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简单数列递推题型

简单的递推数列

类型一 )(1n f a a n n +=+ 把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用迭加法求解

1.已知数列{}n a 中，*

111,3,1N n a a a n n n ∈+==-+，则n a =

2.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n

+=++，则n a =

类型二 n n a n f a ?=+)(1 把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法求解 1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，则n a = 2.已知31=a ，n n a n n a 2

3131+-=+ )1(≥n ，则n a =

类型三周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期 1.已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则2014a =（）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

3 2.已知数列}{n a 满足=??-+=

=+52012111,11,2a a a a a a a n

n 则

类型四. q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，)0)1((≠-p pq

1．已知数列{}n a 中，11=a ，231+=+n n a a ，则n a =

2.在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则n a =

3.已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈则n a =

（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，

10a >且

659

a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

（辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设等差数列{}n a 满足

27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 0>最大的自然数n 是（）

A ．9 B.10 C.11 D.12

（辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________.

（新疆乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）等差数列{}n a 中，

365,S 36,a ==则9S = （）

A. 17

B. 19

C. 81

D. 100

（新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足21

=346

n n n S a a +-（），则=n a .

(甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知数列{a n }是递增等比数列，a 2=2，a 4﹣a 3=4，则此数列的公比q=（） A ．﹣1

B ．2

C ．﹣1或2

D ．﹣2或1

（甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++

A ．5

B ．9

C ．3log 45

D ．10

（山东省临沂市2013届高三上学期期中数学（理）试题）数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．

(甘肃省定西市通渭县榜罗中学2017届高三上学期期末数学（理）试题)已知等差数列{a n }满足a 2=2，a 6+a 8=14 （1）求数列{a n }的通项公式（2）求数列{

}的前n 项和S n ．

【辽宁朝阳三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟文18】（本小题满分12分）

已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令1

-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．

【甘肃天水第一中学2015届高三5月中旬仿真考试文17】(本小题满分12分)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前7项和为70，且a 3为a 1和a 7的等比中项．

（I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）若数列{b n }满足1,(n N )n n n b b a *+-=∈且b 1=2，求数列}1

{

b 的前n 项和T n 。

（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、文、17）已知数列{}n a 满足：0n

a ≠,113a =，

112n n n n a a a a ++-=?，(n N *∈).

（1）求证：1n a ???

???

是等差数列，并求出n a ；（2）证明：12231

...6n n a a a a a a ++++<.

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最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版类型1 ) (1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。变式1.1:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 解：Θk k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a …… ……k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得1)1(21321112--+?=++k k k a ， 1)1(2 1 321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132 1)(1)1(21321222 1 21为偶数为奇数n n a n n n n n 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-= + )1(≥n ，求n a 。解：12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437526331348531n n n n n --= ????=---L 。变式2.1:（2004，全国I,理15）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1 ___ n a ?=? ? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得

数列单元测试题命题人：张晓光一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2 2 ＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5 S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n 3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13 (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ( ) A ．－5 B ．－15 C ．5 D.15 5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为正偶数时，n 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．3或11 6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－12 7．已知数列{a n }为等差数列，若a 11 a 10 <－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( ) A ．11 B ．19 C ．20 D ．21 8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2 ，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006 D ．1007 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前 100项中与数列{b n }中相同的项有( ) A ．50项 B ．34项 C ．6项 D ．5项二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1 a n ，a 1 ＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________. 12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

第2章数列(A) (时间：120分钟满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________． 2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________． 4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________． 5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______． 6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________. 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 9 10．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒． 11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10 ＝________. 12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________． 13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56 是数列中的第________项． 14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1 <0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号) 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式； (2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 16．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n <1. 18．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n 2 n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和． 19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12 S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；

《几种常见的递推数列通项的求法》之教学反思数学是一门研究数量关系和空间形式的科学。数列恰好是研究数量关系的一个章节。数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。我在这几年的高中教学中，从每年各省的高考真题和模拟题中，发现“数列通项公式”求法在高中解题中占有很大的比重。求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。高考改革的的变化趋势是强调基础，提高能力。相对于旧版教材，当前的新课标教材以意大利著名数学家斐波那契在兔子繁殖问题中提出的“斐波那契数列12(3)n n n a a a n --=+≥”，专门定义了数列的递推公式的概念，并由此产生出了怎样应用递推关系求解数列通项公式. 正是基于数列通项求法的重要性，我决定在赛课选题中把这个知识点作为切入点。一、要有明确的教学目标教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。高三备课时要依据考纲，但又不拘泥于考纲，灵活运用变通。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。本节课的重点在数形结合，所以我选择的每一道例题和练习题都以数形结合为中心。二、要能突出重点、化解难点每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，我应该加强学生在课堂上对习题过程的展示，对数形结合思想的领悟，以图解题，让学生在黑板上亲自演练，或用投影仪展示其做题的思路和过程。三、要善于应用现代化教学手段在新课标和新教材的背景下，教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切。现代化教学手段的显著特点：一是能有效地增大每一堂课的课容量，从而把原来40

数列的递推公式教案普兰店市第六中学陈娜一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。二、教学重点、难点和关键点重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。难点：数列的递推公式求通项公式。关键：同本节难点。三、教学方法通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。四、教学过程环节1：新课引入一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把

现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．环节3：应用举例及练习例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=

第六章数列测试题一，选择题 1,气象站一天各时刻测得的气温排成的一列数（） A 不是数列B 是数列C 是无序数列D 是有序数但不是数列 2,已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n = n 2 +3n+2,以下四个数中，是数列｛ a . ｝中的一项是（） A 18 3 ?数列 B54 1 22 1 32 C 102 D 156 —，二^ …的一个通项公式是（） 1 4 1 A , a . 1 n 2 1 an =TTE a n = n(n 2) D 以上都不对 4. A C 下列各数列中, 0,1,0,1,0,1,? -1,1,-1,1, 是等差数列的是( B 0.3, 0.33, 0.333, D 8,8,8,8, 、5 —与另一个数的等差中项，则另一个数（）、3 ?、 5 6. 在等差数列｛a n ｝中，若 a 4 a 6 10,则 a 2 a 3 a 4 a 6 a ? 等于 9, 已知x,2x+2,3x+2是一个等比数列的前3项，贝U 等比数列的第4项是（） A -27 B 12 C -13.5 D 13.5 10. 设等比数列的首项与第2项的和为30, a s a 4 120,则a s +a 6=（） A 120 B 240 C 480 D 600 二，填空题 1. 数列 a n = （n+1）（n+2）的第 ___ 项为 110。 1 1 2 3 4 2. 数列--,0,-,-,-,-，…的一个通项公式为 ________________________ 2 4 5 6 7 3. 等差数列的第2项为-5,第6项与第4项之差为6,那么这个数列的首项是— 75 3 4. 已知住公,？成等差数列，那么x= ______ 8 2 5. 等差数列的前4项之和为30,公差是3,则a s = ___________ 6. 在等比数列｛ a n ｝中Q=9, a 6=243，则S 6= ____________ 3n 7. ___________________________________ 已知等比数列中，a n =一，则 a 1 = , q= ___________________________________ 6 1 8. 已知等比数列中，q=--，a * =1,S n =-20，则a 1 _________________________ 3 9. 110是通项公式为的a n n 1 n 2数列的第 _________________ 项 10. _________________________________________________ 首项为5,末项为 27,公差为2的等差数列共有 ________________________________ 项三，解答题 1,已知成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上1, 3, 9后得到的三个数成等比数列，求这三个数。 10 B 35 C 40 D 65 7, 等比数列前3项依次为、2,3.2,6 2,则第4项是（） A 1 B 1212 C 9 12 D 3 2 8 .在0与16之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于（） A 8 B 10 C12 D 16 2.已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n = （-1） 2n 1 n ---------- 求此数列的第 5 项。

数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… （3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2 a b A +=

递推数列通项公式求法(教案)

由递推数列求通项公式马鞍中学 --- 李群花一、课题：由递推数列求通项公式二、教学目标 1、知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 2、过程与方法： ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出叠加法的试用题型。 ③学生分组讨论完成叠乘法及待定系数法的相关题型。 3、情感态度与价值观： ①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。五、教学课型，课时：复习课 1课时六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾：

1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：问题1: 在数列{a n }中 a 1=1，a n -a n-1=2n-1（n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用叠加法(逐差相加法)求解。问题2：例2在数列{a n }中 a 1=1，（n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。方法归纳：利用叠乘法求数列通项活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。练习2设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n 2+1 –na n 2 +a n+1a n =0, n n n a a 21 =-

高中数学几种常见的数列递推关系式数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。一. 定义法常见形式：已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数）定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。二. 迭代法常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*，将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…，这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。如：④的具体例子：例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*，所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*

复习综合测试一．选择题（60分） 1．在等差数列{}n a 中，有()()35710133224a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和为（） A ．52 B ．26 C ．13 D ．156 2．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若==--=1815183,18,6S S S S 则（） A ．36 B ．18 C ．72 D ．9 3．已知等差数列}a {n 的公差0d <, 若24a a 64=?, 10a a 82=+, 则该数列的前n 项和 n S 的最大值为( ). A. 50 B. 45 C. 40 D. 35 4.已知等比数列{a n }，a 2＞a 3=1，则使不等式(a 1-11a )+(a 2-21a )+…+(a n -1n a )≥0成立的最大自然数n 是 A ．4 B.5 C.6 D.7 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则 n n n S na 2lim ∞→等于 A.41 B.2 1 C.1 D. 2 6．等差数列}{ n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=,则此数列前20项和等于 A .160 B .180 C .200 D .220 7.在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于 A ．-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 8．在正项等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x + 16 = 0的两个根，则a 40·a 50·a 60的值为（） A ．32 B ．64 C ．±64 D ．256 9．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 4=1，S 8=3，则20191817a a a a +++的值为 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 10．等差数列{}n a 的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p （常数），则数列{}n S 中也是常数的项是（）（A ）S 7 （B ）S 8 （C ）S 13 （D ）S 15 11.已知数列{log 3(a n +1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1=2,a 2=8，则

数列的递推关系 ? 教学重点：数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列．这种表示方法叫做递推公式法或递推法． ? 教学难点： 1．根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式． 2．n n S a 的关系 ???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n ． ? 教学过程：一、复习数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）．二、递推公式钢管的例子 3+=n a n 从另一个角度，可以： 1 4 11+==-n n a a a Λ ) 2() 1(≥=n n “递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式．例1．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a

∴ Λ Λ4 4 432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a ) +412-=-a a )1(41--=-n a a n ∴ )1(42--=n a n 例2．若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：?? ? -=-1 1 S S S a n n n ) 1()2(=≥n n 证：显然1=n 时，11S a = 当1≠n 即2≥n 时， n n a a a S +++=Λ21 1211--+++=n n a a a S Λ ∴ n n n a S S =--1 ∴???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式； 2? 当)(11S a =时满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ．例3．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式．解：1．当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n 例4．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．

高中数列题型大全Newly compiled on November 23, 2020

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

数列单元测试卷注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2 ，－ 1 4 ，－ 1 8 ，… D．1，2，3，…，n 3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7 4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( ) A．49 B.50 C．51 D．52 5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) A．90 B.100 C．145 D．190 6．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( ) A．1 B.2 C．4 D．8

7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2 ＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列?? ?? ?? 11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.2 3 D ．－1 9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3 n －1 ，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( ) A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2 12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( ) A ．27 B.28 C ．29 D ．30