第一节 坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧
x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0
的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
2．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
图1
(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．
3．极坐标与直角坐标的互化
4.
(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．
(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π
2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ
＜π)．
第二节 参数方程
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点
M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．
2．参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化
中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
温馨提示：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离． 重点1 坐标系与参数方程
1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是： （1）极点与直角坐标系的原点重合；
（2）极轴与直角坐标系的x 轴正半轴重合；
（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P 的直角坐标为(,)x y ，它的极坐标为(,)ρθ，
则互化公式是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪
⎨=
⎪⎩
；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应
注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中
注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解．
2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中,x y 含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性. 3．参数方程的用途主要有以下几个方面：
（1）求动点(,)x y 的轨迹，如果,x y 的关系不好找，我们引入参变量t 后，很容易找到x 与t 和y 与t 的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用．
（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．
（3）有些曲线参数方程的参变量t 有几何意义．若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果．如利用直线标准参数方程中t 的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.
[高考常考角度]
角度1 若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.
解读：关键是记住两点：1、cos ,sin x y ρθρθ==，2、2
2
2
y x +=ρ即可.
由已知
22sin 4cos 2sin 4cos ρθθρρθρθ=+=>=+2224,
x y y x =>+=+22420x y x y ∴+--=为所求.
角度2在极坐标系中，点 (,
)π
23
到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）
解读：极坐标(,
)π
23
化为直角坐标为(2cos
,2sin )33ππ
，即.圆的极坐标方程2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即
22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公
式
d ==故选D.
角度3
已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θ
θπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t
⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的
交点坐标为 .
解：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(0)y ≥，254x t y t ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
表示抛物线2
45y x =
联立得2
22215
450145x y x x x y x ⎧+=⎪⎪=>+-==>=⎨
⎪=⎪⎩
或5x =-（舍去）， 又因为0y ≥
，所以它们的交点坐标为
角度4 直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
,A B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θ
θ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小
值为．
点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
解读：曲线1C 的方程是2
2
(3)(4)1x y -+-=，曲线2C 的方程是2
2
1x y +=，两圆外离，所以||AB
113-=．
角度 5 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin cos y x （ϕ为参数），曲线
2C 的参数方程为⎩⎨
⎧==ϕ
ϕ
sin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴的极坐标系中，射线l ：θα=与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的
距离为2，当α=
2
π
时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明12,C C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （Ⅱ）设当α=
4
π
时，l 与12,C C 的交点分别为11,A B ，当α=4
π
-
时，l 与12,C C 的交点为
22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积．
解读：（Ⅰ）12,C C 的普通方程分别为2
2
1x y +=和22
221x y a b
+=，故1C 是圆，2C 是椭圆.
当0α=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a ，因为这两点间的距离为2，所以3a =. 当2
π
α=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b ，因为这两点重合，所
以1b =.
（Ⅱ）12,C C 的普通方程分别为2
2
1x y +=和2
2 1.9
x y += 当4πα=时，射线l 与1C 交点A 1
的横坐标为x =，与2C 交点B 1
的横坐标为
x '=
当4
π
α=-时，射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称，因
此，四边形1221A A B B 为梯形.
故四边形1221A A B B 的面积为
(22)()2
.25
x x x x ''+-=
易失分点1 参数的几何意义不明
典例 已知直线l 的
参数方程为12x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若以平面直角坐标系xOy
中的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos().4
π
ρθ=-
（1）求直线l 的倾斜角；
（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||AB ．
易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误．
解读：（1
）直线的参数方程可以化为cos 3sin 3x t y t ππ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
，根据直线参数方程的意义，直
线l
经过点(0,
2
，倾斜角为3π.
（2）l
的直角坐标方程为2
y =+
20y -= 曲线C 2cos()4
π
ρθ=-
的直角坐标方程为22((122
x y -
+-=，
所以圆心到直线l
的距离|2d -⨯+== 所以
||2AB ==
易失分点2 极坐标表达不准
典例 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos ,0,ρθρθρ==≥则曲线1C 与2C 交点的极坐标为_________________
易失分提示: 本题考查曲线交点的求法，易错解为：由方程
组
cos 34cos cos 66ρρρθππρθθθ⎧⎧===⎧⎪⎪
=>=>⎨⎨⎨==-
⎩=⎪⎪⎩⎩或
即两曲线的交点为
6
π
（)
或6
π
-
（)
正解解读：由方程组cos 34cos 2cos 6k ρρρθπρθθπθ⎧⎧===⎧⎪⎪=>=>⎨⎨⎨==-
⎩=⎪⎪⎩⎩
或26k ρπθπ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩
即两曲线的交点为2)6k π
π-
或2),6
k k Z π
π+∈
在极坐标系中，有序实数对的集合{(,)|,}R ρθρθ∈与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对(,)ρθ，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点M 不是极点，(,)ρθ是它的一个掇坐标，那么M 有无穷多个
极坐标(,2)k ρθπ+与(,(21)),k k Z ρθπ-++∈
各类题型展现：
1. （本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数）
（1）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x t
t y t
=-⎧⎨
=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程.
（2）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。
解读：（1）由已知得椭圆的普通方程为
22
1,4259
x y c +=∴=，右焦点为(4,0)，
直线的普通方程为220x y -+=，所以1
2
k =
,于是所求直线方程为1
(4)2
y x =
-即240x y --=. （2）4||60sin cos 30sin S xy ϕϕ===2ϕ， 当22
π
ϕ=时，面积最大为30.
2. （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆C 的圆心)4
C π
，半径3=r .
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若[0,
)4π
α∈，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=α
α
sin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C 于A B 、两点，求弦长AB 的取值范围.
解读：（Ⅰ）方法一：∵圆心)4
C π
的直角坐标为(1,1)，∴圆C 的直角坐标方程为
()()31122=-+-y x .
化为极坐标方程是()01sin cos 22
=-+-θθρρ.
方法二：如图，设圆
C
上任意一点
()θρ,M ，则
2
222c o s C M O M O C
O M O C C O M
=
+-⋅∠
2222)
4
π
ρρθ=+--化
简
得
()01sin cos 22=-+-θθρρ.．．．．．．．．4分
（Ⅱ）将⎩⎨
⎧+=+=α
αsin 2cos 2t y t x 代入圆C 的直角坐标方程()()
112
2-+-y x 得()()3sin 1cos 12
2
=+++ααt t 即()01cos sin 22
=-++ααt t
所以 ()1,cos sin 22121-=⋅+-=+t t t t αα. 故()()ααα2sin 224cos sin 442
2
122121+=++=-+=-=t t t t t t AB ，
∵[0,
)2[0,)42
π
π
αα∈=>∈，∴3222<≤AB ， 即弦长AB 的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3. （本小题满分10分）
已知直线l 的参数方程是x y ⎧
=
⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4
π
ρθ=+.
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值。
解
读
：
（
Ⅰ
）
由
22cos()cos sin 4
π
ρθρθθρθθ=+=>==>=
得 圆的直角坐标方程为220x y += 即22((1x y ++=， 所以 圆心C 的直角坐标为(
22
- （Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，切线长为
==≥所以，当4t =-时，切线长的最小值为
4.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2
,332(
),0,2(π
，圆C 的参数方程
θθ
θ
(sin 23cos 22⎩⎨
⎧+-=+=y x 为参数） （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
解读：（Ⅰ）由题意知，,M N 的直角坐标为(2,0)M
，(0,
3
M ，因为P 是线段MN
中点，则(1,
3
P 因此OP
直角坐标方程为y =
（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0)M
，M ∴l
的方程为：
12x +=
即20x -=
，又圆心(2,，半径2r =. 所以|232|3
222
d r --=
=<=,故直线l 和圆C 相交.
5.（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=
（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程
解读：圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ，解=2
=4cos ρρθ⎧⎨
⎩
得
=2,=3
π
ρθ±
，
故圆1C 与圆2C 交点的坐标为(2,),(2,)33
π
π
-……5分注：极坐标系下点的表示不唯
一
（2）（解法一）由=cos =sin x y ρθ
ρθ⎧⎨⎩
，得圆1C 与圆2C
交点的直角坐标为(1,
故圆1C 与圆2C 的公
共弦的参数方程为1
,x t y t
=⎧≤≤⎨=⎩t 为参数)
（或参数方程写成1
,x y y y
=⎧≤⎨=⎩）… 10分
（解法二）将1x =代入=cos =sin x y ρθρθ
⎧⎨
⎩，得cos =1ρθ，从而1
=cos ρθ
于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1,tan 3
3x y ππ
θθ=⎧-≤≤⎨=⎩… 10分
补充练习：
1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6＝1的距离．
[解]点⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分
直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，
得32y －1
2x ＝1，
即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝
|3－3×1＋2|12
＋(－3)
2
＝1.10分
2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝22.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解](1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝1，
8分
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，π2.10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，π4，圆的半径为1.
(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．
[解](1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π
4，2分
OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4.4分
(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分 ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，
又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，22，满足直线l 的方程，
∴直线l 过圆C 的圆心，8分
故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分
4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →
，求动点P 的轨迹方程．
[解](1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点．
在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
θ－π3，由余弦定理得
|CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3，
化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3.4分
(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →
， ∴ρ1＝2
3ρ，θ1＝θ，8分
代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3，
即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3.10分
5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参
数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． [解](1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32.4分
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).8分 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分
6．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．
[解](1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
2分
∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程.4分 (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
322.8分 知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0为圆心，半径为32的圆．
直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1.10分
7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋3cos t ，
y ＝－2＋3sin t (t 为参
数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝m (m ∈R ).
(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
[解](1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.2分 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0，
所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.4分 (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，8分 即
|1－(－2)＋m |
2
＝2，
解得m ＝－3±2 2.10分
8．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋t ，
y ＝3t (t 为参数)，曲线C 的极
坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |. [解](1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .4分 (2)将直线l 的方程化为标准形式⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋12t ，y ＝32t .
6分
代入y 2＝8x ，并整理得3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－64
3.8分 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝
(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝32
3.10分
9．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，
|AB |＝10，求l 的斜率．
[解](1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.4分
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.8分 |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2
＝
144cos 2α－44.
由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±15
3. 所以l 的斜率为153或－15
3.10分
10．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
[解](1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π).4分
(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，
所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π
3.8分 故D 的直角坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32.10分 11．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α
(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ
＝22a cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－3π4(a ＞0)．
(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．
[解](1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝4
(舍去)．
故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4.4分
(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即 (x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ＞0).8分
由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|
2
＝2a ，故a ＝1.10分
12．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝ 2.
(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；
(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |. [解](1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2
＝1，
即C 的普通方程为x 29＋y 2
＝1.2分
由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π
4.4分
(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos π
4，
y ＝2＋t sin π
4(t 为参数)，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2t ，y ＝2＋2
2t
(t 为参数)，
代入x 29＋y 2
＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，8分 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝27
5＞0，所以t 1＜0，t 2＜0， 所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝182
5.10分
坐标系与参数方程知识点 一、坐标系 1.笛卡尔坐标系：也称直角坐标系，是最常用的坐标系。它由两个垂 直的轴线（通常是x轴和y轴）组成，将平面划分为四个象限。点的位置 可以通过它们在x轴和y轴上的坐标来表示。 2.极坐标系：极坐标系是通过一个有向半径和一个有向角度来描述平 面上的点的位置。半径表示点到原点的距离，角度表示该点与栅线的夹角。 3.柱坐标系：柱坐标系是由极坐标系和垂直于平面的z轴组成的。它 通过一个有向半径、一个有向角度和一个有向高度来描述空间中的点的位置。 4.球坐标系：球坐标系是通过距离原点的距离、垂直于平面的角度和 与该点连接的直线与正z轴的夹角来描述空间中的点。 二、参数方程 参数方程是指通过引入一个或多个参数，将变量的取值与参数值建立 关系的方程组。参数方程可以用于描述曲线、曲面等几何图形。 1. 曲线的参数方程：如果xy平面上的点(x, y)满足方程组x = f(t)，y = g(t)，则称其为曲线的参数方程，其中t是参数。在参数方程中，x和y的取值由参数t的取值决定，通过改变参数t的取值可以得到 曲线上的不同点。 2.空间曲线的参数方程：类似于平面曲线，空间曲线的参数方程可以 表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。参数方程中的x、y、z分别表示曲线 上的点在x轴、y轴和z轴上的坐标，而t是参数。
3.曲面的参数方程：将平面曲线的参数方程推广到三维空间中可以得 到曲面的参数方程。通常情况下，曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u和v是参数。通过改变参数u和v的取值可 以得到曲面上的不同点。 4.参数方程的特点：参数方程具有灵活性，可以描述更加复杂的几何 图形。通过改变参数的取值范围和步长，可以得到曲线、曲面上不同点的 坐标。参数方程的另一个重要特点是可以简化计算，使得求解与几何图形 相关的问题更加方便。 在实际应用中，坐标系和参数方程常常用于描述直线、圆、椭圆、抛 物线、双曲线等几何图形，并可以通过变换、旋转等操作得到更复杂的几 何图形。掌握了坐标系和参数方程的相关知识，可以更好地理解和应用解 析几何中的各种概念和问题。
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
三、基础训练： 1.在平面直角坐标系中，方程1y x 22=+所对应的图形经过伸缩变换???='='3y y 2x, x 后的图形所对应的方程 是_________________. 2. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换???='='y y 3x, x 后，曲线C 变为曲线9y 9x 22='+'，则曲线C 的方程是_________________. 3．在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变为曲线sinx y =的伸缩变换是_________________. 4．在极坐标系中，过点)6 , 4(π ，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是___________________. 5．在极坐标系中，圆心在)4 A(1, π ，半径为1的圆的极坐标方程是_______________________. 6. 直角坐标方程 116 y 16x 2 2=-化为极坐标方程是_________________________. 7. 极坐标方程θθρ4sin 2cos -=化为直角坐标方程是_______________________. 8. 在极坐标系中，极点到直线2 2 )4 (sin = + π θρ的距离是____________. 9．极坐标系内，曲线θρ2cos =上的动点P 与定点)2 , 1(Q π 的最近距离等于____________. 12.参数方程)(.cos21y , cos x 为参数θθθ? ??+==化为普通方程是_________________________. 13.椭圆)(. 3sin y , 5cos x 为参数θθθ?? ?==的焦点坐标是_________________________. 14．双曲线)t (. t 1t y ,t 1t x 为参数??? ??? ?-=+=的离心率是_________________________. 15.曲线)(. sin y , cos 1x 为参数θθθ?? ?=+=上的点与定点A （-1，-1）距离的最小值是_____________. 16. 已知369y 4x 2 2 =+，则y 32x -的最小值是_________________.
坐标系 【考点梳理】 1．坐标系 (1)坐标变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：??? x ′＝λ· x (λ>0)y ′＝μ·y (μ>0)的作 用下， 点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则??? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，? ???? ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 【教材改编】
1．(选修4－4 P 5思考改编)曲线y ＝sin x 经过变换????? x ′＝12x y ′＝3y 得到曲线C ，则曲线C 的( ) A ．T ＝π，y max ＝3 B ．T ＝4π，y max ＝3 C ．T ＝π，y max ＝1 3 D ．T ＝4π，y max ＝1 3 [答案] A [解析] 将????? x ′＝12x y ′＝3y 代入y ＝sin x 得 1 3y ′＝sin 2x ′， 即y ′＝3 sin2x ′. 即曲线C 的解析式为 y ＝3sin 2x ，故T ＝2π 2＝π，y max ＝3.故选A. 2．(选修4－4 P 8习题T 5改编)椭圆C ：x 2＋9y 2＝9经过变换Γ后变成圆x 2＋y 2＝1.则变换Γ可能为( ) A.? ?? x ′＝3x y ′＝y B.????? x ′＝13x y ′＝y C.??? x ′＝x y ′＝3y D.? ???? x ′＝x y ′＝13y [答案] B [解析] 设变换Γ：??? x ′＝λx ， y ′＝μy ， 将Γ代入x 2＋9y 2＝9得? ????x ′λ2＋9· ? ?? ??y ′μ2 ＝9，
第一节 坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧ x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 2．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 图1 (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 3．极坐标与直角坐标的互化 4.
(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－π 2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ ＜π)． 第二节 参数方程 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化 中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试 班级: ___________________ 座号: __________ 姓名： ____________________ 成绩： ___________ 一、选择题（共12题，每题5分） 1、点M 的直角坐标是（-1,、.3），则点M 的极坐标为（ ） 2,：,： A. （2,—） B . （2, ） C . （2, ） D . （2,2k 「： —）,（k Z ） 3 3 3 3 2、极坐标系中，下列各点与点P （p,B ） （BM k n, k €Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ） A. (- p,0) B. (-p, - 0) C. (p, 2 n - 0) D. (p, 2 n + 0) 3.已知点P 的极坐标为（1, n ）,那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( ) A . p =1 B. p =cos 0 C. p =- 1 D. p = 1 cos v cos v 4.以极坐标系中的点（1 , 1) 为圆心， 1为半径的圆的方程是 ( ) n JI A.p =2cos( 0 - —) B . p =2sin( 0 - —) C . p =2cos( 0 -1) D . p =2sin( 0 -1) 4 4 5.极坐标方程 Tcosv - 2sin2r 表示的曲线为( ) A. 一条射线和一个圆 B .两条直线 C . 一条直线和一个圆 D . 一个圆 1 x = 1 丁 2t 6.若直线的参数方程为 （t 为参数），则直线的斜率为（ ） （y = 2_3t fl 2 B 2 3 3 A. 一 . — - C D 3 3 2 2 7.在极坐标系中， 以（ a 二 _ ,一) 为圆心， _为半径的圆的方程为（ ) 2 2 2 A . Q 二 a COS T B .匸 =a si n r C . 「COST - a D . 「sin - a x — 3t + 2 &曲线的参数方程为 』x — 2（t 是参数），则曲线是（ y =t 2 _1 A .线段 B . 双曲线的一支 C. 圆 D. 射线 9、在同一坐标系中， 将曲线 y=2sin3x 变为曲线 y=sinx 的伸缩变换是（ ) x =3x ， [x ，= 3x x = 3x ， “ / x =3x A.丿 1 / B . { / 1 C . D .丿 / ..y 汁2y i y P 』=2『 =2y
专题：极坐标与参数方程 1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θ θ =+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经 过定点(3,5)P ，倾斜角为 3 π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值. 2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 2 :sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45 :1sin 45 x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩ （t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求22 ||||PM PN +的值.
3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y α α ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直 角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=. （1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值； （2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程． 4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θ θ ⎧=⎪⎨ =⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为 cos 2sin 40ρθρθ--=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．
专题 坐标系与参数方程 1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13, 24x t y t =+=+??? （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 A ． 1 5 B ． 25 C ． 45 D ． 65 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 （t 为参数）．以 坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 2221141t x t t y t ?-=??+? ?=?+? ，2cos sin 110ρθθ++=
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上， 直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0= 3 θπ 时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4 C 3π ，(2,)D π，弧?AB ，?BC ，?CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2 π ，(1,)π，曲线1M 是弧?AB ，曲线2M 是弧?BC ，曲线3M 是弧?CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程； （2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP = P 的极坐标．
5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3, ,42A B ππ??? ????? ，直线l 的方程为sin 34 ρθπ?? += ?? ? ． （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．
3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨ ⎧ x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．
坐标系与参数方程_知识点总结 一、坐标系 1.直角坐标系 直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。 2.极坐标系 3.球坐标系 球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。 二、参数方程 1.一维参数方程 一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。 2.二维参数方程 二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。 3.三维参数方程
三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。一个点在空间 中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为 关于参数t的函数。三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。 三、坐标系与参数方程的关系 坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。在直角坐标系中，一个函 数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。反之，一个函数 的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。参数 方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。 总结： 坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标 系和球坐标系。参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过 转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。坐标系与参数 方程是理解和解决几何问题的重要工具。
《坐标系与参数方程》典型题型强化训练 题型一：极坐标与直角坐标的互化；互化原理（三角函数定义）、数形结合。 1、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩ ⎨⎧-=+-=t y t x 13（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ. （Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程； （Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（规定：πθρ20,0<≤≥）. 题型二：曲线（圆与椭圆）的参数方程。 （1）普通方程和参数方程的互化；最值问题；“1”的代换（22cos sin 1θθ+=）、辅助角公式。 2、已知曲线C 的参数方程是)(sin ,cos 2为参数θθ θ⎩⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， B A ,的极坐标分别为 （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 的距离的最大值. 3、已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是 ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
4、已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为 曲线C 的参数方程为（θ为参数）. （Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值. （2）公共点问题；“直线与圆锥曲线”采用联立求解判别式；“直线与圆”采用“d ---r 法”。 5、在直角坐标系中曲线M 的参数方程为（α为参数）．若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为 （Ⅰ）求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线M 与曲线N 有公共点，求实数t 的取值范围． 6、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系xOy 取相同的长度单位）中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．
第十二章 坐标系与参数方程（2022年文科数学高考备考版） 第一节 坐标系 一、高考考点梳理 （一）、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0), :,(0).x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨ '=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. （二）、极坐标系的有关概念 1．极坐标系 如图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就确定了一个平面极坐标系， 简称极坐标系． 2．极坐标 （1）.极径：设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ； （2）.极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ. （3）极坐标：有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． （三）、直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们间的关系为： 1.直角坐标化为极坐标： 222,tan (0).y x y x x ρθ=+=≠ 2.极坐标化为直角坐标：cos ,sin .x y ρθρθ== （四、）直线的极坐标方程 1.直线l 过极点，且极角为 ，则直线l 的极坐标方程是:,()R θαρ=∈. 化为直角坐标方程为：y=tan .x 2.过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是:cos a ρθ=. 化为直角坐标方程为：x=a . 3.过点M (b ，π 2),且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是：ρsin θ＝b . 化为直角坐标方程为：y=b. αα
极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变 换⎩⎨ ⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸 缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ) 2、直角坐标⇒极坐标 cos sin x y ρθρθ =⎧⎨ =⎩2、极坐标⇒直角坐标 222tan (0) x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程， 再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数 ⎩⎨ ⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点
),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数 方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x0，y0），倾角为 α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x0，y0），点M 对应的参数为t ，则PM=|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2. 直线的一般参数方程： 00x x at y y bt =+=+（t 为参数）若2 2 1a b +=，则上面（1）、（2）中的几何意义成立，否则，不成立。 （2）圆心在（x0，y0），半径等于r 的圆： θ θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） （3）椭圆22221x y a b +=（或22 221y x a b +=）： θ θ sin cos b y a x ==（θ为参数） （或 θ θ sin cos a y b x ==） （4）抛物线22y px = ：pt y pt x 222 ==（t 为参数，p ＞0） 题型归类：（1）极坐标与直角坐标的互相转化
坐标系与参数方程高考常考题型及解析 随着高考改革的不但深入，考试内用也在不但改革，分为必修和选修两部分，选修部分又分为高考必考部分和选考部分，这是对部分学生的兴趣和爱好加上了不等式选讲及几何证明选讲坐标系与参数方程，矩阵及变换等等选讲部分，笔者以多年送高考的经验将坐标系与参数方程选讲部分高考常考题型及解析总结如下，供同行们商榷。 类型一：求直线或圆锥曲线的参数或极坐标方程问题。 例题1：（2013年高考陕西卷）以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则220y x x +-=的参数 方程为_____ 解析 ：222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径 θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。 所以圆的参数方程为R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθ θθ,sin cos cos 2 变式：（2013年高考江西卷）设曲线C 的参数方程为2x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________ 解析：本题考查参数方程与极坐标方程的转化。曲线C 的普通方程为2y x =。将 cos sin x y ρθρθ =⎧⎨=⎩代入2y x =，得22sin cos ρθρθ=，即2cos sin 0ρθθ-=。所以曲线c 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-= 点评：求极坐标方程与参数方程是坐标系与参数方程是高考常考的题型，记住参数方程与极坐标方程的转化结合直线与圆的方程形式，解决起来比较容易，是中档题目。 类型二;考查在极坐标系下求两点距离或者点到直线距离问题。 例题2：（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共 点到极点的距离为__________ 解析：联立方程组得15(1)12ρρρ±-=⇒=，又0ρ≥，故所求为152 +． 变式：（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2, 6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________. 解析：在极坐标系中，点 化为直角坐标为（ ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ ，1），到y=2的距离1，即为点 到直线ρsinθ=2
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222 tan (0) x y y x x ρθ⎧=+⎪ ⎨=≠⎪⎩ （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ⇒+=2 2 2 ()x a y a ⇒-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+⎧⎨=+⎩,2π α=也成立，故直线的参数方程为
选修坐标系与参数方程知 识点及经典例题 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩ ⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0), (x,x :μμλλϕ的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x 、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换: 二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．
坐标系与参数方程 [题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识． 常考题型精析 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和 ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长． 点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 变式训练1 (2014·广东改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化 例2 (2015·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在 极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π 4＝m (m ∈R )． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围．
考点1 两种互化及其应用 调研1 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x t C y t =-+⎧⎨ =+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值. 【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2） 217 17 8-.
【解析】（1）由122cos :12sin x t C y t =-+⎧⎨ =+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ， 因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x . 所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ， ||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径， 因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17 17 8)1(4|1142|2 2= -++-⨯-= d ， 所以||PQ 的最小值为 217 17 8-. ☆技巧点拨☆ 1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 3．极坐标方程与直角坐标方程互化 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋ y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)． 4．参数方程与极坐标方程互化 进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.