递推数列
一、知识点介绍
定义1 对于任意N n ∈,由递推关系
()n k n k n k n a a a f a ,,,21Λ-+-++= 确定的数列{}n a 称之为递推数
列，或称递归数列.若f 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列.
数学竞赛中的数列问题主要涉及到递推数列，并且常常是非线性递推数列.
定义2 若数列{}n a 从第k 项以
后任一项都是其前k 项的线性组合，即
n k k n k n k n a a a a λλλ+++=-+-++Λ2211 ①
其中k N n λλλ,,,21Λ∈是常数，
0≠k λ，则称{}n a 为k 阶线性递推数
列，①称为{}n a 的递推方程.与递归方
程相应的代数方程
()02211≠+++=--k k k k k x x x λλλλΛ ②
称为k 阶线性递归数列{}n a 的特征方
程.
例如，公比为q 的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为n n qa a =+1()0,0,1≠≠∈q a N n .等差数列是二阶线性递归数列,递归方程为()N n a a a n n n ∈-=++122.著名的斐波那契数列也是二阶线性递归数列,递归方程为()112≥+=++n a a a n n n ,初始条件为121==a a .
1.一阶递归数列
一阶递归数列的一般形式为： ()()()()()，为常数0.
11≠⎩⎨⎧=+=+n p a a a n q a n p a n n
其特例为：
（1）()01≠=+p pa a n n ，这就是等比数列.
（2）()0,01≠≠+=+q p q pa a n n . 当1=p 时数列为等差数列.
当0,0,1≠≠≠q p p 时,可用待定系数法求解.
令()λλ-=-=+n n a p a 1,求得p q -=1λ，从而有⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=--+p q a p p q a n n 111，所以数列⎭⎬⎫⎩
⎨⎧--+p q a n 11是首项为p q a --11，公比为p 的等比数列.
（3）()()01≠+=+p n q pa a n n . 两边同除以1+n p ,得
()111++++=n n n n n p
n q p a p a ,令n n n p a b =,则()11+++=n n n p
n q b b ,由此可用累加的方法求出n b ,从而求出n a .
(4) ()()01≠+=+q q a n p a n n .
解决这类问题的思想方法,通常也是利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列.
二
、递推
数列
例
1 如
图，
Λ
Λ,,,21n A A A 顺次
在x 轴上，ΛΛ,,,,21n B B B 顺次在曲线
x y =上，且11B OA ∆，221B A A ∆，
……，n n A B A 1-n ∆，
……为正三角形，求n OA .
分析 22111,B A A B OA ∆∆Θ，332B A A ∆，……，都是正三角形，∴
点1B 的横坐标为112
121x OA =，点2B 的横坐标为)(2
1121x x x -+. 利用点1B ，2B ，3B ，……在曲线
x y =上的条件，可以推出,,,321x x x ……，利用直线1+k k B A 的参数方程
⎩⎨⎧+=+=οο60
sin 60cos t y y t x x k k （其中
k k x x t -=+1）. 可推出k n =到1+k 的递推关系，则可用数学归纳法证明n x 的公式.
解法1 ∵点)2
3,2x (111x B 在曲线x y =上，
∴2
2311x x =，由此可得)21(3
1321⨯==x .直线21B A 的参数方程为
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=οο60
sin 60cos 32t y t x )(12x x t -=， ∴t t 2
132432+=，即3
4,038232==--t t t ， 323
12343212⨯⨯==+=+=t x x . 类似地433
143⨯⨯==x . 猜想)1(3
1+=n n x n .下面用数学归纳法证明.
直线1+k k B A 的参数方程为
⎩⎨⎧=+=οο
60
sin 60cos t y t x x k （k k x x t -=+1）， ∴t x t k 2
1432+=，即04232=--k x t t . 如果设)1(3
1+=k k x k ，则0)1(3
4232=+--k k t t ，)1(32+=k t ， ∴
t x x k k +=+1)1(3
2)1(3+++=k k k =)2)(1(3
1++k k . 故1+=k n 时，命题)1(3
1+=n n x n 也正确.
∴n 为一切自然数时，)1(3
1+=n n x n 都成立，即
)1(3
1+=n n OA n . 解法2 同解法1，2,3
221==x x . 依题意得n B 的坐标为
)60tan 2
,2x (11n οn n n x x x -+++. 又点n B 在曲线x y =上，所以2
3211+++=⋅-n n n n x x x x ， 所以 )(2)(3121n n n n x x x x +=-++
①
以n 置换1+n ，得
)(2)(3121--+=-n n n n x x x x ②
①-②并整理，得
)2)((31111-+-++--n n n n n x x x x x ()112-+-=n n x x ③
因为011>--+n n x x ，所以，有
322x 11n =+--+n n x x ④
式④是二阶线性递归方程，可写
成 3
2)()(11=----+n n n n x x x x . 所以数列{}n n x x -+1是以3
2为公差的等差数列，又3
412=-x x ，所以 )1(3
2)1(32341+=-+=-+n n x x n n ， ∑+=--=111)1(3
2n k n k x x ，
]1)1(2
1[3232-++=n n x n )1(3
1+=n n . 即)1(3
1+=n n OA n . 说明 本例给出的数学问题转化为数列问题，给定一个数列一般
有两种方式：一是给出通项公式)(n n f a =；二是给出前一项或有限项，再给出第n 项与前几项
,,21--n n a a …的关系式
（这一关系称为递推关系）.于是，可用每项都递归到前几项的方法，逐个地求出各项.
人们从问题的特例出发，借助于递推关系，猜出问题的一般结论，并通过递推关系，运用数学归纳法，证明自己猜想的思维方法，称为递推观点，这里不仅有归纳思维（从特殊到一般的合情推理），而且有利用递推关系来进行推理的逻辑思维.
问题里的递推关系有的是明显的，但也有的是隐含的，由于它既是进行归纳思维的工具，又是数学归纳法论证部分的关键，因此根据题意分析出递推关系，是应用递推观点解题的首要任务，其次要善于应用递推关系的变形引入辅助数列，从而猜出一般规律.
例2 设
x
a cot 1=，
x n x a a n n )1sin(cos 1--=-，试求数列
{}n a 的通项n a .
分析 x a cot 1=，
x x x x x a a sin cos cot sin cos 12-=-=x x
x x x sin 2cos sin sin cos 2
2=
-=， x x a a 2sin cos 23-=x x x x x x sin 3cos 2sin sin cos 2cos =-=，
x
x a a 3sin cos 34-=x
x x x x x x sin 4cos sin sin 3sin cos 3cos =-=，
……
至此已猜出x
nx
a n sin cos =.这一猜
想是否正确，有待于证明.
证 根据分析，已猜出x
nx a sin cos n =，
下面应用数学归纳法证明
当1=n 时，x x
x
a cot sin cos 1==
，命题成立.
设k n =时，命题成立，即x
kx a k sin cos =.
当1+=k n 时，
x k x a a k k )11sin(cos 1-+-=+
x
x kx x kx sin sin sin cos cos -=
x
x k sin )1cos(+=,
∴1+=k n 时，命题也成立. 故n 为一切自然数时，x
nx a n sin cos =成立.
例3 已知数列{}n a 中，21=a ，
341+=+n n a S ，求n a .
分析 本题的递推关系，不是
1n +a 与n a 的关系式，因此必须把
341+=+n n a S 改变形式.利用n n n S S a -=++11导出1+n a 与n a ，1-n a 之间
的关系，引入适当的辅助数列，使问题获解.
解 ∵)34(34111+-+=-=-++n n n n n a a S S a )(41--=n n a a
∴
)2(2422111--+-=-=-n n n n n n a a a a a a .
令n n n a a c 21-=+，则12-=n n c c ，而52121=-=a a c ，
（∵211234a a a S +=+=,∴
93312=+=a a ）
∴{}n c 是以51=c 为首项，公比
2=q 的等比数列.
故 1
25-⋅=n n c ，
∴ 1
1252-+⋅=-n n n a a . 两边同除以1
2+n ，得 4
5
2211=-++n n n n a a . 故数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n a 2是以121=a 为首项，
4
5
为公差的等差数列.从此可得 45)1(12
-+=n a n
n . ∴
)15(2)4
5451(22
-=-+=-n n a n n n
例4 若数列{}n a 满足01=a ，
12=a ，且n
n n a a a 22312n =+-++，求?=n a
解 由已知递推式，得
()n
n n n n a a a a 22)2(112=---+++,
令
n
n n a a b 21-=+，则
n
n n b b 21=-+，所以
∑∑=-=-==--n k n
k k k k n b b b b 2
2
1
112
)(,
()∑-=+-==-n
k n
k n a a b 2
1
12122
2，
即 1221-=-+n
n n a a ，
两边同除以n 2，得
n n n n n a a 2
1
12211-=--+， 所以 ∑∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+11111121122n k n k k k k
k k a a , ∑∑-+==-=-1-n 1k 1111
21
122
n k k n n a a )2
11()1(01----+=n n 121
)2(-+-=n n .
所以 12
)2(1
+-=-n n n a .
例5 在数列{}n a 中，11=a ，
3
1n +=
+n n
a a a .求n a .
解 由31n +=+n n
a a a 取倒数，得
n
n n n a a a a 31311+=+=+，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++211321
11n n a a . 所以数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+211n a 是以3为公比
的等比数列，其首项为
232112111=+=+a ，故
n
n a 32
13232111n ⋅=⋅=+-. 所以1
31
n -=n a .
例6 若数列{}n a 满足51=a ，且
3
131
+--=+n n n a a a ，,,2,1Λ=n 求n a . 解
令1n +=n b a ，则
111+=++n n b a ，
22
33)1(1)1(311+-+=++--+=++n n n n n b b b b b ,
2
412231
+-=-+-+=+n n n n n b b b b b ,4
12111-=+n n b b . 再令n
n b C 1
=，则41211-=+n n C C .
变形为)2
1
(21211+=++n n C C .
数列⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
+21n C 是以211+C 即43为
首项，以2
1
为公比的等比数列，由等
比数列通项公式，有
1
214321-⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅=+n n C ，
11
2
23212143+--=-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n n
n n C ，所以
n
n n b 232
1
-=
+，n
n n n n n a 233
22123211-+-=+-=++. 三、用特征根法求二阶线形递推数列通项
求二阶线性齐次递推数列通项的一般方法.
为了研究的方便,我们把递推式
11-++=n n n qx px x 写成如下形式：
011=---+n n n qx px x
（Ⅰ）
其中p 、q 为非零实常数. 定义1 方程
02
=--q pr r （Ⅱ）
称为（Ⅰ）对应的特征根.
定义2 如果一个数列满足递推公式（Ⅰ），则称这个数列为（Ⅰ）的一个解.
定理1 若r 是（Ⅱ）的一个根，
则}{n
r 是（Ⅰ）的一个解.
证明：因为r 是（Ⅱ）的一个根，所以02
=--q pr r ，两边同乘以1
-n r ，
得01
1
=---+n n
n qr pr r .所以}{n
r 是
（Ⅰ）的一个解.
定理 2 若}{n
r 为（Ⅰ）的一
个解,则{}n
cr 也是（Ⅰ）的一个解,其中c 为任意常数;若{}n
r 1
与{}n r 2
是（Ⅰ）
的解,则{}n n r c r c 2
21
1+也是（Ⅰ）的解.
其中1c 、2c 为任意常数.
证明：若{}n
r 为（Ⅰ）的一个解，
则01
1
=---+n n
n qr
pr r
两边同乘以c ，
得01
1
=---+n n n qcr
pcr cr
.
所以, {}n
cr 也是（Ⅰ）的一个解. 若{}n r 1
与{}n r 2
是（Ⅰ）的解,则
011
111
=---+n n n qr pr r
①
012
212
=---+n n n qr pr r
②
21c c ⨯+⨯②①，得
()()(2
211
12
21
112
211
1+-+-+-++n n n n n r c r
c q r
c r
c p r
c r
c
所以{}n
n r c r c 2
21
1+也是（Ⅰ）的解.
定义3 含有两个任意常数1c 、2c 的解{}n n
r c r c 2
21
1+称为
（Ⅰ）的通解；当给出两个初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）以后，可以确定常数1c 及2c ，得到满足（Ⅰ）的一个解，这个解称为（Ⅰ）的一个特解.
二阶递推数列的递推公式的通解含有两个任意常数，k 阶递推数列的递推公式的通解含有k 个任意常数，即通解所含任意常数的个数与递推数列的阶数相同.
下面再来介绍特征根法.
由递推公式（Ⅰ）的初始值
数列的递推公式及通项公式 数列是数学中一个重要的概念，是由一组按照特定规律排列的数所 组成的序列。数列有两种常见的表示方式：递推公式和通项公式。本 文将从基本概念入手，详细介绍数列的递推公式和通项公式，并结合 实例加深理解。 一、数列的基本概念 数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。数列中的每 一个数称为该数列的项，用an表示。通常用字母n表示项的位置。 例如，1, 3, 5, 7, 9, ... 是一个递增的奇数数列。其中1是第1项，3 是第2项，5是第3项，以此类推。 二、递推公式 递推公式也称为递推关系式或递推式，用于表示数列中的每一项与 前一项之间的关系。通过递推公式，可以通过给定的前几项，求解后 面的任意项。 递推公式的一般形式为an = f(an-1)，其中f表示规定的函数或运算。可以根据数列的特点来确定递推公式。 例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9, ...，我们可以观察到每一项与前一 项之间的关系是+2。因此，递推公式可以表示为an = an-1 + 2。 三、通项公式
通项公式是用一个公式直接表示数列的第n项，无需通过前面的项 推导得到。通项公式更为简洁，可以方便地计算数列中任意一项的值。 通常用公式an = f(n)表示数列的通项公式，其中f(n)表示与项的位 置n有关的函数或运算。 以等差数列为例，假设首项是a1，公差是d，那么通项公式可以表 示为an = a1 + (n-1)d。其中，a1表示首项的值，n表示项的位置，d表 示公差。 四、使用递推公式和通项公式的实例 1. 递推公式实例：考虑一个数列，首项是2，每一项都是前一项的 3倍。我们可以得到递推公式an = 3 * an-1。 根据递推公式，可以计算数列的前几项： a1 = 2 a2 = 3 * a1 = 3 * 2 = 6 a3 = 3 * a2 = 3 * 6 = 18 a4 = 3 * a3 = 3 * 18 = 54 ... 2. 通项公式实例：考虑一个等差数列，首项是1，公差是4。我们 可以得到通项公式an = 1 + (n-1) * 4。 使用通项公式，可以计算数列的任意一项：
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。 一、数列的递推公式 数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。 1.1 线性递推公式 线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。 例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。 1.2 非线性递推公式 非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。 二、数列的通项公式 数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。通项公式也常被称为数列的一般项公式。 2.1 等差数列的通项公式 等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。 例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。 2.2 等比数列的通项公式 等比数列也是常见的数列类型，它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比。 举例来说，如果一个等比数列的首项为2，公比为3，则它的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等比数列中的任意一项。
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。 一、递推公式 递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。 1.1 线性递推 线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。其一般形式如下： an = a(n-1) * r + d 其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。 例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。根据数列的特点可以确定递推公式为： an = a(n-1) + 2 通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。 1.2 非线性递推
非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是 通过其他的方式来确定。例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性 递推数列。 斐波那契数列的递推公式为： an = a(n-1) + a(n-2) 其中，a1 = 1，a2 = 1。根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的 每一项。 二、通项公式 通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。 2.1 线性通项 线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。其 一般形式如下： an = a1 + (n-1) * d 其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。 以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通 过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。 2.2 非线性通项
求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++ =+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111 +- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a = ▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121 n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211==⋅=---. 故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1(2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由 1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，因此} {n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121 -= +++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ，即)2(2 12 +-=n n a n 四、积差相消法
数列递推公式 数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的 数字。数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一 项之间的关系。在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以 及应用。 一、数列递推公式的定义 数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。数列中的每 一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。数列可 以是有限的，也可以是无限的。对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。 数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。数列递 推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的 前几项，推导出后面的项。 二、数列递推公式的性质 1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中 d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。也就是说，每一项与前一项 之差都是相等的。 2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和 bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。
3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。 三、数列递推公式的应用 数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。以下是数列递推公式的一些应用示例： 1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。 2. 等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ... 等差数列是一个对应项之差都相等的数列，满足递推公式an = an-1 + 3。等差数列在代数学中经常出现，用于解方程、求和等问题。 3. 等比数列：1, 3, 9, 27, 81, ... 等比数列是一个对应项之比都相等的数列，满足递推公式an = 3 * an-1。等比数列在几何学和财务学等领域广泛应用。 总结： 数列递推公式是描述数列中每一项与前一项之间关系的重要工具。通过数列递推公式，我们可以根据已知的前几项，推导出后面的项。这种概念和方法在数学、物理学等学科中有着广泛的应用。因此，了解数列递推公式的定义、性质以及应用是十分重要的。
数列的递推公式 数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。 一、定义数列 数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。通常用字母{n}表示数列中的第n项。 二、等差数列的递推公式 等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。 设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为： aₙ = a₁ + (n-1)d 例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算： aₙ = 2 + (n-1)3 三、等比数列的递推公式 等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的 递推公式为： aₙ = a₁ * r^(n-1) 例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项 aₙ可以通过递推公式计算： aₙ = 2 * 2^(n-1) 四、斐波那契数列的递推公式 斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。斐波那 契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。 设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐 波那契数列的递推公式为： aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁ 例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式 计算出后续的项。 五、其他数列的递推公式 除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还存在其他类型的数列，它们各自具有特定的递推公式。 例如，如下所示的数列为自然数的平方数列： 1, 4, 9, 16, 25
递推数列 一、知识点介绍 定义1 对于任意N n ∈,由递推关系 ()n k n k n k n a a a f a ,,,21Λ-+-++= 确定的数列{}n a 称之为递推数 列，或称递归数列.若f 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列. 数学竞赛中的数列问题主要涉及到递推数列，并且常常是非线性递推数列. 定义2 若数列{}n a 从第k 项以 后任一项都是其前k 项的线性组合，即 n k k n k n k n a a a a λλλ+++=-+-++Λ2211 ① 其中k N n λλλ,,,21Λ∈是常数， 0≠k λ，则称{}n a 为k 阶线性递推数
列，①称为{}n a 的递推方程.与递归方 程相应的代数方程 ()02211≠+++=--k k k k k x x x λλλλΛ ② 称为k 阶线性递归数列{}n a 的特征方 程. 例如，公比为q 的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为n n qa a =+1()0,0,1≠≠∈q a N n .等差数列是二阶线性递归数列,递归方程为()N n a a a n n n ∈-=++122.著名的斐波那契数列也是二阶线性递归数列,递归方程为()112≥+=++n a a a n n n ,初始条件为121==a a . 1.一阶递归数列 一阶递归数列的一般形式为： ()()()()()，为常数0. 11≠⎩⎨⎧=+=+n p a a a n q a n p a n n
其特例为： （1）()01≠=+p pa a n n ，这就是等比数列. （2）()0,01≠≠+=+q p q pa a n n . 当1=p 时数列为等差数列. 当0,0,1≠≠≠q p p 时,可用待定系数法求解. 令()λλ-=-=+n n a p a 1,求得p q -=1λ，从而有⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--=--+p q a p p q a n n 111，所以数列⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧--+p q a n 11是首项为p q a --11，公比为p 的等比数列. （3）()()01≠+=+p n q pa a n n . 两边同除以1+n p ,得
推导数列的递推公式与通项公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。在数列中，通过递推公式和通项公式可推导出数列中的任意项。本文将介绍推导数列的递推公式与通项公式的方法。 一、递推公式的推导方法 递推公式是指通过已知的数列项求解下一项的公式。一般情况下，递推公式可以由数列中相邻项之间的关系推导而来。 以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示数列中第n项，f(n-1)表示第n-1项，f(n-2)表示第n-2项。 推导斐波那契数列的递推公式的思路如下： 1. 确定数列中第n项与前两项的关系； 2. 根据数列中相邻项的关系，将第n项表示为前两项的和。 对于其他数列，推导递推公式的方法也是类似的，根据数列中相邻项的关系，找出其中的规律并表示为公式。 二、通项公式的推导方法 通项公式是指通过已知数列中的某一项求解任意项的公式。通项公式能够直接计算数列中的任意项，无需依次计算中间项。
通项公式的推导可通过数列的规律和特点进行分析和归纳。以下以 等差数列和等比数列为例，介绍通项公式的推导方法。 1. 等差数列 等差数列的通项公式为：An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项， A1表示首项，d表示公差。 推导等差数列的通项公式的方法如下： 1. 分析数列的特点，找出数列中每一项与首项的关系； 2. 根据数列中项与首项的关系，将第n项表示为首项与公差的函数。 2. 等比数列 等比数列的通项公式为：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项， A1表示首项，r表示公比。 推导等比数列的通项公式的方法如下： 1. 分析数列的特点，找出数列中每一项与首项的关系； 2. 根据数列中项与首项的关系，将第n项表示为首项与公比的函数。 通过以上的例子，我们可以看出推导数列的递推公式与通项公式的 方法都是根据数列中项与前一项或首项的关系进行分析和推导的。 总结： 推导数列的递推公式与通项公式的方法需要根据数列的特点和规律 进行分析和归纳。对于一般的数列，可以通过观察数列中相邻项的关
数列的递推关系 数列是由一系列按特定顺序排列的数字所组成的序列。在数学中，数列的递推关系是指通过已知的数列项和数学规律，来确定下一个数列项的规则。通过递推关系，我们可以根据已知的数列项计算出后续的数列项，进而推导出整个数列的特征和性质。 一、等差数列的递推关系 等差数列是最常见的数列之一。在等差数列中，每个数都与它前面的数之差保持相等，这个差值称为公差。我们可以通过公差来找到等差数列的递推关系。 例如，给定等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，可以使用以下递推公式来计算数列的任意一项： aₙ = a₁ + (n - 1) * d 这个递推关系告诉我们，等差数列的每一项都是前一项加上公差的结果。通过这个递推公式，我们可以计算出等差数列的任意一项。 二、等比数列的递推关系 与等差数列类似，等比数列也是一种常见的数列形式。在等比数列中，每个数字都与前面的数字之比保持相等，这个比值称为公比。我们可以通过公比来找到等比数列的递推关系。 例如，给定等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，可以使用以下递推公式来计算数列的任意一项：
aₙ = a₁ * r^(n-1) 这个递推关系告诉我们，等比数列的每一项都是前一项乘以公比的 结果。通过这个递推公式，我们可以计算出等比数列的任意一项。 三、斐波那契数列的递推关系 斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。斐 波那契数列的递推关系可以通过以下递推公式来表示： Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ 其中，Fₙ表示第n项，Fₙ₋₁表示第n-1项，Fₙ₋₂表示第n-2项。 斐波那契数列的递推关系非常特殊，它展现了一种自然界中广泛存 在的规律，在数学和自然科学中都具有重要的应用价值。 结论 数列的递推关系在数学中扮演着重要的角色。通过递推关系，我们 可以根据已知的数列项计算出后续的数列项，推导出数列的特征和性质。等差数列、等比数列和斐波那契数列都是常见的数列类型，它们 分别有各自的递推关系。熟练掌握这些递推关系，有助于我们更好地 理解和应用数列的概念。
(完整版)递推法求数列通项 1. 引言 数列是数学中常见的概念，它由一系列按照特定规律排列的数值组成。求数列的通项是数学中重要的问题之一，它可以帮助我们对数列进行更深入的理解和研究。本文将介绍递推法求数列通项的方法和步骤。 2. 递推法概述 递推法是一种根据已知的前面几项数值，通过递推关系式推导出后续项数值的方法。在求数列通项中，递推法可以帮助我们找到数列中每一项与前面项之间的关系，从而确定数列的通项。 3. 递推法求数列通项的步骤 步骤1：观察数列的规律
首先，我们需要观察数列的前几项，寻找数列中的规律。通过观察，我们可以尝试找到每一项与前面几项之间的关系，例如相邻项之间的差值、比值等。 步骤2：建立递推关系式 在观察数列规律的基础上，我们可以通过建立递推关系式来描述数列中每一项与前面项之间的关系。递推关系式可以是一个等式或不等式，它能够用已知的前面项数值表示出后续项的数值。 步骤3：利用递推关系式求解通项 利用建立好的递推关系式，我们可以通过迭代运算求解数列的通项。从已知的初始项开始，根据递推关系式逐步计算得到后续项的数值，直到求出指定位置的项。 步骤4：验证递推关系和通项的正确性
在求解出数列的通项之后，为了验证递推关系和通项的正确性，我们可以代入一些已知的项数值进行检查。如果递推关系和通项能 够满足已知的数值，那么可以确认求解结果的正确性。 4. 数列通项的举例 以下是两个常见数列的求解通项的例子： 等差数列 已知等差数列的前两项分别为 a1 和 a2，公差为 d。根据递推 法可以得到，等差数列的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d，其中 n 表示数列的第 n 项。 等比数列 已知等比数列的前两项分别为 a1 和 a2，公比为 q。根据递推 法可以得到，等比数列的通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 n 表示数列的第 n 项。
求数列递推表达式常用的八种方法 1. 通项公式法（Explicit Formula Method） 通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达 式的方法。根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学 模型来表示数列的通项公式。该公式可以直接给出任意项的值，无 需依赖于前面的项。 2. 递推关系法（Recurrence Relation Method） 递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推 表达式。递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质 来确定。 3. 线性代数法（Linear Algebra Method）
线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列 的递推表达式。可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。 这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。 4. 拟合法（Curve Fitting Method） 拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推 表达式。可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函 数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。这种方法适用于不 规律和随机的数列。 5. 差分法（Difference Method） 差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。可 以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列 的递推表达式。这种方法适用于差分规律明显的数列。 6. 特殊性质法（Special Property Method）
特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。可以利 用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。 7. 生成函数法（Generating Function Method） 生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进 行操作来求解递推表达式。可以利用生成函数的性质和运算法则来 求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。这种方法适用于较为 规则的数列。 8. 递归法（Recursive Method） 递归法是将数列的求解递归地定义为前面若干项的求解。通过 编写递归函数来实现数列的递归求解，进而得到递推表达式。这种 方法适用于递归结构明显的数列。 以上为求数列递推表达式常用的八种方法，每种方法都有其适 用的情况和限制条件。在实际应用中，要根据数列的性质和已知条 件选择适合的方法，并进行合理的推导和验证。
几种由递推式求数列通项的方法介绍 求数列通项通常可以通过递推式来实现，即通过之前的项推导出后一项。下面介绍几种常见的方法： 1.直接法： 直接法是最基本的一种方法，即通过观察数列中的规律，找出递推式，然后根据递推式求解通项。这种方法适用于简单的数列，如等差数列、等 比数列等。 例如，求等差数列1, 3, 5, 7, ...的通项。由观察可知，每一项与 前一项的差值为2，即递推式为an = an-1 + 2、再根据首项a1 = 1，得 到an = 2n-1 2.假设法： 假设法是一种通过假设通项形式来求解递推式的方法。通过猜测通项 的形式，并将它代入递推式中，得到一个等式，再通过递推式和等式求解 未知系数。 例如，求Fibonacci数列的通项。观察Fibonacci数列的前几项0, 1, 1, 2, 3, 5, ...，可以猜测通项形式为an = A * φ^n + B * (1- φ)^n，其中A和B为待定系数，φ为黄金分割比。将该通项代入Fibonacci数列的递推式an = an-1 + an-2，得到A = 1/√5，B = - 1/√5、因此，Fibonacci数列的通项为an = (1/√5) * (φ^n - (1- φ)^n)，其中φ约等于1.618 3.代数法：
代数法是通过代数运算来求解通项。将数列的递推式变形为一个方程，再通过方程求解通项。 例如，求等比数列1, 2, 4, 8, ...的通项。观察可知，每一项与前 一项的比值为2，即递推式为an = 2 * an-1、变形方程为an = 2 * an-1，将an-1代入等式中得到an = 2^n。因此，等比数列的通项为an = 2^n。 4.积分法： 积分法适用于一些特殊的数列，如等差递减数列、等比递减数列等。 通过对递推式进行积分，可以得到一个通项形式的积分表达式。 例如，求等差递减数列1, 4/3, 1, ...的通项。观察可知，每一项 与前一项的差值为-1/3，即递推式为an = an-1 - 1/3、对递推式进行积 分得到通项的积分表达式∫an dn = ∫(-1/3) dn，即an = C - n/3，其 中C为常数。再利用首项a1 = 1，可以求得C = 4/3、因此，等差递减数 列的通项为an = 4/3 - n/3 总结： 以上介绍的几种方法是求解递推式数列通项的常用方法，不同的数列 可以选用适合的方法来求解。除了上述方法外，还可以利用数列的性质进 行求解，如利用对称性、周期性等特点。此外，对于更复杂的数列，还可 以采用数学归纳法、矩阵法等方法来求解通项。
递推数列的概念与性质 数列是数学中重要的概念之一，而递推数列是数列中常见的一种形式。本文将介绍递推数列的概念与性质，并通过例子来说明其应用。 一、递推数列的概念 递推数列是一种由前一项或前多项推出后一项的数列。其基本形式 可以表示为：给定数列的首项$a_1$和递推关系$f(n)$，则数列的通项 公式可以表示为： \[ a_n = f(a_{n-1}) \] 其中$n$表示数列的位置。 递推数列常见的表示方法有三种：显式表示、隐式表示和递归定义。显式表示是通过给定递推公式得到数列项的直接表达式，而隐式表示 是通过给定递推公式得到数列项的关系式。递归定义则是通过给定数 列的首项和递推关系逐步推导后一项。 二、递推数列的性质 1. 有界性：递推数列可以是有界或无界的。有界数列是指存在一个 实数$M>0$，使得对于所有的$n\in\mathbb{N}$，都有$|a_n|\leq M$。 无界数列则是相反的情况。 2. 单调性：递推数列可以是单调递增或单调递减的。单调递增数列 是指对于所有$n\in\mathbb{N}$，都有$a_n\leq a_{n+1}$。单调递减数 列则是相反的情况。
3. 整体性：递推数列可以是整体有序或整体无序的。整体有序数列 是指对于所有的$m,n\in\mathbb{N}$，如果$m 数列递推关系 数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元 素与它的前一个或前几个元素的关系。在数学和应用数学中，数列递 推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学 等领域。 数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。线性递推是指 数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。比如斐波那契数列就 是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。非 线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。 线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式 为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n- 1个元素，An-2表示第n-2个元素。这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。 非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或 迭代的方式来计算。比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r 为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。这个递推关系说 明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。 数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。在物理学中，递推关系可以 描述连续物理系统的运动规律。在经济学中，递推关系可以解释市场 供求关系和经济变量之间的相互作用。 总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。 1 十大递推数列求通项： (1)等差数列：a n =a n-1+d 例1：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =3n-2. (2)等比数列： a n =a n-1q 例2：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =2a n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =12-n . (3)似等差数列： a n =a n-1+f(n) 用叠加法。 例3：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3n+1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =2 65n 3n 2-+. (4)线性数列： a n =pa n-1+q 构造等比数列。 例4：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =2a n-1-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =12+n . (5) 似等比数列： a n =a n-1f(n) 叠乘法。 例5：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =na n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =3n ！. (6)三项递推： a n =pa n-1+qa n-2 设a n+1-xa n =y(a n -xa n-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出。 例6：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =3a n-1-2a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =2n -1. 例7：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =(n+1)2n-2. 例8：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=4,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =n2n-1. 例9：已知：数列{a n }中a 1=2,a 2=3,a n =5a n-1-6a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =3×2n-1-3n-1. 例10：已知：数列{a n }中a 1=a,a 2=b,a n =a n-1-a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答周期为6. 例11 (2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)福建卷(新课程)) （22）已知数列满足 （I ）证明：数列是等比数列；（II ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）若数列 满足 证明 是等差数列。 (7)似线性数列：a n+1=pa n +f(n) ， 变为 1 11) (++++=n n n n n p n f p a p a ，即化为（3）型。 特别地①1n n a pa bn c +=++型，还可以令1(1)()n n a x n y p a xn y +-+-=--，待定系数x,y ，构造等比数列，要比通法简单。 ②1n n n a pa q b +=++型，还可以令11()n n n n a xq y p a xq y ++--=--，待定系数x,y ， 求递推数列的通项公式的十一种方法 递推数列是由前一项或多项推导出后一项的数列，它们可以通过递归 关系或差分方式进行定义。求递推数列的通项公式是找出能够独立表示每 一项的公式，使得通过这个公式可以直接计算任意项的值。下面将介绍十 一种常见的方法来求解递推数列的通项公式。 方法一：直接观察法 通过列出数列的前几项，观察数列之间的规律，然后基于这些观察结 果推测通项公式。 方法二：差分法 将数列的每一项与其前一项之差构成一个新数列，不断进行差分直到 差分数列达到常数，然后反向求和得到通项公式。 方法三：代数法 假设数列的通项公式为一般形式的多项式，然后利用已知的数列值列 立方程，解方程组得到多项式系数，从而得到通项公式。 方法四：递推法 通过递推关系来构建数列的通项公式，将每一项表示为前几项的组合，然后找到递推关系式。 方法五：生成函数法 将数列看作是一个幂级数的系数列，将幂级数与数列关联起来，通过 生成函数展开来求解通项公式。 方法六：递归定义法 通过递归定义来求解通项公式，将每一项表示为前几项的和或积，然 后依次展开递归定义，直到推导出通项公式。 方法七：和差公式法 利用和差公式将数列拆分成若干项之和或差，然后利用和差公式的性 质来推导通项公式。 方法八：数学归纳法 使用数学归纳法来证明递推数列的通项公式。首先证明递推数列的第 一项成立，然后假设第n项成立，然后证明第n+1项也成立。 方法九：特征根法 为递推数列构建特征方程，然后求解特征方程的根，从而得到通项公式。 方法十：线性代数法 将递推数列构建成矩阵形式，然后求解矩阵的特征向量，从而得到通 项公式。 方法十一：解析函数法 递推数列可以看作是解析函数的离散表现，通过将数列表示为解析函 数的形式，然后求解函数的表达式，从而得到通项公式。 上述是求递推数列通项公式的十一种常见方法，它们在实际问题中都 有一定的应用，可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解通项公式。 寒假专题———常见递推数列寒假专题——常见递推数列 数列是数学中的一个重要概念，它是按一定规律排列的数的集合。 而递推数列则是数列的一种特殊形式，其中的每一项都依赖于前面一 项或前几项。在寒假期间，我们可以通过学习和探索常见的递推数列，进一步加深对数学的理解。本文将介绍几种常见的递推数列及其特点。 斐波那契数列是最著名的递推数列之一。它的定义是前两项为1， 之后的每一项都等于前两项的和。斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，可以用递推公式表示为Fn = Fn-1 + Fn-2。 除了斐波那契数列，还有等差数列和等比数列。等差数列是指数列 中的每一项与前一项之差都相等的数列。等比数列则是指数列中的每 一项与前一项的比值都相等的数列。等差数列和等比数列的递推公式 分别为An = A1 + (n-1)d和An = A1 * r^(n-1)，其中n表示数列中的第n 项，A1表示第一项，d表示公差（对于等差数列），r表示公比（对于 等比数列）。 在寒假期间，我们可以通过练习一些常见的递推数列题目，提高思 维能力和数学推理能力。下面是一些常见的练习题： 1. 求斐波那契数列的第n项。 2. 已知等差数列的前两项为3和7，且第5项为15，求公差及前n 项和。 3. 若等比数列的第2项为6，且前四项的和为90，求公比及第n项。 通过解决这些题目，我们可以锻炼自己的数学推理能力，提高解决 问题的能力。 除了常见的数列，还有一些特殊的数列也是我们在寒假期间可以学 习的，如等差数列的平方数列、倒数数列等。这些数列的特点独特， 通过学习和探索，我们可以对数学的应用更加深入地理解。 总结起来，递推数列是数学中的一个重要概念，通过寒假期间练习 和学习常见的递推数列，我们可以提高自己的数学推理能力和解决问 题的能力。在解决问题的过程中，我们还可以培养自己的逻辑思维和 创新思维，为日后的学习打下坚实的数学基础。寒假是一个学习的好 时机，希望大家能够充分利用这个时间，进一步提升自己的数学水平。 数列的几种递推公式 一、 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 二、 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。 例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---= 3437 526 331348531n n n n n --= ⋅⋅⋅⋅=---。 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则 {a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ， n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-1 3423121,,4,3,1, 1， 将以上n 个式子相乘，得2 ! n a n =)2(≥n 三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。数列递推关系
数列的十种典型递推式
求递推数列的通项公式的十一种方法
寒假专题———常见递推数列
数列的几种递推公式
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