一．填空
1．已知矢量j t i )t (2t 3)t
-(2t (t)323+++= ，则 =→)(lim 1t t 。
2．数量场22arcsin y x z
u +=的等值面方程为 。
3．数量场zx yz xy u ++=在点（1,2,3）处沿矢径方向的的方向导数 为 。
4．设
,242k z j xy i x +-=则 =
=
rot A div
5．在三维欧氏空间中,写出下列和式的所有项
j i
i j x x a =
6． k k δ=
7．已知张量,,t s r rs t l k j i ij kl g g g B B g g g g A A ????==
则 =?B A
=??B A
8．Ricci 符号.e ijk ?????=
9．给定一个二阶张量的协变分量,ij T 则
=jl ik ij g
g T 10．ijk T 为三阶张量的分量，则
=?ijk l T
二．计算
1．一曲线的矢量方程为k t t j t i t t r )62()34()1()(22-+-++= 求在t=2处的单位切向矢量
τ 解：在t 处曲线的切向矢量为 k
t j i t t r )64(42)(-++=' 在t=2处有
6)2244)2(=++='k j r
故所求的单位切向矢量为
k j i 3
13232++=τ 2．求矢量场k zy j y x i xy 222++=的矢量线方程。
解：矢量线满足的微分方程为
222zy
dz y x dy xy dx == 由此有 x dx = ydy 及 y
dy x dx =x 解得?
??==-x C z C y x 2122（21,C C 为常数）。 3.求矢量场k x y z z x y i y z x )()()(-+-+-=在点(1,2,3)处沿方向k j i n 22++=的环量面密度.
解：k j i n 3232310++=
故方向余弦为32cos 32
cos 31
cos ===γβα
又)()()(x y z R z x y Q y z x P -=-=-=
[][][]319)
cos )()cos )()cos )(=-+-+-=∴γβαμy x x z z y M n P Q R p Q R
4．求矢量场k C j x i y A ++-=（C 为常数）沿下列曲线：
0,222==+z R y x
的环量。
解：所给曲线的参数方程为0,sin ,cos ===z R y R x θθ
于是环量
??++-=?=Γl l Cdz
xdy ydx l d A
=?=+π
πθ?θ20222222)cos sin (R d R R
5. 已知一斜角直线坐标系的协变基为
j g i g k j g +=+=+=321,,
(1) 求度量张量ij ij g g ,； (2) 求出它的逆变基的直角坐标表达式。
.解：(1)j i ij g g g ?=
????
??????=∴211121112ij g
[]
??????????------==-311131113411ij ij g g (2)j ij i
g g =
????????????????????------=?????
???????∴32132131113111341g g g g g g
三．证明
1． 度量张量G 的协变分量分别为ij g ，
证明：
0;=k ij g （0=?ij k g ）
1．证明：m jk im m ik m j k ij k ij g g g g ΓΓ--=,;
又 j i ij g g g ?=
jki ikj k j i j k i k ij g g g g g ΓΓ+=?+?=∴,,,
而
jki m jk im m ik mj g ikj
g ΓΓΓΓ==
0;=∴k ij g
2．证明矢量场k z y j z x y i y x A )62()24()2(-+++++=为调和 场，并求其调和函数。
证明：证明：????
? ??-=620241012DA 则 0642=-+=A div 0=rot 所以所给矢量场为调和场。
设调和函数为v,则
C
z yz xy y x C
dz z y dy x y xdx C
dz z y x R dy y Q dx x P v z
y x z
y x +-+++=+-++-=+---=??????2220000
0032)62()4(2),,()0,,0()0,0,(
练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明∈ijk ∈ikj =-6。 5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= -ax 2+bx 3，u 2=ax 1-cx 3，u 3= -bx 2+cx 3；其中 a 、 b 、 c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
应力张量的认识（一）
本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到 后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises 理论的思考
从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。初始，以一个基本定义记住 了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完 善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。 我将这部分思考分为以下三部分： 应力张量的认识（一） 应力张量的认识（二） 应力张量的认识（三） 本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力
初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。单位面积上的内力即是应力，表征内力的强 度。 为了研究某一点 P 处的应力，用某个截面在 P 点处切开物体，如下图所示。根据定义可以得到 P 点的正应力 σ、切应力 τ，他们的合成即为全应力 T。
需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。但是过 P 点有无数的截面，那么如何才能真正 描述 P 点的应力状态呢？
应力状态
点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有 任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。 通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。也即在 P 点截 取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同 的。这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。 由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。 问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相 反的？ 单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他 们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。所以，从各自的方向上来看，应 力方向还是相同的。
应力张量
根据上面的微单元体上的应力分量，是否可以求出任意截面的应力分量？
答案是肯定的。根据三个方向的静力平衡就可以列式计算得到上图的任意的法向为(n1,n2,n3)的截面上的应力 分量。 三个互相垂直的截面上的 9 个应力分量可以确定任意截面的应力，也就是说可以确定一点的应力状态了。同 时从这三个截面的选取上来看，他们和坐标系无关。 于是我们把用上面九个应力分量作为一个整体来描述一点应力状态的物理量叫作应力张量，记作
主应力 如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，则这一截面称为主平面，其法线方 向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。 求解方法依然是根据静力平衡条件。
本教材习题和参考答案及部分习题解答 第四章 已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112n =，122 n = ，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和 剪应力n τ。 解：应力矢量T 的三个分量为 11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =- 总应力111.8T a 。 正应力26.04n i i T n a σ==。 剪应力108.7n a τ。 过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12?=?T m T n 。 证：利用应力张量的对称性，可得 12()()ij i j ji i j n m n m σσ?=??===??=?T m n σm m σn T n 。证毕。 某点的应力张量为 01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=???????????????? 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ= 即 2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-= 上式有两个解：20n =或1y σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得 1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，
第一章 习题7： 若c a m b =+，则 2322(12)(2)(32)a c m b i j k i j k i j k m m m m m m =-=++--+=-+-+- 注意 0a b ?=，则 2(12)(2)2(32)0m m m -+--+= 29 m =- 132023999a i j k = + + 习题10： （1.2.17）式为： )1 23g g g = ? )2 31g g g = ? )3 12g g g = ? ()123g g g g =??()()2i j k i j =+-?+= 2 = ()12011101i j k g g i j k ?= =+- 则 ()1 12 g i j k =+- ()231011 10i j k g g i j k ?= =-++ ()2 12 g i j k = -++ ()311 100 11 i j k g g i j k ?==-+ ()312 g i j k =-+ 11112g g g =?= 222g = 332g =
()()12211j k i k g g = ++== ()( )1331 1j k i j g g =++ == ()()32231g i k i j g =++== 习题24： T =N N T =ΩΩ T ?=?=?u N N u N u T ?=?=-?u u u ΩΩΩ 习题34： :()():ij ji ij i j i j j i T a b T a b T a b ====N ab ba N :()():ij ji ij i j i j j i a b a b a b =Ω=-Ω=-Ω=-ab ba ΩΩ 习题36： ??=??a T b a S b 推出 ()0?-?= a T S b 对a ，b 为任意张量都成立，，则0-=T S ，即=T S 习题48： 设 s r s r u u ==u g g ()pq r pq p q r q p u u ?=Ω ?=Ωu g g g g Ω 1 :2?? ?- ? ?? ? u =u ∈Ωω ()()11:221122 11 22 12 i j k pq s pq j k i s ijk p q s ijk p q s jk i s jk ist ijk s ijk s t ist jk s s t s t jk ijk s j k k j s t st ts st pq s t s t u u u u u u u u δδδδδδδ??-∈Ω?=-∈Ω? ? ?? =-∈Ω ?= ∈Ω ∈ =-Ω=- -Ω= Ω-Ω =Ω=Ω =g g g g g g g g g g g g g g g q p u g
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能
场论基础 附1 Hamilton 算子? 在直角坐标系中定义Hamilton 算子?为 x y z ???=++???i j k ? （附1.1） 这里，?既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(?)运算。 附1.1 梯度运算grad u u =? 对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为 grad u u u u u x y z ???==++???i j k ? （附1.2） 那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数(,,)u x y z 的方向导数 u n ??，我们有 cos(,)cos(,)cos(,) ()()grad x y z u u x u y u z n x n y n z n u u u n x n y n z x y z u u u n n n u x y y ???????=++??????????=++ ??????=++++=???i j k i j k n （附1.3） 因此有 grad cos(,)u u u n ?=?n ? （附1.4） 从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n ??取到极大值， 而极大值就为grad u 。这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。 附1.2 散度运算div =A A ? 对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为 d S S Φ= ??A n (附1.5) 更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当
张量概念的形成与张量分析的建立 【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2008 【分类号】：O183.2 【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
I.2 符号ij δ与rst e 符号ij δ称为“Kronecker delta ”，它的定义是： ???=0 1ij δ 时 当时当j i j i ≠= ()n ,,2,1j ,i = (I.14) 定义表明它对指标i 和j 是对称的，即 ji ij δδ= (I.15) ij δ的分量集合对应于单位矩阵。例如，在三维空间中： ???? ? ?????=??????????1000100013332 31232221131211δδδδδδ δδδ (I.16) 利用ij δ可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成 j i ij dx dx ds δ=2 (I.17) 这里ij δ起了换标的作用，即：如果ij δ符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij δ的另一个指标，而ij δ自动消失。这样： i i j j j i ij dx dx dx dx dx dx ds ===δ2 类似地有 ik jk ij a a =δ；jk ik ij a a =δ ki kj ij a a =δ；kj ki ij a a =δ (I.18) 以及 ik jk ij δδδ=；il kl jk ij δδδδ= (I.19) 所以，ij δ也称为换标符号。 符号rst e 的定义是： ?? ? ??-=011 rst e 个以上指标值相同时中有当为逆序排列时当为正序排列时当2t ,s ,r t ,s ,r t ,s ,r (I.20a) 或 )r t )(t s )(s r (2 1 e rst ---= ()3,2,1t ,s ,r = (I.20b) 其中，正序排列是指（l , 2 . 3 ）及其轮流换位得到的（2 . 3 , l ）和（3 , 1 , 2 ），逆序排列是指（3 , 2 , l ）及其轮流换位得到的（2 , l , 3 ）和（l , 3 , 2 ）。 rst e 称为排列符号或置换符号。它共有27 个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1 ，其余的元素都是0。 定义表明rst e 对任何两个指标都是反对称的，即： tsr rts srt rst e e e e -=-=-= (I.21) 当三个指标轮流换位时（相当于指标连续对换两次），rst e 的值不变： trs str rst e e e == (I.22) 下面举几个常用实例： 1． 三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计
名词解释：——1）惯性系疑难 ——由于引力作用的普遍存在，任一物质的参考系总有加速度，因而总不会是真正的惯性系。在表述物理规律时惯性系占有特殊的优越地位，但自然界却不存在一个真正的惯性系。 2）广义相对性原理——所有参考系都是等价的（一切参考系都是平权的）。 3）史瓦西半径 ——史瓦西半径是任何具重力的质量之临界半径。在物理学和天文学中，尤其在万有引力理论、广义相对论中它是一个非常重要的概念。1916年卡尔·史瓦西首次发现了史瓦西半径的存在，他发现这个半径是一个球状对称、不自转的物体的重力场的精确解。 一个物体的史瓦西半径与其质量成正比。太阳的史瓦西半径约为3千米，地球的史瓦西半径只有约9毫米。 小于其史瓦西半径的物体被称为黑洞。在不自转的黑洞上，史瓦西半径所形成的球面组成一个视界。（自转的黑洞的情况稍许不同。）光和粒子均无法逃离这个球面。银河中心的超大质量黑洞的史瓦西半径约为780万千米。一个平均密度等于临界密度的球体的史瓦西半径等于我们的可观察宇宙的半径 公式2 2Gm r c = 4）爱因斯坦约定——对重复指标自动求和。 5）一阶逆（协）变张量—— 'x T T T T x α μμ μαμ?''→?=? （n 1 个分量） 6）二阶逆（协）变张量——''x x T T T T x x αβ μνμν μναβμν??''→?=?? （n 2个分量）
1）广义相对论为什么要使用张量方程？—— 将物理规律表达为张量方程，使它在任何参考系下具有相同的形式，从而满足广义相对性原理。 2）反称张量的性质？——(a)当任意两个指标取同样值时，张量的该分量为零。 (b)n 维空间中最高阶的反称张量是n 阶的，这张量只有一个独立分量。 (c)n 维空间中的n-1阶反称张量只有1n 个独立分量。 3）仿射联络的坐标变换公式？它是张量吗？ 4）仿射联络的性质？ 5）一阶逆（协）变张量协变微商的公式？;,T T T μμααλλμλ=+Γ ;,T T T λμνμνμνλ=-Γ
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
流体力学习题 习题一 场论和张量代数 1．证明 ()n n n n ??=?rot ,其中n 为单位向量。 2．证明n a n a n a ??-?=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。
3．用两种方法证明()()???=-??-??+a b a b a b a b a b rot +rot div 。 4．将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12 i ijk jk w p ε=。试证 ()()2()P P ??-??=??u v v u w u v ， 其中u 及v 为任意矢量。 5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立： a a ??=()P 0 习题二 流体运动描述 1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转， （1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场； （2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律； （3）试分析流场的流线和轨迹； （4）试求流体质点的加速度； （5）用极坐标解此题。 2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定： （1）流场内任一质点的加速度 （2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。 3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么? 4． 设流场为：2Xt u =，2 Yt v =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度， 并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。 5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：t=0 时经 过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。 6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。 7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。 8． 设流场的速度分布为： ，，，02 222=+=+-=w y x kx v y x ky u 其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。 9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下：
柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛
，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，
指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????
《电介质物理》练习题 1.基本概念 1) 介电性能的物理本质； 2) 电介质的微观极化机理； 3) 微波频段仍起作用的极化机理； 4) 物质对外电场的响应方式； 5) 弱电场中电介质中电流的主要起因。 6) 强电场中电介质中电流的主要起因； 7) 电介质中空间电荷的主要来源； 8) 电介质中空间电荷会产生的效应有哪些？ 9）固态电介质的介电击穿类型； 10) 铁电效应只出现于何种晶体中？ 11) 电致伸缩效应出现于何种晶体中？ 12) 铁电体的微结构特征是什么？ 13) 铁电相变的类型； 14) 何谓n级相变？ 15) 介电常数随频率变化的基本趋势是什么？为什么？ 16) 晶体物性张量非零分量数目决定于什么？ 17）热释电性的本质是什么？ 18) 铁电陶瓷只有在经过何种处理后才具有热释电性？ 19）压电效应； 20）压电效应只出现于何种(对称性)晶体中？ 21) 机电偶合系数的物理意义； 2．基本概念判断(每组选一个正确答案) 1) 铁电体a) 不具有自发电矩；b) 具有可随磁场反转的自发磁矩；c) 具有可随电场反转的自发电矩。 2)折射率n 是二阶张量(a)；不是二阶张量(b)；是否二阶张量需视情况而定(c)。
3) 介电常数是a)二阶张量；b) 一阶张量; c) 标量。 4) 铁电体的微结构特征为存在a)磁畴；b)电畴；c)铁弹畴。 5) 二级相变的判据是状态函数的a)一阶导数连续、二阶导数不连续；b) 二阶导数连续、三阶导数不连续；c)满足前述条件的任一条。 6) 反铁电体在T c 之下，a)顺电相为稳定相; b)极性相为稳定相; c) 极性相为亚稳相。 7) 晶体的Frenkel 与Schottky 缺陷为a)本征点缺陷；b)非本征点缺陷；c)线缺陷。 8) 反铁电相变为a)马氏体相变；b)电场诱导相变；c)应力诱导相变。 9) 奇数阶张量性质a)出现在所有晶体中；b)只出现在非中心对称的晶体中；c)只出现在中心对称的晶体中。 10) 随着晶体对称性的增加，晶体的张量性质之非零分量个数a) 增加；b)减少；c)不变。 12) 电致伸缩效应a)出现在所有晶体中；b)只出现在非中心对称的晶体中；c)只出现在中心对称的晶体中。 13) 压电常数是a)三阶张量；b) 二阶张量; c) 标量。 14）柔度系数、刚度系数数是a)二阶张量；b) 三阶张量; c) 四阶张量。 15）电致伸缩系数是a)二阶张量；b) 三阶张量; c) 四阶张量。 16) m i αβ (i=1,2, …, 6; α, β=1,2,3)表示一个a)二阶张量；b) 三阶张量; c) 四阶张量之V oigt 记法。 17) d αβγ (α, β=1,2,3)表示一个a)二阶张量；b) 三阶张量; c) 四阶张量之V oigt 记法。 18）S i (i=1,2, …, 6)表示一个a)二阶张量之简略记法；b)一阶张量; c) 标量。 19) c ij (i=1,2, …, 6;)表示一个a)二阶张量；b) 三阶张量; c) 四阶张量之V oigt 记法。 20) 介电常数是 a)对称张量；b)反对称张量；c)旋量. 3.1 简述Lorentz-Lorentz 方程的物理意义。 .0 321εαεεN =+-
§4 张量算法 一、 张量概念 [张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换 () n i i x x x x ''???=,,1 (i = 1 , ·, n ) 之下，按下面的规律变化： l m m m l l j l m j j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T ??????''' ????????????????????=' 111 111 1 1 式中l m j j i i T ??????1 1是x i 的函数， 1 1l m j j i i T ??????是x i '的函数，则量l m j j i i T ??????11 (共有n N 个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量). 张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是 二阶张量，而三阶张量(例如T jk i )好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达. 下面列出n =2时的张量示意图： [张量举例] 1ο 可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式 i k i k k i i k k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====? ,.,, 确定的都是二阶张量，称为可乘张量.
2ο 克罗内克尔符号 克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是 因为从 i j j i i i x x x x δ=????'' 可得 i j j j i i j i i i i j x x x x x x x x δδ '''''' ????=????= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式 k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,, 则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式 T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,, 则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的. 在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价. 二、 张量代数 [指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法). 任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如 ()()ki ik ki ik ik T T T T T -++= 2 121 [张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算
第二章 普通张量的基本概念 §2.1 普通张量的记法 一、 上标、下标、自由指标 普通张量理论采用上标和下标。 上标称为逆变指标，下标称为协变指标。 具有上标的分量称为张量的逆变分量。 具有下标的分量称为张量的协变分量。 同时具有上标和下标的分量称为张量的混变分量。 i T i T ij T ij T i j T ? i j T ? k ij T ?? 字母中的上标和下标称为自由指标。对于张量，自由指标的个数就是张量的阶数。 二、爱因斯坦求和约定、哑标 求和简记法（爱因斯坦约定）： 在一个单项式中，同一个指标出现两次，而且一次作为上标，一次作为下标，就表 示对该指标求和。 表示求和的重复指标称为哑标。 j i j i x a =ξ 或是 k i k i x a =ξ 注意与笛卡儿张量求和的区别。 三、Kronecker 记号δ ? ??=01 i j δ j i j i ≠= 3=i i δ i j k j i k δδδ= 3==i i j i i j δδδ i l k l j k i j δδδδ= i k i k x x =δ ij k j ik a a =δ 四、置换符号 ?? ? ??-==011 ijk ijk e e 非循环序列、、逆循环序列、、循环序列、、)()()(k j i k j i k j i 应用实例 1、 表示行列式 k j i ijk n m l lmn a a a e a a a e a a a a a a a a a a 32132133 32 3 123222 1 13 12 11===
2、 矢量的叉积 设 j j e a = k k e b b = i i e c =?= i i e c b a e ==?=222 k j ijk i b a e c = 五、求普通导数的简记法 取坐标参数x j ，则： j i j i u x u ,=?? j i j i u x u ,=?? j j u x u ,=?? jk i k j i u x x u ,2=??? §2.2 基矢量、矢量的逆变分量和协变分量 客观过程的内在规律是不应该依赖所选择的坐标系的，即自然规律是协变的。因此，尽可能建立张量方程。摆脱坐标系。现在研究几种坐标系。 一、 笛卡儿直角坐标系 ) ('1 p p ) (22p 笛卡儿直角坐标系采用三个相互垂直的单位矢量作为基矢量。 i i e p e p e p e p =++=332211 i e 称为协变基矢量。i p 为逆变分量。 332211e p e p e p ++= i e 称为逆变基矢量，i p 为协变分量。 笛卡儿直角坐标系中，i e 和i e 是重合的，无须区分。