函数图像的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:
定理1: 函数()y f x =的图象关于直2
a b x +=
对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：
①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。 定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称
()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++
特殊的有：
① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m
+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称
③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-
④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--
⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数y = f (x)与x －a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。
函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3．奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：
（1）满足定义式子)()(x f x f =-（偶）0)()(=-+x f x f （奇）
（2）在原点有定义的奇函数有0)0(=f
(3)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：
①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数；
②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为偶函数； ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 (4)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：
①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定；
②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()
g x F x f x f x =≠为奇函数。 （5）任意函数)(x f 均可表示成一个奇函数[])()(21)(x f x f x g --=与一个偶函数[])()(21)(x f x f x h -+=的和。
（6）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数
（7）图形的对称性 关于y 轴对称的函数（偶函数）关于原点()0,0对称的函数（奇函数）
（8）若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+
若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+
（9）若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+
若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+
（10）常见的奇偶函数
简单地说： 奇函数±奇函数=奇函数， 偶函数±偶函数=偶函数，
奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，
奇函数×偶函数=奇函数.
函数与图像的对称性 在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。对称性是 数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。一、关于对称轴的对称性 首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。对称轴是指函数图像上的一 条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。 以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。当二次函数的二次项 系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函 数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。 对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称 轴的对称性。例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。 同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。 二、关于原点的对称性 除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。当函数图像关于原 点对称时，我们称之为关于原点的对称性。 对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也 就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。 相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。 三、关于倒影的对称性
除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。当函数图像 关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。 以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a小于1时，函数 图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a 小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 四、对称性的应用 函数与图像的对称性在数学和实际问题中有着广泛的应用。例如，我们可以利 用函数关于对称轴的对称性来求解方程。当我们知道函数图像关于y轴对称时，我们可以通过找到函数图像与y轴的交点来求解方程。 此外，对称性还可以帮助我们更好地理解函数的性质。通过观察函数图像的对 称性，我们可以推断函数的增减性、极值点和拐点等重要特征。 总结起来，函数与图像之间的对称性是数学中一个重要的概念。通过对对称轴、原点和倒影的分析，我们可以更好地理解函数的性质和图像的形态。对称性不仅在数学中有着重要的应用，也在实际问题中发挥着重要的作用。因此，我们应该充分利用对称性的特点，来深入研究和应用函数与图像的关系。
函数的对称性 函数的对称性是指函数的图形在一条对称轴上的对称表现，或者说任意函数的定义域内的变化模式有着一定的对称特征。通俗地讲，当给定一个函数，可以通过将它的图形翻转沿着某条对称轴的方式去考察其对称性，而是否存在某种对称性则会取决于函数的形式及其参数，也就是说它们会决定函数的对称轴甚至其非对称情况。 对称性非常重要，因为它有助于记忆和理解函数。举个例子来说，如果你有一个函数f，它的定义域内具有左右对称性，那 么你可以通过在x=0处切割它们，为此可以将函数中的x称为对称轴，这样就可以很容易地推断出它的行为规律。而此外，如果一个函数的定义域内没有对称的规律，它可能不是很容易理解。 人们可以用三种方式来表达函数的对称性：反比例、反射和旋转。反比例方式指的是在定义域内以反比例多少的方式进行调整，即以相同的数字翻转，使得变化的规律完全一致，但是具体的数字却不同。反射方式指的是把一个函数的所有点的x坐标的值取反，使表达式（f（-x））成为另一个函数（f（x））的对称图形。而旋转方式则是指以y轴或者x轴中心点旋转，使每个点的坐标的值发生变化，从而形成对称的函数图形。 另外，函数的对称性还受把某个参数称为平移向量或旋转角度所影响。对于平移向量来说，可以将函数内部的某些坐标（x，y）向左右或上下方移动，使其变得更加对称，形成相对简单 的函数图形。而旋转角度则是指以一个定义域内某个点为中心，
使整个函数的图像旋转一定的角度，使函数的变化模式更加简单。 总而言之，函数的对称性是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解函数的表现规律，还可以帮助我们把函数的参数和变量更好地对应起来。各种不同的变换会使函数的定义域内的变化模式发生改变，这同样也影响了函数的对称性，所以理解函数的对称性也是重要的，也是一个要注意的问题。
函数的性质对称性集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
函数的性质对称性 张磊 函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决. 一对称性的有关结论 1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x) f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称 对称f(ax) =f(bx) 引申 y=f(x)关于x=a+b 2 2 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x) f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称 引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x) 二对称性与奇偶性关系 奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性. 三对称性与周期性关系
双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系) 1 {f (2a +x ) =f (?x )f (2b +x ) =f (?x ) f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a ?2b | 2 {f (2a +x )=?f (?x )f (2b +x )=?f (?x ) f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a ?2b | 3 {f (2a +x )=f (?x )f (2b +x )=?f (?x ) f (2a +x )=? f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a ?4b | 四 点关于线的对称点 点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为 (x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))
函数对称性总结 函数的对称性 三角函数图像的对称性 三角函数包括y=sin x。y=cos x。y=tan x。 两个函数的图像对称性 1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。 2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。
3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。 4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。 5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。 6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。 单个函数的对称性 1、函数的轴对称：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。 推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。 推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的 图像关于y轴对称。特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。 2、函数的点对称： 定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。 推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。 推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数 y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。
函数的对称性 函数图像是函数性质重要的直观体现，其中对称性是图像最典型的性质。对称性包括轴对称 和中心对称即线对称和点对称。现就本部分知识点总结如下： 一 知识梳理 1 P （x..y ）关于X 轴对称的点的坐标为 （x,-y ） 关于Y 轴对称的点的坐标为 （-x,y ） 关于原点对称的点的坐标为 （-x,-y ） 关于Y=X 对称的点的坐标为 （y,x ） 关于Y =－X 对称的点的坐标为 （-y,-x ） 2在空间直角坐标系中P （x,y,z ）关于X 轴对称的点的坐标为 （x,-y.-z ） P （x,y,z ）关于Y 轴对称的点的坐标为 （-x,y,-z ） P （x,y,z ）关于Z 轴对称的点的坐标为 （-x,-y,z ） P （x,y,z ）关于XOY 平面对称的点的坐标为 （x,y,-z ） P （x,y,z ）关于XOZ 平面对称的点的坐标为 （x,-y,z ） P （x,y,z ）关于YOZ 平面对称的点的坐标为 （-x,y,z ） P （x,y,z ）关于点O （0,0,0）对称的点的坐标为 （-x,-y,-z ） 3 函数f （ x ） 与函数f （-x ）的图像关于直线Y 轴对称 函数f （ x ） 与函数-f （x ）的图像关于直线X 轴对称 函数f （ x ） 与函数-f （-x ）的图像关于原轴对称 4图像关于直线X=a 对称 4 函数f （a+x ）为奇函数 ? f （a+x ）= -f （a-x ）? f （x ）=- f （2a-x ）? f （x ）的 图像关于点（a ，o ）中心对称 5 f （x ）与g （x ）关于直线X=a 对称? f （x ）= g （2a-x ）? g （x ）=f （2a-x ） f （x ）与 g （x ）关于点（a ，0）对称? f （x ）=- g （2a-x ）? g （x ）=-f （2a-x ） f （x ）与 g （x ）关于点（a ，b ）对称? f （x ）=2b- g （2a-x ）? g （x ）=2b-f （2a-x ） f （a+x ）与f （a-x ）的图像关于Y 轴对称。f （a+x ）与f （b-x ）的图像关于x= a b - 对 称 若f （a+x ）=f （b-x ）? f （x ）的图像关于x=2a b +对称 6 点P （a,b ）关于直线l:A x ＋By ＋C=0对称的点Q 的坐标求法（1）P.Q 中点在l 上（2） PQ 垂直l 7 y=f （x ）与y=f-1（x ）图像关于y=x 对称 8 定义域为R 的函数f （x ）若关于x=a 和x=b （aa ）成轴 对称则f （x ）为周期函4b-4a 是它的一个周期 二 实战训练 1 y=f （x ）与y=log 2x 的图x=0对称。则 （ ）
函数图像的对称性 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数()y f x =的图象关于直2 a b x += 对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有： ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。 定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称 ()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。 定理3：（性质） ①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 ②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 ③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。 ④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数的对称性和奇偶性 函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用于描述函数的 性质和特点。通过研究函数的对称性和奇偶性，我们可以更深入 地了解函数的行为和图像的形状。本文将详细介绍函数的对称性 和奇偶性的定义、性质以及在实际问题中的应用。 一、对称性的定义和性质 函数的对称性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。常见 的对称性包括关于y轴的对称、关于x轴的对称和关于原点的对称。下面将分别介绍这三种对称性的定义和性质。 1. 关于y轴的对称性 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数关于y 轴对称。也就是说，函数图像相对于y轴是对称的。例如，函数y = x^2就是关于y轴对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。 2. 关于x轴的对称性
如果对于函数中的任意x值，都有f(x) = -f(-x)，则称函数关于x轴对称。也就是说，函数图像相对于x轴是对称的。例如，函数y = sin(x)就是关于x轴对称的，因为对于任意x值，都有sin(x) = -sin(-x)。 3. 关于原点的对称性 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数关于原点对称。也就是说，函数图像相对于原点是对称的。例如，函数y = x^3就是关于原点对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^3 = -x^3。 对于一个函数而言，可能同时具有以上三种对称性，也可能只具有其中一种对称性。在实际应用中，我们可以根据函数的对称性来简化计算和分析。 二、奇偶性的定义和性质
函数的奇偶性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。奇函数和偶函数是最常见的具有奇偶性的函数。下面将分别介绍奇函数和偶函数的定义和性质。 1. 奇函数 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。也就是说，奇函数关于原点对称。例如，函数y = sin(x)就是奇函数，因为对于任意x值，都有sin(-x) = -sin(x)。 奇函数的特点是在定义域内存在x = 0时，函数值为0。这意味着奇函数的图像关于原点对称，并且在原点处穿过坐标轴。 2. 偶函数 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数。也就是说，偶函数关于y轴对称。例如，函数y = x^2就是偶函数，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。
函数的对称问题讲解 一、函数对称性的定义 函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。 二、函数图像的对称轴和对称中心 1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。 2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。 三、奇函数和偶函数的对称性 1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。 四、对称性与周期性的关系 函数的对称性和周期性之间有一定的联系。例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系 函数的对称性和最值之间也有一定的关系。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。 六、对称性在解题中的应用 函数的对称性在解题中有着广泛的应用。例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。 七、函数对称性的判定方法 1.奇偶性判定：利用奇偶性的定义进行判定，即对于任意x，都有f(-x)=-f(x)则为奇函数，f(-x)=f(x)则为偶函数。 2.渐近线判定：如果函数具有垂直渐近线或者水平渐近线，则可以根据这些渐近线的性质判断函数的对称性。 3.图像判定：通过对函数图像的观察和分析，可以判定函数的对称性。例如，如果函数图像关于某条直线或者某个点对称，则该函数具有相应的对称性。
函数的对称性及应用 对称性是和谐的表现形式，对称性充分体现了数学的和谐美，给人以审美的愉悦感。在函数中，函数的对称性是函数的一个基本性质，不仅表现出形式美、结构美，应用到一些数学问题中，更有方法美与思路美。对称性对于简捷地解决某些函数问题至关重要，它可以帮助我们快速找到突破口。 1、函数内部的对称性（自对称） 1.1 关于点对称 函数y=f（x）关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b，也可以写成f（x）+f（2a-x）=2b。若写成f（a+x）+f（b-x）=c，则函数f（x）关于点（，）对称。 1.2 关于直线对称 函数y=f（x）关于x=a对称？圳f（a+x）+f（a-x），也可以写成f（x）=f （2a-x）。若写成f（a+x）+f（b-x），则函数f（x）关于直线x= = 对称。 2、函数之间的对称性（互对称） 2.1 关于点对称 y=f（x）与y=g（x）关于点（a，b）对称？圳f（x）+g（2a-x）=2b或f（a+x）+g（a-x）=2b。 2.2 关于直线对称 y=f（a+mx）与y=f（b+mx）（m≠0）关于直线x= 对称。特别地，y=f（x）与y=f（2a-x）关于直线x=a对称。 3、函数对称性应用举例 例1 设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（-x+2），且其图像与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 ，求f（x）的解析式。 解：f（x）关于x=2对称，可设f（x）=a（x-2）2+b。 由4a+b=1，再由x1-x2=2 ？圯2 =2 ，解得a= ，b=-1。f（x）= （x-2）2-1 例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1？燮x？燮0时，f（x）=- 则f（8.6）= 。
函数的奇偶性与对称性 函数是数学中一种重要的概念，它在描述数量关系和变化规律方面扮演着重要的角色。在函数的研究中，奇偶性与对称性是两个常见的性质，它们能够提供函数的有用信息和性质，对于问题的分析和解决具有重要意义。 一、奇函数和偶函数 在函数的研究中，我们经常遇到奇函数和偶函数两种特殊类型的函数。奇函数与偶函数的定义如下： 1. 奇函数：如果对于函数中的每个实数 x，都有 f(-x) = -f(x) 成立，则称该函数为奇函数。换句话说，奇函数以原点为中心具有对称性，即关于原点对称。 2. 偶函数：如果对于函数中的每个实数 x，都有 f(-x) = f(x) 成立，则称该函数为偶函数。换句话说，偶函数以 y 轴为中心具有对称性，即关于 y 轴对称。 奇函数和偶函数的性质不仅仅是集中在对称性上，它们还具有其他重要的特点。 1. 奇函数的特点： - 奇函数的定义域关于原点对称，即若 x 属于定义域，则 -x 属于定义域。 - 奇函数的图像以原点为对称中心。
- 奇函数的零点为原点，即 f(0) = 0。 - 奇函数在定义域内的正负相等，即 f(x) = -f(-x)。 - 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数。 2. 偶函数的特点： - 偶函数的定义域关于 y 轴对称，即若 x 属于定义域，则 -x 属于定义域。 - 偶函数的图像以 y 轴为对称中心。 - 偶函数的零点有可能为原点，即 f(0) = 0 或在定义域内的其他点。 - 偶函数在定义域内的正负相等，即 f(x) = f(-x)。 - 两个偶函数的和是偶函数，两个偶函数的积是偶函数。 二、对称性在函数图像中的应用 奇偶函数的对称性在函数图像中能够提供有用的信息。 1. 奇函数在函数图像中的对称性应用： - 如果已知函数关于原点对称，可以由函数图像的一部分确定整个函数图像，节约绘制图像的时间和精力。 - 如果已知函数在某一点处的函数值，可以通过奇函数的性质求得该点关于原点的对称点处的函数值。 2. 偶函数在函数图像中的对称性应用：
函数的性质之---函数的对称性函数的对称性是函数的一个重要性质，它描述了函数图像的形状和位置之间的关系。函数的对称性可以通过函数的奇偶性、轴对称性和中心对称性等方面来体现。 一、奇偶性 函数的奇偶性是描述函数图像是否关于原点对称的性质。如果函数f(x)的图像关于原点对称，那么f(x)就是奇函数；如果函数f(x)的图像关于y轴对称，那么f(x)就是偶函数。下面是判断函数奇偶性的步骤： 1.判断定义域是否关于原点对称； 2.化简函数式，一般情况下将函数式化为f(x) = -f(-x)或f(x) = f(-x)； 3.判断f(x) = -f(-x)或f(x) = f(-x)是否成立，如果成立则判定为奇函数或 偶函数，否则为非奇非偶函数。 二、轴对称性 函数的轴对称性是描述函数图像是否关于直线x = k对称的性质。如果函数f(x)的图像关于直线x = k对称，那么k就是f(x)的一个轴对称轴。下面是判断函数轴对称性的步骤： 1.观察函数图像，找到图像上相邻两个点连线的中垂线所在的直线； 2.计算中垂线与x轴交点的横坐标； 3.如果交点的横坐标等于k，那么k就是f(x)的一个轴对称轴。 三、中心对称性 函数的中心对称性是描述函数图像是否关于点(k,0)对称的性质。如果函数 f(x)的图像关于点(k,0)对称，那么(k,0)就是f(x)的一个中心对称中心。下面是判断函数中心对称性的步骤： 1.观察函数图像，找到图像上相邻两个点连线的中点； 2.计算中点的横坐标；
3.如果中点的横坐标等于k，那么(k,0)就是f(x)的一个中心对称中心。 四、其他对称性 除了以上三种对称性外，还有一些特殊的对称性，比如周期性和反函数等。周期性是指函数图像重复出现的周期，如果函数f(x)是以T为周期的周期函数，那么f(x+T) = f(x)；反函数是指对于一个函数y = f(x)，如果存在一个函数x = f'(y)，使得f'(y) = x，那么称x = f'(y)为y = f(x)的反函数。 总之，函数的对称性是函数的一个重要性质，它可以描述函数图像的形状和位置之间的关系。通过对称性可以更好地理解函数的性质和变化规律，对于数学和实际应用都有重要的意义。
函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。 函数的对称性公式推导 1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2 如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a 原函数与反函数的对称轴是y＝x． 而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R． f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0， 还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．
如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移） 2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T） 注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键． 同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W） 但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T ＝π． y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2 上面的2个方程T＝π（T＝2π/W） 而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T ＝π所以它的周期为T＝π 而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如 y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3 对称函数 在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。从函数的形式中可以看出若输入变数排列后，方程式不会改变。例如对于一个球
函数的对称性 （内容需原创） 1. 函数的对称性是指一个函数的值在某一点或几个点取到最大值或最小值的性质。 2. 函数的对称性是一种比较容易发现的函数性质。掌握函数的对称性有助于提升函数分解、求导和求解数学问题的能力。 3. 常见的函数对称性有： (1) 奇函数的对称性：如果它以某一点经过或以其为中心对称，则称其为奇函数。例如，三次多项式函数y=ax^3+bx^2+cx+d，它以x = 0 为中心，应用自变量的变换x→-x，函数变化f（x）→-f（x），可知y=ax^3+bx^2+cx+d也是一个奇函数。 (2)偶函数的对称性：如果以某一点经过左右对称，则称其为偶函数。例如，二次多项式函数y=ax^2+bx+c，它以 x = 0 中心对称，若将自变量x变换x→-x，函数变化f(x)→f(x)，可知y=ax^2+bx+c也是一个偶函数。 (3) 关于y轴对称性：如果函数的每一对对称点，在y轴中对称，则称其为y轴对称性。例如，三次多项式函数y= ax^3+bx^2+cx+d，它的每一对对称点（x1,y1）（x2,y2），在y轴中也是对称的，即（-x1,y1）（-x2,y2），因此y=ax^3+bx^2+cx+d也具有y轴对称性。
4. 位移与缩放函数作为其他对称性。位移函数可以理解为在某一段函数上进行位移，缩放函数可以理解为改变某一段函数的显示大小。 5. 函数对称性可用已知特征函数作为依据来发现，其变换规律可以用三角函数，指数函数以及幂函数等来描述。 6. 对函数的对称性有所了解，能够从宏观和微观的角度更好的理解函数的定义及其变化规律，并有效的运用它们解决数学问题。
函数的对称性 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴， 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中 是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是 （kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。
函数的奇偶性与对称性 函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数 对映到另一个数。在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。 一、函数的奇偶性 函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。具体 而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于 任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(- x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。 奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对 称时，图像不变。例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。当x取正值 和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然 保持不变。 偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。当x取正值和 负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保 持不变。 二、函数的对称性 与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。函数的对称性有三种：关 于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。
关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。当x取正值时，函数 值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于 原点具有对称性。 关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。当x取正值时，函数 值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原 点具有对称性。 关于原点的对称性是指当将函数关于原点翻转时，图像不变。例如，f(x)=tan(x)就是一个具有关于原点对称性的函数。当x取正值和负值时，函数的值相反，因此函数在原点上具有对称性。 三、实际应用 函数的奇偶性与对称性在实际问题中有广泛应用。在物理学中，奇 函数常用于描述对称的场景，例如电流的方向或磁场的分布。偶函数 则常用于描述具有轴对称性的情况，例如电荷的分布或物体的形状。 在工程学和经济学中，函数的对称性常用于简化问题和优化设计。 通过利用函数的对称性，可以减少计算量，提高工作效率。例如，在 设计对称结构的桥梁或建筑时，通过利用函数的奇偶性和对称性，可 以减少材料和成本的使用，提高结构的稳定性。 总结：
函数的对称性与奇偶性 函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。函数的对称性与奇偶性是研究函数特性和性质的重要方面。在本 文中，将介绍函数的对称性和奇偶性的概念、性质以及它们在数学和 实际应用中的意义。 一、函数的对称性 函数的对称性是指函数图像关于某个轴或点的对称性质。常见的函 数对称性有水平对称、垂直对称和中心对称。 1. 水平对称 当一个函数的图像关于y轴对称时，就称该函数具有水平对称性。 具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = f(-x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有水平对称性。水平对称性常见于偶函数，如y = x^2。 2. 垂直对称 当一个函数的图像关于x轴对称时，就称该函数具有垂直对称性。 具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = -f(-x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有垂直对称性。垂直对称性常见于奇函数，如y = x^3。 3. 中心对称 当一个函数的图像关于某一点对称时，就称该函数具有中心对称性。具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = f(a - x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有中心对称性。中心对称性的一个例子是椭圆的方程。
二、函数的奇偶性 函数的奇偶性是指函数在定义域内满足的特定性质。奇函数和偶函数是最常见的两种函数奇偶性。 1. 奇函数 如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数具有关于原点对称的性质，如y = x^3。 2. 偶函数 如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。偶函数具有关于y轴对称的性质，如y = x^2。 三、对称性与奇偶性的意义 函数的对称性和奇偶性在数学和实际应用中具有重要的意义。 1. 函数性质研究 通过分析函数的对称性和奇偶性，可以得到函数的一些重要性质。如奇函数的积分结果是偶函数，偶函数的积分结果是奇函数。这些性质对于解决求积分、微分方程等数学问题具有指导作用。 2. 函数图像研究 对称性和奇偶性可以帮助我们更好地理解和描述函数的图像。知道一个函数是奇函数或偶函数，可以使我们更快地画出函数的曲线和图像，从而更好地理解函数在不同情况下的变化。
函数的对称技巧 函数的对称技巧在数学中有着重要的地位，这是因为对称性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。函数的对称性包括了几何意义上的对称和代数意义上的对称。接下来，我将详细讨论几种常见的函数对称技巧，并解释它们在解题过程中的作用。 1. 奇偶对称 当函数满足f(x)=f(-x)时，我们称函数具有奇偶对称。其中，如果函数满足 f(-x)=-f(x)，则称函数具有奇对称；如果函数满足f(-x)=f(x)，则称函数具有偶对称。 奇偶对称在函数的图像研究中起到了至关重要的作用。通过奇偶对称，我们可以推断出函数图像的对称轴和对称点。对于奇对称函数，其对称轴一定为原点(0,0)，对于偶对称函数，其对称轴可以是任意直线x=a。 奇偶对称还能帮助我们简化函数的计算。例如，对于奇偶对称函数，当x=0时，函数的值一定为0，因此我们可以通过奇偶对称性将复杂的表达式简化为更简单的形式。 2. 周期性 当函数满足f(x+T)=f(x)时，我们称函数具有周期性，其中T为函数的周期。周期函数在许多实际问题中非常常见，例如正弦函数和余弦函数。
周期性可以帮助我们预测函数的图像和性质。通过观察函数的周期长度和振幅，我们可以了解到函数图像的重复规律和变化趋势。 周期性还可以帮助我们简化函数的计算。例如，对于周期函数，我们只需要计算一个周期内的函数值，然后可以通过平移、拉伸等运算得到其他任意点的函数值。这极大地简化了复杂函数的计算过程。 3. 对数对称 当函数满足f(a^x) = f(x)时，我们称函数具有对数对称。对数对称在函数的图像研究和计算中都起到了重要的作用。 对数对称可以帮助我们推断函数图像的性质。例如，如果一个函数具有对数对称，那么它的图像一定关于y=x直线对称。通过借助对数对称，我们可以在不求解具体函数表达式的情况下，推断出函数图像的形状和性质。 对数对称还可以帮助我们简化函数的计算。例如，对于具有对数对称的函数，我们可以通过变量代换，将复杂的函数表达式转化为更简单的形式。这样可以减少计算量，提高解题效率。 4. 反函数对称 当函数满足f(f^{-1}(x)) = x时，我们称函数具有反函数对称。反函数对称在函
导数与函数的对称性与对称函数在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。它不仅可以 用来求解函数的斜率，还能够揭示函数的对称性。本文将探讨导数与 函数的对称性之间的关系，以及对称函数的特点。 一、函数的对称性 在数学中，函数的对称性是指在某种操作下可以保持不变的性质。 常见的函数对称性有奇偶性和周期性。 1. 奇偶函数 函数f(x)是奇函数，当且仅当对于任意x，有f(-x) = -f(x)。换句话说，奇函数关于原点对称。 函数g(x)是偶函数，当且仅当对于任意x，有g(-x) = g(x)。换句话说，偶函数关于y轴对称。 2. 周期函数 函数h(x)是周期函数，当且仅当存在一个正数T，使得对于任意x，有h(x+T) = h(x)。换句话说，周期函数在一定间隔内具有相同的函数值。 二、导数与函数对称性之间的关系 导数和函数的对称性密切相关，具体体现在以下两个方面。 1. 对称函数的导数
如果一个函数是奇函数，则其导数是偶函数；如果一个函数是偶函数，则其导数是奇函数。这是因为在求导过程中，奇函数的负号被消去，偶函数的负号被保留。因此，函数的对称性在求导后仍然保持。 例如，对于奇函数f(x)，其导数f'(x)是偶函数；对于偶函数g(x)，其导数g'(x)是奇函数。 2. 对称性与导数为零点 对称函数在对称轴上的导数为零。这是因为对称轴上的两侧函数值相等，斜率为零。当函数在对称轴两侧的斜率相等时，导数为零。 例如，若函数h(x)是偶函数且其导数在对称轴上存在，那么导数必然为零。 三、对称函数的特点 对称函数具有一些独特的性质，其中包括： 1. 奇偶对称性的性质 奇函数在原点对称，因此可以通过研究定义域的一半来推导整个函数的性质。偶函数在y轴对称，因此可以通过研究整个定义域，一半的性质即可得出。 2. 导数的特点 对称函数在对称轴上的导数为零。这意味着在对称轴上的极值点存在，且函数在这些点处的斜率为零。 3. 递推性质