椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1)
杨志明
1．
2．标准方程：
3．
4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.
9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.
13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是
.
14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则
.
16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .
17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.
(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.
18．设为椭圆（或圆）C:(a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.
19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
20．椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为
，.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(2)
杨志明
21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点, , ，则.
22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
,(, ).
23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当
0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
,当且仅当三点共线时，等号成立.
25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条
件是.
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.
29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.
30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .
31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有
,);当时，有,.
32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.
33．椭圆与直线有公共点的充要条件是
.
34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.
36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.
38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦，则.
39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的
两顶点)的交点N在直线：(或)上.
40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(3)
杨志明
41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.
43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.
44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，
的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().
45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF 的中点.
46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
47．设A（x1 ,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为
的直线L，又设d是原点到直线L的距离, 分别是A到椭圆两焦点的距离，则.
48．已知椭圆（a＞b＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.
49．已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平
分线与x轴相交于点, 则.
50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点
记，则(1).(2) .
51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则
.
52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或
（当且仅当时取等号）.
53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.
54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.
55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、
B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.
56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则
.
58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.
59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线
与的交点P的轨迹是双曲线.
60．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(4)
杨志明
61．到椭圆（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.
62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.
63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.
64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,
且,，则Q点的轨迹方程是.
65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
66．设椭圆（a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P 作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.
67．已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点
的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
68．OA、OB是椭圆（a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.
69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直
的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B 为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是
(且).
70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F2在同侧直线L和椭圆相切.（2），且F1、F2在L同侧直线和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.
71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是
.
72．设点为椭圆（a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时
.当弦AB垂直于长轴所在直线时,
.
73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.
76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(5)
杨志明
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89.已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线
及的平行线，与直线分别交于,为原点，则：.
（1）；（2）.
90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是
.(2)若，则的轨迹方程是
.
91.点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过
引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记
与的面积为，则：.
92.点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，已知，则
的轨迹方程是.
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A. （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
数学 椭圆的简单几何性质 【基础知识精讲】 1.椭圆2 2a x +2 2b y =1(a ＞b ＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里，即｜x ｜≤a ，｜y ｜≤ b. 2.对称性：椭圆关于x 轴，y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心. 3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，b),B 2(0,-b) 4.离心率：e=a c ,(o ＜e ＜1),e 越接近于1，则椭圆越扁；e 越接近于0，椭圆就越接近于圆. 5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e ＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线. 6.椭圆的焦半径公式：设P(x 0,y 0)是椭圆2 2a x +2 2b y =1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF 1｜=a+ex 0,｜PF 2｜=a-ex 0. 7.椭圆的参数方程⎩⎨ ⎧==ϕ ϕϕsin )(cos b y a x 是参数 本节学习要求： 椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b 和二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0相交，所得 弦长可由下法求之，由两方程中消去y ，得ax 2+bx+c=0，记△=b 2-4ac,则弦长=a k ) 1(2 +△;若弦过焦点，则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目，灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题. 【重点难点解析】 通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义. 例1 设直线l 过点P(-1，0)，倾角为3π ，求l 被椭圆x 2 +2y 2 =4所截得的弦长. 解：直线l 的方程为y=3x+3，代入椭圆方程，得7x 2+12x+2=0,∵△=144-4³7³2=88
§8.5椭圆及其性质 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) .3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长短轴长为2b，长轴长为2a 焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c 对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率e＝c a(0 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 2．2.2椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系． 3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题． , 椭圆的简单几何性质 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．() (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.() (3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．() (4)椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.() 答案：(1)√(2)√(3)×(4)× 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为() A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D 3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为() A． 3 2B． 3 4 C ． 22 D ．23 答案：A 4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 2 9＝1上任意一点，则m 的取值范围是________． 答案：[－5，5] 椭圆的简单几何性质 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 2 4＝1， 所以a ＝3，b ＝2， 所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5. 所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)， B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝5 3 . 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质． [注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍． 1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的几何 性质的表述正确的是( ) A ．范围相同 B ．顶点坐标相同 C ．焦点坐标相同 D ．离心率相同 解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－ a ，0)，(a ，0)，(0，－ b )，(0，b )，焦点坐标是(－ c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2 a 2 ＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝c a ，只有离心率相同． 2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为1 2，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点 坐标及顶点坐标． 解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1， 椭圆的简单几何性质【知识点】 知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标 【问题1】观察椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 椭圆的简单几何性质 (±c,0)(0，±c) 知识点二椭圆的离心率 思考如何刻画椭圆的扁圆程度？ 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． (1)椭圆的焦距与长轴长的比____c a ____称为椭圆的离心率． (2)对于x 2a 2＋y 2 b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0， c 就越接近于0，从而b 越接 近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图) 类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质 【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2 9＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝ 16－9＝7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝7 4，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2 116 ＝1， 于是a ＝13，b ＝1 4， c ＝ 19－116＝712 . ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝1 2， 离心率e ＝c a ＝7 4. 焦点坐标(－ 712，0)和(7 12 ，0)， 椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1) 杨志明 1． 2．标准方程： 3． 4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是 . 14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 . 16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为椭圆（或圆）C:(a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 高二数学椭圆几何性质总结 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为 双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ⎩⎨⎧==θ θ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆几何性质知识点总结 1. 椭圆的定义 椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。即 PF1+PF2=2a。其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。 椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。 2. 椭圆的焦点和离心率 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。离心率的取值范围是0 椭圆的10条几何性质 吉大附中 郭为利 （一）范围：由椭圆的标准方程可得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得： b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里； 课前小试 椭圆22231x y +=任意一点()P x y ，，求y 的取值范围. 解析：[. （二）对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心，椭圆的 对称中心叫做椭圆的中心； 课前小试 椭圆220(0)ax by ab a b ++=<<的焦点坐标是（D ） （A ）(0) （B ）(0) （C ）(0，（D ）(0， （三）顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； 课前小试 与椭圆22194x y +=有相同长轴，且过(21)M -，的椭圆方程为22 5199 x y +=． （四）离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比c e a =叫做椭圆的离心率（01e <<），当1e →时， 0c a b →→，，椭圆图形越扁；当0e →时，0c b a →→，，椭圆图形越接近于圆. 课前小试 （1）已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e = ，求m 的值． 解析：依题意，05m m >≠，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论： ①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c == ， 得3m =； ②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c 考点一．椭圆的性质 考点二．椭圆的离心率 定 义 公式：)10(122 2222 2 <<-=-== =e a b a b a a c a c e 椭圆的离心率是描述椭圆“扁平”程度的一个重要的量，e 越大,ba 越小,椭圆越扁；反之e 越小, ba 越大,椭圆越圆 求离 心率的几种方法 1.用定义寻找题中参数c b a ,,之间的关系，建立齐次式方程或不等式求离心率的值或者范围 2.利用曲线与方程的关系构建等量关系 3.利用题中几何图形间的关系构建关系式 4.利用椭圆的有界性来建立参数间的不等关系 考点三．椭圆的焦半径 定 义 椭圆上的点),(00y x P 与左(下)焦点1F 与右(上)焦点2F 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作2211,PF r PF r ==. 标准方程 22 221(0,0)x y a b a b +=>> 22 221(0,0)y x a b a b +=>> 图 形 性质 焦点 焦点在x 轴上，1(,0)F c -，2(,0)F c 焦点在y 轴上，1(0,)F c -，2(0,)F c 范围 a x a ，b y b b x b ，a y a 对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：(0,0) 顶点 12(,0),(,0)A a A a 12(0,),(0,)B b B b 12(0,),(0,)A a A a 12(,0),(,0)B b B b 轴 长轴12A A 的长为2a ；短轴12B B 的长为2b 焦距 12||2F F c 离心率 2 21c b e a a ，(0,1)e ,,a b c 的关系 222c a b 椭圆的几何性质 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++ = （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面与两个定点 F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨 迹叫做椭圆。这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分； （3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2| 的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。同学们想一想 其中的道 理。 （5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 2 2 2 2 i （a b 0）, 77 i （a b 0）, a b a b 2 2 2 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ， a c b 。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同 （第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上 标准方程中y 2项 的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只 2 2 要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b 2 2 ^2 —2 i （a b 0）的有关性质。总结如下： a b 椭圆的几何性质及综合问题汇总 LT 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1 . 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值 或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离 心率等于53. 【典例2】求椭圆400 251622 =+y x 的长轴和短轴长、 离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 2 2>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且直线AP ，AQ 的斜率之积为21-，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 2 2 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦 点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值 为( ) A ．－21 B ．21 C ．－19 25 或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点 为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞椭圆的几何性质
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