数列的几种递推公式
一、 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
二、 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：12
31
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=
3437
526
331348531n n n n n --=
⋅⋅⋅⋅=---。
变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则
{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩
12n n =≥
解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得
当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，
n a a a a
a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-1
3423121,,4,3,1,
1， 将以上n 个式子相乘，得2
!
n a n =)2(≥n
三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为
)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .
故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）
四、类型4 n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或
1n
n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，
得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n
n
n q a b =），
得：q b q p b n n 11+=
+再待定系数法解决。
例5:已知数列{}n a 中，
651=
a ,1
1)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1
2+n 得：1)2(32211
+•=•++n n n n a a 令n
n
n a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：
n
n b )32(23-= 所以
n
n n
n n b a )
31(2)21(32-==
五、递推公式为
n
S 与
n
a 的关系式。(或
()
n n S f a =)
解法：利用
⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或 与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a
进行求解。
例6. 数列{}n a 前n 项和
2214--
-=n n n a S .
（1）求1
+n a 与
n
a 的关系；（2）求通项公式n
a .
解：（1）由
2214--
-=n n n a S 得：
111214-++--=n n n a S
于是
)
21
21(
)(12
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S ，
所以11121-+++
-=n n n n a a a n n
n a a 21211+=⇒+.
（2）应用类型（
n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））
的方法，上式两边同乘以12+n 得：
2
22
11
+=++n n n n a a
由
121
4121111=⇒-
-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差
数列，所以
n n a n n
2)1(222=-+=12-=⇒n n n
a
六、倒数变换：
将递推数列1n n n ca a a d
+=
+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成
1111
n n d a c a c +=+ 的形式的方法叫倒数变换.
例7. 已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121
n
n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】:将121n n n a a a +=
+取倒数得: 111
2n n a a +=+
,111
2n n
a a +-=, ∴1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以11
1a =为首项,公差为2的等差数列. 112(1)n n a =+-,∴121
n a n =-.
跟踪训练 已知数列{}n a 中, ,122
n
n n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.
(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和
2)1(2)(11d
n n na a a n S n n -+=+=； ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1
1)1(111q q q a q na S n n ；
1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈ （Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n
a b =，求数列的{b n }前n 项和.
(Ⅰ)解法一： 当1n =时，
112a S p q
==-+,
当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.
{}n a 是等差数列,
222p q p p ∴-+=--,0q ∴=············4分
解法二：当1n =时,
112a S p q
==-+,
当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--.
当3n ≥时,
1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p
--=------=.
22232a p q p p q
=-++=-+.
又
222232
a p p p =⋅--=-,
所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分
(Ⅱ)解：
15
12a a a +=
,318a ∴=.又362a p p =--,6218p p ∴--=,4p ∴=
86
n a n ∴=-············8分
又22log n n a b =得43
2n n b -=.12b ∴=,4(1)1
414322162n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列.
所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2(161)11615n n
n T -==--
如：求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n a n ,…的前n 项和
（注：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≠-=+=12)13(12
)13(a n n a n
n S n ）
(3)裂项法： 如
)2(1
+=
n n a n 求S n
常用的裂项有
11
1)1(1+-
=+n n n n ； )
21
1(21)2(1+-=+n n n n ；
]
)2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
2.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，点
(,)()
n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列
{}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）、设
11n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得
20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2
+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. 又因为点
(,)()
n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S
＝3n 2－2n. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝（3n 2
－2n ）－[]
)1(2)132
---n n （
＝6n －5.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知
13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)
161
561(21+--n n ，
故T n ＝∑=n
i i
b 1
＝2
1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）.
因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *
∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m
，
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.
(4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比 如：求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n－1)x n －1 注意讨论x ，
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠-+++--==+1)1()
1()12()12(12
12x x x x n x n x n S n n n
(5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。 如求证：C n 0+3C n 1+5C n 2+…+(2n—1) C n n =(n+1)2n
数列的递推公式及通项公式 数列是数学中一个重要的概念，是由一组按照特定规律排列的数所 组成的序列。数列有两种常见的表示方式：递推公式和通项公式。本 文将从基本概念入手，详细介绍数列的递推公式和通项公式，并结合 实例加深理解。 一、数列的基本概念 数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。数列中的每 一个数称为该数列的项，用an表示。通常用字母n表示项的位置。 例如，1, 3, 5, 7, 9, ... 是一个递增的奇数数列。其中1是第1项，3 是第2项，5是第3项，以此类推。 二、递推公式 递推公式也称为递推关系式或递推式，用于表示数列中的每一项与 前一项之间的关系。通过递推公式，可以通过给定的前几项，求解后 面的任意项。 递推公式的一般形式为an = f(an-1)，其中f表示规定的函数或运算。可以根据数列的特点来确定递推公式。 例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9, ...，我们可以观察到每一项与前一 项之间的关系是+2。因此，递推公式可以表示为an = an-1 + 2。 三、通项公式
通项公式是用一个公式直接表示数列的第n项，无需通过前面的项 推导得到。通项公式更为简洁，可以方便地计算数列中任意一项的值。 通常用公式an = f(n)表示数列的通项公式，其中f(n)表示与项的位 置n有关的函数或运算。 以等差数列为例，假设首项是a1，公差是d，那么通项公式可以表 示为an = a1 + (n-1)d。其中，a1表示首项的值，n表示项的位置，d表 示公差。 四、使用递推公式和通项公式的实例 1. 递推公式实例：考虑一个数列，首项是2，每一项都是前一项的 3倍。我们可以得到递推公式an = 3 * an-1。 根据递推公式，可以计算数列的前几项： a1 = 2 a2 = 3 * a1 = 3 * 2 = 6 a3 = 3 * a2 = 3 * 6 = 18 a4 = 3 * a3 = 3 * 18 = 54 ... 2. 通项公式实例：考虑一个等差数列，首项是1，公差是4。我们 可以得到通项公式an = 1 + (n-1) * 4。 使用通项公式，可以计算数列的任意一项：
数列求和常用公式: 1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2 2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6 3）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2 =n^2*(n+1)^2÷4 4）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷3 5）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2) =n(n+1)(n+2)(n+3)÷4 6）1+3+6+10+15+...... =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n) =[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6 7）1+2+4+7+11+...... =1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2 =(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6 8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1) =1-1/(n+1)=n÷(n+1) 9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1) =(n-1) ÷(n+1) 10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n =(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。 一、数列的递推公式 数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。 1.1 线性递推公式 线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。 例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。 1.2 非线性递推公式 非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。 二、数列的通项公式 数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。通项公式也常被称为数列的一般项公式。 2.1 等差数列的通项公式 等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。 例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。 2.2 等比数列的通项公式 等比数列也是常见的数列类型，它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比。 举例来说，如果一个等比数列的首项为2，公比为3，则它的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等比数列中的任意一项。
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。 一、递推公式 递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。 1.1 线性递推 线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。其一般形式如下： an = a(n-1) * r + d 其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。 例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。根据数列的特点可以确定递推公式为： an = a(n-1) + 2 通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。 1.2 非线性递推
非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是 通过其他的方式来确定。例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性 递推数列。 斐波那契数列的递推公式为： an = a(n-1) + a(n-2) 其中，a1 = 1，a2 = 1。根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的 每一项。 二、通项公式 通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。 2.1 线性通项 线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。其 一般形式如下： an = a1 + (n-1) * d 其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。 以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通 过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。 2.2 非线性通项
数列的通项公式及递推公式 数列是按照一定的规律排列的一系列数字。在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。 一、通项公式 通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。 1.1等差数列的通项公式 等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。 等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。 举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。 1.2等比数列的通项公式 等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。 等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。
举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。 二、递推公式 递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。 2.1等差数列的递推公式 对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。 这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。 2.2等比数列的递推公式 对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。 这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。 举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3 对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3 综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。通过这些公式，我们可以根据已知条件来推导出数列中的任意一项的值，或者通过已知的前几项来计算出后面的项。
数列的递推公式 数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。 一、定义数列 数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。通常用字母{n}表示数列中的第n项。 二、等差数列的递推公式 等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。 设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为： aₙ = a₁ + (n-1)d 例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算： aₙ = 2 + (n-1)3 三、等比数列的递推公式 等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的 递推公式为： aₙ = a₁ * r^(n-1) 例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项 aₙ可以通过递推公式计算： aₙ = 2 * 2^(n-1) 四、斐波那契数列的递推公式 斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。斐波那 契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。 设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐 波那契数列的递推公式为： aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁ 例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式 计算出后续的项。 五、其他数列的递推公式 除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还存在其他类型的数列，它们各自具有特定的递推公式。 例如，如下所示的数列为自然数的平方数列： 1, 4, 9, 16, 25
求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++ =+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111 +- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a = ▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121 n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211==⋅=---. 故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1(2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由 1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，因此} {n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121 -= +++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ，即)2(2 12 +-=n n a n 四、积差相消法
数列的递推公式和通项公式 数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。在数学中，数列是一种常见的概念，它可以通过递推公式和通项公式来 表示。本文将介绍数列的定义、递推公式和通项公式的含义和应用。 一. 数列的定义 数列是一种有序排列的数字序列，常用字母an表示其中的每 一项。一般情况下，数列中的每一项都与前一项或多项之间存在 某种关系。数列通常用大括号{}表示，例如{an}。 二. 递推公式 递推公式是指通过前一项或多项来确定数列中的下一项的公式。也可以称之为递归公式。递推公式包含了数列中各项之间的递推 关系。形式上，递推公式可以表示为an = f(an-1, an-2, ... , an-k)， 其中an表示第n项，f表示递推关系的函数，an-1, an-2, ... , an-k 表示前一项或多项。 递推公式的具体形式取决于数列的性质和递推关系的特点。常 见的递推公式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
1. 等差数列的递推公式 等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。设数列的公差为d，首项为a1，则等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d。 2. 等比数列的递推公式 等比数列是指数列中每一项与其前一项之比都相等的数列。设数列的公比为q，首项为a1，则等比数列的递推公式为an = a1 * q^(n-1)。 3. 斐波那契数列的递推公式 斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。设数列的首两项分别为a1和a2，则斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2。 三. 通项公式 通项公式是指能够直接计算数列第n项的公式，也称为一般公式。通项公式将数列的第n项与n直接相关，而不需要通过前一
数列的递推关系 数列是由一系列按特定顺序排列的数字所组成的序列。在数学中，数列的递推关系是指通过已知的数列项和数学规律，来确定下一个数列项的规则。通过递推关系，我们可以根据已知的数列项计算出后续的数列项，进而推导出整个数列的特征和性质。 一、等差数列的递推关系 等差数列是最常见的数列之一。在等差数列中，每个数都与它前面的数之差保持相等，这个差值称为公差。我们可以通过公差来找到等差数列的递推关系。 例如，给定等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，可以使用以下递推公式来计算数列的任意一项： aₙ = a₁ + (n - 1) * d 这个递推关系告诉我们，等差数列的每一项都是前一项加上公差的结果。通过这个递推公式，我们可以计算出等差数列的任意一项。 二、等比数列的递推关系 与等差数列类似，等比数列也是一种常见的数列形式。在等比数列中，每个数字都与前面的数字之比保持相等，这个比值称为公比。我们可以通过公比来找到等比数列的递推关系。 例如，给定等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，可以使用以下递推公式来计算数列的任意一项：
aₙ = a₁ * r^(n-1) 这个递推关系告诉我们，等比数列的每一项都是前一项乘以公比的 结果。通过这个递推公式，我们可以计算出等比数列的任意一项。 三、斐波那契数列的递推关系 斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。斐 波那契数列的递推关系可以通过以下递推公式来表示： Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ 其中，Fₙ表示第n项，Fₙ₋₁表示第n-1项，Fₙ₋₂表示第n-2项。 斐波那契数列的递推关系非常特殊，它展现了一种自然界中广泛存 在的规律，在数学和自然科学中都具有重要的应用价值。 结论 数列的递推关系在数学中扮演着重要的角色。通过递推关系，我们 可以根据已知的数列项计算出后续的数列项，推导出数列的特征和性质。等差数列、等比数列和斐波那契数列都是常见的数列类型，它们 分别有各自的递推关系。熟练掌握这些递推关系，有助于我们更好地 理解和应用数列的概念。
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求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例1 在数列{}中，,，求通项公式. 解：原递推式可化为：则 ，……，逐项相加得：.故. 二、作商求和法 例2 设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： =0 ∵ ＞0， 则……，逐项相乘得：，即=. 三、换元法 例3 已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）. 解：设，原递推式可化为： 是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：. 例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。 由于 又所以，即 四、积差相消法 例5设正数列，，…，，…满足= 且，求的通项公式. 解将递推式两边同除以整理得：
设=，则=1，，故有 ⑴ ⑵ … … … … () 由⑴+ ⑵ +…+()得=，即=. 逐项相乘得：=，考虑到， 故 . 五、取倒数法 例6 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。 解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即. 六、取对数法 例7 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）. 解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即. 七、平方（开方）法 例8 若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是. 解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。 八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下： 1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式. 例9 若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.
数列的几种递推公式 一、 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 二、 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---= 3437 526 331348531n n n n n --= ⋅⋅⋅⋅=---。 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则 {a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ， n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-1 3423121,,4,3,1, 1， 将以上n 个式子相乘，得2 ! n a n =)2(≥n 三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
1 十大递推数列求通项： (1)等差数列：a n =a n-1+d 例1：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =3n-2. (2)等比数列： a n =a n-1q 例2：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =2a n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =1 2-n . (3)似等差数列： a n =a n-1+f(n) 用叠加法。 例3：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3n+1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =2 65n 3n 2-+. (4)线性数列： a n =pa n-1+q 构造等比数列。 例4：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =2a n-1-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =12+n . (5) 似等比数列： a n =a n-1f(n) 叠乘法。 例5：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =na n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =3n ！. (6)三项递推： a n =pa n-1+qa n-2 设a n+1-xa n =y(a n -xa n-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出。 例6：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =3a n-1-2a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =2n -1. 例7：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =(n+1)2n-2. 例8：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=4,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =n2n-1. 例9：已知：数列{a n }中a 1=2,a 2=3,a n =5a n-1-6a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =3×2n-1-3n-1. 例10：已知：数列{a n }中a 1=a,a 2=b,a n =a n-1-a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答周期为6. 例11 (2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)福建卷(新课程)) （22）已知数列满足 （I ）证明：数列是等比数列；（II ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）若数列 满足 证明 是等差数列。 (7)似线性数列：a n+1=pa n +f(n) ， 变为 1 11) (++++=n n n n n p n f p a p a ，即化为（3）型。 特别地①1n n a pa bn c +=++型，还可以令1(1)()n n a x n y p a xn y +-+-=--，待定系数x,y ，构造等比数列，要比通法简单。 ②1n n n a pa q b +=++型，还可以令1 1()n n n n a xq y p a xq y ++--=--，待定系数x,y ，
数列与数列的递推公式 数列是由一系列具有规律性质的数按照一定顺序排列而成的序列。 在数学和统计学中，数列是一种重要的概念，被广泛应用于各个领域。数列的规律可以通过递推公式来描述，递推公式可以帮助我们计算数 列中任意一项的数值。 1. 数列的定义 数列是由一系列有序的数所组成的序列。一般使用字母an表示数 列中的第n项，例如an表示数列中的第n项，a1表示数列中的第一项。数列可以是有限的，也可以是无限的。一个有限数列是指数列中的项 数是有限的，而无限数列是指数列中的项数是无限的。 2. 数列的分类 根据数列中项与项之间的关系，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等。这些数列的特征及其递推公式如下： 2.1 等差数列 等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变的数列。设首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n表示数列 中的第n项。 2.2 等比数列
等比数列是指数列中的相邻两项之比保持不变的数列。设首项为a1，公比为r，则等比数列的递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示数列 中的第n项。 2.3 斐波那契数列 斐波那契数列是一个特殊的数列，第一个和第二个项均为1，从第 三项开始，每一项都是其前两项的和。即F1 = 1，F2 = 1，Fn = Fn-1 + Fn-2。 3. 数列的递推公式 数列的递推公式用来表示数列中一项与其前面的几项之间的关系。 递推公式可以通过观察数列的规律而得到，也可以通过已知的前几项 计算得出。 递推公式通常由一个或多个初始条件和一个或多个递推关系式组成。初始条件是指数列中的前几项，递推关系式是指数列中一项与其前面 的几项之间的关系。通过递推公式，我们可以根据已知条件来计算数 列中任意一项的值。 4. 数列的应用 数列在很多领域都有广泛的应用。例如，金融领域中的复利计算就 可以使用等比数列的递推公式进行求解；物理学中的等时间变速度运 动的位移计算就可以使用等差数列的递推公式进行求解。
数学中的数列递推公式 数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。数列中的每个数被称为数列的项，而数列中的规律则由递推公式来描述。递推公式是指通过已知的前几项来确定后续项的关系式，它在数学中起着至关重要的作用。 一、斐波那契数列 斐波那契数列是数学中最为著名的数列之一，它的递推公式是每一项等于前两 项的和。斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21……，可以通过 递推公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)来计算后续项。 斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，例如植物的分枝规律、蜂窝的排列 方式等。同时，斐波那契数列还与黄金分割有着密切的关系，相邻两项的比值趋近于黄金分割比例1.618。 二、等差数列 等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。它的递推公式为 An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。 等差数列的性质十分有趣。首先，等差数列的前n项和可以通过递推公式Sn = (A1 + An)n/2来求得。其次，等差数列中的任意三项可以构成一个等差数列。最后，等差数列还有一个重要的性质是任意项与其对称项的和都相等。 等差数列在数学中有广泛的应用，例如物理中的等速直线运动、经济学中的增 长模型等。同时，等差数列还可以通过图形的方式来进行可视化，有助于理解数列的规律。 三、等比数列
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。它的递推公式为 An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，r表示公比。 等比数列的特点是每一项与其前一项之间的比值都相等。这意味着等比数列中 的项之间的增长趋势是呈现指数级别的，增长速度非常快。 等比数列在数学中也有着广泛的应用。例如在金融领域中，复利的计算就可以 用到等比数列的概念。此外，等比数列还与几何图形中的比例关系有着密切的联系。 四、斐波那契数列与等差数列的关系 斐波那契数列和等差数列在数学中有着一定的联系。事实上，斐波那契数列可 以看作是一种特殊的等差数列。 首先，斐波那契数列中的相邻两项之间的差值并不是恒定的，而是逐渐增大的。然而，当我们计算斐波那契数列的相邻两项的比值时，会发现这个比值趋近于黄金分割比例1.618，这与等比数列的特点是一致的。 其次，斐波那契数列中的每一项与其前一项之间的比值也趋近于黄金分割比例1.618。这意味着斐波那契数列在后期的增长速度是非常快的，呈现出指数级别的 增长趋势。 综上所述，数学中的数列递推公式是研究数列规律的重要工具。无论是斐波那 契数列、等差数列还是等比数列，它们都有着各自独特的特点和应用。通过深入研究数列递推公式，我们可以更好地理解数学中的规律，进而应用到实际问题中。数列递推公式的研究不仅对于数学学科的发展具有重要意义，也对于其他学科的发展起到了积极的推动作用。
递推数列通项公式的十四种求法 ◆一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12……… 2121 3、2,1, , , , ……… 3253 4、1,-1,1,-1……… 5、1、0、1、0……… ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n =1 n ②若已知数列的前项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n =⎧求解. S -S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ≥2n -1⎧n (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1) n , n ≥1．求数列{a n }的通项公式. ②已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2+n -1，求数列{a n }的通项公式. ③已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比0 {b n }的通项公式。 ③解析：由题意，b n +1=a n +2+a n +3，又{a n }是等比数列，公比为q ∴
b n +1a n +2+a n +3 ==q ，故数列{b n }是等比数列，b 1=a 2+a 3=a 1q +a 1q 2=q (q +1) ，b n a n +1+a n +2 ∴b n =q (q +1) ⋅q n -1=q n (q +1) ◆三、归纳猜想法 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项 公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。 例3. （2002年北京春季高考）已知点的序列A n (x n , 0), n ∈N *，其中x 1=0，x 2=a (a >0) ，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n -2A n -1的中点，… （1）写出x n 与x n -1, x n -2之间的关系式（n ≥3）。 （2）设a n =x n +1-x n ，计算a 1, a 2, a 3，由此推测{a n }的通项公式，并加以证明。（3）略 解析：（1）∵A n 是线段A n -2A n -3的中点，∴x n =（2）a 1=x 2-x 1=a -0=a ，x n -1+x n -2 (n ≥3) 2 a 2=x 3-x 2= x 2+x 111 -x 2=-(x 2-x 1) =-a ， 222x 3+x 211 -x 3=-(x 3-x 2) =a ，