椭圆的简单几何性质
学科:数学
教学内容:椭圆的简单几何性质
【基础知识精讲】
1.椭圆+=1(a＞b＞0),范围:椭圆位于直线_=±a和y=±b所围成的矩形里,即｜_｜≤a,｜y｜≤b.
2.对称性:椭圆关于_轴,y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,即为椭圆的中心.
3.顶点:椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b)
4.离心率:e=,(o＜e＜1),e越接近于1,则椭圆越扁;e越接近于0,椭圆就越接近于圆.
5.椭圆的第二定义:平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点,定直线为椭圆的准线.
6.椭圆的焦半径公式:设P(_0,y0)是椭圆+=1(a＞b＞0)上的任意一点,F1.F2分别是椭圆的左.右焦点,则｜PF1｜=a+e_0,｜PF2｜=a-e_0.
7.椭圆的参数方程
本节学习要求:
椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题:若直线y=k_+b和二次曲线
A_2+Cy2+D_+Ey+F=0相交,所得弦长可由下法求之,由两方程中消去y,得
a_2+b_+c=0,记△=b2-4ac,则弦长=;若弦过焦点,则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目,灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.
【重点难点解析】
通过〝圆的方程〞的学习我们知道,圆的几何性质问题用代数的方法解题简便,计算量小的特点,同样,椭圆也有类似的几何性质,那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程,在此基础上来学习椭圆的几何性质,掌握椭圆的性质,标准方程,及椭圆的第二定义.
例1 设直线l过点P(-1,0),倾角为,求l被椭圆_2+2y2=4所截得的弦长.
解:直线l的方程为y=_+,代入椭圆方程,得7_2+12_+2=0,∵△=144-4_7_2=88 ∴弦长==
例2 求椭圆+=1上的点到直线3_+4y-64=0的最长距离与最短距离.
解:设椭圆上的点为(5cosθ,9sinθ),则
d==
=
∴dma_=
例3 已知椭圆+=1内有一点P(1,-1),F是右焦点,M是椭圆上的动点,求MP+2MF 的最小值,并求此时M的坐标.
解:过M作右准线_=4的垂线,垂足为M1,由椭圆第二定义,有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜
∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜
过P作右准线的垂线交椭圆于N,垂足为N1,垂线方程为y=-1.
显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3
由方程组得N(,-1)
∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3,此时M的坐标是(,-1)
【难题巧解点拨】
例1 P是椭圆方程为+=1上的任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,试求｜
PF1｜·｜PF2｜的取值范围.
解:设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］,即t∈［4-,4+］且｜PF2｜=2a-t=8-t.
∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4-,4+］
当t=4时,取最大值为16
当t=4±时,取最小值为9.
∴所求范围为［9,16］
例2 F1.F2是椭圆的两个焦点,过F2作一条直线交椭圆于P.Q两点,使PF1⊥PQ,且｜PF1｜=｜PQ｜,求椭圆的离心率e.
解:如下图,设｜PF1｜=t,则｜PQ｜=t,｜F1Q｜=t,由椭圆定义有:
｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a
∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即(+2)t=4a,t=(4-2)a
∴｜PF2｜=2a-t=(2-2)a
在Rt△PF1F2中,｜F1F1｜2=(2c)2
∴［(4-2)a］2+［(2-2)a］2=(2c)2
∴=9-6 ∴e==-
例3 已知P是椭圆+=1(a＞b＞0)上的一点,F1F2为两焦点,且F1P⊥F2P,若P到两准线的距离分别为6和12,求此椭圆方程.
解:(利用椭圆第二定义求解)
∵点P到两准线的距离分别是6和12
∴2· =6+12 即a2=9c
由椭圆第二定义知,e==
∵d1=6,d2=12∴｜PF1｜=6e,｜PF2｜=12e
又∵PF1⊥PF2∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2
∴36e2+144e2=4c2∵e=∴a2=45
又a2=9c
∴c=5
∴b2=a2-c2=20
∴所求椭圆的方程的+=1
例4 在椭圆3_2+4y2=12上,是否存在相异的两点A.B关于直线y=4_+m对称并说
明理由.
解:设A(_1,y1),B(_2,y2),AB的中点M(_0,y0)
直线AB:y=-_+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得,13_2-8t_+16t2-48=0 ∴△=(-8t)2-4_13_(16t2-48)＞0
∴-＜t＜①且_1+_2=t
又AB的中点M在直线y=4_+m上,
∴t=4_t+m∴t=-m
代入①式得:
-＜m＜
解法二:设A(_1,y1),B(_2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4_+m对称的两点,则
+=1 ①+=1 ②
①-②得+=0
∴=
而KAB= =-
故有=-
设AB的中点为(_,y),则有_1+_2=2_,y1+y2=2y
代入即得AB中点的轨迹方程为y=3_.
由
由于AB的中点在椭圆内部
∴+＜1m2＜
-＜m＜
故当m∈(-,)时,椭圆C上有不同的两点关于直线对称.
例5 椭圆=1上不同三点A(_1,y1),B(4,
),C(_2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.
(1)求证:_1+_2=8
(2)若线段AC的垂直平分线与_轴的交点为T,求直线BT的斜率k. 解:由题知a=5,b=3,c=4.
(1)由椭圆的第二定义知:
=｜AF｜=a- _1=5-_1
同理有｜CF｜=5-_2
∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜
且｜BF｜=
∴(5-_1)+(5-_2)=
即_1+_2=8
(2)∵线段AC的中点为(4,)
∴它的垂直平分线方程为y- =(_-4)
又点T在_轴上,设其坐标为(_0,0),代入上式得,_0-4= ①点A(_1,y1),B(_2,y2)都在椭圆上
∴y21=(25-_21),y22= (25-_22)
∴y21-y22=-(_1+_2)(_1-_2)
将此式代入①并利用_1+_2=8得
_0-4=-
∴kBT==
【命题趋势分析】
1.熟练掌握椭圆的第二定义,两种形式的标准方程及几何性质,运用它们及参数间的关系解决相关问题.
2.必要时,椭圆方程可设为m_2+ny2=1(m＞0,n＞0),这样计算简洁,还可避免对焦点位置的讨论.
3.遇到弦的中点问题时,常用点差法.
例1 椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么｜PF1｜是｜PF2｜的( )
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
解:设F1(-3,0),e=,P(_0,y0)
∵线段PF1的中点的横坐标为0,∴=0即_0=3
∴｜PF1｜=a+e_0=2+_3=
∴｜PF2｜=2a-｜PF1｜=4 - =
∴｜PF1｜=7｜PF2｜故选A
例2 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在_轴上,离心率e=,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程,并求椭圆上到P的距离等于的点的坐标.
解:设所求椭圆方程为+=1(a＞b＞0)
由e2== =1-和e= 得a=2b
设椭圆上的点(_,y)到P点的距离为d,则
d2=_2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+
=-3(y+)2+4b2+3 (-b≤y≤b)
若b＜时,则当y=-b时,d2(从而d)有最大值,由题设得()2=(b+)2,由此得b= -＞与b＜矛盾.
若b≥时,当y=-时,d2有最大值,从而d有最大值,有()2=4b2+3,∴b=1,a=2
∴所求椭圆方程为+y2=1,椭圆上的点(-,-),点(,-)到P点的距离都是.
说明:本题体现了数学的转化与函数思想,本题关键是讨论距离函数
d2=-3(y+ )2+4b2+3在区间［-b,b］上的最值,二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.
例3 已知椭圆的中心在原点O,焦点在坐标轴上,直线y=_+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,｜PQ｜=.求椭圆方程.
分析设P(_1,y1),Q(_2,y2,)由OP⊥OQ知_1_2+y1y2=0,再结合弦长公式与韦达
定理求解.
解:设椭圆的方程为+=1(a＞0,b＞0,a＞b或a＜b),点P.Q的坐标别为P(_1,y1),Q(_2,y2).
由消去y得
(a2+b2)_2+2a2_+a2-a2b2=0,
当△=(2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)＞0时由韦达定理得
_1+_2=-,_1_2=.
且y1=_1+1,y2=_2+1,
∵OP⊥OQ,∴·=-1,即y1y2+_1_2=0,
∴(_1+1)(_2+1)+_1_2=0,
∴2_1_2+(_1+_2)+1=0,①
又｜PQ｜=,由弦长公式有:
｜_2-_1｜=,
∴2［(_1+_2)2-4_1_2］=,
∴4(_1+_2)2-16_1_2-5=0 ②
解由①.②组成的方程组得
或
∴,或
解得或
故所求椭圆方程为+=1或+=1
【同步达纲练习】
A级
一.选择题
1.椭圆+=1与+=k(a＞b＞0,k＞0)一定具有相同的( )
A.长轴
B.焦点
C.离心率
D.顶点
2.离心率为,且过点(2,0)的椭圆标准方程为( )
A. +y2=1
B.
+y2=1或_2+=1
C. _2+=1
D.
+y2=1或+=1
3.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(-16,25)
B.(
,25) C.(-16,) D.(
,+∞)
4.若圆(_-a)2+y2=9与椭圆+=1有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞)
B.［-6,6］
C.［-,］
D.
5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离,则椭圆的离心率为( )
A.3
B.
C.
D.
二.填空题
6.椭圆+=1的离心率e=,则实数m的值为
.
7.若方程+=-1表示椭圆,则实数k的取值范围是
.
8.若椭圆的长轴长.短轴长,焦距依次成等差数列,则其离心率e=
.
三.解答题
9.已知椭圆+=1上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项,求P点坐标.
10.已知P是椭圆+=1上的点,且∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
AA级
一.选择题
1.不论k为何值,直线y=k_+1与焦点在_轴上的椭圆+=1有公共点,则实数m的范围是( )
A.(0,1)
B.(0,7)
C.［1,7］
D.(1,7］
2.椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分,则一焦点与短轴两端点连线
的夹角为( )
A. B.
C.
D.
π
3.已知F1.F2是椭圆+=1(a＞b＞0)的两个焦点AB是过F1的弦,则△ABF2的周长是( )
A.2a
B.4a
C.8a
D.2a+2b
4.已知(0,-4)是椭圆3k_2+ky2=1的一个焦点,则实数k的值是( )
A.6
B.
C.24
D.
5.以椭圆的右焦点F2为圆心作圆,使这圆过椭圆的中心,且交椭圆于M点,若直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率是( )
A. -1
B.2-
C.
D.
二.填空题
6.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点,若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形,则椭圆的离心率e=
.
7.已知F1F2是椭圆两焦点,P是椭圆上一点,△PF1F2满足
∠PF1F2:∠PF2F1:∠F1PF2=1∶2∶3,则此椭圆的离心率e=
8.已知A(1,1)
B(2,3),椭圆C:_2+4y2=4a2,如果椭圆C和线段AB有公共点,则正数a的取值范围是
.
三.解答题
9.已知A.B是椭圆+=1上的两点,F2是椭圆的右焦点,若｜AF2｜+｜BF2｜=a,AB中点到椭圆左准线距离为,求椭圆方程.
10.设椭圆+=1(a＞b＞0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠OPA=,求椭圆离心率的取值范围.
【素质优化训练】
一.选择题
1.已知M为椭圆上一点,F1F2是两焦点,且∠MF1F2=2α,∠MF2F1=α(α≠0),则椭圆的离心率是( )
A.1-2sinα
B.1-sin2α
C.1-cos2α
D.2cosα-1
2.椭圆2_2+y2=1上的点到直线y=_-4的距离的最小值是( )
A. B.
C. D.
3.已知F是椭圆+=1(a＞b＞0)的一个焦点,PQ是过其中心的一条弦,则△FQP面积的最大值是( )
A.ab
B.ab
C.ac
D.bc
4.已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率等于,若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转后,新位置的椭圆有一条准线方程是y=,则原椭圆方程是( )
A.+=1
B.
+=1
C.+=1
D.
+=1
5.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则M的纵坐标是( )
A.±
B.±
C.±
D.±
二.填空题
6.已知圆柱底面的直径为2k,一个与底面成30°角的平面截这个圆柱,则截面上的椭圆的离心率是
7.已知P是椭圆+=1(a＞b＞0)上的点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积是
8.点P(0,1)到椭圆+y2=1上点的最大距离是
.
三.解答题
9.已知椭圆长轴｜A1A2｜=6,｜F1F2｜=4,过椭圆焦点F1作一直线,交椭圆于M.N 两点,设∠F2F1M=α(0≤α≤π),问当α取何值时,｜MN｜等于椭圆的短轴长.
10.已知椭圆+=1(a＞b＞0)与_轴交于AB两点,F1F2为焦点.
(1)过一焦点F2作垂直于长轴的弦MN,求∠AMB的大小范围
(2)若椭圆上有一点P,使得∠APB=120°,求P点的纵坐标,并求椭圆离心率满足什么条件时,这样的点P才存在.
【生活实际运用】
要把一个边长分别为52cm和30cm的矩形板锯成椭圆形,使它的长轴和短轴长分别为52cm和30cm用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.
参考答案:
【同步达纲练习】
A级
1.C
2.D
3.B
4.B
5.D
6. 或
7.3＜k＜5且k≠4
8.
9.(0,2)或(0,-2) 10.4
AA级
1.C
2.C
3.B
4.D
5.A
6. -1
7.-1
8.［, ］
9._2+y2=1
10.＜e＜1
【素质优化训练】
1.D
2.D
3.D
4.C
5.A
6. 7.b2tan 8.2 9.α=或π10.(1) ＜∠AMB＜π-arccot2 (2)e∈［,1］
二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对 称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 焦半径公式： 由椭圆的第二定义可得： 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，
离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ， 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭 圆 一、知识精析与点拨 （一）椭圆的定义 1、第一定义：平面上，与两个定点F 1、F 2距离之和为常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹称为椭圆。两个定点F 1、F 2 称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。 2、第二定义：平面上到一个定点F （c ，0）的距离与到一定直线L ：x= a 2c 的距离之比为常数e ＝c a （0 （四）点、直线与椭圆的位置关系 1、点P （x 0，y 0）和椭圆22a x ＋22 b y =1（a >b >0）的关系 （1）点P 在椭圆内（含焦点）⇔220a x ＋220b y <1； （2）点P 在椭圆上⇔220a x ＋220 b y =1； （3）点P 在椭圆外⇔220a x ＋220 b y >1（其中a >b >0） 2、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有： （1）△>0⇔直线与椭圆相交于两点； ①设AB 为椭圆22a x ＋22 b y =1的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点M （x 0，y 0）， 则弦长|AB|=2 12212)()(y y x x -+-=|x 2－x 1|²1＋k AB 2 =|y 2－y 1|² 1＋ 1k AB 2 (k AB ≠0)； (其中k AB =121 2x x y y --=－0202y a x b ；|x 2－x 1|=212124)(x x x x -+;|y 2－y 1|=212124)(y y y y -+) 直线AB 的方程为y －y 0=－0202y a x b (x －x 0) ；线段AB 的垂直平分线方程为y －y 0=0 20 2x b y a (x －x 0)； ②焦点弦：AB 为椭圆22a x ＋22 b y =1的焦点弦的长|AB|左=e （x 1＋x 2）＋2a （或|AB|右=2a －e （x 1＋x 2）， 通径长为2b 2 a （其中a >b >0） （2）△=0⇔直线与椭圆相切； ①设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22 b y =1上的点，则以M 为切点的切线方程为20a x x ＋20b y y =1； ②设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22 b y =1外的点，则过M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为 20a x x ＋2 0b y y =1（其中a >b >0） ③椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c +=。 ④设切线的斜率为K ，则椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的切线方程为2 22k a b kx y +±= （3）△<0⇔直线与椭圆相离； 直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点 椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 §8.5椭圆及其性质 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) .3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长短轴长为2b，长轴长为2a 焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c 对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率e＝c a(0 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 2．2.2椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系． 3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题． , 椭圆的简单几何性质 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．() (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.() (3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．() (4)椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.() 答案：(1)√(2)√(3)×(4)× 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为() A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D 3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为() A． 3 2B． 3 4 C ． 22 D ．23 答案：A 4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 2 9＝1上任意一点，则m 的取值范围是________． 答案：[－5，5] 椭圆的简单几何性质 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 2 4＝1， 所以a ＝3，b ＝2， 所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5. 所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)， B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝5 3 . 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质． [注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍． 1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的几何 性质的表述正确的是( ) A ．范围相同 B ．顶点坐标相同 C ．焦点坐标相同 D ．离心率相同 解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－ a ，0)，(a ，0)，(0，－ b )，(0，b )，焦点坐标是(－ c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2 a 2 ＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝c a ，只有离心率相同． 2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为1 2，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点 坐标及顶点坐标． 解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1， 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课程标准 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象 数学运算 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 范围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0， b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ), B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 焦距 |F 1F 2|＝2c 对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝c a (0 椭圆的简单几何性质【知识点】 知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标 【问题1】观察椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 椭圆的简单几何性质 (±c,0)(0，±c) 知识点二椭圆的离心率 思考如何刻画椭圆的扁圆程度？ 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． (1)椭圆的焦距与长轴长的比____c a ____称为椭圆的离心率． (2)对于x 2a 2＋y 2 b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0， c 就越接近于0，从而b 越接 近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图) 类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质 【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2 9＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝ 16－9＝7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝7 4，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2 116 ＝1， 于是a ＝13，b ＝1 4， c ＝ 19－116＝712 . ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝1 2， 离心率e ＝c a ＝7 4. 焦点坐标(－ 712，0)和(7 12 ，0)， 椭圆的定义及其几何性质 [要点梳理] 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 椭圆的常用性质 (1)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边， a2＝b2＋c2． (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． [基础自测] 一、思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．() (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．() (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．() (5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．() (6)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验 1．设P是椭圆x2 25＋y2 16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．] 2．已知椭圆x2 25＋y2 m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．] 3．已知椭圆C：x2 a2＋y2 4＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为() 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -， 椭圆的基本性质 （一）对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ 代 后方程不变，说明椭圆关于 轴对称； 代 后方程不变，说明椭圆曲线关于 轴对称； 、 代 ， 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P （x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理. 相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二）顶点 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？ 在椭圆的标准方程中，令 ，得 ， ，得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标； ， . 相关概念：线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 在椭圆的定义中， 表示焦距，这样，椭圆方程中的 就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令 能使方程简单整齐，其几何意义是什么？ 表示半焦距， 表示短半轴长，因此，联结顶点 和焦点 ，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内， ，即 . （三）范围 问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围． 变形为： 这就得到了椭圆在标准方程下 的范围： 同理，我们也可以得到 的范围： 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把 看成 ，利用三角函数的有界性来考虑 的范围； 方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以 ，同理可以得到 的范围 由椭圆方程中 的范围得到椭圆位于直线 和 所围成的矩形里. 三、例题解析 例1 已知椭圆的方程为 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质（一）教学目标：（一）知识目标椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点. （二）能力目标1、使学生了解并掌握椭圆的范围。2、使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心。3、使学生掌握椭圆的定点坐标、长轴长、短轴长以及的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距。 4、使学生掌握离心率的定义及其几何意义。（三）德育目标使学生充分认识到数与形的联系，体会数与形的统一；通过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受，树立了对立统一的辩证唯物主义观点。教学重点：椭圆的简单几何性质教学难点：教学难点是利用曲线方程研究椭圆的几何性质，这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质。教具准备：幻灯片两张、三角板教学方法：师生共同讨论法借助多媒体教学手段，创设问题情景，通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质。教学过程一、课题导入前面我们给同学们讲到：我国科学院在1997年准确地预测了海尔.波普彗星将接近地球，并预测30XX年后，它还将光临地球上空。通过学习，我们知道海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，天文学家通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它的周期及轨道的周长。现在假设我告诉你这颗彗星的运行轨道的方程，你能做出它的运行轨迹吗？当然描点法可以做出来，只要取足够多的点，图像就可以足够准确，但是很显然这种方法很麻烦，那么有没有简单一点的方法呢。实际上我们知道，对于画一个二次函数的图像我只需要作出它的对称轴以及一些关键的点，我们就可以比较准确地画出它的图像。同样，如果我们能搞清楚椭圆的几何性质，就可以从整体上把握曲线的形状、大小、位置。这也是我们今天要给同学们讲的椭圆的几何性质。二、讲授新课对于椭圆的标准方程进行 椭圆几何性质的总结方法 摘要 本文总结了椭圆的几何性质，并提供了一种简单的方法来理解和应用这些性质。通过掌握这些方法，读者将能够更好地理解椭圆的特点和应用。 引言 椭圆是数学中重要且广泛应用的几何形状之一。它具有许多独特的性质，因此在各个领域都被广泛应用，包括工程学、天文学和物理学等。 椭圆的基本定义 椭圆是一个平面上的封闭曲线，其到两个焦点的距离之和是常数。通过这个定义，我们可以得出以下几个重要的性质。 1. 焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。这个性质在很多应用中起到重要的作用。焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。这个性质在很多应用中起到重要的作用。 2. 几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。 3. 离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。 总结方法 为了更好地理解和应用椭圆的性质，可以采取以下几个简单的方法。 1. 绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。绘图方法是理解椭圆性质的基础。绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性 《椭圆的简单几何性质》知识点总结（精选2篇） 《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇1 椭圆的简单几何性质中的考查点: （一）、对性质的考查： 1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。 2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。 3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。 4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。 （二）、课本例题的变形考查： 1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标； 2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。 3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。 4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用： 5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。 《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇2 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦 点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备） 本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。 本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。 但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。 感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。 高二数学椭圆几何性质总结 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为 双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ⎩⎨⎧==θ θ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； 椭圆知识总结 班级 姓名 椭圆的定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 =+ b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12 2 2 2=+b x a y ) 0(>>b a ，其中2 22 b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：12 2 22 =+b y a x )0(>> b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程12 2 2 2 =+ b y a x )0(>>b a ： 说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、 原方程都不变，所以椭圆12 2 2 2=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆12 2 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e ==22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<椭圆知识点总结
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椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
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椭圆的定义及几何性质(含答案)
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