坐标系与参数方程知识点
一、坐标系
1.笛卡尔坐标系：也称直角坐标系，是最常用的坐标系。它由两个垂
直的轴线（通常是x轴和y轴）组成，将平面划分为四个象限。点的位置
可以通过它们在x轴和y轴上的坐标来表示。
2.极坐标系：极坐标系是通过一个有向半径和一个有向角度来描述平
面上的点的位置。半径表示点到原点的距离，角度表示该点与栅线的夹角。
3.柱坐标系：柱坐标系是由极坐标系和垂直于平面的z轴组成的。它
通过一个有向半径、一个有向角度和一个有向高度来描述空间中的点的位置。
4.球坐标系：球坐标系是通过距离原点的距离、垂直于平面的角度和
与该点连接的直线与正z轴的夹角来描述空间中的点。
二、参数方程
参数方程是指通过引入一个或多个参数，将变量的取值与参数值建立
关系的方程组。参数方程可以用于描述曲线、曲面等几何图形。
1. 曲线的参数方程：如果xy平面上的点(x, y)满足方程组x =
f(t)，y = g(t)，则称其为曲线的参数方程，其中t是参数。在参数方程中，x和y的取值由参数t的取值决定，通过改变参数t的取值可以得到
曲线上的不同点。
2.空间曲线的参数方程：类似于平面曲线，空间曲线的参数方程可以
表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。参数方程中的x、y、z分别表示曲线
上的点在x轴、y轴和z轴上的坐标，而t是参数。
3.曲面的参数方程：将平面曲线的参数方程推广到三维空间中可以得
到曲面的参数方程。通常情况下，曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u和v是参数。通过改变参数u和v的取值可
以得到曲面上的不同点。
4.参数方程的特点：参数方程具有灵活性，可以描述更加复杂的几何
图形。通过改变参数的取值范围和步长，可以得到曲线、曲面上不同点的
坐标。参数方程的另一个重要特点是可以简化计算，使得求解与几何图形
相关的问题更加方便。
在实际应用中，坐标系和参数方程常常用于描述直线、圆、椭圆、抛
物线、双曲线等几何图形，并可以通过变换、旋转等操作得到更复杂的几
何图形。掌握了坐标系和参数方程的相关知识，可以更好地理解和应用解
析几何中的各种概念和问题。
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
坐标系与参数方程知识点 一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P 222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y x y = θtan 二、参数方程 1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角) t t y y t x x (,sin cos 00? ? ?+=+=αα 为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当 M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0 数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2的中点为P，填表： 两点间的距离公式中点P的坐标公式 2＋（y |P1P2|＝（x1－x2）1－y2）2 x1＋x2 x＝ y＝ 2 y1＋y2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx（λ>0） y′＝μy（μ>0） 的作用下， 点P(x，y)对应到点P′x(′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 二 极坐标系 (1 )定义：在平面内取 一个定点 O ，叫做极点；自点 O 引一条射线 O x 叫做极选 定 一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这立 了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2． 极坐标 (1)极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM |叫做点 M 的极径， ρ；以极轴 O x ，射线 O M 的角 x O M 叫做点 M 的极为 θ.有序数对 (ρ， θ)叫做点 M 的极坐作 M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是 (0， θ)，(θ∈R )，若点 M 的极坐标是 M (ρ，θ )，则点 M 的极坐标也M(ρ， θ＋2k π)， (k ∈Z )． 若规定 ρ>0，0≤ θ<2π ，则除极点外极坐标系内的点与有序数对 (ρ，θ)之间才是一一 对应关系． 3． 极坐标与直角坐标的式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正 半轴作 为 极轴，且长度 设任意一点M 的直角坐标与极 (x ，y)，(ρ，θ )． (1)极坐标化直角坐标 x ＝ρcos θ ， y ＝ρsin θＷ . (2)直角坐标化极坐标 ρ 2＝x 2＋y 2， tan θ＝ y （x ≠0） . x 三 简单曲线的极坐标方程 1． 曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做 曲线 C 的极坐标方程． 2． 圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆极坐标方程 图 形 圆心在极点 (0，0) ρ＝r (0≤ θ<2π) 极坐标和参数方程知识点总结 一、极坐标基础知识 极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由两个值组成：极径和极角。极径表示点到原点的距离，而极角表示点到正半轴的夹角。 二、极坐标与直角坐标系的转换 在直角坐标系中，一个点可以用它在x轴和y轴上的投影表示。而在 极坐标系中，一个点可以用它与原点的距离和与正半轴的夹角来表示。两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换： x=r*cosθ y=r*sinθ 其中，r为极径，θ为极角。 三、常见图形的极坐标方程 1. 圆：r=a 2. 点：r=0 3. 直线：θ=k 4. 简单叶形线：r=a*cos(2θ) 5. 简单心形线：r=a*(1-sinθ) 四、参数方程基础知识 参数方程是一种描述曲线运动状态的方式，它由两个函数组成：x(t)和y(t)。这两个函数分别表示曲线上每个点在x轴和y轴上的位置。 五、参数方程与直角坐标系的转换 在直角坐标系中，一个曲线可以用y=f(x)的形式表示。而在参数方程中，一个曲线可以用x(t)和y(t)的形式表示。两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换： x=f(t) y=g(t) 其中，t为参数。 六、常见图形的参数方程 1. 直线：x=at+b，y=ct+d 2. 圆：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ 3. 椭圆：x=a*cosθ，y=b*sinθ 4. 双曲线：x=a*secθ，y=b*tanθ 七、极坐标与参数方程的联系 极坐标和参数方程都是描述曲线运动状态的方式。它们之间有一定的联系，可以通过以下公式进行转换： r=sqrt(x^2+y^2) tanθ=y/x 其中，r为极径，θ为极角。 极坐标与参数方程知识点 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩ ⎨ ⎧==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝ B A A B t t t t ⋅--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θ θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θ sin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数）ααα(.sin , cos 00⎩ ⎨ ⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线： 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 一、基础知识 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ′＝λ·x λ＞0，y ′＝μ·y μ＞0 的作用 下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ. 一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数. 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π 2 圆心为⎝⎛⎭ ⎫r ，π 2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π 2 过点⎝⎛⎭ ⎫a ，π 2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π) 考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求双曲线C ：x 2－ y 2 64＝1经过φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′ 代入x 2 －y 2 64 ＝1， 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 2 16＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将 ⎩⎨⎧ x ＝x ′λ ， y ＝y ′μ 代入y ＝f (x )，得y ′ μ＝f ⎝⎛⎭ ⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程． [提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)． [题组训练] 1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ， y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝ 3sin ⎝⎛⎭ ⎫x ′＋π 6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π 6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π 6， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π. 千里之行，始于足下。 极坐标系与参数方程学问点总结 极坐标系和参数方程是数学中的两种常用的描述曲线的方法。它们可以用来描述平面内的曲线，其优点是能够更简洁地描述某些特殊外形的曲线，且能够涵盖直角坐标系不能完全表示的曲线。下面将对极坐标系和参数方程进行具体的介绍和总结。 一、极坐标系： 极坐标系是一种用极角和极径来表示平面上的点的坐标系统。其中，极径表示原点与点之间的距离，极角表示极径与一个固定轴之间的夹角。极坐标系的坐标表示通常用 (r,θ) 表示，其中 r 是极径，θ是极角。 在极坐标系中，曲线方程可以用极坐标 (r,θ) 表示。例如，直线的极坐标方程可表示为 r = a / cos(θ - α)，其中 a 是直线与极径轴的交点到原点的距离，α是直线与极径轴的夹角。 另外，很多曲线在极坐标系中的方程具有简洁的形式。例如，圆的极坐标方程是 r = a，椭圆的极坐标方程是 r = a / (1 - εcosθ)，其中 a 是椭圆焦点到原点的距离，ε是椭圆的离心率。 极坐标系的优点是能够更简洁地表示某些特殊外形的曲线，如圆、椭圆和螺线等。然而，极坐标系也有一些限制，例如不能表示某些直线和很多多重曲线。因此，在具体问题中选择使用直角坐标系还是极坐标系要依据具体状况来定。 二、参数方程： 第1页/共2页 锲而不舍，金石可镂。 参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。其中，参数是一 个实数变量，曲线上的每个点都可以由参数的函数表示。参数方程通常以向量 形式表示，例如(x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。 通过参数方程，可以更机敏地描述曲线。例如，直线的参数方程可以表示 为 x(t) = a + mt，y(t) = b + nt，其中 a、b 是直线上的一个点的坐标，m、n 是直线的斜率。另外，很多曲线在参数方程中具有简洁的形式，如抛物线的 参数方程是 x(t) = a + t，y(t) = b + t²。 参数方程的优点是能够更机敏地表示各种外形的曲线，包括直线、曲线、 参数曲线等。而且，参数方程还能够描述动态曲线，例如表示粒子在一条曲线 上运动的轨迹。 总结： 极坐标系和参数方程是用来描述曲线的常用方法。它们相比直角坐标系具 有更简洁和机敏的特点，能够更便利地描述某些特殊外形的曲线，同时也能够 描述动态曲线。然而，极坐标系和参数方程也有各自的局限性，不能完全取代 直角坐标系。因此，在具体问题中选择使用哪种坐标系要依据曲线的特点和具 体要求来打算。不同的坐标系有不同的应用场景，在数学和物理学等学科中都 有广泛的应用。 高二数学4-4知识点总结 在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。下面是高二数学4-4知识点总结，请参考. 高二数学4-4知识点总结 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的'意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:yy,(0).的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R). 4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。 高中数学选修4-4.pdf 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立 一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为 直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两 条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表： 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 有序数对(ρ，θ）ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ． 叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）． ，(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ） 最新高考数学必备知识点总结 高考是很多人都很重视的考试，所以考前的知识点复习也是非常认真。下面是小编为大家整理的关于最新高考数学知识点总结，希望对您有所帮助! 高考数学参数方程知识点 一、坐标系与参数方程： 1、坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。 2、参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。 二、高中数学知识点之参数方程定义 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t) 并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。 三、高中数学知识点之参数方程 圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数 椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数 双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数 高考数学导数知识点总结 (一)导数第一定义 设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义 (二)导数第二定义 设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义 (三)导函数与导数 如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。 (四)单调性及其应用 1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 (1)求f¢(x) (2)确定f¢(x)在(a，b)内符号 (3)若f¢(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f¢(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数 2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 (1)求f¢(x) (2)f¢(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f¢(x)<0 极坐标与参数方程基本知识点 一、极坐标知识点 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλϕ的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换; 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O,从O 引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向通常取逆时针方向为正方向,这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点,射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可. 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ;有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点;极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点; 如果规定πθρ20,0≤≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的; 5．极坐标与直角坐标的互化： 1互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. 2互化公式 6.曲线的极坐标方程： 1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ,且极轴到此直线的角为α,则它的方程为：00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α 几个特殊位置的直线的极坐标方程 1直线过极点 2直线过点M(a,0)且垂直于极轴 3直线过(,)2 M b π 且平行于极轴 方程：1)R (∈=ραθ 或写成及 2a =θρcos 3ρsinθ=b 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ,半径为r 的圆方程为： 2222cos()0r ρρρθθρ--+-= 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1当圆心位于极点,r 为半径 2当圆心位于)0,(a C a>0,a 为半径 3当圆心位于 )2 ,(π a C )0(>a ,a 为半径 方程：1r =ρ 2θρcos 2a = 3θρsin 2a = 7.在极坐标系中,)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线； )R (∈=ραθ表示过极点的)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ 坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 (,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引 一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极 轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对 叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 半径为的圆,半径为 , 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至 少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表 示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变 数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通 方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点 x gx(0) , 在变换: gy( 的作用 y0) 下 , 点 P(x,y)对应到点 P ( x , y ) ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点 O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针 方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 . 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标 设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边, 射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为. 有序数对(, ) 叫做点M的极坐标, 记作M (,) . 一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数. 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(∈ R).和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( ,) 表示; 同时 , 极坐标(, ) 表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如图所示 : (2)互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是(x, y) , 极坐标是( , ) (0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 M直角坐标( x, y)极坐标(, ) x cos2x2y2 互化公式 y (x 0) y sin tan x 在一般情况下 , 由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角 . 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点, 半径 r (0 2 ) 为 r 的圆 圆心为 (r ,0) ,半径 2r cos ()为 r 的圆22 圆心为 (r , ) ,半 2 2r sin(0) 径为 r 的圆 数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ⎩⎨⎧x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 高中数学选修4-4知识点总结 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ①理解坐标系的作用. ②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点 ) , (y x P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩ ⎨ ⎧ > ⋅ =' > ⋅ =' ). (,y y 0), ( x, x : μ μ λ λ ϕ 的作用下，点 ) , (y x P对应到点) , (y x P' ' ' ，称 ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离| |OM叫做点M的极径， 记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM ∠叫做点M的极角，记为θ。有序 数对 ) , (θ ρ 叫做点M的极坐标，记为) , (θ ρ M. 极坐标 ) , (θ ρ 与 )Z )( 2 , (∈ +k kπ θ ρ 表示同一个点。极点O的坐标为)R )( ,0(∈ θ θ . 4.若 < ρ ,则 > -ρ,规定点) , (θ ρ -与点) , (θ ρ 关于极点对称，即 ) , (θ ρ -与) , (θ π ρ+ 表 示同一点。 如果规定 π θ ρ2 0,0≤ ≤ >，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标) , (θ ρ 表示；同 时，极坐标 ) , (θ ρ 表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系。 (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式： 设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．高中数学选修4-4知识点(最全版)
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