沈阳铁路局学习中心
第一部分：
必须掌握的重点理论知识习题。 一、 填空：
1、设{1,2,3,4,5,6}Ω=，{2,3,4}A =，{3,5}B =，{4,6}C =，那么A B ⋃= {1,2,3,4,6} ，AB = {1,6} ，()A BC = Φ空集 。
2、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从二项分布(5,0.6)B ，Y 服从二项分布2(,)N μσ，且
()6,() 1.36E X Y D X Y +=-=，则μ=6-5=1 ；σ=根号0.76。
3则α= （1-0.2-0.1-0.25-0.15） 0.3 ，X 的期望()E x = （XP ）0.1 4、离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=
2,1,2,3c
k k
=，则c= 36/49 c(1+1/4+1/9)=1,解得c; 5、从总体X 中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。则该总体平均数的矩估计值是___5____，总体方差的矩估计是___15/2____。
6、设两个事件A 、B 相互独立，()0.6P A =，()0.7P B =，则()P A B -= 0.18 ，()P A B -= 0.12 。
7、设随机变量X 服从正态分布(2,16)N -，则{02}P X ≤<= Φ（1）-Φ（0.5） ，
{6}P X ≥-= Φ（1） ，{22}P x -≥= 1-Φ（1.5）+Φ（0.5） 。
8则()E x = 0.05 ，2()E x = 1.75 。
9、 离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=
.3,2,1,2=k k
c
，则c= 12/11 10、甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6，0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为0.75。
11、设随机事件,A B 及其和事件A B ⋃的概率分别为0.4，0.3和0.6。若B 表示B 的对立事件，那
说明： ①阶段测试作业必须由学生书写完成，打印复印不计成绩。 ②学生应按有关课程的教学要求，在规定的交纳日期前交纳作业。 ③任课教师评定考试成绩后，将成绩与评语反馈给学生本人。 ④每一次阶段测试作业成绩记为本学期课程总成绩的20%。
么积事件AB 的概率()P AB 为0.3。
12、已知连续随机变量X
的概率密度函数为2
21
()x
x f x -+-=，则X 的数学期望为 1 ，X 的
方差 0.5 。
13、若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 。
14、设由来自正态总体2(,0.9)X
N μ容量为9的简单随机样本得样本得样本均值5X =，则未知参
数μ的置信度为0.95的置信区间是 （4.412,5.588） 。
二、选择：
1.1621,,,X X X 是来自总体）
，10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则Y
Z
~（D ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F
2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ B ）
X X A +)( +A ∑=-n i i
X n B 12
11)( a X C +)( +10 13
1)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( B )
)(A 222152S S )(B 222
145S S )(C 2
22154S S )(D 22
2125S S 4.设总体),(~2
σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n
i i X X n 1
2)(1是（ D ）
)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计
5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ D ）
)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n
i i X n 21 )(D ∑-=-11
11n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体
2
(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当__C _时，一般采
用统计量
X t =
(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22
0μσσ已知，检验＝ (C)20σμμ未知，检验＝ (D)20σμμ已知，检验＝
7．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i
m 的样本，则下列说法
正确的是__D_
(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验
(C)方差分析中
2
11.()i
m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D)方差分析中
2
.1
()r
A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
8．在一次假设检验中，下列说法正确的是__A__ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误
(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变
(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误
9．对总体
2
~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 D
(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值
(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是 C (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()212,,,,
,n N X X X μσ是来自X 的样本，
则2σ的最大似然估计为 A （A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X 12.X 服从正态分布，1-=EX ，2
5EX =，),,(1n X X 是来自总体X 的一个样本，则
∑==n
i i
n
X X 11
服从的分布为__B 。
(A)N (1-,5/n) (B)N (1-,4/n) (C)N (1-/n,5/n) (D)N (1-/n,4/n)
13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2
(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当__D_时，一般采
用统计量
X U =
(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22
0μσσ已知，检验＝
(C)20σμμ未知，检验＝ (D)20σμμ已知，检验＝
14．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i m 的样本，则下列说法正确的是__D _
(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C) 方差分析中
2
11.()i
m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D) 方差分析中2
.1()r
A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
15．在一次假设检验中，下列说法正确的是__C___ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯
(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小
(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误
16．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆ
θ是θ的__D___
(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计
17．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为____B___。 (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25
18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 B （A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2
χ检验法
19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 D
（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是 A
（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H
21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本，则2()E X 的矩估计是 D
（A ）2
21
11()1n i i S X X n ==--∑（B ）2
221
1()n i i S X X n ==-∑
（C ）221S X + （D ）2
22S X +
22.总体X ～2(,)N μσ，2σ已知，n ≥ B 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L
（A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2L （D ）16
23.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本，2
(),()E X D X μσ==，12
211
()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的
无偏估计，C ＝ C
（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为
A
（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X 25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是B
(A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫
⎪⎝⎭
(B){}(1),k k
n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
(C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n
-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
(D ）{}(1),1k k
n k i n
P X k C p p i n -==-≤≤ 26.若X ～()t n 那么2χ～ A
(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2
()n χ (D ）()t n
27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记
2121
)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，21
2
3)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224
1
1()n
i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 B
(A) 1
/1--=
n S X t μ (B) 1
/2--=
n S X t μ (C) n
S X t /3μ-=
(D) n
S X t /4μ-=
28.设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量21
2
1n
i i n m
i i n m V n =+=+X =
X ∑∑服从的分布是 C
(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n --
29．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿C ＿
(Ａ)4
114i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-
(Ｃ)4
2
211
()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4
2
1
1()3i i S X X ==-∑
30. 设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是
统计量的是 A
(A)2221232
1()X X X σ
++ (Ｂ)13X μ+
(Ｃ)123max(,,)X X X (D)123
1()3
X X X ++
31、设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有
（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤
（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ C
32、设随机变量X 的概率密度为
2
(2)4
(),x f x x +-
=
-∞<<∞
且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取
（A ）1/2, 1.a b == （B
）2,a b ==
（C ）1/2,1a b ==-. （D
）2,a b == （ B ） 33、对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于
（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ C ） 34、设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的 置信度为1α-的置信区间为
（A
）/2
/2(x u x u αα-+ （B
）1/2
/2(x u x u αα--+ （C
）(x u x u α
α-+ （D
）/2
/2(x u x u αα-+ （ D ） 35、对于任意二事件,A B ，同时出现的概率()0P AB =，则（ C ） （A ）,A B 不相容（相斥） （B ）AB 是不可能事件
（C ）AB 未必是不可能事件 （D ）()0,()0P A P B ==或 36、设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ A ） （A ）()()P A B P A += （B ）()()P AB P A =
（C ）()()P B A P B = （D ）()()()P B A P B P A -=-
37、已知随机变量X 服从二项分布，且 2.4, 1.44EX DX ==，则二项分布的参数，,n p 的值为（ B ） （A ）4,0.6n p == （B ）6,0.4n p == （C ）8,0.3n p == （D ）24,0.1n p ==
38、对于任意两个随机变量,X Y ，若()E XY EX EY =⋅，则（ B ） （A ）()D XY DX DY =⋅ （B ）()D X Y DX DY +=+ （C ）,X Y 独立 （D ）,X Y 不独立 三、判断：
( √ )1. ()0P A =是事件A 为不可能事件的必要但是不充分条件. ( √ )2. 若事件,A B 相互独立，则事件A B 与也相互独立. ( ╳ )3. 若()0P A >，对任意事件B ，都成立(|)()P B A P B ≥.
( ╳ )4. 对于连续型和离散型随机变量ξ，a R ∀∈，都有()()P a P a ξξ≤=<成立. ( ╳ )5. 二维离散型随机变量的联合分布列和边沿分布列可以相互确定. ( √ )6. 设二维连续型随机变量(,)ξη在2
2
{(,)|1}D x y x y =+≤上服从均匀分布，
则其联合密度函数为1
(,),(,)f x y x y D π
=
∈.
( ╳ )7. 若2
.~(,)r v N ξμσ，则(||)21
P αμξασ-⎛⎫<=Φ-
⎪⎝⎭
.
( ╳ )8. 若随机变量ξη、满足()()D D ξηξη+=-，则ξη、相互独立.
( √ )9. 从总体2
~(,)X N μδ中抽取样本123,,X X X ，则1231()3X X X ++和123111244
X X X ++都是总
体均值的无偏估计，但前者比后者更有效.
( √ )10. 参数假设检验的原理是“小概率原理”.
四、计算题：
1、 已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是
次品。
解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：73C C C 2
8
1
2
16= （2）第二次才取得次品的概率为：
14
3
7826＝⨯⨯ （3）令1A 表示“第一次取出的是正品” ，2A 表示“第一次取出的是次品” B 表示“第二次取出的是次品”
第二次取出的是次品的概率为：
4
182718672)A (P )A |B (P )A (P )A |B (P )B (P 2211=⨯+⨯=
+= 2、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X 和Y 的联合分布律；（2）X 和Y 的边缘分布律。 解：（1）X 和Y 的联合分布律为：
。
分别为2,1,0n ,m 4C C 25
1)
5.0()5.0(C )8.0()2.0(C )n Y ,m X (P )
m 1(n
2m 2n
2n n 2m 2m m 2---⨯====
（2）X 和Y 的边缘分布律。
由于X 与Y 相互独立，所以X 和Y 的边缘分布律分别为：
。，2,1,0m )8.0()2.0(C )m X (P m
2m m 2===- 。，2,1,0n )
5.0()5.0(C )n Y (P n
2n n 2===- 3、在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
∵ 10人中任选3人为一组：选法有⎪⎭
⎫ ⎝⎛310种，且每种选法等可能。
又事件A 相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯251
∴
121310251)(=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯=
A P （2）求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B ，同上10人中任选3人，选法有⎪⎭
⎫ ⎝⎛310种，且每种选法等
可能，又事件B 相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯241种
201310241)(=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯=
B P 4、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A 。
在17桶中任取9桶的取法有9
17C 种，且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有2
334410C C C ⨯⨯
故
2431252
)(6
17
2
334410=⨯⨯=C C C C A P 5、 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A
∵ 在1500个产品中任取200个，取法有⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2001500种，每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品，取法有⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛110110090400种
∴
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001500110110090400)(A P （2）至少有2个次品的概率。 记：A 表“至少有2个次品”
B 0表“不含有次品”，B 1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2001100种，
200个产品含一个次品，取法有⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛199********种
∵ 10B B A +=且B 0，B 1互不相容。
∴
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-=200150019911001400200150020011001)]()([1)(1)(10B P B P A P A P
6、从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A 表“4只全中至少有两支配成一对” 则A 表“4只人不配对”
∵ 从10只中任取4只，取法有⎪⎭
⎫ ⎝⎛410种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有4
245⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛
21
132181)(1)(2182)(410
44
5=-
=-==
⋅=
∴
A P A P C C A P
7、将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？
记A i 表“杯中球的最大个数为i 个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A 1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)
166
4
234)(31=⨯⨯=
A P 对A 2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有3423⨯⨯C 种。
(从3个球中选2个球，选法有23C ，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。
16
9
43
4)(3
2
32=
⨯⨯=
C A P 对A 3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，
选法有4种)
16
1
44)(33=
=
A P 8、50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记A 表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
法一：用古典概率作：
把随机试验E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）
对E ：铆法有323344347350C C C C ⨯⨯⨯ 种，每种装法等可能
对A ：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔3
2334434733C C C C ⨯⨯〕×10种
00051.01960
1
10
][)(3
23
3473503
2334434733==
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
C C C C C C C A P 9、 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ⋃===求。 解：
B A AB B B A AS A B P B P A P A P ⋃=⋃===-==-=)(,6.0)(1)(,7.0)(1)(注意φ=))((B A AB .
故有
P (AB )=P (A )－P (A B )=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，
P (A ∪B )= P (A )+ P (B )－P (A B )=0.7+0.6－0.5=0.8 于是25.08
.02
.0)()()()]([)|(==⋃=⋃⋃=
⋃B A P AB P B A P B A B P B A B P
10、)(,2
1
)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ⋃===
求。 解：由6
1)()(31
4121)()|()()()()
|(=⇒⨯
=−−−−→−=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 由乘法公式，得12
1
)|()()(=
=A B P A P AB P 由加法公式，得3
11216141)()()()(=-+=
-+=⋃AB P B P A P B A P 11、 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。 解：（在缩小的样本空间SB 中求P(A|B)，即将事件B 作为样本空间，求事件A 发生的概率）。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x , y ）（x , y =1,2,3,4,5,6）并且满足x ,+y =7，则样本空间为
S={(x , y )| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
每种结果（x , y ）等可能。
A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故3
162)(==
A P } 12、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P (A )=P {孩子得病}=0.6，P (
B |A )=P {母亲得病|孩子得病}=0.5，P (
C |AB )=P {父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：所求概率为P (AB C )（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C |AB )
P (AB )= P (A )=P (B |A )=0.6×0.5=0.3, P (C |AB )=1－P (C |AB )=1－0.4=0.6. 从而P (AB C )= P (AB ) · P (C |AB )=0.3×0.6=0.18.
13、已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A ）
用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
62.045
28
)(21028===C C A P
（2）二只都是次品（记为事件B ） 45
1)(210
22=
=
C C B P （3）一只是正品，一只是次品（记为事件C ）
45
16)(210
1218=
⨯=
C C C C P （4）第二次取出的是次品（记为事件
D ） 因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，
14、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H 表拨号不超过三次而能接通。
A i 表第i 次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
10
3819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211=⨯⨯+⨯+=
++=∴
++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。
)|||)|(321211B A A A B A A B PA B H P ++=
)|()|()|()|()|()|(2131211211A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P ++= 5
3314354415451=⨯⨯+⨯+=
15、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）
记A 1，A 2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ B =A 1B +A 2B 且A 1，A 2互斥
∴
P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2)
=
1
11++⨯+++++⨯+M N N
m n m M N N m n n 16、第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记C 1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C 2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C 3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，
D 为“从第二盒子中取得白球”，显然C 1，C 2，C 3两两互斥，C 1∪C 2∪C 3=S ，由全概率公式，有 P (D )=P (C 1)P (D|C 1)+P (C 2)P (D|C 2)+P (C 3)P (D| C 3)
99531161171152
9
1415292
42925=⋅⋅+⋅+⋅=C C C C C C C 17、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随
机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：A 1={男人}，A 2={女人}，B={色盲}，显然A 1∪A 2=S ，A 1 A 2=φ 由已知条件知%25.0)|(%,5)|(21
)()(2121====A B P A B P A P A P
由贝叶斯公式，有
212010000
2521100521100521)|()()|()()|()()()()|(22111111=⋅
+⋅⋅
=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P
18、一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2
P （1）若至少有一次及格则他能取得某
种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：A i ={他第i 次及格}，i=1,2 已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=P ，2)|(12P A A P = （1）B ={至少有一次及格}
所以21}{A A B ==两次均不及格 ∴)|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-= )]|(1)][(1[1121A A P A P ---= 22
1
23)21)(1(1P P P P -=---= （2）)
()()
22121(A P A A P A A P 定义
由乘法公式，有P (A 1 A 2)= P (A 1) P (A 2| A 1) = P 2
由全概率公式，有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=
2
22
)1(2P P P P P P +=⋅
-+⋅=
将以上两个结果代入（*）得1
22
2)|(2221+=
+=
P P
P
P P A A P
第 1 次阶段测试作业评语
年级：层次：专业：
学号：姓名：课程：
评语：
作业成绩：
任课教师：
年月日
习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式 B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观 察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为 {10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事 件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目 标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击 中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没 有击中目标. 习题1-3
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答 一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ） 1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。（√） 2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。（√） 3、样本空间是随机现象的数学模型。（√） 4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。（×） 5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。（×） 6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。（√） 7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。（×） 8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件 A 、 B 独立。 （√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。（√） 10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。（√） 二、单选题 1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ） A 、()()P A P B + B 、()()P A P B + C 、1()()P A P B - D 、1()()P A P B - 2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ） A 、A 与A B +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立 C 、A 与B A -一定独立 D 、A 与AB 一定独立 3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ） A 、1()()()P C P A P B ≤+- B 、1()()()P C P A P B ≥+-
《概率论与数理统计》第一章习题及答案 习题1.1 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C ,分别表示“第一次出现 A, B 正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C ,中的样本点。 A, B Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}解：{= {=A(正，正)，（正，反）}；{= B（正，正），（反，反）} {= C(正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D , ,分别表示“点数之和为 A, B C 偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D - +, - , ,中 AB- , A B C A BC B C A 的样本点。 解： {})6,6(, = Ω； ),2,6(),1,6(, ),2,1(),1,1( ),6,2(, ),2,2(),1,2(),6,1(, {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1( AB； = {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(, +B A； = ),5,1(),3,1(),1,1( A； C = Φ {})2,2(),1,1( BC； = {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( B A -D C - = - 3. 以C ,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A, B ,表示以下事件： A, B C （1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解： （1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
沈阳铁路局学习中心
第一部分： 必须掌握的重点理论知识习题。 一、 填空： 1、设{1,2,3,4,5,6} Ω=，{2,3,4}A =，{3,5}B =，{4,6}C =， 那么A B ?= {1,2,3,4,6} ，AB = {1,6} ，()A BC = Φ空集 。 2、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从二项分布(5,0.6)B ，Y 服从二项分布2(,)N μσ，且 ()6,() 1.36E X Y D X Y +=-=，则μ=6-5=1 ；σ=根号0.76。 3则α= （1-0.2-0.1-0.25-0.15） 0.3 ，X 的期望()E x = （XP ）0.1 4、离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)= 2,1,2,3c k k =，则c= 36/49 c(1+1/4+1/9)=1,解得c; 5、从总体X 中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。则该总体平均数的矩估计值是___5____，总体方差的矩估计是___15/2____。 6、设两个事件A 、B 相互独立，()0.6P A =，()0.7P B =，则()P A B -= 0.18 ，()P A B -= 0.12 。 7、设随机变量X 服从正态分布(2,16)N -，则{02}P X ≤<= Φ（1）-Φ（0.5） ， {6}P X ≥-= Φ（1） ，{22}P x -≥= 1-Φ（1.5）+Φ（0.5） 。 8则()E x = 0.05 ，2()E x = 1.75 。 9、 离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)= .3,2,1,2=k k c ，则c= 12/11 10、甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6，0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为0.75。 11、设随机事件,A B 及其和事件A B ?的概率分别为0.4，0.3和0.6。若B 表示B 的对立事件，那 说明： ①阶段测试作业必须由学生书写完成，打印复印不计成绩。 ②学生应按有关课程的教学要求，在规定的交纳日期前交纳作业。 ③任课教师评定考试成绩后，将成绩与评语反馈给学生本人。 ④每一次阶段测试作业成绩记为本学期课程总成绩的20%。
概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21 455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全
《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：
（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C中不多于两个发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 （2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）
概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1。写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. (2） 掷二颗骰子, A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点." B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” (3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面." B =“至少有一次出现正面。” C =“两次出现同一面。” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，； {}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6, (12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1), (22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,), C =正正正反反 2。设A ，B ,C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件: （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ,B ,C 都发生; (4) A ，B ,C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生; （6） A ，B ,C 不都发生； （7） A ,B ，C 至多有2个发生; (8） A ，B ,C 至少有2个发生. 【解】(1） A BC （2） AB C （3） ABC （4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC （5） ABC =A B C (6） ABC (7） A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C
第一章概率论的基本概念 1.写出下列随机试验的样本空间. ⑴纪录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分). 解S={%=OJ…,100% 其中〃为小班人数. n ⑵同时掷三颗骰子，纪录三颗骰子点数之和; 解:S={3,4,…，18}. ⑶生产产品直到得到10件正品为止，纪录生产产品的总件数; 解：S={10, 11, 12,… (4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品，停止检查, 纪录检查的结果. 解:S={00, 100,0100,0101, 1010,0110, 11009011151011, 1101, 111091111)9 其中。表示次品，1表示正品. (5)在单位圆内任意取一点，纪录它的坐标； 解:S={(x, y)∣x2+y2
解表示为：ABC 或A—(A3+A。或A—(3uC)∙ (2)A,3都发生，pre不发生； 解表示为:48。或A5-A3C或48-C (3)4 B, C中至少有一个发生； 解：表示为：A+3+C (4)A,民。都发生； 解：表示为:ABC (5)A,B,C都不发生； 解：表示为：ABC^i S- (A+B+C)^A U B U C (6)4民C中不多于一个发生； 解：即人民。中至少有两个同时不发生 相当于了反BC,入。中至少有一个发生. 故表示为：AB+BC+AC. (7)A, B, C中不多于三个发生； 解：相当于：A瓦。中至少有一个发生. 故表示为：4+豆+。或砺. (8)A, B, C中至少有二个发生. 解:相当于:A民BC, AC中至少有一个发生. 故表示为：AB+BC+AC. 3.设4 3是两大事且P(A)=0∙6, P(3)=0.7.问：(1)在什么条件下尸(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下尸(A5) 取得最小值，最小值是多少？ 解:⑴由于P(A3)=P(A)+P⑹-P(Au8),且 P(A) 第一章 概率论的基本概念 基础训练I 一、选择题 1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。 A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销； B ）甲乙产品均畅销； C ）甲种产品滞销； D ）甲产品滞销或乙种产品畅销. 2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。 A ） A , B , C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生； C ） A ,B ,C 至少有一个发生； D ） A ,B ,C 不多于一个发生 3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。 A ）)()( B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-； C ）)()(AB P A P -； D ）)()()(AB P B P A P -+。 4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。 A ） 3/5； B ）3/4； C ）2/4； D ）3/10. 5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。 A ） 1/16 B ） 1/8 C ） 1/10 D ） 1/4 6、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。 A ） B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容； C ）A B ⊃； D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。 二、填空题 1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生， C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。 2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ； 3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%； 4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8； 概率论与数理统计 第一部份 习题 第一章 概率论基本概念 一、填空题 1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。 4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。 6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。 8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。 10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。 11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。 12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。 13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。 14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。 15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。 16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。 17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。 1(10.0分) •A) 1/64 •B) 3/64 •C) 9/64 •D) 27/64 参考答案：?C?? 收起解析 解析： 无 2(10.0分) •A) 1/3 •B) 1/5 •C) 1/15 •D) 1 参考答案：?D?? 收起解析 解析： 无 3(10.0分) •A) 1 •B) 2 •C) 1/2 •D) 参考答案：?C?? 收起解析 解析： 无 4(10.0分) •A) 保持不变 •B) 单调减少 •C) 单调增加 •D) 增减不定 参考答案：?A?? 收起解析 解析： 无 5(10.0分) 设X与Y独立同分布，记U=X-Y,V=X+Y,则U、V必然（）。 •A) 不独立 •B) 独立 •C) 相关系数为零 •D) 相关系数不为零 参考答案：?C?? 收起解析 解析： 无 6(10.0分) X与Y独立且DX=16，DY=9,则D(X+Y)=（）。 •A) 25 •B) 16 •C) 9 •D) 7 参考答案：?A?? 收起解析 解析： 无 7(10.0分) •A) •B) •C) •D) 参考答案：?A?? 收起解析 解析： 无 8(10.0分) ??已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为1/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数为3的概率为（?? ）。 •A) 1/125 •B) 4/125 •C) 16/125 •D) 64/125 参考答案：?C?? 收起解析 解析： 无 9(10.0分) •A) •B) •C) •D) 参考答案：?B?? 收起解析 解析： 无 10(10.0分) •A) •B) •C) •D) 习题一 1. 用三个事件,,A B C 的运算表示下列事件： （1）,,A B C 中至少有一个发生；（2）,,A B C 中只有A 发生； （3）,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生；（6）,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC CA 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记 1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B . 解：（1）{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）∅ （3）{|014121x x x ≤<<≤或 3. 已知()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C . 解：0.2()()P A P AB =-, 0.1()(())()()()()()()P CAB P C A B P C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ =0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与 ()P AB . 解：()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =, ()()()0.250.150.1P B A P B P AB -=-=-=, ()()1()()()P AB P A B P A P B P AB ==--+ 10.40.250.150.5=--+= 5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”的概率. 解：232224813!13!p ⨯⨯⨯⨯== 6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率. 解： 1254535099392C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率. 解： 12 12312p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =， 12395945()0.0461009998P A A A == 9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率. 概率论与数理统计(专升本)阶段性作业1 总分：100分得分：0分 、单选题 参考答案：D •〔张奖券中含有：.张有奖的，：-个人购买，每人一张，其中至少有一人中 奖的概率是 ________ (4分) (A) : (B) : (A): (B): (C): 事件打和一:互不相容 事件打和一:互相对立 事件丄和匚相互独立 事件一-和匚互不独立 (D): 参考答案：C 2.以打表示事件“甲种产品畅销， 一(4 分) “甲种产品畅销，乙种产品滞销” “甲、乙两种产品均畅 销” “甲种产品滞销” “甲种产品滞销或乙种产品畅(A ) (B ) 乙种产品滞销”则其对立事件 (4分) 3. 1.设 4. 设： 是三个随机事件,F- V 一门匚_ * , 一 一 _ ., 4 8 Pg = P(BQ = 0,则丸$C 三个随机事件中至少有一个发生的概率是 ______ (4 分) r (A):亍 (B) :- [31 (C) : 8 1 (D) :: 参考答案：B 5. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一 球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为 _________ (4分) J. (A) : 4 7 (B) ： 4 2 (C) : ' P2" (D) :- 参考答案：D 6. 加工某零件需两道工序，两道工序的加工独立，次品率分别为 =,则 加工出来的零件次品率是 ________ (4分) (A) :叮 (C): —E ~cT 上c r V V JH (D): 参考答案：A (B): (C): (D): - 参考答案：B 7.假设事件/和B满足P^B \ J) =1 ,则___________ (4分) (A):二是必然事件 (B): P(B I)= 0 (C):氏卫 (D): ______ . 参考答案：D 8.当事件B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是______________ (4 分) (A):- -一： (B): - - (C): P(C)>P[A)iP[B]-l (D): P(C)g) + P(D)-l 参考答案：C 9.设二事件』和B同时出现的概率P(』B)二0，则____________(4分) (A):苣和三不相容 (B):止是不可能事件 (C):一上未必是不可能事件 (D):附0 或P(B) = Q 参考答案：C 10.设事件」！B],有BcA，则下列式子正确的是_____________(4分) (A): P(A十B)=P(A) (B): = PCO 概率论与数理统计第一版答案 【篇一：《概率论与数理统计》课后习题答案第一章】xt>习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件a,b,c分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间 及事件a,b,c中的样本点。 解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）? a??(正，正)，（正，反）?；b??（正，正），（反，反）? c??(正，正)，（正，反），（反，正）? 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件a,b,c,d分别表示“点数之和为偶数 偶数”， “点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件ab,a?b,c,bc,a?b?c?d中的样本点。 解：(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?,(6,6)?； ab??(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)?； a?b??(1,1),(1,3),(1,5),?,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?； c??； bc??(1,1),(2,2)?； a?b?c?d??(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)? 3. 以a,b,c分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 a,b,c表示以下 事件： （1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不 全订阅。 解：（1）a；（2）ab；（4）ab?ac?bc; （8）abc；（9）??（3）a?b?c； （5）a?b?c； （6）；（7）?c?b?a或?? 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件a1,a2,a3分别表示甲、乙、丙 射中。试说明下列事件所表示的结果：a2, a2 a3, a1a2, a1a2, a1a2a3, a1a2?a2a3?a1a3. 第1章 概率论的基本概念 §1 。8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C ，D 为开关.设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p ，求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0。4，0.5和0.6，是否命中, 相互独立， 求下列概率： (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8。 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合,于是 T = AB ∪CD ， 从而，由概率的性质及A,B ，C ，D 的相互独立性 P （T) = P （AB ） + P （CD) - P(ABCD) = P （A)P(B) + P(C ）P(D ） – P(A ）P(B)P(C ）P （D ） 424222p p p p p -=-+= 2： （1） 0。4（1-0。5）(1—0.6）+(1-0.4)0。5(1—0。6）+（1—0。4)（1—0。5)0.6=0.38； （2） 1—（1-0.4）(1-0。5）(1—0。6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0. 4 0.6 （1)P （X=2，Y ≤2)； (2)P （Y ≤2); (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2。3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0。9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位:分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2。7 正态分布 1 随机变量X ～N （3, 4), （1) 求 P （2〈X ≤5） , P(— 4概率论与数理统计练习册—第一章答案
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