椭圆常见性质 1.
11
||
1PF e d =< 2.PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切.
5.设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ∆在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ).
6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
7.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a -c .
8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a -c .
9.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c .
10.椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
11.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
12.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点.
13.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦半径公式:
1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 是P 点横坐标).
14.设P 点是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记
12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2
PF F b PF PF S b θ
θ∆==+
15.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点,
1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则
tan tan .22
a c a c αβ
-=+ 16.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为12,F F ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,
在12PF F ∆中,记121212,,,F PF PF F F F P αβλ∠=∠=∠=则有
sin sin sin e α
βλ
=+.
17.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个顶点12(,0),(,0)A a A a -,与y 轴平行的直线交椭圆于
12,P P 时,11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
18.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过P 点的椭圆的切线方程是00221xx yy
a b +=.
19.AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦,M 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-.
20.若00(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则被P 所平分的中点弦的方程是
22
0000
2222xx yy x y a b a b
+=+. 21.若00(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内,则过P 的弦中点的轨迹方程是22002222xx yy x y a b a b +=+.
22.已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>,O 为坐标原点,P,Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，
（1）22
221111||||OP OQ a b +=+；（2）22
||||OP OQ +的最大值为2222
4a b a b +； （3）OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b +.
23.若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，11
e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离的d 与2PF 的比例中项。
24.P 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上任一点，12,F F 为左右焦点，A 为椭圆内一定点，则
212||||2||a AF PA a AF -≤≤+，当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立。
25.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上存在两点关于直线0:()l y k x x =-对称的充要条件是
222
20
222
()a b x a b k -<+.
26.设A,B 为椭圆椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点,其直线AB 与椭圆22
221x y a b
+=相交
于P,Q,则AP=BQ ．
27.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C +≥.
28.MN 是过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦点的任意弦.若AB 是经过椭圆中心且平行于MN
的弦,则2
||2||AB a MN =.
29. .MN 是过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦点的任意弦.若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥,
则
222
2111||||a MN OP a b +=+.
30.设11(,)A x y 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任一点,过A 作一条斜率为21
21
b x a y -的直线l,
又设d 是原点到直线l 的距离,12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离,
ab =.
31.过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>,A,B 是椭圆上两点,线段AB 的垂直平分线与想轴相交于点
0(,0)P x ，则2222
0a b a b x a a
---<<.
32. 过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB,CD,则
2222282()||||ab a b AB CD a b a
+≤+≤+.
33.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P,过P 点分别作直线b
y x a =及
b
y x a
=-
的平行线,分别交x 轴于M,N,交y 轴与R,Q.则: (1)2
2
2
||||2OM ON a +=;(2) 2
2
2
||||2OR OQ b += 34.过平面上的P 点作直线1:b l y x a =
及2:b
l y x a
=-的平行线,分别交x 轴于M,N,交y 轴与R,Q.(1)若2
2
2
||||2OM ON a +=,则P 的轨迹方程是22
221(0)x y a b a b +=>>.(2) 若
2
2
2
||||2OR OQ b +=,则P 的轨迹方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>.
椭圆常见性质 1. 11 || 1PF e d =< 2.PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切. 5.设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ∆在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ). 6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 7.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c . 8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c . 9.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c . 10.椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 11.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 12.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点. 13.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦半径公式: 1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 是P 点横坐标). 14.设P 点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记 12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2 PF F b PF PF S b θ θ∆==+ 15.若P 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦 点,1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则 tan tan .22 a c a c αβ -=+ 16.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,
椭圆的性质大总结 椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多有趣的性质和特点。在数学和工程 领域中，椭圆的性质被广泛应用于各种问题的解决和实际应用中。本文将对椭 圆的性质进行大总结，从椭圆的定义、方程、焦点、离心率、直径、面积和周 长等方面进行详细的介绍。 首先，我们来看椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和为 常数2a的点P的轨迹。这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a称为 椭圆的长轴长度。椭圆的长轴的一半称为半长轴，通常用字母a表示。同理， 椭圆的短轴的一半称为半短轴，通常用字母b表示。椭圆的离心率e定义为焦 点之间的距离与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦点之间的距离。 其次，我们来看椭圆的方程。椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。当椭圆的中心不在坐标原点时，方程为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。通过椭圆的方程，我们可以确定椭圆的位置、大小和形状。 接着，我们来看椭圆的焦点。椭圆有两个焦点F1和F2，它们位于椭圆的长轴上，且与椭圆的中心连线垂直。焦点与椭圆的距离满足以下关系：c^2 = a^2 - b^2。椭圆的焦点是椭圆性质中的重要概念，它在椭圆的定义和性质推导中起 着重要作用。 再者，我们来看椭圆的直径。椭圆有两个重要的直径，分别为长轴和短轴。长 轴的长度为2a，短轴的长度为2b。椭圆的直径是椭圆性质中的重要概念，它 与椭圆的焦点、离心率和方程等有着密切的联系。 此外，我们来看椭圆的面积和周长。椭圆的面积可以用公式πab来表示，其中
椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质 3、焦半径 椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆 ()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =. 4、通径 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且 2 2b AB a =。
P 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角 形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ ∆=. 6、过焦点三角形 直线l 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三 角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆. 7、点与椭圆的位置关系 ()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若22 00221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200 221x y a b +<，则P 在椭圆内。 8、直线与椭圆的位置关系 直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ：22 221(0)x y a b a b +=>>，则 l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<. 9、焦点三角形外角平分线的性质（＊） 点(,)P x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且
椭圆常见性质 １.11 ||1PF e d =< 2、P Ｔ平分12PF F ?在点Ｐ处的外角,则焦点在直线ＰT 上的射影H 点的轨迹就是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离、 ４、以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切. ５、设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ?在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ). 6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点、 ７.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a －ｃ. 8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c 、 ９、椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c 、 1０、椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 1１、椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长、 12、椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就就是垂足同侧焦半径为直径的圆的与椭圆长轴为直径的圆的切点. 13、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦半径公式: 1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 就是Ｐ点横坐标). １4、设P 点就是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2 PF F b PF PF S b θθ?==+ 15、若P 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点,1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则tan tan .22 a c a c αβ-=+ 16.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ,Ｐ(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,
椭圆知识点性质大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的 直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000( ,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1) 杨志明 1． 2．标准方程： 3． 4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是 .
14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 . 16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为椭圆（或圆）C:(a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
椭圆的性质 1、定义： （1） 性质一：椭圆上任意一点P 到两焦点1F 、2F 的距离之和为定值a 2，即a PF PF 221=+. （2） 性质二：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到右焦点)0,(c F 的距离与它到右准线c a x l 2 :=的距离之比为定值a c e =；椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到左焦点)0,(c F -的距离与它到左准线c a x l 2:-=的距离之比为定值a c e =. （3） 性质三：已知A 、B 为椭圆122 22=+b y a x 的左右顶点，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，则1222-=-=⋅e a b k k PB PA . 2、焦点三角形： （1） 定义：以椭圆上一点P 和焦点21,F F 为顶点的三角形叫做椭圆的焦点三角形. （2） 周长：椭圆的焦点三角形的周长为c a 22+. （3） 面积：2 tan sin 2122121θθb PF PF S F PF ==∆（21PF F ∠=θ）. 3、弦长公式： 已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线b kx y +=相交于),(),,(2211y x B y x A 两点，则弦长212212)()(y y x x AB -+-=2122124)(1x x x x k -+⋅+=2122124)(11y y y y k -+⋅+=. 4、焦半径、焦点弦长公式： （1）椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 到左焦点1F 的距离01ex a PF +=，到右焦点2F 的距离02ex a PF -=（左加右减）. 过左焦点1F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB ++=，过右焦点2F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB +-=.
椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； |PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质：
椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明 （一）椭圆中，PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 证明：延长F 2H 至M ，交PF 1于M ∵PT 平分∠MPF 2 ，又F 2H ⊥PT ，∴2||||PM PF = 又12||||2PF PF a +=， ∴11||||2||2||||PM PF a F M OH OH a +===⇒=. ∴H 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点. （二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明：如图，设以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1， 圆心为O 1， 由椭圆定义知1212||||||||||||MF MF AB MF AB MF +=⇒=- ∴112111 ||||(||||)22 OO MF AB MF a r ==-=- ∴⊙O 、⊙O 1相内切 （三）设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2 （或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 证明：设旁切圆切x 轴于'A ，切2PF 于M ，F 1P 于N ， 则||||PN PM = ，2|||'|MF MA =， 11|||'|F N F A =， ∴1122||||||||PF PM F F MF +=+ 1221222222|||||'||||'|222|'||'||| PF PF F A F F F A a c F A F A a c F A +-=+⇒=+⇒=-= ∴'A 与A 2重合. （四）椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ， 与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时， A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 证明：设交点00(,)S x y ，1(,)P m n ，2(,)P m n - ∵11 1 P A A S K K = 22 2 P A P S K K =，
第8讲：椭圆的简单几何性质 基本知识点 1 椭圆的范围 以椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22 221,1x y a b ≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)． 2 椭圆的对称性 以椭圆与22 221(0)x y a b a b +=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴． （2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3 椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>为例． （1）．椭圆的顶点 令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±. 这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点． （2）．椭圆的长轴、短轴 线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长． 线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长． 4 椭圆的离心率 （1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a = = （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a <<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系 （1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离． （2）．直线与椭圆的位置关系的判断： 直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定： △0>⇔直线与椭圆相交； △0=⇔直线与椭圆相切；
椭圆的基本性质 （一）对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ 代 后方程不变，说明椭圆关于 轴对称； 代 后方程不变，说明椭圆曲线关于 轴对称； 、 代 ， 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P （x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理.
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二）顶点 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？ 在椭圆的标准方程中，令 ，得 ， ，得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标； ， . 相关概念：线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 在椭圆的定义中，
表示焦距，这样，椭圆方程中的 就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令 能使方程简单整齐，其几何意义是什么？ 表示半焦距， 表示短半轴长，因此，联结顶点 和焦点 ，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内， ，即 . （三）范围 问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围． 变形为： 这就得到了椭圆在标准方程下 的范围：
同理，我们也可以得到 的范围： 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把 看成 ，利用三角函数的有界性来考虑 的范围； 方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以 ，同理可以得到 的范围 由椭圆方程中 的范围得到椭圆位于直线 和 所围成的矩形里. 三、例题解析 例1 已知椭圆的方程为
椭圆的92条性质及证明 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点 的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ⋅=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =17．给定椭圆1C ：222222 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为 k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2 12211m b k k m a +⋅=- ⋅-. 19．过椭圆22 221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定 向且20 20 BC b x k a y =（常数）.
椭圆 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点 的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ⋅=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =. 17．给定椭圆1C ：222222 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22222222 2 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为 k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2 12211m b k k m a +⋅=- ⋅-. 19．过椭圆22 221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定 向且20 20BC b x k a y =（常数）. 20．椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的