概率论与数理统计作业与解答

概率论与数理统计作业及解答

第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为

E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;

或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).

(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)

2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率

★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率

A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.

C 6 (C 2 )6 32

C 8C 4(C 2)4 80

0.2238, P(B) 8 皆 0.5594,

P(A) 8

/143

★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99

⑴冷

0.724.⑵虫产

0.2526. C 50 1960

C 50

392

5. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•

4

(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,

9

⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,

9

或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.

9 9

6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.

1 1

2 C m C M m C m

m(2M - m -1)

M (M -1)

6 —

C 16

143

P(C)二 C 8

CJC 2

)

30

0.2098.

143

C 16

C 2 i

C 2

⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =

C 10 12

C 10

7. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无 黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.

1 1

1

A 3!

2 8

P (A

)

=3^2?P (B )

=3P (A )

=9

, P(C

^#=?

=9

, P(DH ^P(BH

?

2

8 1 1 2

P(E)

亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲

☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率

☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率

1

4

第二次作业

1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,

P(A) 1-0.92

P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,

P(A| B): = P(AB) = 0.。

58

胡.83. P(B) 1-0.93

(2)P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB) =0.92 0.93-0.862 = 0.988.

2.投两颗骰子 已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件 A 二{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} , B 二{(1,6),(6,1)}

2

P(B|A)

話

★在1 — 2000中任取一整数•求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率 记事件A 珂能被5除尽｝, B 珂能被7除尽｝.

400 1 命碱 一2000] 285 57 一2000] 57

P （A ） ,取整

285, P （B ） , 57, P （AB ） , 2000 5

1 7」 2000

400 厅 7」

2000

p （AB ）=P （A U B ）=1 -P （A U B ） =1 _P （A ） _P （B ）P （AB ）

1 57

57

=1 一丄一竺 57

0.686.

5 400 2000

1

20

285 57

3. 由长期统计资料得知•某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15刮风（用B

表示)的概率为7/15 .既刮风又下雨的概率为1/10 .求P(A|B)、P(B|A)、P(A B).

P (A|BrfO=如仝，P(B|Ar

P(AB

)_

1/10

_3

,

P(B) 7/15

14

P(A) 4/15 8

4

7 1 19

P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB)二喜 ---=--.

15 15 10

30

4 .设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 1/2若第一次落下未摔破 第

二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是 9/10 .

试求落下三次而未摔破的概率•

记事件A =｛第i 次落下时摔破｝ i =1,2,3.

P(AA 2A 3)= P(AjP(A 2 |A 1)P(A 3 |入1入2)=

5 ■设在n 张彩票中有一张奖券 有3个人参加抽奖 分别求出第一、二、三个人摸到奖券 概率•

记事件A =｛第i 个人摸到奖券｝ i =1,2,3.

一 1 由古典概率直接得 P(A 1HP(A 2^P(A 3) .

n

n _ 1 1

1

或

P(A

2

)=P(A 1

A

2

)=

P(A 1

)P(A 2

|A 1

)

,

n n -1 n

n -1 n - 2 1 1

P(A 3)=P(A^A 2A 3^ P(A 1)P(A 2 | A 1)P(A 3 | A 1A 2)=

n n —1 n —2 n

1

或 第一个人中奖概率为p (A )二-,

n

2 1

前两人中奖概率为 P(A 1 A 2H P(A 1) P(A 2^-,解得P(A 2)= —,

n n

3

1 前三人中奖概率为 P(A 1 A ， A 3^P(A 1) P(A 2) P(A 3) ,解得 P(A 3)

. n

n

6甲、乙两人射击•甲击中的概率为08.乙击中的概率为07・两人同时射击•假定中 靶与否是独立的 求(1)两人都中靶的概率・(2)甲中乙不中的概率-(3)甲不中乙中的概率• 记事件A=｛甲中靶｝ B=｛乙中靶｝.

(1) P(AB)二P(A)P(B) =0.7 0.7 =0.56, (2) P(AB)二 P( A) -P( AB) =0.8 -0.56 =0.24, (3) P(AB)二 P(B) -P(AB) =0.7 -0.56 =0.14.

★ 7 -袋中有a 个红球b 个黑球•有放回从袋中摸球•计算以下事件的概率 (1) A 冗在n 次摸球中有k 次摸到红球｝-

.1.7.9 1 1 1 ——

2 . 10 . 10

3 200

(2) B=｛第k次首次摸到红球｝

(3) C冗第r次摸到红球时恰好摸了k次球｝■

次.已知他至少命中一次的概率为80

求该射手射击

81

次命中目标的概率.

彳 4 , 80 1 1 , 2 P

,q =

1_

'P.q 1 , q ,p=1-q

81 81

3 3

9 ■设某种高射炮命中目标的概率为 0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以 0.99

的概率命中目标

(1-0.6)n =d -0.99, 0.4n <0.01,由 0.4^0.01024, 0.46 < 0.01,得 n _ 6.

☆.证明一般加法(容斥)公式

n

P(IX A )八 P(A)，P(AA j ) ' P(AA j A k )…(-1)2卩心：,).

i4

i

i d

证明只需证分块人Ili A k

A jIl An UAjIL A k

只计算1次概率.(i 1川，i n 是1川,n 的一 个排列k =1,2,

HI,n.)分块概率重数为

AJIIA 中任取1个-任取2个(-1厂任取k 个即

c

：-C ：+川+(—1)k

」c ；=1u

1 _c k +C ：+川+(_1)k c ： =(1_1)k =0.

将u,n 互换可得对偶加法(容斥)公式

n

P( IX A )P(A)」P(A UA j ) •

P (A UA jU A k )……(-1)n 'pQ 角A).

i=1

i

i g

☆.证明 若A B 独立A C 独立•则A B U C 独立的充要条件是 A BC 独立. 证明

P(A(B UC))二 P(AB UAC)二 P(AB) P(AC) -P(ABC)

二P(A)P(B) P(A)P(C)-P(ABC) 充分性•二：

P(A(B U C )) =P(A)P(B) P(A)P(C) _P(ABC),代入 P(ABC) = P(A)P(BC) 二 P(A)(P(B) P(C)-P(BC))二 P(A)P(BUC),即 A, BUC 独立.

必要性=：

P(A(B Uc)) =P(A)P(B U C )工 P(A)(P(B) P(C) - P(BC))

= P(A)P(B) P(A)P(C) -P(A)P(BC) =P(A)P(B) P(A)P(C) -P(ABC) P(ABC) =P(A)P(BC),即代 BC 独立.

J _k

Cn

P (A )

=Ck —

2+b J(a +b J

k

」 k J a ab P(B

八 代 r^ =(r^^； J 产-^-r

P (C2C ；4a+b 八 a+b

a k

b n -

(a b)n

r k _r

A

ab

二(a b)k .

8 一射手对一目标独立地射击 4 设射击一次命中目标的概率为

☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 证明因为

P[(A ljB)C]二 P(AC UBC)二 P(AC) P(BC) -P(ABC) = P(A)P(C) P(B)P(C) -P(A)P(B)P(C) -[P(A) P(B) -P(A)P(B)]P(C) = P (A U B )P (C )

P[(AB)C] =P(ABC) =P(A)P(B)P(C)二[P(A)P(B)]P(C)=P(AB)P(C)

P[( A _B)C] =P(AC _B) =P(AC) _P(ABC) =P(A)P(C)_P(A)P(B)P(C) = [P(A) _P(AB)]P(C) = P(A _B)P(C)

所以A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 第三次作业

1 •在做一道有4个答案的选择题时.如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测 . 设他知道问题的正确答案的概率为 P .分别就P =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率： (1) 学生答对该选择题；⑵已知学生答对了选择题 求学生确实知道正确答案的概率• 记事件A=｛知道问题正确答案｝ B =｛答对选择题｝. (1) 由全概率公式得 P(B^P(A)P(B| A) P(A)P(B|A)

0.70 •当报警系统B 单独使用时•其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下•报 警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率：(1)两种报警系统都有效的概率；(2)在报警系 统B 有效的条件下.报警系统A 有效的概率；(3)两种报警系统都失灵的概率.

P(A) =0.7,P(B) =0.8,P(B| A) =0.84.

P(AB) =P(A)P(B| A) P7 0.84 =0.588,

P(A|B)=週-呻

P(B)

1 3P _ 1 .3 0.6 _ 7 = 0.7,

—

— 4 4 4 4 10

1 3p

1 3 0.3 19 = 0.475

+

4 4

4 4

40

当 p =0.3 时 P(B)=

当 p =0.6 时 P(B)二 (2)

由贝叶斯公式得P(A

|B

)=鵲

1 3p 1 3p 4 4

当 p =0.6 时 P(A|B)二 4p

—

4 0.6

—6

1 3p _1 3 0.6 一 7 '

当 p=0.3 时 P(A| BH

4 0.3

12

1 3p 13 0.3

19

.

2 ■某单位同时装有两种报警系统 A 与B 当报警系统

A 单独使用时.其有效的概率为

(1) 0.735,

0.8

P(AB) =P(A UB) =1 - P(AUB) =1 - P(A) -P(B) P(AB)

J -0.7-0.8 0.588 = 0.088.

☆.为防止意外•在矿内同时设有两种报警系统 A 与B 每种系统单独使用时•其有效的 概率系统A 为0, 92 .系统B 为0.93 .在A 失灵的条件下.B 有效的概率为0.85,.求：⑴ 发生意外时.两个报警系统至少有一个有效的概率• (2) B 失灵的条件下.A 有效的概率

3 .设有甲、乙两袋.甲袋中有n 只白球.m 只红球•乙袋中有N 只白球.M 只红球 从甲袋中任取一球放入乙袋.在从乙袋中任取一球•问取到白球的概率是多少， 记事件A=｛从甲袋中取到白球｝ B =｛从乙袋中取到白球｝. 由全概率公式得

P(B) = P(A)P(B|A) P(A)P(B | A)

n N+1 m N n + N(n +m) - ------- -------------- ---------- ------------- - -------------------------- n mN M 1 n mN M 1 (n m)( N M 1)

☆.设有五个袋子•其中两个袋子•每袋有2个白球• 3个黑球•另外两个袋子•每袋有1 个白球.4个黑球.还有一个袋子有4个白球.1个黑球,(1)从五个袋子中任挑一袋.并从 这袋中任取一球.求此球为白球的概率.(2)从不同的三个袋中任挑一袋.并由其中任取 一球.结果是白球.问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少 ？

★ 4、发报台分别以概率0 6和0 4发出信号“ •及由于通信系统受到于扰•当发 出信号“ •时.收报台分别以概率0 8及0 2收到信息“及“”；又当发出信号 “ 时•收报台分别以概率0 9及0l 收到信号 “”及“•求：(1)收报台收到 “的概率⑵ 收报台收到“”的概率⑶当收报台收到 “ •时.发报台确系发出信号 “ •的概率⑷收 到“”时.确系发出“”的概率 记事件B=｛收到信号 “｝・人=｛发出信号“｝A 2=｛发出信号“”. (1) P(B) =P(A J P(B | AJ P(A 2)P(B | A ?) =0.6 (1-0.2) 0.4 0.1=0.52; (2) P(B) =1-P(B) =1 -0.52 P48;

5对以往数据分析结果表明•当机器调整良好时•产品合格率为90%而机器发生某一

故障时•产品合格率为30% .每天早上机器开动时•机器调整良好的概率为75% (1)求机器产品

合格率•

(2) 已知某日早上第一件产品是合格品•求机器调整良好的概率

P(A 1|B)二

P(AB) P(B)

P(AJP(B|A 1)

P(B)

0.6 0.8 0.52

訂

923;

(4) P(A 2 | B)二

P(A 2B) P(B)

P(A 2)P(B| A) _ 0.4 0.9 _ 3

P(B) 0.48 4

= 0.75.

记事件B=｛产品合格｝ A=｛机器调整良好｝. (1) 由全概率公式得

P(B^ P(A)P(B | A) P(A)P(B|A) =0.75 0.9 0.25 0.3 =0.75,

2 2 2

(A) P(B|A)=(1-(1 -p)(1 -p)) = p (4 -4p p ), (B) P(B | A) =1 —(1 - p 2)(1 - p 2H P% - p 2), (C) 由全概率公式得

P(B) =P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)

二 p 卩2(4「4p p 2) (1「p)p 2(2「p 2)

=2 p 2 2 p 3「5p 4 2 p 5.

第四次作业

1 •在15个同型零件中有2个次品•从中任取3个•以X 表示取出的次品的个数•求X 的分布律. P(X 二

k): k

2

上

X

0 1 2 P

22/35 12/35

1/35

☆.经销一批水果•第一天售出的概率是0.5・每公斤获利8元•第二天售出的概率是0.4 每公斤获利5元•第三天售出的概率是0.1 .每公斤亏损3元，求经销这批水果每公斤赢 利X 的概率分布律和分布函数，

X

-3 5 8 P

0.1

0.4

0.5

0, X < -3,

F(—3) = P(X = —3)=0.1厂3 兰x£5,

F(x)= < F(5) =P(X = —3) + P(X =5) =0.1+0.4 =0.5,5 咗xC8,

、F(8) =1,x 沁

2 ■抛掷一枚不均匀的硬币•每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次•以X 表示出现

⑵由贝叶斯公式得P(A

|B)

=器L 罟严

0.75 0.9 0.75

= 0.9.

☆系统(A) - (B) - (C)图如下•系统(A). (B)由4个元件组成•系统(C)由5个元件组成•每个 元件的可靠性为p .即元件正常工作的概率为p .试求整个系统的可靠性.

正面的次数.求X 的分布律.

3 . 一射击运动员的击中靶心的命中率为 0.35 .以X 表示他首次击中靶心时累计已射击 的次数.写出X 的分布律.并计算X 取偶数的概率

X LJG(P =0.35), P(X =k) = pq k J 1=0.35 0.65k ‘,k =1,2|“.

P(X 奇)+P(X 偶)=1, P(X 奇)=P (X 偶),

I q 解得P(X 偶)=」

空5

13

L 0.394.

1 +q 1 +0.65

33

4 . 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机•调查表明在任一时刻每个刷卡机使用 的概率为0.1求在同一时刻

(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率•

(3) 至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率 在同一时刻刷卡机被使用的个数 X LI B(n =4, p =0.1). 2 2 2

(1) P(X =2) =C 4 0.1

0.9 -0.00486,

(2) P(X A3) =P(X =3) +P(X =4) =C ：x0.13x0.9+0.14 =0.0037, (3) P(X <3) =1 -P(X =4) =^0.1^0.9999,

(4) P(X _1) =1 -P(X =0) h -0.94 =1 -0.6561 =0.3439.

5 ■某汽车从起点驶出时有40名乘客•设沿途共有4个停靠站.且该车只下不上•每个 乘客在每个站下车的概率相等.并且相互独立.试求：(1)全在终点站下车的概率 (2)至 少有2个乘客在终点站下车的概率■ (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率 记事件A=｛任一乘客在终点站下车｝乘客在终点站下车人数x LI B(n =40, ^1/ 4).

(1 ^0

(1) P(X =40)

8.2718 10尤

14丿

⑵ P(X 一2) =1-P(X =0)-P(X =1) =1 -

3

-C ：。1 -

=1-坐 -

4 40

4 4 3 4

= 1 -0.000134088=0.999865912.

(3) 记事件B=｛任一乘客在后两站下车｝乘客在后两站下车人数YU B(n =40, p =1/ 2).

20 f 1 f f 1 f

p (丫 =2o )=c ：0 2

应用斯特林公式n 山血赢|耳,

XL|B(n =8,p

= 2/3), P(X =k^Cs

(2)k

门

-f I-

13丿138_k

,k=0,1川,8.

「20

12 |

詳=0.1268.(精确值) / 九n

le丿

6・已知瓷器在运输过程中受损的概率是 0.002 •有2000件瓷器运到•求：(1)恰有2个受 损的概率 ⑵小于2个受损的概率•⑶多于2个受损的概率•⑷至少有1个受损的概率 受损瓷器件数X LI B( n 二2000, p= 0.002),近似为泊松分布P(— n p = 4).

42鼻 4

(1) R= — e =8e =0.146525,

2!

(2) F 2 M - e A -5e ^ =0.0915782,

.1!

(3) F 3 =1—R —F 2 =1—13e° =0.761897, (4) F 4 =1 -e^ =0.981684.

7.某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布•规定表面上疵点的个数不超 过2个为合格品.求产品的合格品率•

产品合格品率 P= 1+咚二12

e 」2 =2.92e 」2 =0.879487.

1! 2! ★ 8设随机变量X 的分布律是

求X 的分布函数•以及概率P(3 ：： X E6),P(X 1),P(X 乞5), P(|X |乞5).

随机变量X 的分布函数为

Qxv-3,

F(—3) = P(X = —3)=0.2,—3Exc5,

F(x)= ]F(5)=P(X = —3)+P(X =5)=0.2+0.5=0.7,5 兰 xv8,

F(8) =1,x _8.

P(3 ：： X 空6) =P(X =5) =0.5, P(X 1) = P(X =5) P(X =8) =0.5 0.3 =0.8,

P(X 乞5) =P(| X F5) =F(5) =P(X - -3) P(X =5) =0.2 0.5 =0.7,

第五次作业

1 ■学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位：小时)其密度函数是

20 20

P(X =20) =c 40 -

12丿

o “

40 40

、2 40 '：

I ___________________ 工丿 0 ^

2

240 C 40 40! 西=(20!) 2240

1 0.1262.

2、5 二 20 \y!2<20Tt ，— ° I 2丿丿

其中二=3.1415926536,=1.7724538509. 参贝努利分布的正态近似，

800

7 x,其他T 5

试求：⑴系数k ;(2)X 的分布函数；⑶在15分钟内完成一道作业的概率；⑷在10到20 分钟之间完成一道作业的概率.

仁 F (0.5) = °5

kx 2

xdx 二 k

x

3 4

1

x 2

=—

1

,^21,

」0 13

2 仏 24

8

Qx cO

F(x) p P(X _x) = o 21x 2 xdx =7x 3

x 2,0 _x ：：0.5,

F(0.5) =1 ,x 0.5.

2 ■设连续型随机变量X 服从区间[-a ■ a](a ・0)上的均匀分布•且已知概率P(X .1)=1 .求

3

(1)常数a ；⑵概率P(Xcg), a

1 a —1

1

(1) P(X 1)

dx ,a = 3,

山 2a 2a 3

1

1 1 1 ( 1 ) 5

(2) P(X ：： —) = 3—dx 13 — =5.

3 匕6 6( 3丿9

3 ■设某元件的寿命X 服从参数为二的指数分布•且已知概率P(X 50^e^ .试求(1)参数 二的值-⑵概率 P(25：；X ：：：100), 补分布 S(x)LP(X x) - 、eFdx = -eF|x ：

yeF,x 0. (1) S(50)=P(X 50)=

e^dx

= --

0.08,

50

25

⑵ 由 S(rx)二

= s r (x), r ,x 0,取 x =50,依次令 ,2,得

—

S(25)二 P(X 25) = S 2(50)二 S(100) = P(X 100) = S 2(50) = e 」二 0.0003354563, 其中 eL

2.7182818284.

P(25 ：： X ：：100) =P(X 25)—P(X 100)=e '—e "

=0.13533465 - 0.0003354563 = 0.1349991937.

4 •某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为 £的指数分布•求：(1)任取1只灯泡使

门〕

F -

14丿

P 1

乞 X J

6 3

=P(X EX) = o 21x 2

—0.140625, 64 3

11

1 1 ：21x

2 xdx 二 7 6 6 4 2 4 108 2 29

用时间超过1200小时的概率•⑵任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率 .丄1200 卫 ⑴ P(X 1200) =e 800 二 e 2 =0.2231301602, 此处.6 =1.6487212707001.

9

(2) P 3(X 1200) =0.0111089965.

5 .设 X~ N(0.1).求：P(X<0 61). P(-2 62vX<1 25). P(^>1 34). P(|Xp>2.13). (1) P(X ：： 0.61) =「(0.61) =0.72907,

(2) P(-2.62 ：：X ：： 1.25) = (1.25)—：：」(—2.62) (1.25)亠述(2.62) -1

= 0.89435 99560 -1 =0.88995,

(3) P(X 1.34) =1 - 门(1.34) =1 -0.90988 =0.09012, (4) P(| X | 2.13) =2 -2门(2.13) =2_2 0.98341 =0.03318.

6“飞机从甲地飞到乙地的飞行时间 X~N(4. g)，设飞机上午10： 10从甲地起飞•求：(1) 飞机下午2: 30以后到达乙地的概率；⑵飞机下午2: 10以前到达乙地的概率；(3)飞机在 下午1 : 40至2 : 20之间到达乙地的概率， (1) P i x

13

=1-Pixd =1 Ji

31

公 4

=1-门(1) = 1 -0.84134 = 0.15866,

I 3 丿 J 3 丿

V 1/3 J ')

(2) P(X ：：4)=门(0) =0.5,

⑶ P 「X 用、_:；j

12

6 ) I 1/3 丿 V 1/3 .丿

= ：：」1

门 3

-1 =0.69146 0.93319-1 =0.62465.

2

2

★ 7、设某校高三女学生的身高X~N(162 - 25).求：(1)从中任取1个女学生•求其身高超 过165的概率：(2)从中任取1个女学生•求其身高与162的差的绝对值小于5的概率：⑶ 从中任取6个女学生•求其中至少有2个身高超过165的概率

i’X —162 165—162

)

不

(1) P(X 165) =P

0.6 =1一-(0.6)=1 -0.7258 = 0.2742, -

5

丿

⑶记事件A={任一女生身高超过165} • p 二P(A)二P(X 165^0.2742, 随机变量Y LI 贝努利分布

B(n = 6, p 二0.2742),

P(Y _2) =1 _P(Y =0) _P(Y =1) =1 _(1 _ p)6 _C ；p(1_ p)5 =0.52257.

(2) P(|X -162卜：5) =P

X -162

5

1 =2门(1)-1=

2 0.84134-1 =0.6827,

第六次作业

★ 1.设随机变量X 的分布律为

⑴求丫=|X|的分布律；⑵求丫=x 2+x 的分布律, ⑴

★.定理(连续型随机变量函数的密度公式)设连续型变量X 密度为f x (x),y 二g(x)严 格单调，反函数x =x(y)导数连续，则丫二g(X)是连续型变量，密度为

f x (x(y)) |x(y) I F ； =g(x)极小值：:y :：：二 g(x)极大值,

J(八0,其它.

证明 1)若 x = x(y) • 0,{Y 一 y}二{g(X) _ g(x)} ={X 一 x},

FMy) =P (丫 空 y) =P(g(X) Eg(x)) =P(X 乞x)二 F x (x),

两边对y 求导，

J(y) f x (x(y))x(y), ： ：： y ：：：.

2)若 / = x(y) : 0, {^y} ={g(Xp^g(x)}二{X -x},

F Y (y)二P(Y 曲)=P(g(X)5(x)) = P(X —X) =1-F x (x),

两边对y 求导，

f"y) — f x (x(y))x(y), ： ：： y ：：

因此总有 f Y (y)二f x (x(y))〔x(y) — ：： y ：： ：• 或证明

两边对y 求导，

! dF x (x) dx 心 ddx (x d

y,

I dF x (x) dx

[~ dx dy

,

F Y (V )二 P(Y 6) =P(g(X) Eg(x))

P(X ^x)二 F x (x),g (x) 0,

P(X —x)=1 — F x (x),g (x) ：：

或两边微分

dF x (x) = f x (x)dx, dF Y (八 f Y (y)d 八 _dF x (x) [f x (x )dx ，

J(y 八 d x

-f x (x )鈴 二 f x (x(y)) | x(y)|, ： ：：： y ：：

--f x (x)dx, 2 .设随机变量X 的密度函数是 1 ⑴丫斗an X (2)丫专⑶丫二凶. f x (X )

•求下列随机变量函数的密度函数： (1)反函数x(y) =arctan y, x '(y) = , 1

°

,由连续型随机变量函数的密度公式得 1 y 2，

f,y)二 f x (x(y))|x '(y) h^^y ^ f x (arctany). 反函数支 x i (y^ ■: i arcta n y, i 为整数，x '(y)=”p, -be -be f Y (

y)=52 f x (X i (y))|x ：(y)| = #yy 迟 f x (兀i+arctany). y

i -^an i i --：：

X =1,

反函数 X y =+ f ，y )

二 f x (X y )x y 二卡 f x (-y)- F“y)二P(Y 乞 y)二P(|X |乞 y)二P(—y EX 乞 y)二 F x (y)—F x (—y) ‘ ■ 0. ⑶ 两边对y 求导得丫的密度函数为f Y (y) = f x (y )• f x (-y )，

y ★ 3・设随机变量X~U[-2.2] ■求Y=4X 2-1的密度函数,

F Y (y) =P (丫兰 y) = P(4X 2 —1 乞 y) = P(_* J y +1 乞 X E *J y +1) = ^J y +1,_1 Wy 「5, 两边对

y 求导得随机变量丫的密度为 W 沽"心5

. 或解反函数支My) =2历斤 ^(y)二 -2 - y 1， f Y (y) =f x (X 1(y))|x ；(y)| f x (X 2(y))|x 2(

y)|=2f x (X 1(

y))x ；(y)二 ★ 4 -设随机变量X 服从参数为1的指数分布•求丫=X 2

的密度函数(Weibull 分布). 当

y 乞0时，Y = X 2的分布F Y (y) = 0,当y • 0时，

F Y (

y)二 P(Y b) =P(X 2 曲)二 P(X 5 勺)= F x ( J), 两边对y 求导得 fY (y)二 fxC. y)(i y)二

一1. e F ；y 2.；y '

I 1 e 』 f Y (

y)二

2「y '

y o, o, y "

或反函数X y ★ 5“设随机

变量X~N (0.1) •求(1)Y=e X 的密度函数；⑵Y=X 3 4 5的密度函数(Gamma 分布), (1)当 八0时,Y 二e x 的分布F Y (y) =0,当y • 0时,

F Y (y) =P(Y zy) =P(e X my) = P(X Eln y)= ：：」(ln y), 因而丫的密度为

1

; (ln y)2

:

门

—exp 2 , y 0,

f Y (y) 2- y 2

b, y"

=y (lny) — expt —Wf)「y 0.

y

2- y

2

(2) 当八0时，t(y) =0;当Y 0时，

F Y (y) =P(Y^y) =P(X 2 曲)=P(-"沁-J) = F x ( J)-F x (-J) • 1 x

I , 1 e^ VA 0

两边对y 求导得Y 的密度函数为f Y (y) = .2「：y '

'

b, y".

或 反函数支 x^y)二、.、y,x 2(y)二 -J,

'

'

1

x

f Y (y) =f x (X i (y)) |xdy) I f x (X 2(y))|x 2(y)|=p — e 2, y 0. 2」

6 ■设随机变量X 的密度函数是f x (x)二X 2, x 1 .求丫=l nX 的概率密度 [0, xM 反函数 X y 二 e y , f Y (y)二 f x (X y )X y 二 f x (e y )e y =e 巳 y 0.

第七次作业

☆.将8个球随机地丢入编号为1 2 3 4 5的五个盒子中去•设X 为落入1号盒的球的个 数Y 为落入2号盒的球的个数.试求X 和丫的联合分布律

3 ■袋中装有标上号码12 2的3个球.从中任取一个并且不再放回•然后再从袋中任 取一球，.以X.Y 分别记第一、二次取到球上的号码数•求：(1)(X Y)的联合分布律(设袋 中各球被取机会相等)■⑵X Y 的边缘分布律■⑶X 与丫是否独立？ (1) (X Y)的联合分布律为

P(X =1,Y =1) = 0, P(X =1,Y = 2) = P(X =2,Y =1) = P(X =2,Y =2) =*.

5 ⑵X Y 的分布

律相同P(X =1)=3, P(X =2)話. (3) X 与Y 不独立

f Y (y)—：」'(ln y)二(ln y)(ln y)' =1 (ln y), 或反函数 X =lnY, x y =ln y, f Y (y) =F (x y )X y

二..y, f Y (y^ f x (X y )X y y 0.

求(X,Y)联合密度

★ 3 •设二维随机变量(X . Y)服从D 上的均匀分布.其中D 是抛物线y=x 2和x=y 2所围成 的区域.试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数 .并判断X,Y 是否独立 - 勺 2 1 3J 1 —x --x =一,

卫

3

,0

3

11

2

联合密度 f(x,y) =

V”1,

0,其它.

边缘 X 的密度为 fx (x) = J ； 3dy = 3(依 一x 2),0 v x c 1, 边缘Y 的密度为 f Y (y)=『：y 3dy = 3(J ?-y 2),0 c y c 1.

f (x, y)北f x (x) f Y (y),因此X 与丫不独立.

或f (x, y)非零密度分布范围不是定义在矩形区域上，因此X 与丫不独立.

4.设二维离散型变量(X,Y)联合分布列是

问p,q 取何值时X 与丫相互独立.

1/15 _ q _ 1/5 p 1/5 3/10

Ax 2 —1w xw1 y>0 ★ 5.设(X,Y)的联合密度为f(x, y)= e

' x y 0

求 (1)常数A(2)概率

10,其它.

1 一

P(0 ：：X : ― ,Y 1)(3)边缘概率密度f x (x) f Y (y) •⑷X 与丫是否相互独立？

2

2 .设二维连续型变量(X ,Y)的联合分布函数

F(x,y)= 22 0,其它.

),X, y 0,

_2

f(x,y) '

F(x,y),

,x,y 0,

分布区域面积 S 2 dydx x _x 2dx 二

2

2

,解得p 3

两行成比例

:: :1 2 v 2

⑴ f x (x)= 0 f(x,y)dy= 0 Ax e dy 二 Ax o

1

或

因为f (x, y) = Ax 2 e* , -1 ：：： x ：：： 1, y • 0可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在 矩形区域上 所以X 与丫相互独立.由此得f Y (y)二e 」,y 0; f x (x) = Ax 2, -1 ：：：

x ：：： 1,

i

1

2

2

3 f X (x)dx

Ax 2

dx

A = 1,A -A x

1

3

2

1

1

P(0 ::: X ，丫 1) =P(0 ：： X ：：—)P(Y 1)

二

2

2

VA 0

6.设X 服从均匀分布U (0,0.2), Y 的密度为f Y (y)二 ,y ,

且X,Y 独立.求(1)X 的 [0,其它.

密度(2) (X,Y)的联合密度 (1) X 的密度为 fx(x) =5,0 Zx E0.2,

25e _5y , 0 乞 x 乞 0.2,y 0,

(2) (X,Y)的联合密度为f(x,y 厂

0,其它.

:：」 2

e dy = Ax , —1 ：：

f X (x)dx 二 1 Ax 2

dx

A =1, A =3

.

- 3 2

1 1 1

3 -kjQ

⑵ P(0：：：X ,Y 1) = P(0：：：X )P(Y 1)= 02 x 2dx 「e 」dy 二

2 2 七 2 M

16

3 2

⑶ f x (x)

X , —1 ：：: x ：：: 1, 2

1 1

f Y (y)二」f(x,y)dx 二」Ax 2e 』dx 二 e*

「3 2

e

(4)由 f (x) f (y)=二2 ：|x 2dx 二 e 」,y 0.

e J —X g ° = f(x,y),得 X 与 Y 独立. o

2

3

3

x 2dx 〜dy 旦

1

16

第八次作业

★ 1 •设随机变量(X ・Y)的联合分布律

概率论与数理统计作业题及参考答案

东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题（一） 一、填空题 1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。 2．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为 。 3．已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系，则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。 4．简单随机样本的两个特点为： 5．设21,X X 为来自总体),(~2 σμN X 的样本，若212004 1 X CX + 为μ的一个无偏估计，则C = 。 二、选择题 1．关系（ ）成立，则事件A 与B 为互逆事件。 （A ）Φ=AB ； （B ）Ω=B A ； （C ）Φ=AB Ω=B A ； （D ）A 与B 为互逆事件。 2．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立。 )(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负 )(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续 3．设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙 4．样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，μ=EX 为已知，而2σ=DX 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ） (.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-=4 12 2 )(1 i i X X k σ (D ).∑=-=4 1 22 )(31i i X X S 5．设θ是总体X 的一个参数，θ?是θ的一个估计量，且θθ=)?(E ，则θ?是θ的（ ）。 （A ）一致估计 （B ）有效估计 （C ）无偏估计 （D ）一致和无偏估计 三、计算题 1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？

概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A 2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A 365 B 364 C 363 D 36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 A )(1)( B P A P -= B )()()(B P A P AB P = C 1)(=+B A P D 1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为⎩ ⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EX A 21 B1 C2 D 4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是 A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 01)(2 x x x x x F C +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 D +∞<<∞-+ =x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度 )(y f Y 为

A )2(2y f X - B )2(y f X - C )2 (21y f X -- D )2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 6 1818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 8 3 C 4 1 D 3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则 =-)2(Y XY E A3 B6 C10 D12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是 A X 与Y 相互独立 B X 与Y 不相关 C 0),cov(=Y X D DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =或;AB AC BC = 或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-=

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第一部份 习题 第一章 概率论基本概念 一、填空题 1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。 4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。 6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。 8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。 10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。 11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。 12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。 13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。 14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。 15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。 16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。 17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论和数理统计习题集与答案解析

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。

(完整版)《概率论与数理统计》习题及答案选择题

·151· 《概率论与数理统计》习题及答案 选 择 题 单项选择题 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ）. （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D ）“甲种产品滞销”. 解：设B =‘甲种产品畅销’，C =‘乙种产品滞销’，A BC = A BC B C ===U ‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C. 2．设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）. （A ）()A B B A B -=U U ; （B ）()A B B A -=U ; （C ）()A B AB AB AB -=U U ; （D ）()()()A B C A C B C -=--U U . 解：()()()A B B AB B A B B B A B -===U U U I U U ∴A 对. ()()A B B A B B AB BB AB A B A -====-≠U U U B 不对 ()()().A B AB A B B A AB AB -=--=U U U C 对 ∴选B. 同理D 也对. 3．若当事件,A B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）. （A ）()()()1P C P A P B ≤+-； （B ）()()()1P C P A P B ≥+-； （C ）()()P C P AB =； （D ）()().P C P A B =U 解：()()()()()()()1AB C P C P AB P A P B P A B P A P B ??≥=+-≥+-U ∴ 选B. 4．设(),(),()P A a P B b P A B c ===U ，则()P AB 等于（ ）. （A ）a b -； （B ）c b -； （C ）(1)a b -； （D ）b a -. 解：()()()()()()()P AB P A B P A P AB a P A P B P A B c b =-=-=--+=-U

概率论与数理统计习题集及问题详解

第1章 概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相 互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 424222p p p p p -=-+= 2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0. 4 0.6 （1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X

(完整版)概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论及数理统计习题集及答案

第1章概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 1.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独 立，求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 4 22p 2 2 4 - + = = p p p p- 2：(1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章随机变量及其分布 0-分布和泊松分布 §2.21 1 某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X有分布律：X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3) 已知Y≤2, 求X=2 的概率。 §2.3贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率 不小于0.9 ？ §2.6均匀分布和指数分布

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答 第一章 随机事件和概率 一. 填空题 1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解. )(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=- =)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.07 2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______. 解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B 51 1)()()()()|(2 10 2 621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-< <为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率 与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4 π 的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数. 所以22a k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4 π 的区域} π ππ121)2141(2)),((222 11+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______. 解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1

《概率论与数理统计》作业参考答案

《概率论与数理统计》作业参考答案 一、填空题 1．0.84，6. 2．⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤<=1 11000)(x x x x x F ，1. 3． N(30,1)，1/2，8 ) 30(4 2 4 1 2 21( )(-- ∑ ==i i x e x p π. 4． 83 5． 16 1， （2分） 8 1 6． 0.096 7． 1/3，（2分）-1/6. 8． 2，9，9 2)2(2 231⋅--x e π . 9． 0.1，0.5，0.5，0.2，0.9. 10． 3. 11．6. 12. 2y 13. 4 1 14. n p p ) 1(- 15. )1,0(N 16. ]1,1[- 17. 审视所考察事件是否为小概率 18. 0.5 19. 0.4 20. 5 3 21. 1 22. 37

23. t (n) 二、选择题 1． A 2． C 3． B 4． B 5． B 6． B 7． D 8．C 9． C 10． C 11. B 12. B 13. A 14. D 15. A 16. B 17. A 18. D 19. A 20. B 21.C 22. B 三、计算题 1． 第一问是服从超几何分布 第二问是服从二项分布 2． 解：由切贝晓夫不等式 2 1)|(|ε ξ εξξD E P - ≥<- ,8,n D E = =ξμξ 于是 2 81)|(|εεξξn E P - ≥<- n n P 2114 81)4|(|2- =⋅-≥<-μξ. 3． 解： 矩估计为,112ˆX X --=α 极大似然估计为,1 ln 1ˆ+-=i X α 4． （1）)0(22)(2 ln 2 >= - y e y y g y π （2）)0(22)(2 2 ≥= - y e y g y π 5． （1）0.807 （2）2,1,0)(320312 8== =-k C C C k P k k ξ, 3 2.1=ξE 6． 矩估计 X =θˆ， 极大似然估计 X =θˆ. 7．（1）2/9，

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案之马矢奏春创作 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A=；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系暗示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生暗示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生暗示为：. (3)A 与B 都不发生,而C 发生暗示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生暗示为：. (5)A 、B 、C 中至少二个发生暗示为：.(6)A 、B 、C 中未几于一个发生暗示为：. 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则

（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1)=)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃=. 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P =. §1 .4古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个分歧的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概

概率论与数理统计作业与解答

概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率• 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16