坐标系与参数方程
【知识要点】
一、极坐标系
（1）极坐标系：用角度和距离来确定点的位置的一种坐标系，叫做极坐标系。
取定一点O ，取定从点O 出发的一条射线O x ，再规定长度单位及角的正方向，就建立了一个极坐标系，其中点O 称为极点，射线O x 称为极轴。
极坐标与直角坐标相互转化的两组公式：
⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=)
0(tan 2
22x x y
y x θρ （2）简单曲线的极坐标方程
①直线的极坐标方程：如图所示，若直线经过点)(00θρ，M ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为：)sin()sin(00αθραθρ-=-。
②圆的极坐标方程：若圆心的坐标为)(00θρ，M ，圆的半径为r ，则圆的极坐标
方程为0)cos(222
002=-+--r ρθθρρρ 二、参数方程
（1）参数方程的概念：如果曲线上任意一点的坐标y x ，都是某一个变数t 的函
数⎩⎨⎧==)()
(t g y t f x ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M 都在曲线上，那么这个方程组就叫做曲线的参数方程。t 称为参数，参数可以有几何意义、物理意义，也可以没有明显的意义。 （2）参数方程与普通方程的互化：
把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特点，选取适当的消参方式。常
见的消参方式有：代入法，加减法，平方和（差）法，乘法法，混合法； 把曲线的普通方程化为参数方程，一是适当选取参数，二是互化前后方程的等价性，注意方程中参数的变化范围。 （3）常见的曲线参数方程：
①直线经过一定点)(000y x P ，，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：
)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨
⎧+=+=α
α
②直线参数方程的一般形式：)(00为参数t bt y y at
x x ⎩⎨
⎧+=+= ③圆的参数方程：)(sin cos 00为参数θθθ
⎩⎨
⎧+=+=r y y r x x ④圆锥曲线的参数方程：
椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的参数方程为
)(sin cos 为参数θθθ
⎩
⎨
⎧==b y a x 双曲线)00(122
22>>=-b a b
y a x ，的参数方程为
)(tan sec 为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧==b y a x 抛物线)0(22
>=p px y 的参数方程为 )(2p 22
为参数t pt
y t x ⎩⎨
⎧== 【例题解析】
一、极坐标与直角坐标的转化
【例题1—1】点M 的直角坐标为)31(，-M ，则点M 的极坐标为（ ）
A 、)32(π，M
B 、)32(π-，
M C 、)322(π，M D 、))(3
k 22(Z k M ∈π
π， 【例题1—2】（1）化直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程；
（2）化极坐标方程)3
cos(6π
θρ-=为直角坐标方程。
【例题1—3】把下列极坐标方程化为直角坐标方程。 （1）4cos =θρ； （2）5=ρ； （3）θρsin 2r =
【练习1—1】⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=。 （1）把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的在直角坐标方程。
【练习1—2】若方程0cos 6sin 3cos 22=-+θθρθρm 的曲线是椭圆，求实数m 的取值范围。
【练习1—3】在极坐标系中，点)3
2(π
，到圆θρcos 2=的圆心的距离为（ ）
A 、2
B 、9
42
π+
C 、9
12
π+
D 、3
【练习1—4】极坐标方程为0sin 3cos =+-θθρ表示的圆的半径为 。 二、求曲线的极坐标方程的方法
【例题2—1】求圆心为)63(π
，C ，半径为3的极坐标方程。
【例题2—2】求过点A（2，0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程。
【例题2—3】如图，点A在直线5
x上移动，等腰三角形OPA的顶角∠OPA
为0
120（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程。
【练习2—1】如图，在极坐标系中，过点)02(，
M 的直线l 与极轴的夹角6
π
α=。若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。
【练习2—2】已知点P 的极坐标为)1(π，，求过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
【练习2—3】求圆心在)0(，r C ，半径为r 的圆的极坐标方程。
O
三、参数方程与普通方程的互化
【例题3—1】把参数方程)(2sin 1cos sin 为参数θθθ
θ⎩⎨
⎧+=+=y x 化为普通方程，并指出是什么曲线？
【例题3—2】方程)(2
22
2为参数t y x t
t t
t ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--表示的曲线是（ ） A 、双曲线 B 、双曲线的上支 C 、双曲线的下支 D 、圆
【例题3—3】直线)(12为参数t t y t x ⎩⎨
⎧--=+=与曲线)(sin 3cos 3为参数ααα
⎩⎨⎧==y x 的交点个数为 。
【例题3—4】在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆)(sin 3cos 5为参数ααα
⎩⎨
⎧==y x 的右焦点，且与直线)(324为参数t t y t
x ⎩⎨
⎧-=-=平行的直线的普通方程。
【练习3—1】参数方程)()
22(22
2为参数t y x t
t t
t ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--的普通方程为 【练习3—2】求椭圆14922=+y x 的一个参数方程。
【练习3—3】已知两曲线参数方程分别为)0(sin cos 5παα
α
<≤⎩⎨
⎧==y x 和)(452R t t y t x ∈⎪⎩⎪
⎨⎧==，求它们的交点坐标。
四、掌握求线段长的方法
【例题4—1】直线)(32为参数t t y t
x ⎩⎨⎧=+=被双曲线122=-y x 截得的弦长为 。
练习4—1】直线)(300为参数t t y y t
x x ⎪⎩⎪⎨
⎧-=+=上任意一点P 到)(000y x P ，的距离为
【练习4—2】已知曲线)(222
为正常数为参数，p t pt y pt x ⎩⎨
⎧==上的两点M ，N 对应的参数分别为1t 和2t ，且021=+t t ，求MN 。
坐标系与参数方程知识点 一、坐标系 1.笛卡尔坐标系：也称直角坐标系，是最常用的坐标系。它由两个垂 直的轴线（通常是x轴和y轴）组成，将平面划分为四个象限。点的位置 可以通过它们在x轴和y轴上的坐标来表示。 2.极坐标系：极坐标系是通过一个有向半径和一个有向角度来描述平 面上的点的位置。半径表示点到原点的距离，角度表示该点与栅线的夹角。 3.柱坐标系：柱坐标系是由极坐标系和垂直于平面的z轴组成的。它 通过一个有向半径、一个有向角度和一个有向高度来描述空间中的点的位置。 4.球坐标系：球坐标系是通过距离原点的距离、垂直于平面的角度和 与该点连接的直线与正z轴的夹角来描述空间中的点。 二、参数方程 参数方程是指通过引入一个或多个参数，将变量的取值与参数值建立 关系的方程组。参数方程可以用于描述曲线、曲面等几何图形。 1. 曲线的参数方程：如果xy平面上的点(x, y)满足方程组x = f(t)，y = g(t)，则称其为曲线的参数方程，其中t是参数。在参数方程中，x和y的取值由参数t的取值决定，通过改变参数t的取值可以得到 曲线上的不同点。 2.空间曲线的参数方程：类似于平面曲线，空间曲线的参数方程可以 表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。参数方程中的x、y、z分别表示曲线 上的点在x轴、y轴和z轴上的坐标，而t是参数。
3.曲面的参数方程：将平面曲线的参数方程推广到三维空间中可以得 到曲面的参数方程。通常情况下，曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u和v是参数。通过改变参数u和v的取值可 以得到曲面上的不同点。 4.参数方程的特点：参数方程具有灵活性，可以描述更加复杂的几何 图形。通过改变参数的取值范围和步长，可以得到曲线、曲面上不同点的 坐标。参数方程的另一个重要特点是可以简化计算，使得求解与几何图形 相关的问题更加方便。 在实际应用中，坐标系和参数方程常常用于描述直线、圆、椭圆、抛 物线、双曲线等几何图形，并可以通过变换、旋转等操作得到更复杂的几 何图形。掌握了坐标系和参数方程的相关知识，可以更好地理解和应用解 析几何中的各种概念和问题。
坐标系与参数方程专题 ? 温故知新 1．坐标系 (1)坐标变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λ· x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则???? ?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，?????ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x （x ≠0） . 3．直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ； (3)直线过M (b ，π 2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ． 4．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π 2 )，半径为a ：ρ＝2a sin_θ． ? 举一反三 考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 例1、 求双曲线 C ：x 2－ y 2 64＝1经过φ：?????x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将?????x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2 －y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′2 16 ＝1， 即x 29－y 2 16 ＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． 变式练习 1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换． 解：设变换为?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即? ?? ??x ′＝x ， y ′＝4y .因此，经过变换? ????x ′＝x ， y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4. 考点二、极坐标与直角坐标的互化 例2、 (2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值． [解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a . 设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝3 3 a ， ∴B 点的坐标为?? ? ?33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，
《坐标系与参数方程》 基础知识梳理： 一．坐标系 (一）、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 建系的原则一般 （1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 2、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ?：x x,(0) y y,(0)λλμμ'=?>??'=?>? 的作用下，点P(x,y)对应到点P /(x /,y / )，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压 缩变换； 当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换. 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示。 伸缩变换的两个性质： （1）在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变； （2）在伸缩变换作用下，线段的中点仍为中点。 “圆的一组平行弦的中点是圆的直径”依据伸缩变换的性质，得“椭圆的一组平行弦的中点的轨迹是椭圆的过中心的一条弦”。这里由圆的性质变换到了椭圆的性质。在伸缩变换前后圆的某些性质与椭圆的某些性质极为相似。 在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆；椭圆变成圆或椭圆；双曲线变成双曲线；抛物线变成抛物线。 伸缩变换的应用 设P (x ，y )是变换前图形f (x ，y )＝0上点的坐标，P ′(x ′， y ′)是变换后P 点对应点的坐标．在伸缩变换 ?? ? x ′＝λ·x λ>0 ，y ′＝μ·y μ>0 下，若已知P 点坐标(x ，y )， 则变换后所对应点P ′的坐标为(λx ，μy )；反之，若已知 P ′的坐标为(x ′，y ′)，则P 点的坐标为??? ?1λ x ′，1μ y ′. 故将x ′＝λx ，y ′＝μy 代入变换后的曲线方程，可求变换前的方程；将x ＝1λx ′，y ＝1 μy ′代入变换前的方程，可 求变换后的曲线方程，利用这个思想，我们也可以根据变换前、变换后的曲线方程，求出其相应的伸缩变换．所以，伸缩变换前的曲线方程、伸缩变换后的曲线方程、伸缩变换三者，知道其中的两个，我们可以求第三个. （二）极坐标系 1、极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ。有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ,θ).极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π)(k ∈Z)表示同一个点。极点O 的坐标为(0,θ) (θ∈R ). 极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．在极坐标系下，一对有序实数ρ,θ对应惟一点P (ρ,θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ,θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,2k π+θ)或(-ρ,(2k+1)π+θ)，(k ∈Z )．极点的极径为0，而极角任意取． 若ρ＜0,则-ρ>0,规定点(-ρ,θ)与点(ρ,θ)关于极点对称，即(-ρ,θ)与(ρ,π+θ)表示同一点。 如果规定ρ>0, 0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示；同时，极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的。 2、极坐标与直角坐标的互化公式： (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 cos sin x y θθ=??=?ρ ρ，222 tan (0) x y y x x θ?=+? ?=≠?? ρ O
坐标系与参数方程 1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线C 1：ρ2 －4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ? ????π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程； (2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ? ????2，π2，B ? ?? ??22，π4. (1)求经过O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程； (2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的 参数方程为? ?? x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值． 3．[2019安徽宿州质量检测]在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程是? ?? x ＝1＋2t ，y ＝2t (t 为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，且直线与曲线C 交于P ，Q 两点． (1)求直线的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)把直线与x 轴的交点记为A ，求|AP |·|AQ |的值． 4．[2019甘肃临夏中学期末]已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参 数方程为? ?? x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)． (1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．
坐标系与参数方程 【要点知识】 一、坐标系 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0) :(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用 下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 〔1〕极坐标系的概念 如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样我们就建立了一个极坐标系. 〔2〕极坐标 设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. 〔3〕极径、极角的取值范围 一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈.
3.极坐标与直角坐标之间的互化 如下图，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系： 〔ⅰ〕直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； 〔ⅱ〕极坐标化直角坐标：2 2 2 x y ρ=+，tan y x θ= 〔0x ≠〕. 【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用. 4.几个简单曲线的极坐标方程 〔1〕圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a 〔0a >〕，半径为a 的圆的极坐标方程为 2cos a ρθ=； 〔2〕直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是 4 π 的直线l 的极坐标方程为4 πθ= 和54 πθ= . 5.柱坐标系与球坐标系 〔1〕柱坐标系 如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ〔0ρ≥，02θπ≤<〕表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的
坐标系与参数方程 坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。 参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。 下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。 1.坐标系： 在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3 坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。 在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。 2.参数方程：
参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。它通常以参数t 的形式表示。例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。 我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。 参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。然而，参数方程也有一些缺点。比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。 综上所述，坐标系和参数方程是研究几何图形的基础工具。坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点，而参数方程通过引入参数来描述曲线或者曲面上的点的位置。它们各有优缺点，可以根据具体问题的需要选择使用。
极坐标系 1 极坐标系和点的极坐标 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做 M 的极坐标。 3平面直角坐标与极坐标的区别 在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。 4极坐标系中P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取． 5如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 6极坐标与直角坐标的互化 （1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中 取相同的长度单位。 （2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩ ⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。 Eg1：已知点M 的极坐标为)3,5(π -，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（ ） )3,5.(π-A )34,5.(πB )32,5.(π-C )3 5,5.(π--D 2在极坐标系中,已知 ),6,2(),6,2(π π-B A 求A,B 两点的距离 3．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ） A 、2sin =θρ B 、2cos =θρ 图1
坐标系与参数方程 直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。在直角坐标系中，一个 点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。例如，点P的坐标 为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。直 角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。 参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是 由参数变量的函数关系决定的。参数方程中通常有两个参数变量，例如t 和s，分别表示曲线上一些点的位置。通过固定其中一个参数变量并对另 一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整 个曲线。 参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。与直 角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。 举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。考虑 一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确 定直线上任意点的坐标。例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。 当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。 而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参 数变量。通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。 例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1， y=3，这表示直线过点(1,3)。
可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方 程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。 在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标 系或参数方程来描述曲线。直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等 简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。 总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。直角坐标 系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描述简单的曲线；而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描 述复杂的曲线。通过选择适当的表示方式，我们可以更清晰地理解和分析 曲线的形状和特性。
第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系。 (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式： 设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 它的直角坐标是（x,y ）,极坐标是（几旳（'-0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如 点M 直角坐标（x, y ） 极坐标（P ,B ） 互化公式 ]x = Pcos 日 [y = Psi n 。 02 2*2 尸=x 十y tan 日=t (x A 0) x 在一般情况下，由tan 二确定角时，可根据点M 所在的象限最小正角 坐标系与参数方程知识点 设点P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换「： X = ' x • 17 iU y （ '0）的作用下，点P （x ，y ）对应到点P （x ，y ），称「为平面 e 0） 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位 （通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系. 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ；平面直角坐标系内的点与坐标能建立 一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 （2）极坐标 设M 是平面内一点，极点0与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为1以极轴Ox 为始边，射线0M 为终边的角/XOM 叫做点M 的 极角，记为V .有序数对（「，二）叫做点M 的极坐标，记作M （「，二）. 一般地，不作特殊说明时，我们认为T _0, V 可取任意实数 特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为（0, 71）0 €R ）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 . 如果规定 ::0,0 < 71 ：：：2二,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （丁） 表示；同时，极坐标 （丁） 表示的点也是唯 3.极坐标和直角坐标的互化 （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位 ，如图所示: （2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点 2.极坐标系的概念
坐标系与参数方程 1．坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用． (2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化． (3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义． 2．参数方程 (1)了解参数方程，了解参数的意义． (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． (3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题． 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x (λ＞0)， y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．
3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [必记结论] 常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ＜2π)． (2)圆心为⎝⎛⎫r ，π 2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )；θ＝α和θ＝π＋α. (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π 2. (5)过点⎝⎛⎭⎫a ，π 2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin θ＝a (0＜θ＜π)． 4．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标(x ，y )是某个变数t 的 函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )y ＝g (t )叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相 对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． [必记结论] 直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎪⎧ x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
“坐标系与参数方程”高考考查分析 高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感 到头疼。这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。 本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部 分的考试内容。 首先来看坐标系的考查情况。在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标 系和空间直角坐标系。对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程 和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。极坐标系则会涉及到平面 向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。而空间直角坐标系则会 涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。在高考试题中，通常会 通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。 除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。参数方程是描述曲线的一种 常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极 坐标系和参数方程的相互转化等内容。在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲 线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。 坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身 的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。在备考过程中，考生可以通过多做 习题，加强对知识点的理解和掌握。还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升 自己对这一部分知识点的掌握程度。 而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性 的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。在日常教学中也可以加强对数学建 模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。
坐标系与参数方程 主标题：坐标系与参数方程 副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：极坐标，参数方程 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程. 4．了解参数方程，了解参数的意义． 5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题. 命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识． 规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题． 2．规律方法 方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的 目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 3．极坐标方程与普通方程互化核心公式 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=⎧⎨ =⎩ 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<
《坐标系与参数方程》典型题型强化训练 题型一：极坐标与直角坐标的互化；互化原理（三角函数定义）、数形结合。 1、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩ ⎨⎧-=+-=t y t x 13（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ. （Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程； （Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（规定：πθρ20,0<≤≥）. 题型二：曲线（圆与椭圆）的参数方程。 （1）普通方程和参数方程的互化；最值问题；“1”的代换（22cos sin 1θθ+=）、辅助角公式。 2、已知曲线C 的参数方程是)(sin ,cos 2为参数θθ θ⎩⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， B A ,的极坐标分别为 （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 的距离的最大值. 3、已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是 ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
4、已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为 曲线C 的参数方程为（θ为参数）. （Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值. （2）公共点问题；“直线与圆锥曲线”采用联立求解判别式；“直线与圆”采用“d ---r 法”。 5、在直角坐标系中曲线M 的参数方程为（α为参数）．若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为 （Ⅰ）求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线M 与曲线N 有公共点，求实数t 的取值范围． 6、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系xOy 取相同的长度单位）中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．
易错点17 极坐标和参数方程 易错点1.极坐标 1．极坐标与直角坐标的互化： ①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。 ②互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是 (,)(0)ρθρ≥，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =⎧⎨ =⎩ 222tan (0) x y y x x ρθ⎧=+⎪ ⎨=≠⎪⎩ 说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ； 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 易错点2.参数方程 1.常见的参数方程: (1)直线的参数方程： 若直线过00(,)x y ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是直线上定点P 0到动点P 的有向线段P 0P 的数量，若动点P 在定点P 0的上方，则t >0；若动点P 在定点P 0的下方，则t <0；若动点P 与定点P 0重合，则t ＝0.定点P 0到动点P 的距离是|P 0P |＝|t |. （2）圆的参数方程： ①圆2 2 2 x y r +=的参数方程⎩ ⎨⎧==θθ sin cos r y r x （θ为参数） ②圆()()22 2x a y b r -+-=的参数方程为：00cos sin x x r y y r θθ =+⎧⎨=+⎩（θ为参数）
坐标系与参数方程-知识点总结LT
过极点,倾斜角为α的直线 (1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和 过点(,0)a ,与极轴垂直的直线 cos ()2 2 a π π ρθθ=- << 过点(,)2a π ,与极 轴平行的直线 sin (0)a ρθθπ=<< 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 (,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐 标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至 少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44 M ππ 可以表 示为5(,2)(,2), 444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ 的极坐标满足方程ρθ=. 5.极坐标方程与直角坐标方程之间的互化 （1）直角坐标方程 极坐标方程 : cos sin x y ρθρθ =⎧⎨=⎩ （2）极坐标方程 直角坐标方程：222cos sin tan x y x y y x ρθρθρθ→⎧⎪→⎪⎪ →+⎨⎪ ⎪→⎪⎩ 二、参数方程
1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数 t 的函数() ()x f t y g t =⎧⎨ =⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通 方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么() ()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数方程 设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀 速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ θθ=⎧⎨=⎩为参数。这就是圆心在原点O ，半径 为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数 方程为：cos ()sin x a r y b r θ θθ=+⎧⎨=+⎩ 为参数。 4．椭圆的参数方程
2012版高考数学 3-2-1精品系列专题17 坐标系与参数方程（学生版） 【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布 考纲解读： 《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容．坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；球坐标系和柱坐标系只做简单的了解，不宜拓宽、拔高要求．参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能进行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题．参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点． 近几年考点分布 高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。 【考点pk 】名师考点透析 考点一、极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 例1：已知直线l 的参数方程：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π 4 (θ 为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关 系． 【名师点睛】(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 例3：在 极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝1.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎦ ⎤0，π3 ，直线l 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，点P 的直角坐标为(2,2)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求P A ·PB P A ＋PB 的 最小值． 【名师点睛】(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． 【三年高考】 10、11、12 高考试题及其解析 20XX 年高考试题及解析 一、填空题