坐标系与参数方程
规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．
2．规律方法
方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的
目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．
3．极坐标方程与普通方程互化核心公式
⎩⎨⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).
4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝
ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直
线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .
5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．
6．重点掌握直线的参数方程⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ
(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.
知 识 梳 理
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐
标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，
它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则
坐标系与参数方程知识点 一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P 222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y x y = θtan 二、参数方程 1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角) t t y y t x x (,sin cos 00? ? ?+=+=αα 为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当 M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0 坐标系与参数方程 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么 ⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ y ＝ρsin θ ，⎩ ⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x ≠0. 2．直线的极坐标方程 假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π 2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程 假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M (r ，π 2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程 过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)． 5．圆的参数方程 圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩ ⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)． 坐标系与参数方程 一、 考点：1。考查参数方程与普通方程的互化；2。考查用参数法解决有关直线与直线、 直线与圆锥曲线的相关问题。 二、 知识点：0 1．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数 ，并且对于t 的每一个允许值，由该函数中所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么该函数所确定的两个方程就叫做这条曲线的 ，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间的方程0),(=y x f 叫 。 2．常用的曲线的参数方程 （1）过点),(00y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ，其中参数t 的几何意义为 。 (2)圆2 22)()(r b y a x =-+-的参数方程为 。 （3）椭圆122 22=+b y a x 的参数方程为 。 3．参数方程化为普通方程常用的方法有： 三、考点演练 1. 圆为参数）的圆心到直线（t 为参数）的距离是（ ） A 1 B C D 3 [解析] 1. 圆的普通方程为, 圆心为(1, －2). 直线 的普通方程为, 所以点(1, －2) 到直线的 距离为. 2.在直角坐标系 中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点， 若极坐标方程为的曲线与直线（为参数）相交于、两点，则。 [解析] 2. 曲线的直角坐标系方程为，圆心在（3，－3），半径为；直线的普通方程为，该直线过圆心，且|OP|=5，所以过点P且垂直于直线的直线被圆截得的弦长为，根据相交弦定理可得. 3. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以为极点，射线为极轴的极坐标系中，曲线的方程为，曲线与交于两点，则线段的长度为___________. [解析] 4.因为曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为 ， 又因为曲线的极坐标方成为，所以， 所以普通方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 弦长. 极坐标与参数方程知识点 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩ ⎨ ⎧==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝ B A A B t t t t ⋅--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θ θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θ sin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数）ααα(.sin , cos 00⎩ ⎨ ⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线： 坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩ 的作用下,点(,) P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标 系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐 坐标系与参数方程 直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。在直角坐标系中，一个 点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。例如，点P的坐标 为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。直 角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。 参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是 由参数变量的函数关系决定的。参数方程中通常有两个参数变量，例如t 和s，分别表示曲线上一些点的位置。通过固定其中一个参数变量并对另 一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整 个曲线。 参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。与直 角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。 举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。考虑 一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确 定直线上任意点的坐标。例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。 当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。 而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参 数变量。通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。 例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1， y=3，这表示直线过点(1,3)。 可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方 程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。 在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标 系或参数方程来描述曲线。直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等 简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。 总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。直角坐标 系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描述简单的曲线；而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描 述复杂的曲线。通过选择适当的表示方式，我们可以更清晰地理解和分析 曲线的形状和特性。 “坐标系与参数方程”高考考查分析 高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感 到头疼。这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。 本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部 分的考试内容。 首先来看坐标系的考查情况。在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标 系和空间直角坐标系。对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程 和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。极坐标系则会涉及到平面 向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。而空间直角坐标系则会 涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。在高考试题中，通常会 通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。 除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。参数方程是描述曲线的一种 常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极 坐标系和参数方程的相互转化等内容。在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲 线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。 坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身 的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。在备考过程中，考生可以通过多做 习题，加强对知识点的理解和掌握。还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升 自己对这一部分知识点的掌握程度。 而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性 的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。在日常教学中也可以加强对数学建 模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 一、基础知识 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ′＝λ·x λ＞0，y ′＝μ·y μ＞0 的作用 下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ. 一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数. 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π 2 圆心为⎝⎛⎭ ⎫r ，π 2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π 2 过点⎝⎛⎭ ⎫a ，π 2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π) 考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求双曲线C ：x 2－ y 2 64＝1经过φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′ 代入x 2 －y 2 64 ＝1， 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 2 16＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将 ⎩⎨⎧ x ＝x ′λ ， y ＝y ′μ 代入y ＝f (x )，得y ′ μ＝f ⎝⎛⎭ ⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程． [提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)． [题组训练] 1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ， y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝ 3sin ⎝⎛⎭ ⎫x ′＋π 6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π 6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π 6， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π. 直角坐标系中曲线的参数方程 参数方程，为数学术语，其和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数： 并且对于t的每一个容许的值域，由方程组确认的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫作曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫作参变数，缩写参数。相对而言，轻易得出点座标间关系的方程即为称作普通方程。 曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。 圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心座标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的座标 椭圆 椭圆 椭圆的参数方程x=a cosθy=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数 [2] 双曲线的参数方程x=a secθ （余割）y=b tanθ a为实半轴短 b为虚半轴短θ为参数 抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数 直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a则表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数 或者x=x'+ut，y=y'+vt (t∈r)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=(u,v) 圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ）y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r为基圆的半径φ为参数 平摆线参数方程 x=r（θ-sinθ） y=r（1-cosθ）r为圆的半径，θ是圆的半径所经过的角度（滚动角），当θ由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。 千里之行，始于足下。 极坐标系与参数方程学问点总结 极坐标系和参数方程是数学中的两种常用的描述曲线的方法。它们可以用来描述平面内的曲线，其优点是能够更简洁地描述某些特殊外形的曲线，且能够涵盖直角坐标系不能完全表示的曲线。下面将对极坐标系和参数方程进行具体的介绍和总结。 一、极坐标系： 极坐标系是一种用极角和极径来表示平面上的点的坐标系统。其中，极径表示原点与点之间的距离，极角表示极径与一个固定轴之间的夹角。极坐标系的坐标表示通常用 (r,θ) 表示，其中 r 是极径，θ是极角。 在极坐标系中，曲线方程可以用极坐标 (r,θ) 表示。例如，直线的极坐标方程可表示为 r = a / cos(θ - α)，其中 a 是直线与极径轴的交点到原点的距离，α是直线与极径轴的夹角。 另外，很多曲线在极坐标系中的方程具有简洁的形式。例如，圆的极坐标方程是 r = a，椭圆的极坐标方程是 r = a / (1 - εcosθ)，其中 a 是椭圆焦点到原点的距离，ε是椭圆的离心率。 极坐标系的优点是能够更简洁地表示某些特殊外形的曲线，如圆、椭圆和螺线等。然而，极坐标系也有一些限制，例如不能表示某些直线和很多多重曲线。因此，在具体问题中选择使用直角坐标系还是极坐标系要依据具体状况来定。 二、参数方程： 第1页/共2页 锲而不舍，金石可镂。 参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。其中，参数是一 个实数变量，曲线上的每个点都可以由参数的函数表示。参数方程通常以向量 形式表示，例如(x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。 通过参数方程，可以更机敏地描述曲线。例如，直线的参数方程可以表示 为 x(t) = a + mt，y(t) = b + nt，其中 a、b 是直线上的一个点的坐标，m、n 是直线的斜率。另外，很多曲线在参数方程中具有简洁的形式，如抛物线的 参数方程是 x(t) = a + t，y(t) = b + t²。 参数方程的优点是能够更机敏地表示各种外形的曲线，包括直线、曲线、 参数曲线等。而且，参数方程还能够描述动态曲线，例如表示粒子在一条曲线 上运动的轨迹。 总结： 极坐标系和参数方程是用来描述曲线的常用方法。它们相比直角坐标系具 有更简洁和机敏的特点，能够更便利地描述某些特殊外形的曲线，同时也能够 描述动态曲线。然而，极坐标系和参数方程也有各自的局限性，不能完全取代 直角坐标系。因此，在具体问题中选择使用哪种坐标系要依据曲线的特点和具 体要求来打算。不同的坐标系有不同的应用场景，在数学和物理学等学科中都 有广泛的应用。 参数方程和直角坐标方程的转换 一、引言 在数学中，参数方程和直角坐标方程是两种描述平面曲线的方式。参数方程是通过给出一个或多个参数来定义曲线上的点，而直角坐标方程则是通过给出x和y之间的关系来定义曲线。在某些情况下，将一个方程从参数形式转换为直角坐标形式或反之亦然可以更容易地解决问题。本文将介绍如何将参数方程转换为直角坐标方程以及如何将直角坐标方程转换为参数方程。 二、什么是参数方程 1. 参数的定义 在数学中，参数是指一个变量或一组变量，它们用于描述一个对象的特征。在二维平面几何中，我们通常使用t作为参数来描述曲线上每个点的位置。 2. 参数方程的定义 参数方程是一种用于描述平面曲线的方式，它使用一个或多个参数来表示曲线上每个点的位置。例如，在极坐标系中，我们可以使用r和θ作为两个参数来表示极坐标系中每个点的位置。 3. 例子 下面是一个简单的例子：假设我们想要画出以原点为中心、半径为1 单位长度的圆。我们可以使用以下两个参数方程： x = cos(t) y = sin(t) 其中t是一个参数，它的取值范围是[0, 2π]。这两个方程描述了圆上 每个点的位置，因为对于任意一个t值，都可以得到对应的x和y值。 三、什么是直角坐标方程 1. 直角坐标系的定义 直角坐标系是指以两条相互垂直的坐标轴为基础的平面。在二维平面 几何中，我们通常使用x轴和y轴作为两个坐标轴。 2. 直角坐标方程的定义 直角坐标方程是一种用于描述平面曲线的方式，它使用x和y之间的 关系来表示曲线上每个点的位置。例如，我们可以使用以下直角坐标 方程来表示以原点为中心、半径为1单位长度的圆： x^2 + y^2 = 1 这个方程描述了所有满足条件x^2 + y^2 = 1的点所组成的集合，也就是圆。 参数方程与极坐标系的应用 参数方程和极坐标系是数学中常用的描述曲线和点的方法，它们在 各个领域中都有广泛的应用。本文将介绍参数方程和极坐标系的基本 概念，并探讨它们在几何、物理和工程等领域的具体应用。 一、参数方程的基本概念和应用 参数方程是用参数表示的一族方程，通常用来描述平面中的曲线或 曲面。参数方程用参数t的函数形式表示，例如在二维平面中，一条曲 线可以由以下形式的参数方程表示： $x=f(t), y=g(t)$ 其中，x和y是曲线上的点的坐标，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。参数方程可以描述各种类型的曲线，如直线、圆、椭圆、双曲线等。 参数方程在几何学中有广泛的应用。例如，它可以描述精确的曲线 轨迹，比如飞机、船舶或火箭的轨迹分析。此外，在计算机图形学中，参数方程也是描述和绘制曲线和曲面的重要工具。 二、极坐标系的基本概念和应用 极坐标是一种用角度和距离来描述平面上点的坐标系统。在极坐标 系中，一个点的位置由它到原点的距离和它与正向x轴的夹角表示。 具体而言，一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r是到原点的距离，θ是与正向x轴的夹角。 极坐标系在几何学和物理学中有许多应用。例如，在研究圆形轨道运动时，极坐标系可以更方便地描述物体在圆周上的运动情况。在天文学中，极坐标系也常用于描述天体的位置和运动。 三、参数方程与极坐标系的应用举例 1. 参数方程在物理建模中的应用 假设有一个弹射器，以初速度v0发射一枚物体。物体的轨迹可以由以下参数方程描述： $x=v_0 \cos(\theta)t, y=v_0 \sin(\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ 其中，θ是发射角度，g是重力加速度。通过求解这个参数方程，可以了解物体的轨迹、落点等信息。 2. 极坐标系在工程设计中的应用 在工程设计中，常常需要描述和绘制对称的结构，如涡轮机叶片、天线辐射图案等。此时，可以使用极坐标系来描述和分析这些结构。极坐标系的对称性使得对称结构的分析更加简单和直观。 总结： 参数方程和极坐标系是数学中常用的描述曲线和点的工具，它们在几何、物理和工程等领域具有广泛的应用。通过参数方程和极坐标系的应用，我们可以更准确地描述和分析曲线、轨迹和结构，为各个领域的问题提供有效的解决方法。希望本文的介绍对您理解参数方程和极坐标系的应用有所帮助。 坐标系与参数方程 坐标系 1.平面直角坐标系 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ· x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点 P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)如图所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. 对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). (2)极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ或⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 概念方法微思考 1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？ 提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点. 2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？ 提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π 3.( √ ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × ) 题组二 教材改编 2.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 2 B.ρ＝ 1cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 4 C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系。 (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式： 设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． 坐标系与参数方程-知识点总结 坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 (,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=⎧⎨=⎩ 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(,)2r π ,半 径为r 的圆 =2sin (0)r ρθθπ≤< 圆心为(),r π,半径为r 的圆 32cos ()2 2 r ππ ρθθ=-≤< 第一部分：坐标系与参数方程 考纲知识梳理 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点Px,y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ()() ⎩⎨ ⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 1极坐标系 如图1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向,这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. 2极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0;和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可 用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 1互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图2所示: 2互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是 ()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 坐标系与参数方程知识点 1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩ 2、 ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。 [注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,) ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。 4、极坐标与直角坐标互化公式：（看课本） 5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 的变换关系：2222 sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕ θϕθ ⎧++=⎪ =⎪⎨=⎪⎪=⎩； 6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθ ρθ=⎧⎪ =⎨⎪=⎩ ； 7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 8、常见曲线的参数方程： （1）圆222 00()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩ ⎨ ⎧+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数）； （2）椭圆122 22=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）； （3）双曲线122 22=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）； （4）抛物线2 2y px =参数方程2 22x pt y pt ⎧=⎨=⎩ (t 为参数）； （6）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨ ⎧+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）； 数学 选修4-4 坐标系与参数方程 2016-7 第一讲 坐标系 一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定. 例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上） 以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360， 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22 221x y a b -=上， 22222222 22 680,1020 102068053401(0) 6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为 用y=－x 代入上式，得x =± ， ∵ |PA|>|PB|, (x y P PO ∴=-=-=即故 答：巨响发生在接报中心的西偏北450 距中心处. 上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程. 2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2 1 tan -=∠=∠MNP PMN ， 建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程. 课后作业 1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2 ＝1 2 ，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.12 2.设F 1、F 2是双曲线x 23 －y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时， 1PF ·2PF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x 2 2 ，则点P 的轨迹方程是_________. 5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________. 6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．极坐标及参数方程
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