(y)= 112222002ln()y x y dx y x y ?+=?+??=102()1122arctan 2arctan 0()1 x d x y x y y y ==+?? 例3 求I= 1 2 (1) 1In x dx x ++? 解: 考虑含参变量t 的积分所确定的函数 1 2 (1) 1In tx t dx x ?+= +? () 显然, 2 (1) 1In tx x ++ 在[0,1]?[0,1]上连续,(0)0,(1)I ??==由于 1 1 ' 2222001 ()[](1)(1)1111x x t t t dx dx x tx x x x tx ?== +-++++++?? =2 2111[(1)arctan (1)] 012 In x t x In tx t ++-++=211[n2(1)]124I t In t t π+-++ 1 2011(1)(0)[(1)]124t In t dt t π ??-=+-++? 1220111 ln((1)ln 2arctan ln(1)00281t t t dt t π+++-+?= = 24 In I π - 所以 I= 28 In π 例4 设 2 sin ()x x xy x dy y ?= ? ,求'()x ? 解: '()x ?= 2 23232 2sin sin sin 2sin sin cos 2[]|x x x x x xy x x xydy x x x x x x x +-=+- ? =32 3sin 2sin x x x - 例5 .证明：函数)(x f 在区间],[b a 连续，则函数 )(x y = ?---x a n dt t f t x n )()()!1(11, ∈x ],[b a 是微分方程)()()(x f x y n =的解，并满足条件,0)(=a y '(1)()0,()0n y a y a -=???= 证明 求函数)(x y 的n 阶导数，有 )('x y = ?----x a n dt t f t x n n )())(1()!1(12)'()()()! 1(11x x f x x n n ?--+- =?---x a n dt t f t x n )()()! 2(12 )(''x y = ?---x a n dt t f t x n )()()! 3(13 )() 1(x y n -=?b a dt t f )( )()(x y n =)(x f 即函数)(x y 是微分方程)()(x y n =)(x f 的解。显然，当a x =时，'(1)()0,,()0n y a y a -=???=. 参考文献 1 刘玉琏.傅沛仁等.数学分析[M]. 第四版，出版地:北京市西城区德外大街四号.出版者: 高等教育出版社.出版年份:2003年7月. 2 华中科技大学数学系. 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解. 3 钟玉泉. 复变函数论[M]. 高等教育出版社（第二版）. 4 北京大学力学系．高等代数[M]．北京：人民教育出版社，1979 Contain parameter of the nature and theorem of limited points Zhang yangfu (Chongqing institute Three Goreges University Mathematics and statistics institute Class one of Grand 2009) Abstract : This paper explains the nature of integral with parameter limited integral by mainly through contain parameter is poor, integral theorem of integral theorem, under the number of differential, can be integral theorem of integral theorem can be changed to Explain the nature of integral depending on a parameter with limited , and expounds its application and theorem in mathematics. Keywords : parameter limited integral continuity differentiable integrable 第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； §1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分 第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈. 5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分 经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、 定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分 经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x) 第一节 不定积分的性质和基本积分公式 教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的性质; 基本积分公式. 教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程： 一、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 这是因为, ])([])([])()(['+'='+????dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ). 性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即 ??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数 k ≠0) 例1. ?? -=-dx x x dx x x )5()5(2 1 2 52 ? ?-=dx x dx x 21255? ? -=dx x dx x 21255 C x x +? -=23 2 7 3 257 2 例2 dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(22 2323 -+-=-+-=-??? C x x x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=? ???1 ||ln 3321113322 例3 ???-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3 例4 C e C e e dx e dx e x x x x x x ++= +==??2 ln 12) 2ln()2()2(2 例5 dx x x dx x x x x dx x x x x )1 11( ) 1()1() 1(122222 ++=+++=+++?? ? C x x dx x dx x ++=++=??||ln arctan 1 112 . 例 6 dx x x x dx x x dx x x ???++-+=++-=+2 22242411)1)(1(11 11 ????++-=++ -=dx x dx dx x dx x x 2 22 211 )111( C x x x ++-=arctan 3 13 例7 ????-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan 含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+ (4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = - §12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分. 第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ， §4 定积分的性质 教学目的与要求： 1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法. 2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点： 1. 定积分的性质极其证明方法. 2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容： 一 定积分的基本性质 性质1 若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且 ()()b b kf x dx k f x dx a a =??. （1） 证 当k=0时结纶显然成立. 当k 0≠时,由于 ()()1 1 .,n n i i i i i i kf x kJ k f x J ξξ==?-=?-∑∑ 其中J= (),χχd f a b ?因此当 f 在[a,b]上可积时,由定义,任给 0,0,, T εδδ>><存在当时 ()1 ,n i i i f x J k ε ξ=?-< ∑ 从而 ()1 .n i i i kf x kJ ξε=?-<∑ 即kf 在［a,b ］上可积，且 ()().b b kf x dx kJ k f x dx a a ==?? 性质２ 若f ﹑g 都在［a,b ］可积，则f g ±在［a,b ］上也可积，且 ()()()().b b b f x g x dx f x dx g x dx a a a β±=±??????? （2） 证明与性质１类同。 注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为 ()()()(),b b b a f x g x d x a f x d x g x d x a a a ββ+=+? ??? ??? 其中a ﹑β为常数。 注2 在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则 另外一个在[a,b]上可积. 在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个 在[a,b]上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积. 性质３ 若f ﹑g 都在［a,b ］上可积，则f ·g 在［a,b ］上也可积。 证 由f 、g 都在［a,b ］上可积，从而都有界，设 Ａ＝[] (),,sup a b f x χ∈ Ｂ[] (),,sup a b g x χ∈= 且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f 、g 中至少有一个恒为零值函数，于是f 、g 亦为零值函数，结论显然成立）。 任给0,ε>由f 、g 可积，必分别存在分割'T 、"T ，使得 ' ,2f i i T x B ε ω?< ∑ " .2g i i T x A ε ω ?< ∑ 令"'T T T +=（表示把T '、T ''的所有分割点合并而成的一个新的分割T ）。对于[a,b]上T 所属的每一个i ?，有 ()()()()χχχχωχχ''''-''= ?∈''''g f g f i g f sup ,. ()()()()()(),'sup i g f f f g g χχχχχχχχ'''∈???''''''''≤ ?-+-?? .g i f i A B ωω+≤ 利用§3习题第1题，可知 .f g f g i i i i i T T A B A ωχωχωχ?≤?+?∑∑∑ ' f g i i i i T T B A ωχωχ'' ≤?+?∑∑ ,22B A B A ε ε ε 备课本 Lesson Preparation ______--______学年第____学期 Academic Year - Semester 课程名称_______________________ Course 教材名称及版本_______________________ T extbook and Edition 授课班级_______________________ Class 教师姓名_______________________ Teacher 审核人_______________________ Approver 填写说明 1、此备课本用来书写教案，适用于所有专职教师、兼职教师和兼课教师。 2、所有承担教学任务的教师需书写纸质版教案，如因使用多媒体教学需要和教学任务繁重，可用电子版教案，但格式必须按纸质版格式，且所有教案的书写应与学期授课计划相符合。 3、备课过程中的各个环节和要素可根据实际授课内容进行填写。如： 授课课题：（教学章、节、标题或项目名称） 教学目标和要求：（教学目标一般说应包含知识教学、能力发展和思想教育三方面内容，教学要求是指识记、理解、简单应用、综合应用等层次） 教学重点和难点：教学重点，是为了达到确定的教学目的而必须着重讲解和分析的内容；教学难点，是就学生的接受情况而言的，学生经过自学还不能理解或理解有困难的地方，即可确定为教学难点。 教学方法：（讨论、启发、演示、辩论、讲练结合、案例教学、情境模拟等） 教学手段：（多媒体教学、录像带、挂图、幻灯片等） 授课时间：第周 课时累计： 教学过程：（体现教学步骤，包括时间分配和教学内容教学进程）作业布置：（含思考题、讨论题） 课后反思：（因为课后反思是教案实施效果追记，课前还不能打印，只能课后用笔手写） 4、备课本的审核人为各教研室（项目中心）主任。 重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名张杨府 年级 2009级 学号 200906034142 指导教师刘学飞 2011年6月 含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班) 摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。 关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性 1 含参变量的有限积分的定义 设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在 ?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b a f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分 (,)b a f x u dx ?.于是,积分 (,)b a f x u d x ? 是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ) = (,)b a f x u dx ? 称为含参变量的有限积分, μ称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理 定理1 如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续 ,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b a f x u dx ? 在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算的顺序是可以交换的. 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有 )()(u u u ??-?+=?-?+b a dx u x f u u x f )],(),([ |)()(u u u ??-?+|≤?-?+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数 ) ,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即 0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-< 第十二章 反常积分与含参变量的积分 §12.1 .无穷积分 一、无穷积分收敛和发散概念 实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的 火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2 2mgR F r =所作的 功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号 ()a f x dx +∞ ? （或(),()b f x dx f x dx +∞ -∞ -∞ ? ? ） 称为函数()f x 的无穷积分. 设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a f x dx +∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a f x dx +∞ ? （的值）， 即 ()lim ()p a a p f x dx f x dx +∞→+∞=? ? . 设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b f x dx -∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞ ? （的值）， 即 ()lim ()b b q q f x dx f x dx -∞ →-∞=??. 若c R ?∈，两个无穷积分 ()c f x dx -∞ ? 与 ()c f x dx +∞ ? 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞ ? 收敛（发散），且 ()()()c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =+? ? ? . 显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2 2()mgR F r r =的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分 2 , x x e dx xe dx +∞ +∞ --? ? . 课程论文 题目 学生毛文龙 所在院系理学院 指导教师职称 完成日期2011年6月20日 含参变量有限积分的计算 一、引言 含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。 二、定义及性质 1.积分限固定的情形 定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义， []βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都 对应唯一一个确定的积分（值）()?b a dx u x f ,。于是，积分()?b a dx u x f ,是定义在区 间[]βα,的函数，表为()()?=b a dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 量。 性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()? ?→→=b a u u b a u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim 0。 同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。 性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数 u f ??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且 []βα,∈?u ，有()()()dx u u x f u du d u b a ???== ',??。 §4.1 不定积分的概念与性质 阶段练习题(A) 一、选择题 1.下列等式中正确的是( ). (A)d( ()d )()f x x f x =?; (B)d [d ()]()d d f x f x x x =?; (C)d ()()f x f x =?; (D)()d ()f x x f x C '=+?. 2.设函数 (),x f x a =()(0,1)ln x a g x a a a =>≠,则( ). (A) ()g x 是()f x 的不定积分; (B)()g x 是()f x 的导数; (C) ()f x 是()g x 的原函数; (D)()g x 是()f x 的原函数. 3. ()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( ). (A) 1x ; (B) ln x x x C -+; (C)2 1x - ; (D)x e . 二、填空题 1. ( 5 sin d )x x x '=? . 2.d(arctan )x =? . 3. ()f x 的原函数是2ln ,x 则3()d x f x x '=? . 4.设 21(),cos f x x = 则()d f x x '=? ,d ()d d f x x x =? ,()d f x x =? . 5.设 ()d ,x x f x x xe e C =-+?则()d f x x '=? . 6.设()f x 的一个原函数为1 ,x 则()f x '= . 7.过点(0,1)且在横坐标为 x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为 . 8.设 22(cos )sin ,f x x '=且(0)0,f =则()f x = . 9.21 ( 1)dcos cos x x -=? . 三、解答题 求下列不定积分: 1. x ; 2.2 1 (1x x - ?; 3.21d 1x x e x e -+?; 4.221d sin cos x x x ?; 5. 327d 3x x x --?; 6.4x ; 7. 221d (1)x x x +?; 8.2sin d 2 x x ?; 9. 2 cot d x x ?; 10.d 1cos 2x x -? ; 11. 22d 1x x x +?; 12.2d x x e x ?.第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件
第十八章 含参变量的广义积分
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
不定积分的性质和基本积分公式
含参变量的积分
含参变量的积分
第十讲含参变量的积分
定积分与不定积分及其性质应用例题解析
不定积分概念及其基本运算性质
含参变量有限积分的性质及应用
反常积分及含参变量的积分
含参变量有限积分的计算
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