“整式的概念”教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解单项式与多项式的概念，系数，次数；
2.了解整式的概念；
3.学会多项式的排列问题。
（二）过程与方法
1.通过ppt，引导学生对概念的把握以及概念理解上的辨析。
2.通过习题讲解明确整式概念。
（三）情感、态度与价值观
对问题的讨论要一切从概念出发，学会在技能工具不足时如何通过定义解决问题。
二、教学重点和难点
（一）教学重点
单项式，多项式的概念。
（二）教学难点
单项式，多项式的次数系数问题，以及相关概念的区分。
三、教学设计说明
由于对于初学者来说，单项式，多项式的概念容易被搞错，尤其是其中的次数和系数问题。比如单项式的次数指所有字母的指数之和，而多项式的次数指最高项单项式的次数。因此，考虑选择了较多的辩错题来帮助同学区分概念。另外，对于每一个概念，都配有相关注意事项提醒同学概念中的重要点以及易错点，最后再配以练习让同学熟练掌握概念。为了例题的梯度设计，后面加上了部分字母问题，以及开放性提高题让同学讨论。
四、教学过程
（一）复习回顾
代数式的概念。
（二）单项式的概念
1.定义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式。
强调：1）1
x
为什么不是单项式。（数字除以字母的形式）
2）单独的一个数字或一个字母也是单项式。如13
,x,0 2.单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
如：2210ab c 的系数是210，次数是4
3.思考：1ab π，3xy -，2a b -是不是单项式 π只是一个数字的代号，不能被看成字母。
2a b -不是单项式，因为能拆成22
a b - （三）多项式的概念
1.定义：几个单项式的和叫做多项式
2.系数与次数：多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式的次数是指多项式中次数最高的单项式的次数。
3.学习多项式应注意的几个问题：
1）多项式中，每个单项式叫做多项式的项，项包括它前面的符号。
2）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是次数最高项的次数。
3）多项式的系数指的是其中每一项的系数。
例1 判断下列多项式是几次几项式，并说出每一项的系数。
(1) 357x y -+- (一次三项式)
(2) 322257a b a b c abc c -+-+ （五次五项式）
(3) 632234267x y x y x -+- （五次四项式）
【选题目的】
理解多项式的系数和次数
（四）整式
单项式和多项式统称为整式
注意：1）整式中，只含一项是单项式，否则是多项式。分母中含有字母的代数式不是整式，当然也不是单项式或多项式。
2）系数（单项式或多项式的某项）包括前面的符号，特别的，π在单项式中作为系数，如2a π-
的系数为2π-。
3）单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数。
4）多项式不含某一字母次数的项，表示此项的系数为0，如21x +不含x 的一次项，表示x 的系数为0.
例2 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？
（1）22x y + （2）2R π （3）7xy - （4）2xy （5）7x y - （6）18a
+ （7）22x xy + 【选题目的】
1.能区分单项式，多项式以及整式。
2.注意事项里提到的概念注意点有没有注意到。
（五）多项式的排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
例3 把多项式343225327x y y xy x y --+-
（1）按y 的升幂排列
（2）按y 的降幂排列
【选题目的】
1.排列移动单个项的时候，一定要连同前面的符号一起移动。
2.对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列。
例4 把下列(1)(2)两个多项式按字母x 降幂排列，(3)(4)两个多项式按字母y 升幂排列
（1）223213x y xy x y -+--
（2）2332157312x y x y xy -+-
- （3）3443225x y x y z x y -+-
（4）3322
537x y x y xy --+-
【选题目的】
因为多项式的排列是本节的重点，所以需要多加熟练。
例4 已知多项式
4 21233
1
5
43 a
x y x y x y
+
--+
（1）求多项式中各项的系数和次数
（2）若多项式是七次三项式，求a的值
【选题目的】
一道利用相关概念求未知字母的题目，属于概念的应用。（六）提高
思考：两个三次多项式的和是什么？
拓展：m个n次多项式的和又是什么？
(七) 布置作业
第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 一、内容和内容解析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。 本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。 二、目标和目标解析 1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景； 2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
向量概念教学反思 向量概念教学反思 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。通过向量的学习，要求学生学会用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题与其他一些实际问题，运用数学思想、方法和知识，发展运算能力和解决实际问题的能力。课标规定为一个课时，下面从以下几个方面谈谈对这节课的反思：第一、引入形象生动，通过故事及动画引入激发学生的学习兴趣，了解学习向两的必要性，同时很好地突出了向量中“数”和“形”两层含义；贴近学生最近发展区。 第二、本节课概念较多，在处理教材时，我采用向量的有关概念到两个特殊向量，再到两种特殊关系进行讲解，条理清晰，一目了然。在讲解向量相关概念的时候，针对学生实际，列举简单实例对数量与向量的概念进行区别、辨析。讲解两个特殊向量与两个特殊关系时，通过分析判断，讲解清楚透彻。其中，对定义中的几个关键问题的解读非常到位，如：单位向量、平行向量等，都一一剖析，帮助学生深刻理解定义。师生互动较好，学生能很好地掌握向量的概念。 第三、问题设置层层递进，更方便于学生理解和掌握。通过对概念讲解、分析、思考、讨论，很好地引导学生针对问题进行思考、讨论，进一步解决问题，达到鼓励学生的良好效果，点评适宜，能及时落实所学知识。
平面向量该章节内容理论性强，抽象，解题方法独特。用学生的.话说：有些解法真有点“横空出世”，很难想到。平面向量虽然有一点难度，但给培养学生抽象思维能力，养成一个良好的分析问题的习惯提供良好的条件。在教学中，充分发挥学生的主体作用，显得犹为重要。否则就会变成老师唱独角戏。 第四：根据学生的特点和教学内容，来多角度，多层次的选择练习题。（口答，笔答，判断，选择，解答）为了活跃课堂气氛，还选择了问答接龙，抢答等形式。 这节课严谨流畅的同时，我认为还有以下方面有待提高： 1、在面向全体学生方面做得还不够，如果有更多的学生参与到教学中来，整个数学课堂将更加精彩 2、教学经验不足，调节课堂气氛的能力还要加强练习。 3、数学教学不要局限于单纯的知识教学，同时也要进行思想道德教育，教书育人是不分的。 教学是一门艺术，我深深感到自己的功力还欠火候，每一个建议对我来说都是一笔财富，我会吸收并利用在以后的课中。我希望在今后的教学中能够通过自己的努力来不断的修炼和完善自己。
2.1平面向量的实际背景及基本概念 【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区 别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. ET问题导学-------------------------- 知识点一向量的概念 思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向 思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小 梳理向量与数量 （1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 （2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二向量的表示方法 思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？ 答案 0的模长为0,方向任意. 思考3单位向量的模长是多少？ 答案单位向量的模长为1个单位长度. 梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段, 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作X B ⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用 b , c). ⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为 0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 . 知识点三相等向量与共线向量
教材分析： 《向量的实际背景及基本概念》是人教版数学必修四第二章第一节的内容，本节的主要内容分别为“向量的物理背景与概念”、“向量的几何表示”以及“相等向量与共线向量”三块内容。本节课程的设计内容较少，仅需设计一课时进行教学，给与教师的发挥空间极大，但是在内容相对少的情况下，本节内容会给与学生抽象的直观感受，因此在教学设计时，应站在学生角度考虑，尽量从抽象中提取具象要素，帮助学生更好理解向量的概念。 学情分析： 在以往的教学中，不难看出，这节课程学生的把握程度并不理想，因为本章开始引入新的数学概念“向量”，与三角函数等内容不同，学生在三角函数学习前已经对三角形和角度的概念有了深刻的认知，而对于向量概念，相关联到的知识，学生的思维还停留在直线与线段，因此，会较难理解。通过物理背景及世界生活的引入，可以让学生更加深入的体会向量概念引入的意义。 教学目标： 1.知识与能力 ①学习与分析生活中的存在的向量，理解向量概念。 ②深刻掌握向量的几何表示方法。 ③能够区分与联系相等向量、平行向量和共线向量。 2.过程与方法 ①通过实际问题举例，引入向量概念，解释向量的物理背景，从物理角度深入联系，使学生更容易理解其实际概念。 ②自主学习与探究向量的概念，在日常中体会向量的存在，从而达到学数学知识生活化的目的 ③引入向量的出现背景，讲解向量的作用。 ④通过分析实数在数轴上的表示的方法，展开对向量表示方法的探究。 ⑤了解基本概念后，对向量的位置关系进行探讨，进而学习相等向量、平行向量和共线向量等相关概念。 3.情感态度与价值观 引入向量的数学史相关知识，在学生体验数学文化世界的同时，激发学生的学习热情，做到知识的区分与联系，引入数学文化知识，培养学生的数学核心素养。注重各章节知识的联系，做好数学知识的区分、联系、迁移、拓展，培养学生良好的学习和思维能力。 教学难点： ①向量概念是三角函数知识的延伸，同时也是数形结合思想的重要知识，以及后期三家恒等变换的基础。 ②对于概念的讲解是乏味枯燥的，因此带动学生积极性是一大难点。 课型：新授课。 教学方法：讨论法、演示法、讲解法、引导型教学。 课时安排：第一课时，共一课时。 教学过程： （一）问题引入，激发兴趣 【抓人游戏】 问题： ①一次课外游戏活动中，老师提倡大家玩抓人游戏，在同一路径上，如果小
向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的： （1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）
【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？ 2．向量的表示方法 ①几何表示法——向量常用有向线段表示 师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？ 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：││ 板书有向线段的三要素起点、终点、长度。 ②字母表示法：可表示为 练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ 2．向量和同一个向量吗？为什么？ 师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？ 【点评】
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第25讲 平面向量的概念及运算 一．课标要求： （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 二．命题走向 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2013年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．要点精讲 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）
向量空间的定义教案 (50分钟)
“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。
即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。
必修4第二章 平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示 【内容分析】 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点. 【学习目标】 1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念； 2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义； 3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力. 【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量. 【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？ 2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？ 3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东 追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？ 4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？ 图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研 究的问题！ 二、学习探究 1.向量的物理背景与概念 阅读探究 请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课 本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一 些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等. 还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面 图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B C D 图2.1.1-1
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
向量的概念及表示教案设计 学习目标: 1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念. 重、难点分析： 向量概念的引入及表示向量；向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念的理解. 学习内容： 一、问题情景： 阅读下列材料，回答问题 战国后期，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。 季梁为了打动魏王，来了个现身说法。季梁说：”今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我想要去楚国。’臣说’楚国在南方，为什么要朝北走？’那人的回答是： ‘我的马好，跑得快。’ ‘我的路费多着呢。’ ‘我的马夫最会赶车。’ 问题①你觉得故事中的这个人最终得到的结果是什么？ 问题②是什么原因导致了这个结果？ 问题③我们在物理课中学过哪些与方向有关的量？ 问题④它们有什么共同特点？如何表示？ 二、新课讲授 学生本节课要弄清楚的问题： 1.什么是向量； 2.如何表示向量，什么是向量的模？
3.有哪些特殊的向量？ 4.向量间有什么特殊的关系？ （一）向量的概念及表示 向量的定义：既有大小又有方向的量。 双向活动：请同学们指出哪些量是有大小有方向的量，哪些是只有大小没有方向的量。（二）平面向量及基本概念的学习 1.数量与向量有何区别？ 2.向量的表示：（1）几何法表示 （2）字母表示 （3）向量的模： 4.零向量和单位向量 （1）长度为零的向量为量向量。记作：；0的方向是任意的。 注意1：与0有何区别？ （2）长度为1个单位长的向量称为单位向量。 注意2：零向量和单位向量都只限制了长度。 动动手： 右图中线段AB长度为1，请以点O为起点，作一个单位向量，把你作出来的结果跟旁边的同学进行比较，你有何发现？ A 探究：同一个平面上同一起点的所有单位向
6．1 平面向量的概念 问题导学 预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？ 4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA → 是相等向量吗？ 1．向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度． ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB → |. (3)向量的表示 ■名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB → 的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点 B 是向量的终点． 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB → |． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b . 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量AB →与向量BA → 是相等向量．( ) (6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( ) A ．也可以用MN → 表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D 已知点O 固定，且|OA → |＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线
向量的概念及表示 教学目标： 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量. 教学重点： 向量概念、相等向量概念、向量几何表示. 教学难点： 向量概念的理解. 教学过程： Ⅰ.课题导入 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等. 还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用. 而这一节课，我们将学习向量的有关概念. Ⅱ.讲授新课 这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果. 1.向量的概念： (我们把既有大小又有方向的量叫向量) 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b 等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB →. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义； (2)向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：(1)向量a 与b 相等，记作a ＝b ；
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计
平面向量概念教案 一.课题:平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景,理解平面向量的一些基本概念,能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程,体验对比理解向量基本概念的简易性,从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习,让学生感受向量的概念方法源于现实世界,从而激发学生学习数学的热情,培养学生学习数学的兴趣 三.教学类型:新知课 四、教学重点、难点 1、重点:向量及其几何表示,相等向量、平行向量的概念。 2、难点:向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 (一)、问题引入 1、在物理中,位移与距离就是同一个概念不？为什么？ 2、在物理中,我们学到位移就是既有大小、又有方向的量,您还能举出一些这样的量不？ 3、在物理中,像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。
在数学中,我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小,没有方向的量叫数量。 (二)讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量: ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中,就是向量的有:②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5N的力,与一个水平向左、大小为8N的力(1厘米表示1N)。思考一下物理学科中就是如何表示力这一向量的？ (1)有向线段及有向线段的三要素 (2)向量的模 (4)零向量,记作＿＿＿＿; (5)单位向量 练习2 边长为6的等边△ABC中,＝＿＿,与相等的还有哪些？
总结向量的表示方法: 1)、用有向线段表示。 2)、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 (1)相等向量的定义 (2)共线向量的定义 六.教具:黑板 七.作业 八.教学后记
1 平面向量基本概念 教学目标 1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在 图形中辨认相等向量和共线向量. 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两 个要素及向量可以平移的特点. 教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 教学难点：向量的含义. 教学过程 （一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？ 结果 原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？ （二）概念形成 观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法 思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段， 记作AB .(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB 为a . 练习. 如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达 B 地，小船的位移如何表示？（用1cm 表示5海里） （三）理性提升 3.向量的模 向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||. 强调：数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
平面向量的概念 一、教学目的 1、理解向量的有关概念及向量的几何表示． 2、理解共线向量、相等向量的概念． 3、正确区分向量平行与直线平行 二、教学重点 1、理解向量的有关概念及向量的几何表示 2、理解共线向量、相等向量的概念 三、教学难点 1、理解共线向量、相等向量的概念． 2、正确区分向量平行与直线平行 四、教学过程 1．向量的概念 定义：既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示 (1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．包含三个要素：起点、方向、长度． →(2)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作______． (3)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，→→→可写成带箭头的小写字母a，b，c，…. 共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量
思考尝试 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＝b，b＝c，则a＝c.() (2)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．() →→(3)若非零向量AB∥CD，那么AB∥CD.() (4)向量的模是一个正实数．() ) (．下列各量中不是向量的是：2． A．位移B．力 D ．质量C．速度 3．设e，e是两个单位向量，则下列结论中正确的是() 21A．e＝e B．e∥e2121D ．以上都不对C．|e|＝|e| 214. 向量a与任一向量b平行，则a一定是________． →5．如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有 ________． 类型1向量的概念 例1、给出下列命题： →→①若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点； →→②在?ABCD中，一定有AB＝DC； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中所有正确命题的序号为________． 归纳 1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据． 2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a∥b，b∥c，则a∥c，”是错误的．当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 [A 级 基础巩固] 一、选择题 1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．模相等的两个平行向量是相等向量 C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D ．两个相等向量的模相等 解析：A 项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B 项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C 项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D 项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确． 答案：D 2．数轴上点A ，B 分别对应－1，2，则向量AB → 的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 解析：|AB → |＝2－(－1)＝3. 答案：D 3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO → 是( )
A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量 答案：C 4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( ) A.AD →＝BC → B.AC →＝BD → C.PE →＝PF → D.EP →＝PF → 解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 答案：D 5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD → ，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形 解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD → |知四边形 ABCD 为菱形． 答案：C 二、填空题 6．有下列说法：
平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F
8.1 向量的概念 【教学目标】 1.知识目标： ○1能理解向量的概念，并能用两种方法表示向量； ○2明确向量的长度（模）、零向量、单位向量的概念； ○3掌握平行向量、共线向量和相等向量的概念，能根据图形判定向量是否平行（共线）、相等． 2.能力目标： 培养学生数形结合的能力，学会用类比和分类讨论的方法解决问题的能力．3.情感目标： 培养学生学以致用的科学探索精神． 【教学重点】 1．向量概念的引入，会表示向量． 2．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念． 【教学难点】 1. “数”与“形”的结合思想 2. 平行（共线）向量和相等向量区别和联系． 【教学设计】 从“拔河比赛中作用力的大小及方向”“猫追老鼠”等实际问题引入概念．这样的导入即能吸引学生的注意力，又能帮助学生理解向量是既有大小又有方向的量。
向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的. 课堂教学安排
授新课 例题解 思考：0与0的含义与书写区别. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位 向量. 思考：单位向量是否一定相等？ 单位向量的大小是否一定相等？ （三）、（重难点）向量之间的关系（方向） 4、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作 a//b。 ②我们规定0与任一向量平行 5共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都 可移到同一直线上. 这样的设计使得学 生养成自学以及总 结的能力 概念的讲解 通过借助多媒体课 件的演示，讲解平行 向量、相等向量、共 线向量的概念 例1的设置考察了 学生对平行向量和 共线向量的理解 a r r r 记//b ：//c 做 r r r 共向量 a,b,c为线 a r r r //b//c