《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质中的考查点:
（一）、对性质的考查：
1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。
4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，
c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
（二）、课本例题的变形考查：
1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2) ●教学目标 １．熟悉椭圆的几何性质； ２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程； ３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程： Ⅰ、复习回顾： 利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课： 例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 4 25:=x l 的距离的 比是常数5 4，求点 的轨迹． 解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是 集合 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得544 25)4(22=-+-x y x ． 将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x 即19 252 2=+y x 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆 说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点 与焦点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数
（e 为椭圆的离心率）。其中定直线 叫做椭圆的 准线。 对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是 ，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． 【典例剖析】 ［例 1］已知椭圆2 2 22b y a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ， 0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋ ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率． ［例2］已知点 A (1，2)在椭圆12 1622y x + ＝1内，F 的坐标为(2， 0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小． ［例 3］在椭圆9 252 2y x + ＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是 它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习： 课本Ｐ52，练习 ５ 再练习：已知椭圆 上一点 到其左、右焦点距离的比为 1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ， 到右准线的距离为 ．）
椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）
注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等； ②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a, ,的几何意义2 2 2c b a+ = 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 a b2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，2 1 PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积2 tan 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中2 1 PF F ∠ = θ（注意公式的推导） 5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上． (2)设方程：
3.1.2 椭圆的简单几何性质 课程标准 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象 数学运算 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 范围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a
顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0， b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ), B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 焦距 |F 1F 2|＝2c 对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝c a (0
椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，
高二数学椭圆几何性质总结 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为 双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ⎩⎨⎧==θ θ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；
《椭圆的简单几何性质》知识点总结（精选2篇） 《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇1 椭圆的简单几何性质中的考查点: （一）、对性质的考查： 1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。 2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。 3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。 4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。 （二）、课本例题的变形考查： 1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标； 2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。 3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。 4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用： 5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。 《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇2 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦
点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备） 本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。 本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。 但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。 感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
高中数学《椭圆的简单几何性质》教案 本节课程主要讲解椭圆的几何性质，包括范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等内容。通过研究，学生能够掌握标准方程中a、b、c的几何意义，以及它们之间的相互关系。同时，学生也能够掌握根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。 在课程设计上，本节内容分为四个课时进行教学。第一课时主要讲解椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率和椭圆的画法；第二课时主要讲解椭圆的第二定义和准线方程；第三课时主要讲解焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时主要讲解椭圆的参数方程及其应用。 在教学过程中，我们首先进行了复引入，回顾了椭圆的定义和标准方程。接着，我们介绍了本节课程的主要内容和研究目标。通过研究椭圆的几何性质，学生能够更深刻地理解解析几何的基本思想，并提高自己的数学能力。
本节课程的难点在于椭圆的离心率、准线方程以及第二定义的理解。为了帮助学生掌握这些难点，我们着重讲解了椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，以及两种椭圆定义的等价性。 总之，本节课程的重点在于讲解椭圆的几何性质和根据曲线方程研究曲线的方法，帮助学生更好地理解解析几何的基本思想，并提高他们的数学能力。 椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的参数，用e表示，定义为焦距之差与长轴长度的比值，即e=c/a。其中c是椭圆 的两个焦点之间的距离，a是椭圆的长半轴长。离心率的范围 是0 椭圆的简单几何性质优秀教案 引言 本教案旨在介绍椭圆的简单几何性质，以帮助学生理解椭圆的特点和特性。通过研究本教案，学生将能够掌握椭圆的定义、主要性质和相关计算方法。 椭圆的定义 椭圆是平面上一条固定点F（称焦点）和一条固定线段L（称为准线段）之间的点的轨迹，使得从F到点P的距离与准线段L上的点P到L的距离之和为常数2a。如下所示： 椭圆的性质 1. 椭圆的长轴是焦点F之间的线段，短轴是准线段L的垂直平分线段。长轴和短轴的长度之比为a:b。 2. 椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c是焦点F到椭圆中心的距离。 3. 椭圆的离心率范围为0 < e < 1。当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一条直线段。 4. 椭圆的准线段L和长轴之间的夹角称为偏心角，偏心角的大小取决于离心率e的大小。 5. 椭圆的焦距为2ae，其中e是离心率。 相关计算方法 1. 椭圆的周长计算公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是第二椭圆积分，需要使用数值积分方法计算。 2. 椭圆的面积计算公式为A = πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。 教学活动 1. 使用白板或黑板绘制椭圆的定义和性质的图示，并解释相关概念。 2. 分组让学生自己计算给定的椭圆的周长和面积，并与同组同学讨论和比较结果。 3. 设计一些练题，让学生运用所学概念计算椭圆的相关信息。 4. 使用多媒体展示椭圆的实际应用场景，如行星轨道、卫星轨道等，以加深学生对椭圆的理解和感受。 总结 本教案通过简洁明了的语言和图示介绍了椭圆的几何性质和相关计算方法。通过对椭圆的定义、性质和计算的学习，学生能够更好地理解椭圆的特点和特性，并能够应用所学知识解决实际问题。教师可以根据学生的实际水平和兴趣选择适当的教学方法和活动，提高学生的学习效果和兴趣。 椭圆的简单几何性质 台山一中梁泽霖 学习目标： 1。知识与技能 ①熟悉椭圆的几何性质〔对称性，范围，顶点，离心率〕 ②理解离心率的大小对椭圆形状的影响，并学会求离心率。 ③能利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 2。过程与方法 通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．3。情感态度与价值观 培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，鼓励学生创新 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 4、教学过程： 一、复习椭圆的定义与标准方程 二、椭圆的简单几何性质〔以为例〕 1．椭圆的范围： 由 -a≤≤a, -b≤≤b 知椭圆落在=±a, = ±b组成的矩形 2．椭圆的对称性： 从图形上看，椭圆关于轴、轴、原点对称。 从方程上看：曲线对称性的判断： 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 稳固练习题：在以下方程所表示的曲线中，关于轴、轴都对称的是 D ＝＋2＋＝0 －42＝5 ＋2＝4 3．椭圆的顶点： 在〔中 令 =0，得 =？，说明椭圆与轴的交点？ 令 =0，得 =？，说明椭圆与轴的交点？ 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和， a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．椭圆的离心率e刻画椭圆扁平程度的量 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0＜e ＜1 [2]离心率对椭圆形状的影响： 1〕e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁2〕e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆 椭圆的简单几何性质 一、知识点 通过对椭圆标准方程的讨论，掌握椭圆的性质（范围、对称性、顶点、离心率），并能正确画出椭圆的图形。 二、能力训练点 结合对椭圆几何性质的讨论，掌握利用方程研究曲线的基本方法，加深对曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题、解决问题的能力。 三、德育渗透点 由于通过方程研究曲线，以初中代数中数与式的知识为基础研究几何问题，综合运用方程（组）理论，提高代数运算能力，提高综合分析能力，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。 四、美育渗透点 用美学的眼光审视数学，数学中处处闪耀着美的光彩，椭圆代数方程闪耀着数学的简约美、方程形式的对称性显现数学的对称、均衡美.用数学的简约美去研究曲线几何性质的形象美，是学数学、用数学的重要目标。 五、学法指导 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并能正确画出它的图形，是解析几何的基本问题之一.根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质，画图就可以说是解析几何的目的，通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质这是第一次系统地用代数方法研究曲线。 研究椭圆的范围，意在考察方程中x、y的取值范围；讨论椭圆的对称性，应明确初中学过的对称概念和关于x轴、y轴、原点对称点坐标之间的关系，然后说明以－x代x，或以－y 代y方程不变，则图形关于x轴、y轴、原点对称的道理；关于曲线的截距，相当于求曲线与坐标轴的交点；离心率的概念比较抽象，它是焦距与长轴长的比值，它反映了椭圆的圆扁程度，这是圆锥曲线的重要性质。 六、重点与难点 1、重点：椭圆的几何性质及其运用 2、难点：通过方程研究曲线比较抽象，需要综合运用数学知识。 七、课时安排五课时 第一课时 教学目标 1、掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率这四个几何性质； 2、掌握标准方程中a、b、c、e的几何意义及其相互关系； 3、明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质。 教学过程 1、情境设置 上节课我们学习了求轨迹方程的一种方法――代入法（利用中间变量求点的轨迹），同学们回忆一下，求点的轨迹方程何时用代入法？ 当动点的运动随着另一个点的运动而运动，而主动点又在某一固定曲线上运动时，求点的轨迹方程用代入法。 代入法的关键是什么？ 建立主动点与被动点之间的坐标关系。 代入法的实质是什么？ 课 题：8．2椭圆的简单几何性质（二） 教学目的： 1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性； 3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点：教学难点：椭圆第二定义授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点2．标准方程：12222=+b y a x ，122 22=+b x a y （0>>b a ） 3．椭圆的性质：由椭圆方程122 22=+b y a x (0>>b a ) (1)范围: a x a ≤≤-, b y b ≤≤-，椭圆落在 b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性: 图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接（3）顶点：椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆 122 22=+b y a x 椭圆和 y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆122 22=+b y a x 因此椭圆共有四个 顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊 点. 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭 圆的顶点(4)离心率: a c e =⇒ 2)(1a b e -= 0< 《椭圆的简单几何性质》教学设计 一、【教学目标】 重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程； 难点：运用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法； 知识点：1掌握椭圆的简单几何性质(对称性、范围、顶点、离心率) ； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响； 3•运用数形结合思想，研究曲线方程几何性质； 能力点：体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法； 教育点：感受解析法研究问题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣； 自主探究点：从直观几何图形出发，探究椭圆的几何性质； 考试点：椭圆性质的简单应用，离心率对椭圆形状的影响； 易错易混点：a, b, c之间的关系；离心率e的定义及范围； 二、【引入新课】 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F,, F2的距离之和等于常数(大于| F.F2 |)的点的轨迹叫做椭圆. 2 2 2 2 XV V X 2 •椭圆的标准方程：当焦点在 X轴上时，—+ 2 = 1(a>b>0)；当焦点在y轴上时，召+ 2=1(a>b>0). a b a b 3•椭圆中a, b, c的关系是：a2 =b2 +c2. 【设计意图】根据曲线的方程研究曲线的几何性质并正确地画出它的图形是解析几何的基本问题之一，在此之前，学生一定要能熟练写出椭圆的标准方程. 2 2 X y 观察椭圆—+ 2 = 1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上a b 哪些点比较特殊？ 【设计意图】借助多媒体辅助手段，先给出一个可以直观的椭圆，创设问题情景，让学生从形的角度先对椭圆的几何性质有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后再重点从数的角度也就是方程组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思总结. 三、【探究新知】 X2 y2 观察椭圆—+ 2 = 1(a > b > 0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？a b (1) .椭圆是轴对称图形，关于X轴、V轴对称；椭圆还是中心对称图形，关于坐标原点对称. (2) .椭圆与坐标轴有四个交点，其中与X轴的两个交点分别为(a,0),( - a,0),与y轴的两个交点分别是 (0,b),(0, -b). (3). X的取值范围是[-a,a], y的取值范围是[-b,b]. 由图形观察出的几何性质，能否由方程得到？ 1. 范围 (1)从图像上容易看出，椭圆上的点的横坐标的范围是 椭圆的简单几何性质（第一课时）（杨军君） 一、教学目标 （一）学习目标 1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率； 2在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系； 3知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响 （二）学习重点 1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性； 2椭圆的简单几何性质 （三）学习难点 椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用 二教学设计 （一）预习任务设计 1预习任务 （1）读一读：阅读教材第43页至第46页 （2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？ （3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点 2预习自测 判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a （ ） （2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆（ ） （3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为22 12516x y +=（ ） （4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+（ ） 【知识点】椭圆的几何性质 【解题过程】通过椭圆的标准方程22 221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ， 离心率e c a = ，的取值范围取值范围a x a -≤≤ 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√ （二）课堂设计 1知识回顾 椭圆的标准方程：当焦点在轴时，)0(122 22>>=+b a b y a x 当焦点在轴时，)0(122 22>>=+b a b x a y 2新知讲解 探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质 运用所学的知识，你能否画出方程1492 2=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画 出它的草图） 预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图； 预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结； 预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分； 【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点 研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置 以椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？ 【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升 （1）范围： 由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22 221,1x y a b ≤≤， 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法 能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题． 3．情感、态度与价值观 从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美． ●重点、难点 重点：由标准方程分析出椭圆几何性质． 难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解． 对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固 (教师用书独具) ●教学建议 根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生 的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒ 引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质. ⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒ 通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒ 通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒ 探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒ 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. (对应学生用书第22页) 已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2 25＋ y2 16 ＝1，C2： y2 25 ＋ x2 16 ＝1. 1．椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？ 【提示】C1：焦点在x轴上，a＝5，b＝4，c＝3， C2：焦点在y轴上，a＝5，b＝4，c＝3. 2．怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？ 【提示】对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点(0,5)， 2.1.2 椭圆的简单几何性质(二) 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识. 知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 点与椭圆有几种位置关系？ 答案 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外. 设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0). (1)点P 在椭圆上⇔x 20 a 2＋y 2 0b 2＝1； (2)点P 在椭圆内⇔x 20 a 2＋y 2 0b 2<1； (3)点P 在椭圆外⇔x 20 a 2＋y 2 0b 2>1. 知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有哪几种位置关系？ 答案 三种位置关系：相离、相切、相交. 思考2 我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？ 答案 不能. 思考3 用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 答案 代数法——判断直线与椭圆公共点个数来确定. 直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1，消y 得一个一元二次方程. 知识点三 直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？ 答案 弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； (2)|AB |＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|＝(1＋1 k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] (直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率). 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到. 类型一 直线与椭圆的位置关系 例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 2 3＝1的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 A 解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交. (2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2 ＝1有两个不 同的交点P 和Q .求k 的取值范围. 解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2 2 ＋(kx ＋2)2＝1.整理得 ⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭ ⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－ 22或k ＞2 2 . 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎫－∞，－ 22∪⎝⎛⎭ ⎫22，＋∞. 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点. (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点. (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 2 36＝1，则直线l 与椭圆C 的公共 点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0椭圆的简单几何性质优秀教案
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质》99
高中数学：2.1.2 椭圆的几何性质 教案(1)(湘教版选修1-1)
高二数学教案：8.2椭圆的简单几何性质(二)
《椭圆的简单几何性质》教学设计
〖2021年整理〗《椭圆的简单几何性质》优秀教案
高中数学- 椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质(二)精品教案
相关主题
文本预览