张量分析
1张量代数
1.1坐标系
在三维空间中，一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴，分别记为
x轴、y轴、z轴。为以后方便起见，坐标轴可更方便地表示成轴、轴、轴，而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.1所示的坐标系假定采用右手记法，
轴、轴位于图纸平面内，轴垂直指向读者。
在这种记法中，坐标轴分别平行于（右手）指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如
果我们想像一个右手方向旋转的螺杆，由轴向轴旋
转会导致螺杆沿着轴的正向前进。同样可以轮流采用
标记1、2和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为
如此，图1.1所示的坐标系为右手坐标系。不是右手坐标
系的叫左手坐标系。如用左手，则图1.1中轴正向朝下。
注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使之重合。这也适用于左手坐标系，图1.1右手螺旋定则但不适用一左一右的情况。
1.2矢量代数
矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量，温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。
图1.2中表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量、和。例如，单位矢量为单位长度（从原点量起）并沿轴，因而必须垂直另外两个坐标轴和。
对空间中任意一点P，坐标是、和，可以表示为矢量OP或V。这个矢量V可以想像为矢量、和的组合，故有
=++(1.1)
或根据单位矢量得
V=++（1.2）
其中，、和为标量值。进一步简化，上式课简写为
=（）（1.3）显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。
图1.2右手笛卡尔坐标系中的位置与单位矢量
通常认为，、和作为的分量，或反过来，将矢量分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知，不需要特别指明，图1.2中矢量恰好作用在坐标原点。
若两个矢量和U的分量相等，则定义他们相等，相等的条件为
=，=，=（1.4）或紧凑地表示为
=，i=1,2,3 （1.5）通常，跟简洁地将相等表示为
=（1.6）由于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任一个。
如果矢量乘以一个正的标量а，则结果а定义为一个新的矢量，方向与同向，大小为的а倍。如果а为负值，则负号表示相反的方向。
由平行四边形法则得到两个矢量U与之和的定义，如图1.3所示。显然，矢量的加减可以定义为其分量的加减。
W=U
=（）+（）+（）
（1.7a）根据这些分量，有
（，，）=（，，）（1.7b）
或采用
=（1.8）
图1.3矢量相加
1.3字母指标记法与求和约定
标量：只有大小，没有方向的量
矢量：既有大小又有方向的量
张量：具有多重方向性，更为复杂的物理量
字母指标记法：即将一物理量的所有分量用一个字母表示，并用指标区别不同的分量。例如，一个矢量V 可以表示如下： V=（v1,v2,v3）=v i 其中i=1,2,3
Einsten 求和约定：即一个指标在表达式某一项中重复出现两次，则该指标要取完指标域中所有值，然后将各项加起来，该重复出现的指标称为哑标。只出现一次的指标称为自由指标。 例如：
1(,1)
n
i i i i j j i S a x a x a x i j n =====???∑
其中i i j j a x a x =说明哑标不区分分量，只是求和，故可以更换符号。 双重求和：
3
3
11ij i j ij i j
i j S a x x a x x ====∑∑
三重求和：
3
3
3
111ijk i j k ijk i j k
i j k S a x x x a x x x =====∑∑∑
*注意：指标在表达式某一项中出现三次以上，则为违约，须保留求和符号∑，如1
n
i i i i a k x =∑中的∑须保留。
*规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方画横线或用文字进行说明（如：i 不表示求和）。 1.4Kronecher 符号
定义δij 为：
1,0,ij i j
i j
δ=?=?
≠?
δij 的矩阵形式为：
100010001ij δ??
??=??
????
可知，
3ij ij ii jj δδδδ===
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的
重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：
ij jk ik ij jk kl il
δδδδδδδ==
δij 的作用：1、更换指标；2、选择求和。 1.5排列符号
e ijk 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。 由上定义可得在三维空间中有：
0k i j k e e e e ??
?=-???
即i j ijk k e e e e ?=
()()i i j j i j i j i j ijk k ijk jik
a b a e b e a b e e a b e e e e ?=?=?==-
故a b b a ?=-? 混合积：
[],,()()a b c a b c a b c =??=??
三阶行列式的展开：
11
11
11
12311
111112311
11
11i j k ijk ij i j k ijk a a a a a a e a a a a a a a a e a a a ??===???按行展开按列展开
常见恒等式：
(1) 2ijk ljk il e e δ= (2) 3!6ijk ijk e e ==
(3) ijk lmk il jm im jl e e δδδδ=- 1.6坐标转换
如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。 有''i j i j ij e e e e δ==
'i e 在i e 下进行分解：''11'22'33'i i i i i j j e e e e e ββββ=++=
j e 在'i e 下进行分解：'''
'1'12'23'3'j j j j i j i e e e e e ββββ=++=
其中，''''cos(,)i j i j i j j i e e e e e e β==?=? 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。
空间点P 在新老坐标系矢径 '''i i r x e =? j j r x e =? ''0r r r =+
其中'0r 为上图中坐标原点的位移矢量。 将'r 向新坐标轴上投影的矢量的分量：
''''''''
'
'
'''''''0000
()()()()i k k i k ki i i k k i j j i k ki j i j i j i j
r e x e e x x r r e x e e x e e x x x x δδββ?=?==+?=?+?=+=+即
由此得新坐标用老坐标表示的公式： '''0()i i j i j x x x β=+
类似地，将i 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：
''0()j j i ij x x x β=+
特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'0()0i x =，上两式的矩阵形式为：
{}[]{}
{}[]{}[]{}'1''
T x x x x x βββ-=== 由上可知，[][][]T
I ββ= ，[]β是正交矩阵，则'1i j β=。 综合以上可知：
''''''''''''
''''
i j l k lk i l j k i l j k i k j k i k j k i j i j i j e e e e e e ββββδββββδδ??=?==?
?=??=??
同理，可推出''ij k i k j ββδ=
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，''()i i j x x x =； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'()j j i x x x =
''
i i
j j x dx dx x ?=?，其中
'
i j
x x ??为常数，称'i j x J x ?=?为雅克比行列式。若J 处处不为0，则说明存在相应的逆变化。即：'''j
i i j j i x x x x β??==
?? 1.7张量的分量坐标转换规律
1.7.1一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
''i i j j a a e a e ==，其中，''j i i j e e β= 则''''i i j i i j a a e a e β==，得到''i j i j a a β= 同理，''i j i j e e β=，得''j i i j a a β=
矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量。标量为零阶张量。 1.7.2二阶张量
定义i j e e 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。
由''''i j i j j i i j e e e e ββ?=??=??可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为''''''''
i j m n i m j n m n
i j i m j n e e e e e e e e ββββ?=??=?? 又''''i i j j i i j j ab a eb e a eb e ==，记''',ij i j ij i j B a b B a b ==
则'''ij i j ij i j ab B e e B e e ==。
该式表示a 与b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为'''
ij i j ij i j B B e e B e e ==
将''''''''i j m n i m j n m n i j i m j n e e e e e e e e ββββ?=??=??代入可得''''''
ij mn i m j n mn
ij i m j n B B B B ββββ?=??=?? 此分量转换可进一步推广到高阶张量。
张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。 1.8张量的代数运算
1.8.1张量的相等
若两个张量ij i j B B e e =和ij i j S S e e =相等，则,ij ij B S B S ==，即同一坐标系中的分量相等。
因为都符合转换规律，有：
''''''
ij mn mn ij
i m j n i m j n B B S S ββββ=== 1.8.2张量的和、差
同维同阶方可进行和差运算。 (1)C A B =+则ij ij ij C A B =+
(2)a 为一矢量，T 、S 为张量，有()T S a T a S a ±?=?±?
(3)分量形式：()()ij i j i j i j ij ij T S e T S e e T e e S e T S ±=?±?=??±??=±
(4) 矩阵形式：[][][]T S T S ±=± 1.8.3数积
张量A ，标量λ，A B λ=，则ij ij A B λ= 1.8.4张量的并积
两个同维不同阶（同阶）张量A 、B 的并积C 是一个阶数为A 、B 阶数之和的高阶张量。
,ijk i j k lm l m A A e e e B B e e == ijklm i j k l m C AB C e e e e e == ijklm ijk lm C A B =
同样符合转换规律。 1.8.5张量的缩并
若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。
ijk i j k ijk ik j iji j j j A A e e e A e A e B e δ====，有iji j A B =。取不同基矢量点积，缩并
结果不同。
1.8.6张量的点积
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。 ,ijk i j k lm l m A A e e e B B e e ==
ijk lm i j k l m ijk lj i k l ikl i k l C AB A B e e e e e A B e e e C e e e ====，其中ijk lj ikl A B C =
1.8.7双点积
两个张量并乘之后再进行两次缩并，称为双点积。 并联式双点积
=ijk jk i i i A B e C e = 串联式双点积
ijk kj i i i
D A B A B e D e =??==
1.8.8张量的商法则
张量T ，如果它满足对于任意一个q 阶张量S 的内积均为一个p 阶张量U ，即在任意坐标系内以下等式TS U =成立，则T 必定是一个p+q 阶的张量。以上规则称为张量的商法则。
2二阶张量
2.1张量的标量不变量
二阶张量ij i j T T g g =的分量与基张量均随坐标转换而变换，从而保证了其实体对于坐标的不变性。但如果对这些随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，就可以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张量T 的标量不变量，简称张量的不变量。 2.2二阶张量的三个主不变量
1112233I T T T =++
22233331
1112232331311
2122T T T T T T I T T T T T T =
++
11
12
13
3212223313233
T T T I T T T T T T =
2.3实对称二阶张量的标准形
2.3.1定义
对于一个实对称二阶张量ij i j N N g g =，必定有一组正交标准化基123,,e e e ，在这组基中，N 化为对角型标准形111222333N N e e N e e N e e =++，其对应的矩阵是对角型的，即
1
23000
00
N N N N ??
??=??????
称123,,N N N 为张量N 的主分量，正交标准化基123,,e e e 的方向为张量N 的主
轴方向（或主方向），对应的笛卡尔坐标系称为张量N 的主坐标系。
2.3.2对称张量与反对称张量
对称张量，转置张量等于其自身的张量：,ij ji B B B B *== 反对称张量，转置张量与其相反的张量：,ij ji B B B B *=-=- 三维二阶对称张量的独立分量有6个，n 维有(1)/2n n +个。
反对称张量的主对角分量为0。三维二阶反对称张量的独立分量有3个，n 维有(1)/2n n -个。
任意二阶张量B 可以分解称为对称张量S 和反对称张量A 之和，即B=S+A 再有B S A S A ***=+=-，得：
1
()
2
1
()
2
S B B A B B **=+=-
一 爱因斯坦求和约定 1.1指标 变量的集合： n n y y y x x x ,...,,,...,,2121 表示为： n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,== 写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。 1.2求和约定 若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。这是一个约定，称为求和约定。 例如： 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++
筒写为： i j ij b x A = ｊ——哑指标 ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。 1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号 Kronecker-δ符号定义 j i j i ij ji ≠=???==当当0 1δδ 置换符号 ijk ijk e e =定义为: ?? ? ??-==的任意二个指标任意k j,i,当021) (213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2， 1是k j,i,当1ijk ijk e e i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式： 23123133122123321123123113322133221133 323 123222 113121 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==
第一章 习题7： 若c a m b =+，则 2322(12)(2)(32)a c m b i j k i j k i j k m m m m m m =-=++--+=-+-+- 注意 0a b ?=，则 2(12)(2)2(32)0m m m -+--+= 29 m =- 132023999a i j k = + + 习题10： （1.2.17）式为： )1 23g g g = ? )2 31g g g = ? )3 12g g g = ? ()123g g g g =??()()2i j k i j =+-?+= 2 = ()12011101i j k g g i j k ?= =+- 则 ()1 12 g i j k =+- ()231011 10i j k g g i j k ?= =-++ ()2 12 g i j k = -++ ()311 100 11 i j k g g i j k ?==-+ ()312 g i j k =-+ 11112g g g =?= 222g = 332g =
()()12211j k i k g g = ++== ()( )1331 1j k i j g g =++ == ()()32231g i k i j g =++== 习题24： T =N N T =ΩΩ T ?=?=?u N N u N u T ?=?=-?u u u ΩΩΩ 习题34： :()():ij ji ij i j i j j i T a b T a b T a b ====N ab ba N :()():ij ji ij i j i j j i a b a b a b =Ω=-Ω=-Ω=-ab ba ΩΩ 习题36： ??=??a T b a S b 推出 ()0?-?= a T S b 对a ，b 为任意张量都成立，，则0-=T S ，即=T S 习题48： 设 s r s r u u ==u g g ()pq r pq p q r q p u u ?=Ω ?=Ωu g g g g Ω 1 :2?? ?- ? ?? ? u =u ∈Ωω ()()11:221122 11 22 12 i j k pq s pq j k i s ijk p q s ijk p q s jk i s jk ist ijk s ijk s t ist jk s s t s t jk ijk s j k k j s t st ts st pq s t s t u u u u u u u u δδδδδδδ??-∈Ω?=-∈Ω? ? ?? =-∈Ω ?= ∈Ω ∈ =-Ω=- -Ω= Ω-Ω =Ω=Ω =g g g g g g g g g g g g g g g q p u g
张量分析总结
一、知识总结 1 张量概念 1.1 指标记法 哑标和自由指标的定义及性质 自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。 性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。 哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。 性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。 例： 3 33323213123232221211 313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1) 式(1.1)可简单的表示为下式： i j ij B x A = (1.2) 其中：i 为自由指标，j 为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。 1.2 Kronecker 符号 定义ij δ为： ? ? ?≠==j i j i ij ,0,1δ (1.3)
ij δ的矩阵形式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 ij δ(1.4) 可知3 ij ij ii jj δδδδ ===。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如： ij jk ik ij jk kl il δδδ δδδδ = = (1.5) ij δ的作用：更换指标、选择求和。 1.3 Ricci符号 为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号： ? ? ? ? ? - = 其余情况 为奇排列 为偶排列 ,0 , , ,1 , , ,1 k j i k j i l ijk (1.6) 图1.1 i,j,k排列图 ijk l的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。 1.4 坐标转换
单元测评卷(六) (120分钟,120分) 一、基础(共24分) 1.根据课文默写古诗文。(10分) (1)僵卧孤村不自哀,尚思为国戍轮台。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (2)君问归期未有期,巴山夜雨涨秋池。(李商隐《夜雨寄北》) (3)正是江南好风景,落花时节又逢君。(杜甫《江南逢李龟年》) (4)求闻之若此,不若无闻也。(《穿井得一人》) (5)若屈伸呼吸,终日在天中行止,奈何忧崩坠乎?(《杞人忧天》) (6)晴空一鹤排云上,便引诗情到碧霄。(刘禹锡《秋词》) (7)夜阑卧听风吹雨,铁马冰河入梦来。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (8)河流大野犹嫌束,山入潼关不解平。(谭嗣同《潼关》) (9)李商隐《夜雨寄北》中写出对未来欢聚的向往之情的诗句是:何当共剪西窗烛,却话巴山夜雨时。 2.根据拼音写出相应的词语。(4分) (1)任何不chèn zhí(称职)的或者愚蠢得不可救药的人,都看不见这衣服。 (2)我想那piāo miǎo(缥缈)的空中,定然有美丽的街市。 (3)她就顺手从池边掘起一团黄泥,chān huo(掺和)了水,在手里揉团着。 (4)又听见“妈妈”的喊声,不由得满心欢喜,méi kāi yǎn xiào(眉开眼笑)。 3.下列加点的词语使用有误的一项是(3分) (C) A.我们无论做什么事情,都要有自己的主见,要敢于表达自己的观点,不要人云亦云,对什么问题都只 是随声附和 ．．．．。 B.××县发生了一起骇人听闻 ．．．．的持枪袭警案,四名警察英勇牺牲。 C.读书读到会心之处,我们常常会言不由衷 ．．．．地发出感叹。 D.不知道在什么时候,出现了一个神通广大 ．．．．的女神,叫作女娲。 4.下列对病句的修改不正确的一项是(3分) (B) A.通过这次语文综合性学习,让我们感受到了戏剧的魅力。(删去“通过”) B.晚会过后,她那优美的舞姿,动听的歌声,还回响在我们耳边。(把“回响”改为“回荡”) C.改革开放30年来,东莞取得了在经济改革方面巨大的成就。(“取得了”和“在经济改革方面”互换位置)
1 知识总结 1.1 指标符号 例如, 三维空间任意一点p 在笛卡儿坐标系（321,,x x x ），若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。因此，发展了另一种记法指标记法。在三维空间力里， 矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。因此在指标记法里边用指标符号表示为（i x ，i=1,2,3）。一个 n 维空间的矢量（n x x x x ,,,,321???）也可用分量表示为（n i x i ,,2,1,???=）。 其中i —指标（取值范围为小于或等于n 的所有正整数） n —维数 1.1.1 求和约定和哑指标 求和约定是指标记法的补充。若在一项中，只要一个下标在同一式子中重复 出现，则表示要对这个指标从1,2,3......n 求和。 要表示求和n n x a x a x a S ???++=2211，可表示为∑∑====n j j j n i i i x a x a S 1 1 ， 约定：j j i i x a x a S ==，（用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维）。其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。 对于双重求和，∑∑==3 13 1i j j i ij y x A ， 其中， 3 33323321331322322221221311321121111y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A j i ij ++++++++= 可表示为k j i ijk z y x A ，代表27项的和式。 1.1.2 自由指标 333323213123232221211313212111b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++ 可以简写为i j ij b x A =， 其中 j ——哑指标 i ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 1.1.3 Kronecker-δ符号和置换符号(Ricci 符号) （1）Kronecker-δ符号定义
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
广义相对论的学习总结 1.引言 1.1前言 经过过去一年对广义相对论的学习，基本对广义相对论的基本原理和运用有了比较完整的认识。这篇文章是为了总结自己学习的体会，尽量用自己的语言谈谈对广义相对论的理解。由于作者水平有限，也为了文章的简洁，所以省去数学推导，仅保留基本的数学公式和方法说明。 广义相对论是爱因斯坦一大理论成果，可以解释宏观世界一切物体的运动，可以在一切坐标系下运用，本身又保持了相当完美的对称性和简洁性。随着空间探测技术的发展，广义相对论的许多结论都得到了证明，而广义相对论和量子力学构成了现代物理的两大支柱。 1.2导语 在具体介绍广义相对论的内容之前，我想用自己的语言，对广义相对论的思想和研究问题步骤做一个小的总结和介绍。总的来说，广义相对论是建立在四个假设之上，通过这四个假设，爱因斯坦认为惯性场和引力场等效，以及所有参考系的平权性。然后爱因斯坦把引力场认为是一种几何效应。是由于质量在空间上的分布不均匀，导致空间的空间扭曲。 在数学上，用张量来代表物理量，以满足物理规律在所有参考系下都成立。用黎曼几何来刻画弯曲空间，联络来描述引力强度，曲率
张量来描述空间弯曲，度规张量来描述引力势。 接下来便是构建场运动方程。我们可以用惠曼的名言总结道：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。”按照爱因斯坦的想法，引力是由于质量空间分布不均匀造成的几何效应。所以爱因斯坦场方程左边应该是反映时空的几何性质的张量，右边是能动张量。再继续利用能量守恒定律，便可以推出爱因斯坦场方程。 应用爱因斯坦的场方程，得到了很多新奇的结论和实验预言，并且以“水星进动”和“引力红移”为代表的实验验证了广义相对论的正确性。 广义相对论还预言了引力弯曲效应极大情况下黑洞的存在。 而广义相对论作为宇宙学的理论基础，特别是近几十年观测技术的进步，使得宇宙学建立起了相对完整的理论系统。 2.基本假设 广义相对论建立在以下假设下。 2.1等效原理 广义相对论用的是强等效原理。 引力场与惯性场的的一切物理效应都是局域不可分辨的。 2.2马赫原理 惯性力起源于物质间的相互作用，起源于受力物体相对于遥远星系的加速运动，而且与引力有着相同或相近的物理根源。
第一章 张量的概念 § 1.1 引言 什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。 有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。 在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有 ()???? ? ??σσσσσσσσσ=σzz zy zx yz yy yx xz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时， 应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。 把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。可以看出，张量是矢量概念的推广。关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。 由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。 张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。张量分析在力学领域中有广泛的应用，是力学工作者的重要数学工具。 § 1.2 符号与求和约定 一、指标 在张量分析中广泛运用指标。几个变量的集合 n 21x ,...,x ,x 可表示为
柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛
，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，
指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????
第三章 张量分析 将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。张量的协变导数是本章讨论的重点。 §3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号 求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导： j ,i i i i j ,j ,i i j ,j g V g V )g V (V x V +===?? (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。 （3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。下面分别进行讨论。 一、基矢量i g 的偏导数j ,i g 由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出 s j i s 2s i s j j ,i i x x z )i x z (x g ???=????= 这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量： k k ij k ijk j ,i g g g Γ=Γ= （3.1-2） 式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。 从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到 i j k l k i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=?Γ=? (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=?Γ=? (3.1-3b) ijk Γ称为第一类克里斯托费尔 （Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。
《不平凡的求学生涯》阅读及答案 《不平凡的求学生涯》阅读及答案 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，
极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门
各章要点 第一章：矢量和张量 指标记法： 哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底： k i k i i x ??==?ξ?ξr g e j j i i ?=δg g i i k k x ?ξ=?g e 123 = ==g g g 张量概念 i i'i'i =βg g i'i'i i =βg g i k i k j j ''''ββ=δ i'i'i i v v =β i i 'i 'i v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =???T g g g g 度量张量 ij i i i j i i g =?=?=?G g g g g g g ?=?=?=?=v G G v v T G G T T .j kj i ik T T g = 张量的商法则 lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk ...lm T(i,j,k,l,m)T = 置换符号 312n 1n 123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn ijk .L .m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A = 置换张量
i j k ijk ijk i j k =ε??=ε??εg g g g g g ijk i j k ()e ε=??=g g g ijk ijk i j k ()ε=??=g g g i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()?=ε=ε=?=?a b g g a b εεa b 广义δ符号 i i i r s t j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t e e δδδδδδ==εε=δδδδ ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ ijk k ijt t 2δ=δ ijk ijk 6δ= 性质：是张量 重要矢量等式：()()()??=?-?a b c a c b a b c 第二章： 二阶张量 重要性质：T =T.u u.T 主不变量 i 1.i Tr()T ζ==T i j l m 2l m .i .j 1T T 2 ζ=δ 3det()ζ=T 1()()(())(())()?????????=ζ??T u v w +u T v w +u v T w u v w 2)[)][()(]()[()]()????????????=ξ??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()?????=??T u T v T w T u v w 标准形 1. 特征值、特征向量 ?=λT v v ()-λ?=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形 i 12 3 i 1122 33=??=λ?+λ?+λ? N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法） 12112233(cos()sin())(sin()cos())=?+??+-?+??+?R e e e e e e e e
电力系统分块计算的意义和策略何小庆11031009 摘要：本文阐述了电力系统分块可行性和电力系统分块意义，介绍了了两种重要的分块方法：节点撕裂法和支路切割法。通过这几种方法做了比较，最后对电力系统分块做了展望。 关键字：电力系统分块，节点撕裂法，支路切割法 Abstract：This paper presents a reliability of a section algorithm of power system and the importance of this algorithm,and introduces two vital methods of a section algorithm of power system,node tearing and branch cutting .Through comparing those methods,we can conclude the future of a section algorithm of power system. Key word： a section algorithm of power system,node tearing,branch cutting 0 前言 网络分块计算最早有Kron[1]于20世纪50年代初提出，他利用张量分析的概念发展了网络分裂算法（piecewise diakoptics），其基本思想是吧电网分解成若干规模较小的子网，对每一个子网在分割的边界处分别进行等值计算，然后再求出分割边界处的协调变量，最后求出各个子网的内部电量，得到却系统的解。 1 电力系统分块可行性分析 电力系统能够分块计算具有以下几个原因： 一，现代电力系统规模庞大，节点众多，分块处理可将大系统拆分为大量小系统，最终简化分析计算过程。 二，目前的计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解交大系统的分析结果，虽然对于缩短计算时间成效不大，但对于减少内存占用意义明显。分块处理应用于多台计算机上，通过并行处理可提供比单台计算机更快的计算速度，从而缩短计算时间。 三，电力系统本身所具有的分层分区结构特别适合分块计算的应用。就信息的传送而言，每一个地区电网只能收集到本地区系统内的信息，其中重要的信息将被传送到更高一级的调度中心。调度中心根据各地区传送来德尔信息进行加工处理，将协调信息传送给各地区电力系统的调度中心。分块计算正好可以适应这一分层调度的要求。近年来，随着计算机的发展，各种并行计算机和多处理机组成的列阵机相继出现。这样的应用背景促进了人们对并行计算的兴趣，并开展了大量的研究工作，提出了各种基于网络分块的并行计算。 根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：一类是支路切割法（branch cutting），通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；另一类是节点撕裂法（node tearing），即将原网络的部分节点“撕裂”开，把网络分解。前者的协调变量是切割电流，后者的协调变量是分裂点点位。两种方法有各自的特点，将两种方法统一起来，就产生了统一的网络分裂算法。 2 电力系统分块意义 现代电力系统规模庞大，使进行各种分析的计算量很大，以致现有计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理可以达到利用现有计算工具，大大缩短计算时间的要求。 对于电力系统，通常情况下，是在各电力公司的边界线对系统进行分割。分割理论的应用至少有二：第一种应用是，把分割法应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解较大系统的分析结果，这中方法的
浅议张量分析的形成及其应用 摘要：张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始，到规范场论，以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法，真正实现了非欧几何从概念到演算的革命，而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的。同时叙述了张量分析在相对论以及连续介质力学方便的应用。 关键词：张量分析；线性变换；相对论；连续介质力学 1引言 张量是向量(矢量)的自然推广。简单说，三维向量是有三个分量的矩阵函数，三维张量(也叫二阶张量)是有九个分量的矩阵函数。但是并不是只要把九个数写成矩阵形式就可以成为张量，还要必须满足线性变换形式不变这个条件。向量是一种平移不变量，在坐标系变换的时候，向量保持长度和方向不变。建立在向量基础上的微积分运算，也就是向量分析，为麦克斯韦的电磁理论提供了数学工具。不过，向量分析是笛卡儿空间中的分析，即三维直角坐标系中的向量微积分运算，它的局限性是很明显的，物理量中很多都有超过三个的分量，如果把分量理解为维数，那就需要处理高维空间中的分析的数学方法，张量分析因此有存在和发展的必要。 2张量概念的起源 2.119世纪初的非欧几何学 1826年，喀山大学的罗巴切夫斯基(H. N. Lobachevsky，1792-1856)演讲了他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，被视为非欧几何诞生的标志。罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，然后展开一系列的推理，那么在此过程中，将得出一个个在直觉上很难理解，但在逻辑上毫无矛盾的命题。罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论，后来被称为罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，1832年，匈牙利数学家波尔约(Janos Bolyai，1802-1860)从第五公设证明了
练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明ijk ikj =-6。 5. 证明 ijk mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1 cx 3，u 3= bx 2+cx 3； 其中a 、b 、c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
实用类文本阅读 一、阅读下面的文字，完成1--3小题。 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。 1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门所在的美国加州理工学院做博士后研究。由于反法西斯战争的需要，美国当时正在加紧研究火箭、导弹，精确地计算火箭导弹的弹道成了当务之急。钱伟长担起了这个重任，他经常到喷气推进研究所在地墨西哥州的白沙基地参加火箭试验，对各种型号的导弹的弹道及空气动力学性能进行了细致的分析，写出了许多保密的内部报告，并提出了有关火箭、导弹落点的理论。在第二次世界大战中，伦敦遭到德国导弹的袭击，英国首相邱吉尔很着急，向美国求援，问题转达到冯·卡门那里，钱伟长提出了一个对运行的导弹加以干扰迫使其射程减小的方案，立即得到采纳。因此战争中尽管伦敦东码头区遭到德国导弹破坏，市中心却安然无恙。邱吉尔在回忆录中提起此事，说美国青年人很厉害，但实际上应该说：中国青年人很厉害! （摘编自戴世强《钱伟长小传》） 1．下列对传记有关内容的分析和概括，最恰当的两项是（5分） A．钱伟长在清华大学入学考试中，文史成绩优异，作文和历史都拿了满分，是因为钱伟长受到良好的家庭环境的熏陶和影响，自小是看古书长大的。 B．钱伟长基于爱国的崇高理想，弃文从理，转系后读书极为用功，最终成为一名优秀的理科毕业生，这充分说明了奋发才能有为、勤学才能有识的道理。 C．多年来各学派学者对平板和壳体进行了广泛研究，但没有找到内在联系，钱伟长在前人研究的基础上建立起板壳的基本理论，与导师辛吉的研究结果相似。 D．由于反法西斯战争的需要，钱伟长在美国加州理工学院时主要从事有关火箭、导弹的研究，他提出的方案曾帮助伦敦在二战中免遭德国导弹的破坏。 E．本文用形象生动的语言，记叙了钱伟长青年时期刻苦求学的过程，展现了一代科学大师的成长历程，塑造了一个成就卓著、令人尊敬的科学家的形象。 2．本文反映了钱伟长哪些优秀的品格?请简要概括。（6分） 3．文史上极具天赋的钱伟长上大学时却弃文从理，最终在科学领域还取得了杰出的成就；而人们平时却常说扬长避短更容易取得成功。对此，你有何看法?请结合选文探究。（8分）二、阅读下面的文字，完成4--6小题 寂静钱钟书 周劼人 12月19日，寂寥的寒夜，清华园日晷旁，烛光隐隐。小提琴哀婉的曲调飘散在清冷的夜空，人们伫立无语，鞠躬，献上白菊。 偶有路人好奇：“这是在祭奠谁？” 有人低声答语：“今天是钱钟书先生辞世10周年。” 10年前，钱钟书先生安详离世。遵钱先生遗嘱，“一切从简”，连在八宝山的告别仪式也只有短短的20分钟。“如此寂静。”钱先生的一位生前好友说。那日，清华的南北主干道上飘起了一千只纸鹤，学生们用这种方式，静静地送别他们的老学长。 他的人生，本不寂静。 无论是人们熟稔的《围城》，还是近乎天书的《管锥编》，都惊讶了世人，折服了学界。《管锥编》单是书证就数万条，引述涉及四千位作家上万种著作。世人惊叹“大师风华绝代，天才卓尔不群”。 然而他却又静静地坐在书斋里，照例埋头读他的书，做他的学问。图书馆内很多冷僻线装书的借书单上，只有他一人的名字。即使是身处困境，他也只是默默地埋头书本。“文革”时他被送去干校劳动改造，能看的只有寥寥几本书，但只要抱起书本来，就能兴致盎然。第一批“大赦”回京的名单中，没有钱钟书，也没有杨绛。他们夫妻二人平静地走回窝棚，杨先生说：“给咱们这样一个棚，咱们就住下，行吗？”钱先生歪着脑袋认真的想了一下，说：“没有书。” “文革”后，对钱钟书先生的称颂日渐声高，然而钱家的书斋内一如既往地平静。他谢绝了一切记者和学者的拜访，有人将此误读为“清高孤傲，自以为是”。 他人的不解，钱先生并未在意过。杨绛先生说：“他从不侧身大师之列……他只想安安心心做学问。” “钱先生做学问是‘心在焉’,”清华大学一位老师说：“而我们今天这个社会上，今天这个校园里，有多少人则是‘心不在焉’。” 清华大学一位博士生说，他多次读《围城》，读第三遍时忽然明白，“围城不是别人给的，