数列求和常用公式:
1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6）1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+......
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+..........+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1
ps：数列的性质：
等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a +
a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比= （≠－1），则a = ．
5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd，= ；当项数为(2n －1) (n )时，S －S = a ，= ．
⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则= ．
⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y = x + (a －)上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：
a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0
且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列
数列的递推关系与通项公式 数列是数学中常见的一个概念，它是由一系列数字按照一定规律排 列而成的。在数列中，我们常常会遇到递推关系和通项公式，它们对 于数列的性质分析和计算都是非常重要的。 一、递推关系 递推关系是指数列中后一项与前一项之间的关系式。通过递推关系，我们可以通过已知的数列项来求解下一个数列项。在数学中，常见的 递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。 1. 线性递推关系 线性递推关系是指数列中后一项与前一项之间存在一个固定的等差 或等比关系。以等差数列和等比数列为例，我们可以分别列出它们的 递推关系。 - 等差数列的递推关系通常为：a(n) = a(n-1) + d，其中a(n)表示第n 项，d表示公差。 - 等比数列的递推关系通常为：a(n) = a(n-1) * r，其中a(n)表示第n 项，r表示公比。 2. 非线性递推关系 非线性递推关系是指数列中后一项与前一项之间的关系不满足等差 或等比关系。这种递推关系具有较强的灵活性，因此在实际应用中较 为常见。例如斐波那契数列就是一种非线性递推关系。
二、通项公式 通项公式是指数列的第n项与n的关系式，它可以通过求解递推关 系或利用数列的性质推导出来。通项公式可以直接给出数列的任意一项，方便计算和分析。 1. 等差数列的通项公式 对于等差数列来说，其通项公式为：a(n) = a(1) + (n-1) * d，其中 a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。 2. 等比数列的通项公式 对于等比数列来说，其通项公式为：a(n) = a(1) * r^(n-1)，其中a(n) 表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。 3. 其他数列的通项公式 对于其他数列，如果能够找到递推关系，就可以尝试求解其通项公式。常见的方法有利用差分法、代数法、数列极限等方法。 总结： 数列的递推关系与通项公式是分析和计算数列的重要工具。递推关 系可以帮助我们找到数列中后一项与前一项之间的规律，而通项公式 则可以方便地计算数列中任意一项的值。在解决实际问题中，我们可 以根据数列的特点选择适合的递推关系和求解方法，进而得到数列的 规律和性质。数列的递推关系与通项公式不仅在数学中具有重要作用，
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。 一、递推公式 递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。 1.1 线性递推 线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。其一般形式如下： an = a(n-1) * r + d 其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。 例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。根据数列的特点可以确定递推公式为： an = a(n-1) + 2 通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。 1.2 非线性递推
非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是 通过其他的方式来确定。例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性 递推数列。 斐波那契数列的递推公式为： an = a(n-1) + a(n-2) 其中，a1 = 1，a2 = 1。根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的 每一项。 二、通项公式 通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。 2.1 线性通项 线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。其 一般形式如下： an = a1 + (n-1) * d 其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。 以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通 过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。 2.2 非线性通项
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式 一、知识点回顾： 1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--1 1s s s n n 12=≥n n 。 在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。 注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =） ；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。 （2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。 3、数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11 ,(1),(2) n n n S n a S S n -== -≥。一般地当已知条 件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。 ⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)() ,(2) (1) n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨ ≥⎪-⎩。 ⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。 ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。 ⑹已知递推关系求n a ，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）。特别地有 ①形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。 ②形如1 1n n n a a ka b --= +的递推数列都可以用倒数法求通项。 ⑺求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明。 二、题型例讲： （一）、由递推公式求通项公式 例1、求下列数列的通项公式 ①已知111,2n n n a a a -==+，求n a ； ②已知111,3 n n n a a a -==，求n a ； ③已知111,32n n a a a -==+，求n a ；④已知111,32n n n a a a -==+，求n a ； ⑤已知1 111,32 n n n a a a a --==+，求n a ；
求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++ =+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111 +- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a = ▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121 n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211==⋅=---. 故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1(2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由 1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，因此} {n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121 -= +++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ，即)2(2 12 +-=n n a n 四、积差相消法
数列的求和与递推公式 在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。 求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数 列求和的方法以及递推公式的推导过程。 一、等差数列的求和与递推公式 等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。设等差 数列的首项为a，公差为d，第n项为an。 1.1 求和公式 对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到： Sn = (n/2) * (a + an) 其中，n为项数，a为首项，an为第n项。 1.2 递推公式 递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。根据等差数列的性质，可以得出递推公式为： an = a + (n-1) * d 其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。 二、等比数列的求和与递推公式
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。 2.1 求和公式 对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到： Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r) 其中，n为项数，a为首项，r为公比。 2.2 递推公式 递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为： an = a * r^(n-1) 其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。 三、斐波那契数列的求和与递推公式 斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。 3.1 求和公式 斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到： Sn = Fn+2 - 1
数列的递推公式 数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。 一、定义数列 数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。通常用字母{n}表示数列中的第n项。 二、等差数列的递推公式 等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。 设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为： aₙ = a₁ + (n-1)d 例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算： aₙ = 2 + (n-1)3 三、等比数列的递推公式 等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的 递推公式为： aₙ = a₁ * r^(n-1) 例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项 aₙ可以通过递推公式计算： aₙ = 2 * 2^(n-1) 四、斐波那契数列的递推公式 斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。斐波那 契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。 设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐 波那契数列的递推公式为： aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁ 例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式 计算出后续的项。 五、其他数列的递推公式 除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还存在其他类型的数列，它们各自具有特定的递推公式。 例如，如下所示的数列为自然数的平方数列： 1, 4, 9, 16, 25
常见数列公式 等差数列 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N + ），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 4．等差中项：,,2 b a b a A ?+= 成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式 6.等差数列的前n 项和公式 （1）2 )(1n n a a n S += （2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零 的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 （2） 利用n S ：由n )2 d a (n 2d S 12n -+= 二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(1≠??=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列? n n a a 1+=q （+ ∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?
数列的递推公式与通项公式 数列是数学中的重要概念，它是按照特定规律排列的一系列数值。 在数列中，递推公式和通项公式是两个关键概念。递推公式用来描述 数列中每一项与前一项之间的关系，而通项公式则是用来计算数列中 任意一项的值。本文将深入探讨数列的递推公式与通项公式，希望能 帮助读者对数列的理解更加深入。 一、递推公式 递推公式是数列中每一项与前一项之间的关系式。通过递推公式可 以计算出数列中的各项值，从而形成一个完整的数列。递推公式可以 是线性的，也可以是非线性的，具体形式取决于数列的特点。 以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个非常著名的数列，在数 列中的前两项是1，之后的每一项都等于前两项之和。可以得出斐波那契数列的递推公式如下： Fn = Fn-1 + Fn-2 其中，Fn表示第n项的值，Fn-1表示第n-1项的值，Fn-2表示第n- 2项的值。通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。 除了非线性的递推公式，还有一些数列的递推公式是线性的。例如，等差数列和等比数列就可以使用线性的递推公式来描述。在等差数列中，每一项都是前一项加上一个固定的差值d，递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示 项数。通过递推公式，我们可以轻松地计算出等差数列中任意一项的值。 二、通项公式 通项公式是数列中任意一项的值的一般公式。通过通项公式，我们 可以直接计算数列中任意一项的值，而不需要通过递推关系一步一步 计算。 以等差数列为例，等差数列的通项公式可以通过递推公式推导得到。在等差数列中，递推公式为： an = a1 + (n-1)d 将此递推公式进行整理和化简，可以得到等差数列的通项公式： an = a1 + (n-1)d 通过通项公式，我们可以直接计算出等差数列中任意一项的值。只 需要知道首项的值a1，公差d和要计算的项数n即可。 同样地，等比数列也有对应的通项公式。等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1) 其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，r表示公比，n表示 项数。将此递推公式整理和化简，可以得到等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)
数列的递推关系 数列是由一系列按特定顺序排列的数字所组成的序列。在数学中，数列的递推关系是指通过已知的数列项和数学规律，来确定下一个数列项的规则。通过递推关系，我们可以根据已知的数列项计算出后续的数列项，进而推导出整个数列的特征和性质。 一、等差数列的递推关系 等差数列是最常见的数列之一。在等差数列中，每个数都与它前面的数之差保持相等，这个差值称为公差。我们可以通过公差来找到等差数列的递推关系。 例如，给定等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，可以使用以下递推公式来计算数列的任意一项： aₙ = a₁ + (n - 1) * d 这个递推关系告诉我们，等差数列的每一项都是前一项加上公差的结果。通过这个递推公式，我们可以计算出等差数列的任意一项。 二、等比数列的递推关系 与等差数列类似，等比数列也是一种常见的数列形式。在等比数列中，每个数字都与前面的数字之比保持相等，这个比值称为公比。我们可以通过公比来找到等比数列的递推关系。 例如，给定等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，可以使用以下递推公式来计算数列的任意一项：
aₙ = a₁ * r^(n-1) 这个递推关系告诉我们，等比数列的每一项都是前一项乘以公比的 结果。通过这个递推公式，我们可以计算出等比数列的任意一项。 三、斐波那契数列的递推关系 斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。斐 波那契数列的递推关系可以通过以下递推公式来表示： Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ 其中，Fₙ表示第n项，Fₙ₋₁表示第n-1项，Fₙ₋₂表示第n-2项。 斐波那契数列的递推关系非常特殊，它展现了一种自然界中广泛存 在的规律，在数学和自然科学中都具有重要的应用价值。 结论 数列的递推关系在数学中扮演着重要的角色。通过递推关系，我们 可以根据已知的数列项计算出后续的数列项，推导出数列的特征和性质。等差数列、等比数列和斐波那契数列都是常见的数列类型，它们 分别有各自的递推关系。熟练掌握这些递推关系，有助于我们更好地 理解和应用数列的概念。
数列常见的基本公式 数列是数学中一个重要的概念，它描述了一系列按照特定规律排列的 数字或者其他数学对象。数列常见的基本公式包括等差数列、等比数列、 调和数列等。 一、等差数列： 等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都是一个常数d，这个常 数称为公差。等差数列一般用an表示，其中a1是首项，d是公差。等差 数列的定义公式为：an = a1 + (n - 1)d。 等差数列的特点： 1. 任意两个相邻项之差都是一个常数，即an+1 - an = d。 2.等差数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 + d。 3.等差数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。 4.等差数列的前n项和也可以用递推公式表示为Sn=(n/2)(2a1+(n- 1)d)。 二、等比数列： 等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比都是一个常数q，这个常 数称为公比。等比数列一般用an表示，其中a1是首项，q是公比。等比 数列的定义公式为：an = a1 * q^(n - 1)。 等比数列的特点： 1. 任意两个相邻项之比都是一个常数，即an+1 / an = q。
2.等比数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 * q。 3.等比数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q不等于1 4.当公比q等于1时，等比数列变为等差数列。 三、调和数列： 调和数列是指数列中的任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数h， 这个常数称为调和差。调和数列一般用an表示，其中a1是首项，h是调 和差。调和数列的定义公式为：an = 1 / (a1 + (n - 1)h)。 调和数列的特点： 1. 任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数，即1 / an+1 - 1 / an = h。 2. 调和数列的通项公式可以用递推公式表示为an = 1 / (1 / an-1 + h)。 除了这些常见的基本公式外，还有其他一些特殊的数列，如等差矩阵 数列、Fibonacci数列、Arithmetico-geometric数列等。这些数列都有 各自的特点和求解方法。 总结起来，数列是数学中的一种重要的数学对象，它可以通过一些基 本的公式进行描述和求解。常见的数列包括等差数列、等比数列、调和数 列等，它们都有各自的特点和求解方法。通过研究数列，我们可以揭示数 学中的一些规律和性质，为数学的发展做出贡献。
数列求和常用公式: 1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2 2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6 3）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2 =n^2*(n+1)^2÷4 4）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷3 5）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2) =n(n+1)(n+2)(n+3)÷4 6）1+3+6+10+15+...... =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n) =[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6 7）1+2+4+7+11+...... =1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2 =(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6 8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1) =1-1/(n+1)=n÷(n+1) 9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1) =(n-1) ÷(n+1) 10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n =(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
1 十大递推数列求通项： (1)等差数列：a n =a n-1+d 例1：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =3n-2. (2)等比数列： a n =a n-1q 例2：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =2a n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =12-n . (3)似等差数列： a n =a n-1+f(n) 用叠加法。 例3：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3n+1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =2 65n 3n 2-+. (4)线性数列： a n =pa n-1+q 构造等比数列。 例4：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =2a n-1-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =12+n . (5) 似等比数列： a n =a n-1f(n) 叠乘法。 例5：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =na n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。 答a n =3n ！. (6)三项递推： a n =pa n-1+qa n-2 设a n+1-xa n =y(a n -xa n-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出。 例6：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =3a n-1-2a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =2n -1. 例7：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =(n+1)2n-2. 例8：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=4,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =n2n-1. 例9：已知：数列{a n }中a 1=2,a 2=3,a n =5a n-1-6a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答a n =3×2n-1-3n-1. 例10：已知：数列{a n }中a 1=a,a 2=b,a n =a n-1-a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。 答周期为6. 例11 (2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)福建卷(新课程)) （22）已知数列满足 （I ）证明：数列是等比数列；（II ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）若数列 满足 证明 是等差数列。 (7)似线性数列：a n+1=pa n +f(n) ， 变为 1 11) (++++=n n n n n p n f p a p a ，即化为（3）型。 特别地①1n n a pa bn c +=++型，还可以令1(1)()n n a x n y p a xn y +-+-=--，待定系数x,y ，构造等比数列，要比通法简单。 ②1n n n a pa q b +=++型，还可以令11()n n n n a xq y p a xq y ++--=--，待定系数x,y ，