坐标系与参数方程
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程
① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结
1．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').
0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2．极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
★一般地，不做特殊说明，我们认为ρ≥0，θ可取任何值
★极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
4．若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确
定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
O
6．圆的极坐标方程
在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；
在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρcos 2a =；
在极坐标系中，以 )2,
(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7．直线的极坐标方程
在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .
8．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),
(),(t g y t f x 并且对于t 的每
一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．各圆锥曲线及直线的参数方程
①圆2
22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x . ②椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为cos ,()sin .x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数. ★规定ϕ的范围是[0,2)ϕπ∈
★椭圆上任意一点的坐标可以设为(cos ,sin )a b ϕϕ，这是求解椭圆相关问题的重要方法 ③双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的参数方程可表示为sec ,()tan .x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数. ★规定ϕ的范围是[0,2)ϕπ∈，且3,22πϕϕπ≠≠ （1sec cos ϕϕ
=） ★双曲线上任意一点的坐标可以设为(sec ,tan )a b ϕϕ，这是求解椭圆相关问题的重要方法
④抛物线px y 22
=的参数方程可表示为22,()2.x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数.
★几何意义：参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1tan t α
= ⑤经过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为00cos ,sin .
x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.
★几何意义：直线上的动点M 与定点0M 的距离，等于参数t 的绝对值0MM t =∣∣∣∣
坐标系与参数方程知识点 一、坐标系 1.笛卡尔坐标系：也称直角坐标系，是最常用的坐标系。它由两个垂 直的轴线（通常是x轴和y轴）组成，将平面划分为四个象限。点的位置 可以通过它们在x轴和y轴上的坐标来表示。 2.极坐标系：极坐标系是通过一个有向半径和一个有向角度来描述平 面上的点的位置。半径表示点到原点的距离，角度表示该点与栅线的夹角。 3.柱坐标系：柱坐标系是由极坐标系和垂直于平面的z轴组成的。它 通过一个有向半径、一个有向角度和一个有向高度来描述空间中的点的位置。 4.球坐标系：球坐标系是通过距离原点的距离、垂直于平面的角度和 与该点连接的直线与正z轴的夹角来描述空间中的点。 二、参数方程 参数方程是指通过引入一个或多个参数，将变量的取值与参数值建立 关系的方程组。参数方程可以用于描述曲线、曲面等几何图形。 1. 曲线的参数方程：如果xy平面上的点(x, y)满足方程组x = f(t)，y = g(t)，则称其为曲线的参数方程，其中t是参数。在参数方程中，x和y的取值由参数t的取值决定，通过改变参数t的取值可以得到 曲线上的不同点。 2.空间曲线的参数方程：类似于平面曲线，空间曲线的参数方程可以 表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。参数方程中的x、y、z分别表示曲线 上的点在x轴、y轴和z轴上的坐标，而t是参数。
3.曲面的参数方程：将平面曲线的参数方程推广到三维空间中可以得 到曲面的参数方程。通常情况下，曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u和v是参数。通过改变参数u和v的取值可 以得到曲面上的不同点。 4.参数方程的特点：参数方程具有灵活性，可以描述更加复杂的几何 图形。通过改变参数的取值范围和步长，可以得到曲线、曲面上不同点的 坐标。参数方程的另一个重要特点是可以简化计算，使得求解与几何图形 相关的问题更加方便。 在实际应用中，坐标系和参数方程常常用于描述直线、圆、椭圆、抛 物线、双曲线等几何图形，并可以通过变换、旋转等操作得到更复杂的几 何图形。掌握了坐标系和参数方程的相关知识，可以更好地理解和应用解 析几何中的各种概念和问题。
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<
坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的作用下,点(,) P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标 系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
坐标系与参数方程知识点 一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P 222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y x y = θtan 二、参数方程 1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角) t t y y t x x (,sin cos 00? ? ?+=+=αα 为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当 M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0 坐标系与参数方程 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系 ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程 ① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结 1．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2．极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . ★一般地，不做特殊说明，我们认为ρ≥0，θ可取任何值 ★极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4．若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确 定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： O 千里之行，始于足下。 极坐标系与参数方程学问点总结 极坐标系和参数方程是数学中的两种常用的描述曲线的方法。它们可以用来描述平面内的曲线，其优点是能够更简洁地描述某些特殊外形的曲线，且能够涵盖直角坐标系不能完全表示的曲线。下面将对极坐标系和参数方程进行具体的介绍和总结。 一、极坐标系： 极坐标系是一种用极角和极径来表示平面上的点的坐标系统。其中，极径表示原点与点之间的距离，极角表示极径与一个固定轴之间的夹角。极坐标系的坐标表示通常用 (r,θ) 表示，其中 r 是极径，θ是极角。 在极坐标系中，曲线方程可以用极坐标 (r,θ) 表示。例如，直线的极坐标方程可表示为 r = a / cos(θ - α)，其中 a 是直线与极径轴的交点到原点的距离，α是直线与极径轴的夹角。 另外，很多曲线在极坐标系中的方程具有简洁的形式。例如，圆的极坐标方程是 r = a，椭圆的极坐标方程是 r = a / (1 - εcosθ)，其中 a 是椭圆焦点到原点的距离，ε是椭圆的离心率。 极坐标系的优点是能够更简洁地表示某些特殊外形的曲线，如圆、椭圆和螺线等。然而，极坐标系也有一些限制，例如不能表示某些直线和很多多重曲线。因此，在具体问题中选择使用直角坐标系还是极坐标系要依据具体状况来定。 二、参数方程： 第1页/共2页 锲而不舍，金石可镂。 参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。其中，参数是一 个实数变量，曲线上的每个点都可以由参数的函数表示。参数方程通常以向量 形式表示，例如(x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。 通过参数方程，可以更机敏地描述曲线。例如，直线的参数方程可以表示 为 x(t) = a + mt，y(t) = b + nt，其中 a、b 是直线上的一个点的坐标，m、n 是直线的斜率。另外，很多曲线在参数方程中具有简洁的形式，如抛物线的 参数方程是 x(t) = a + t，y(t) = b + t²。 参数方程的优点是能够更机敏地表示各种外形的曲线，包括直线、曲线、 参数曲线等。而且，参数方程还能够描述动态曲线，例如表示粒子在一条曲线 上运动的轨迹。 总结： 极坐标系和参数方程是用来描述曲线的常用方法。它们相比直角坐标系具 有更简洁和机敏的特点，能够更便利地描述某些特殊外形的曲线，同时也能够 描述动态曲线。然而，极坐标系和参数方程也有各自的局限性，不能完全取代 直角坐标系。因此，在具体问题中选择使用哪种坐标系要依据曲线的特点和具 体要求来打算。不同的坐标系有不同的应用场景，在数学和物理学等学科中都 有广泛的应用。 坐标系与参数方程_知识点总结 一、坐标系 1.直角坐标系 直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。 2.极坐标系 3.球坐标系 球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。 二、参数方程 1.一维参数方程 一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。 2.二维参数方程 二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。 3.三维参数方程 三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。一个点在空间 中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为 关于参数t的函数。三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。 三、坐标系与参数方程的关系 坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。在直角坐标系中，一个函 数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。反之，一个函数 的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。参数 方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。 总结： 坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标 系和球坐标系。参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过 转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。坐标系与参数 方程是理解和解决几何问题的重要工具。 坐标系与参数方程 直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。在直角坐标系中，一个 点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。例如，点P的坐标 为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。直 角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。 参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是 由参数变量的函数关系决定的。参数方程中通常有两个参数变量，例如t 和s，分别表示曲线上一些点的位置。通过固定其中一个参数变量并对另 一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整 个曲线。 参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。与直 角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。 举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。考虑 一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确 定直线上任意点的坐标。例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。 当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。 而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参 数变量。通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。 例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1， y=3，这表示直线过点(1,3)。 可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方 程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。 在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标 系或参数方程来描述曲线。直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等 简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。 总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。直角坐标 系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描述简单的曲线；而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描 述复杂的曲线。通过选择适当的表示方式，我们可以更清晰地理解和分析 曲线的形状和特性。 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系。 (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式： 设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． 坐标系与参数方程知识点 1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩ 2、 ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。 [注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,) ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。 4、极坐标与直角坐标互化公式：（看课本） 5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 的变换关系：2222 sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕ θϕθ ⎧++=⎪ =⎪⎨=⎪⎪=⎩； 6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθ ρθ=⎧⎪ =⎨⎪=⎩ ； 7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 8、常见曲线的参数方程： （1）圆222 00()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩ ⎨ ⎧+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数）； （2）椭圆122 22=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）； （3）双曲线122 22=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）； （4）抛物线2 2y px =参数方程2 22x pt y pt ⎧=⎨=⎩ (t 为参数）； （6）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨ ⎧+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）； 1 / 6 坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如下图,在平面取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系那么不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 2 / 6 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如下图: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 极坐标与参数方程知识点总结大全 一、极坐标系统 极坐标系统是一种用来表示平面上点的坐标系统，它与直角坐标系统相互转化。在极坐标系统中，一个点的位置由径向和角度两个量来确定。常用的表示方式为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，称为极径，而θ表示与参考轴（通常为正X 轴）的夹角，称为极角。 极坐标系统与直角坐标系统之间可以通过如下的转换关系相互转化：•直角坐标→ 极坐标：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ) •极坐标→ 直角坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)极坐标系统适用于描述旋转对称性的图形，例如圆、花朵等。 二、参数方程 参数方程是一种用参数表示函数的方式。在参数方程中，自变量和因变量都可 以是参数。一般来说，参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的方程组。 以平面上的曲线为例，如果将曲线上的点的坐标分别用参数t表示，则曲线上 的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。这种表示方式称为参数方程。参数方程在 描述含有符号导数的曲线段以及曲线段的方向时非常有用。 参数方程可以将复杂的图形分解成多个简单的函数，从而方便进行图形的分析 和计算。它在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。 三、极坐标与参数方程的关系 极坐标与参数方程之间存在着密切的关系。可以通过参数方程来描述极坐标系 中的曲线。 一个常见的例子是圆的极坐标方程和参数方程的表示。以圆的极坐标方程为例，极坐标方程为r = a，其中a为圆的半径。使用参数方程表示时，可以将极坐标方 程转化为参数方程x = a * cos(θ)，y = a * sin(θ)。 同样地，通过参数方程也可以得到一些特殊的极坐标曲线，例如r = a * cos(θ)可以表示一条心形曲线。 四、极坐标曲线的绘制 在计算机图形学中，可以通过极坐标方程或参数方程来绘制各种各样的曲线。 坐标系与参数方程高考知识点 2024数学 2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。 一、坐标系的概念与性质 坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。在平面上，常 用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直 角坐标系和球坐标系。 1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两 个数值来确定平面上的点的位置。我们用横坐标x和纵坐标y来表示 一个点的位置，记作P(x, y)。 直角坐标系具有以下性质： - 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。 - 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴 和y轴。 - 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。 2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和 角度来确定点的位置。对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中 r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。 极坐标系具有以下性质： - 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。 - 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。 - 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。 二、参数方程的概念与性质 参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。它通常由一 组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。 在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。常见的参数 方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。 1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u 来表示。例如，曲线C可以由参数方程表示为： x = f(t) y = g(t) 其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。 平面曲线的参数方程具有以下性质： - 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。 - 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。 2. 空间曲线的参数方程：空间曲线的参数方程通常用三个参数t、u、v来表示。例如，曲线C可以由参数方程表示为： 坐标系与参数方程 【要点知识】 一、坐标系 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0) :(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用 下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 〔1〕极坐标系的概念 如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样我们就建立了一个极坐标系. 〔2〕极坐标 设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. 〔3〕极径、极角的取值范围 一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈. 3.极坐标与直角坐标之间的互化 如下图，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系： 〔ⅰ〕直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； 〔ⅱ〕极坐标化直角坐标：2 2 2 x y ρ=+，tan y x θ= 〔0x ≠〕. 【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用. 4.几个简单曲线的极坐标方程 〔1〕圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a 〔0a >〕，半径为a 的圆的极坐标方程为 2cos a ρθ=； 〔2〕直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是 4 π 的直线l 的极坐标方程为4 πθ= 和54 πθ= . 5.柱坐标系与球坐标系 〔1〕柱坐标系 如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ〔0ρ≥，02θπ≤<〕表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的 极坐标系 1 极坐标系和点的极坐标 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做 M 的极坐标。 3平面直角坐标与极坐标的区别 在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。 4极坐标系中P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取． 5如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 6极坐标与直角坐标的互化 （1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中 取相同的长度单位。 （2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩ ⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。 Eg1：已知点M 的极坐标为)3,5(π -，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（ ） )3,5.(π-A )34,5.(πB )32,5.(π-C )3 5,5.(π--D 2在极坐标系中,已知 ),6,2(),6,2(π π-B A 求A,B 两点的距离 3．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ） A 、2sin =θρ B 、2cos =θρ 图1 坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 极坐标与参数方程 1. 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意点，在变换⎩⎨ ⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ 的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换，简称伸缩变换 2. 极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 极坐标系的四要素： ①极点②极轴③长度单位④角度单位和它的正方向 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记 为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角， 记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . O 的坐标为 )R )(,0(∈θθ. ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； (1)互化的前提条件 ②极轴与x 轴的正半轴重合 3.直极互化 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩ ⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 极 坐 4.曲线的极坐标方程 标 过点M(ρ0，θ0)，且与极轴的夹角为α的极坐标方程为ρsin(θ −α) =ρ0 sin(θ0 −α)。 经过极点， 倾斜角为α 经过定点M(a ，0)，且与极轴垂直 经过定点M(b ，π2)，且与极轴平行 θ = α ρcosθ = a ρsinθ = b 圆心在极点 圆心在极点右侧 圆心在极点上方 圆心在极点左侧 圆心在极点 下方 ρ = r ρ = 2rcos θ ρ = 2rsin θ ρ = −2rcos θ ρ = −2rsin θ O x x O(M l α x O l M a x O x O x O x O x O l M(b ，π2) a坐标系与参数方程知识整理
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