函数的图像与对称
函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。而函数的图像则是
将函数的关系以图形的形式展示出来，使我们能够更直观地理解函数的性质和特点。在函数的图像中，对称是一个常见且重要的性质，它不仅能够帮助我们更好地理解函数的图像，还能够简化函数的分析和计算过程。
一、关于函数的对称性
在数学中，对称是指某个图形、物体或者数值在某个中心点、轴线或者面上具
有镜像关系。对称性可以分为以下几种：
1. 点对称：当一个图形、物体或者数值在某个点上具有镜像关系时，我们称之
为点对称。例如，一个圆的中心就是它的点对称中心。
2. 线对称：当一个图形、物体或者数值在某条直线上具有镜像关系时，我们称
之为线对称。例如，一个正方形的对角线就是它的线对称轴。
3. 面对称：当一个图形、物体或者数值在某个平面上具有镜像关系时，我们称
之为面对称。例如，一个立方体的中心平面就是它的面对称平面。
二、函数的图像是函数的关系在坐标系中的表现形式，它可以用来描述函数的性质和特点。在函数的图像中，对称是一个常见且重要的性质，它可以帮助我们更好地理解函数的图像。
1. 奇函数与偶函数
在函数的图像中，奇函数和偶函数是两种常见的对称函数。奇函数是指满足
f(-x)=-f(x)的函数，它的图像关于原点对称。例如，y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。而偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，它的图像关于y轴对称。
例如，y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
2. 对称轴
在函数的图像中，对称轴是指函数图像的对称轴线。对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。例如，对于函数y=x^2，它的图像的对称轴是y轴。通过对称轴，我们可以简化函数的分析和计算过程。例如，对于函数y=x^2，我们可以通过对称轴y轴的性质，得出当x取正值时，y的值与x取负值时，y的值相等。
三、函数的图像与对称的应用
函数的图像与对称性在数学的各个领域都有广泛的应用。下面以几个具体的例子来说明：
1. 函数的图像在几何中的应用
在几何中，函数的图像与对称性可以帮助我们更好地理解和推导几何定理。例如，在证明一个几何定理时，我们可以通过观察函数的图像是否具有某种对称性来判断几何定理的成立性。如果函数的图像具有某种对称性，那么几何定理很可能成立。
2. 函数的图像在物理中的应用
在物理中，函数的图像与对称性可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。例如，在分析物体的运动轨迹时，我们可以通过观察函数的图像是否具有某种对称性来判断物体的运动特点。如果函数的图像具有某种对称性，那么物体的运动特点很可能具有某种规律性。
3. 函数的图像在经济中的应用
在经济中，函数的图像与对称性可以帮助我们更好地理解和分析经济现象。例如，在分析供求关系时，我们可以通过观察函数的图像是否具有某种对称性来判断供求关系的平衡点。如果函数的图像具有某种对称性，那么供求关系的平衡点很可能在该对称点附近。
四、总结
函数的图像与对称性是数学中重要的概念和性质。通过观察函数的图像是否具有对称性，我们可以更好地理解函数的性质和特点，简化函数的分析和计算过程，应用到各个领域中。因此，对于中学生和他们的父母来说，了解函数的图像与对称性的概念和应用是非常重要的。希望通过本文的介绍和解释，能够帮助读者更好地理解和应用函数的图像与对称性。
函数与图像的对称性 在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。对称性是 数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。一、关于对称轴的对称性 首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。对称轴是指函数图像上的一 条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。 以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。当二次函数的二次项 系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函 数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。 对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称 轴的对称性。例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。 同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。 二、关于原点的对称性 除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。当函数图像关于原 点对称时，我们称之为关于原点的对称性。 对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也 就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。 相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。 三、关于倒影的对称性
除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。当函数图像 关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。 以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a小于1时，函数 图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a 小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 四、对称性的应用 函数与图像的对称性在数学和实际问题中有着广泛的应用。例如，我们可以利 用函数关于对称轴的对称性来求解方程。当我们知道函数图像关于y轴对称时，我们可以通过找到函数图像与y轴的交点来求解方程。 此外，对称性还可以帮助我们更好地理解函数的性质。通过观察函数图像的对 称性，我们可以推断函数的增减性、极值点和拐点等重要特征。 总结起来，函数与图像之间的对称性是数学中一个重要的概念。通过对对称轴、原点和倒影的分析，我们可以更好地理解函数的性质和图像的形态。对称性不仅在数学中有着重要的应用，也在实际问题中发挥着重要的作用。因此，我们应该充分利用对称性的特点，来深入研究和应用函数与图像的关系。
反函数 ●知识梳理 1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=?（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）. 2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称. 3.求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕. 一. 条件存在型 例1.函数f x x ax ()=--2 23在区间[] 12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (] a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. [] a ∈12， 二. 式子求解型 例2.函数y x x = -≤23 10()的反函数是（ ） A. y x x = +≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x = +≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 三.求定义域值域型 例3.若f x -1 ()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。 四.性质判断型 例4. 函数y e e x x =--2 的反函数是（ ） A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数； B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数
函数的图像与对称 函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。而函数的图像则是 将函数的关系以图形的形式展示出来，使我们能够更直观地理解函数的性质和特点。在函数的图像中，对称是一个常见且重要的性质，它不仅能够帮助我们更好地理解函数的图像，还能够简化函数的分析和计算过程。 一、关于函数的对称性 在数学中，对称是指某个图形、物体或者数值在某个中心点、轴线或者面上具 有镜像关系。对称性可以分为以下几种： 1. 点对称：当一个图形、物体或者数值在某个点上具有镜像关系时，我们称之 为点对称。例如，一个圆的中心就是它的点对称中心。 2. 线对称：当一个图形、物体或者数值在某条直线上具有镜像关系时，我们称 之为线对称。例如，一个正方形的对角线就是它的线对称轴。 3. 面对称：当一个图形、物体或者数值在某个平面上具有镜像关系时，我们称 之为面对称。例如，一个立方体的中心平面就是它的面对称平面。 二、函数的图像是函数的关系在坐标系中的表现形式，它可以用来描述函数的性质和特点。在函数的图像中，对称是一个常见且重要的性质，它可以帮助我们更好地理解函数的图像。 1. 奇函数与偶函数 在函数的图像中，奇函数和偶函数是两种常见的对称函数。奇函数是指满足 f(-x)=-f(x)的函数，它的图像关于原点对称。例如，y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。而偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，它的图像关于y轴对称。 例如，y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
2. 对称轴 在函数的图像中，对称轴是指函数图像的对称轴线。对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。例如，对于函数y=x^2，它的图像的对称轴是y轴。通过对称轴，我们可以简化函数的分析和计算过程。例如，对于函数y=x^2，我们可以通过对称轴y轴的性质，得出当x取正值时，y的值与x取负值时，y的值相等。 三、函数的图像与对称的应用 函数的图像与对称性在数学的各个领域都有广泛的应用。下面以几个具体的例子来说明： 1. 函数的图像在几何中的应用 在几何中，函数的图像与对称性可以帮助我们更好地理解和推导几何定理。例如，在证明一个几何定理时，我们可以通过观察函数的图像是否具有某种对称性来判断几何定理的成立性。如果函数的图像具有某种对称性，那么几何定理很可能成立。 2. 函数的图像在物理中的应用 在物理中，函数的图像与对称性可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。例如，在分析物体的运动轨迹时，我们可以通过观察函数的图像是否具有某种对称性来判断物体的运动特点。如果函数的图像具有某种对称性，那么物体的运动特点很可能具有某种规律性。 3. 函数的图像在经济中的应用 在经济中，函数的图像与对称性可以帮助我们更好地理解和分析经济现象。例如，在分析供求关系时，我们可以通过观察函数的图像是否具有某种对称性来判断供求关系的平衡点。如果函数的图像具有某种对称性，那么供求关系的平衡点很可能在该对称点附近。
函数对称性总结 函数的对称性 三角函数图像的对称性 三角函数包括y=sin x。y=cos x。y=tan x。 两个函数的图像对称性 1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。 2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。
3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。 4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。 5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。 6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。 单个函数的对称性 1、函数的轴对称：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。 推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。 推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的 图像关于y轴对称。特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。 2、函数的点对称： 定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。 推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。 推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数 y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。
函数的对称性常见表达式及相关图像1 自身对称(附30例经典基础题及详解) 图像对称轴（中 心） 表达式备注 轴 对 称 x=0 f(-x)=f(x) 偶函数 x=a f(x)=f(2a-x) x=a f(-x)=f(2a+x) x=a f(a-x)=f(a+x) y=f(x+a )为偶函数 x=a (m>0)f(a+mx)=f(a-mx) 令t=mx则 f(a+t)=f(a-t) f(t)对称轴t=a 令t=mx=a 则x=a m y=f(x) x=a m (m>0) y=f(mx)
x=a+b 2 f(a+x)=f(b-x) x=a+b 2 (m>0) f(a+mx)=f(b-mx) 令t=mx则 f(a+t)=f(b-t) f(t)对称轴t=a+b 2 令t=mx=a+b 2 x=a+b 2m y=f(x) x=a+b 2m (m>0) y=f(mx) 规律：两括号内之和除以2。x系数为互为相反数 中 心 对 称 (0,0) f(-x)+f(x)=0 奇函数 (a,0) f(x)+f(2a-x)=0 (a,0) f(-x)+f(2a+x)=0
(a,0) f(a+x)+f(a-x)=0 y=f(x+a )为奇函数 (a,0) f(a+mx)+f(a-mx)=0 令t=mx则 f(a+t)+f(a-t)=0 f(t)对称中心(a,0) 令t=mx=a 则x=a m y=f(x) (a m ,0) y=f(mx) (a,b) f(x)+f(2a-x)=2b (a,b) f(-x)+f(2a+x)=2b (a,b) f(a-x)+f(a+x)=2b (a+b 2 ,c) f(a+x)+f(b-x)=2c
函数图像的对称性 一、点的对称 1、在平面直角坐标系中，已知点P),(b a，则 （1）点P到x轴的距离为b； （2）点P到y轴的距离为a； （3）点P到原点O的距离为PO＝2 2b a+ 2、平行直线上的点的坐标特征： a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等； 点A、B的纵坐标都等于m； b)在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C、D的横坐标都等于n； 3、对称点的坐标特征： c)点P ), (n m关于x轴的对称点为) , ( 1 n m P-， 即横坐标不变，纵坐标互为相反 数； d)点P), (n m关于 y轴的对称点为), ( 2 n m P-，即纵坐标不变，横坐标互为相反 数； e)点P), (n m关于原点的对称点为) , ( 3 n m P- -，即横、纵坐标都互为相反数； 关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称 4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： f)若点P（n m,）在第一、三象限的角平分线上，则n m=，即横、纵坐标相 等； g)若点P（n m,）在第二、四象限的角平分线上，则n m- =，即横、纵坐标互 为相反数； 在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上 二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）原点对称，则直线l的解析式为 X X X X X - X
（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为 （5）直线对称，则直线l 的解析式为 2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02 ≠k ） 的位置关系 （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?2 1k k ≠ （3）两直线重合? 21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 三、二次函数： 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点 () m n ，对称后，得到的解析式是 ()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 注意：本部分内容的理解最好结合图形
函数的对称问题讲解 一、函数对称性的定义 函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。 二、函数图像的对称轴和对称中心 1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。 2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。 三、奇函数和偶函数的对称性 1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。 四、对称性与周期性的关系 函数的对称性和周期性之间有一定的联系。例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系 函数的对称性和最值之间也有一定的关系。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。 六、对称性在解题中的应用 函数的对称性在解题中有着广泛的应用。例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。 七、函数对称性的判定方法 1.奇偶性判定：利用奇偶性的定义进行判定，即对于任意x，都有f(-x)=-f(x)则为奇函数，f(-x)=f(x)则为偶函数。 2.渐近线判定：如果函数具有垂直渐近线或者水平渐近线，则可以根据这些渐近线的性质判断函数的对称性。 3.图像判定：通过对函数图像的观察和分析，可以判定函数的对称性。例如，如果函数图像关于某条直线或者某个点对称，则该函数具有相应的对称性。
高中数学函数图像的对称与周期性 在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。 一、对称性 1. 关于y轴对称 当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 2. 关于x轴对称 当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 3. 关于原点对称 当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 二、周期性
1. 周期函数 周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。周期函数的图像具 有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。我们可以通过绘 制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。 2. 非周期函数 非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。非周期函数的图像通 常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。 例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。我们需要根据函数的性质和 变化规律来绘制函数图像。 三、举一反三 通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。举一反三的思想是指通过理解和掌握一个例子，推广到其他类似的问题。 例如，考虑函数y = cos(x)，它是一个周期为2π的余弦函数。我们可以利用对 称性和周期性来解决以下问题： 问题1：求函数y = cos(x)在区间[0, 4π]上的图像。 解决方法：由于余弦函数具有关于y轴对称和周期为2π的性质，我们只需绘 制函数图像在一个周期内的部分，然后利用对称性和周期性得到完整的图像。 问题2：求函数y = cos(2x)在区间[0, 2π]上的图像。 解决方法：由于函数y = cos(2x)是函数y = cos(x)的变形，它的周期为π。我们 可以通过绘制函数图像在一个周期内的部分，再利用周期性得到完整的图像。
函数与像的对称轴与对称中心在数学中，函数的对称性是一个重要的概念。对称轴和对称中心是 描述函数图像对称性的两个关键概念。本文将详细讨论函数与像的对 称轴和对称中心。 一、对称轴 对称轴是指在函数图像中，函数曲线关于某一直线对称。对称轴将 函数图像分为两个对称的部分。对称轴可以垂直于x轴或y轴，也可 以是任意直线。 1.1 垂直对称轴 当函数图像关于y轴对称时，这条直线称为垂直对称轴。对于函数 y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，则函数图像关于y轴对称。 例如，我们考虑函数y = x^2。对于任意的x，都有(-x)^2 = x^2。所 以函数y = x^2关于y轴对称，对称轴是y轴。 1.2 水平对称轴 当函数图像关于x轴对称时，这条直线称为水平对称轴。对于函数 y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(x) = f(-x)，则函数图像关于x轴对称。 例如，我们考虑函数y = sin(x)。对于任意的x，都有sin(x) = sin(-x)。所以函数y = sin(x)关于x轴对称，对称轴是x轴。
1.3 斜对称轴 除了垂直和水平对称轴，函数图像还可以关于斜线对称。例如，对于函数y = 1/x，该函数图像关于线y = x对称，对称轴是y = x。 二、对称中心 对称中心是指在函数图像中，函数曲线关于某一点对称。对称中心将函数图像分为对称的部分。 2.1 原点对称 当函数图像关于原点对称时，原点是对称中心。对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，则函数图像关于原点对称。 例如，我们考虑函数y = x^3。对于任意的x，都有(-x)^3 = -x^3。所以函数y = x^3关于原点对称，原点是对称中心。 2.2 其他对称中心 除了原点，函数图像还可以关于其他点对称。例如，对于函数y = cos(x)，该函数图像关于点(π/2, 0)对称，该点是对称中心。 三、对称性与图像 函数的对称性与图像的形状密切相关。具体来说，函数的对称性会影响函数图像的形状、位置和特征。 对称轴的位置和方向会决定函数图像的平移和翻转。例如，如果函数关于y轴对称，则整个图像将左右翻转；如果函数关于x轴对称，则整个图像将上下翻转。
函数图象关于点对称性之阿布丰王创作 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基赋性质之一，对称关系不但广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。 I.函数自身关于点对称性 命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者) 证明：（需要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，需要性得证。 （充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。 推论1：奇函数的图像关于原点对称。 1可得函数图像关于源点对称。 推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略） 推论3：函数的图像关于点。 证明：∵，， ∴ 由命题1有函数的图像关于点对称。 例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（） A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负 分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。 解：∵且在区间上单调递增， ∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A
例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 如果为奇函数，而且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k ∈Z） 例3 定义在上的函数满足， 则 解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是. 例 4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、， 则的值为（）。 A.2 B. -1 C. 0 D. 1 解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又，∴;令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数，则，，∴ ==1. 例4 函数的图象关于点成中心对称，则实数. 解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以，即. 例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数. A.2 B. 3 C. -2 D. -4 由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，所以点点关于直线,即. II.分歧函数关于点对称性 命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。 证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,因为点在函数的图
满足()(2)f x f a x =-的函数的图象的对称性 函数图象的变换研究的是两个函数的图象之间的关系 在一个函数中，函数()y f x =的图象的对称性，除奇偶函数的图象的对称性之外，还有一个非常重要的结论，下面以例题的形式给出。 例 1 证明：定义在R 上的函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的充要条件是 ()(2)f x f a x =-（a R ∈） 证明：充分性 由()(2)f x f a x =-可知，若点(,)A x y 是()y f x =的图象上任意一点， 则点/(2,)A a x y -也在其图象上， ∵(,)A x y 与/(2,)A a x y -关于直线x a =对称 ∴()y f x =的图象关于直线x a =对称 必要性 设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点， ∵(,)A x y 关于直线x a =的对称点/(2,)A a x y -，又的函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ∴/ (2,)A a x y -也在函数()y f x =的图象上， ∴(2)y f a x =- ∴()(2)f x f a x =- 说明：（1）本命题的等价命题是： 定义在R 上的函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的充要条件是 ()()f a x f a x +=-（a R ∈） （2）若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对 称。 例2 如果函数()y f x =的图象关于直线x a =和x b =（a b <）对称， 证明：这个函数满足(2())()f a b x f x -+= 证明：∵()y f x =的图象关于直线x a =和x b =（a b <）对称 ∴(2)()f a x f x -=，(2)()f b x f x -= ∴(2)(2()2)(22())(2())()f a x f a b b x f b a b x f a b x f x -=-+-=+--=--= 即(2())()f a b x f x -+= 例3 定义域为R 的函数()y f x =，对任意x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，其中a 为常数，又知(,)x a ∈+∞时，该函数为减函数，判断当(,)x a ∈-∞时，函数()y f x =的单调性，证明你的结论。 结论：当(,)x a ∈-∞时，函数()y f x =是增函数 证明：12,(,)x x a ∀∈-∞，且12x x a <<，则12x x a ->->- ∴1222a x a x a ->-> 又()y f x =在(,)a +∞上是减函数 ∴12(2)(2)f a x f a x -<- 又任意x R ∈，都有()()f a x f a x +=- ∴11(())(())f a a x f a a x +-=--，即11(2)()f a x f x -= 同理22(2)()f a x f x -= ∴12()()f x f x < ∴()y f x =在(,)a -∞上是增函数 练习： 1．如果函数2 ()f x x bx c =++对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-，那么（ ） （A ）(2)(1)(4)f f f << （B ）(1)(2)(4)f f f << （C ）(2)(4)(1)f f f << （D ）(4)(2)(1)f f f << 解：由任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-，知()f x 的图象关于直线2x =对称 ∴(1)(3)f f = 又函数()f x 在(2,)+∞上是增函数， 故(2)(3)(4)f f f <<
高中数学中的函数与图像对称性质 在高中数学中，函数与图像的对称性质是一个重要的概念。通过对函数和图像 的对称性质的研究，我们能够更好地理解函数的性质和图像的特点。本文将从函数的对称性、图像的对称性以及对称性在解题中的应用等方面进行探讨。 一、函数的对称性 函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变。常见的函数对称性有奇偶性、 周期性和对称轴等。 1. 奇偶性 对于一个函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。奇偶性是函数对称性的一种 重要表现形式。 例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以发现f(-x) = (-x)^2 = x^2，即f(x) = f(-x)， 所以函数f(x)是一个偶函数。而对于函数g(x) = x^3，我们可以发现g(-x) = (-x)^3 = -x^3，即g(-x) = -g(x)，所以函数g(x)是一个奇函数。 2. 周期性 对于一个函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)， 则称该函数为周期函数。周期性是函数对称性的另一种表现形式。 例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以发现f(x+2π) = sin(x+2π) = sin(x)，即 f(x+2π) = f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数。 3. 对称轴 对于一个函数f(x)，如果存在一条直线x = a，使得对于任意x，有f(2a-x) = f(x)，则称直线x = a为函数f(x)的对称轴。对称轴是函数对称性的又一种表现形式。
高考数学中的函数图像对称性数学是一门需要不断练习和思考的学科，高考数学中的函数图像对称性是其中重要的一个部分。在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，而图像的对称性对于函数的研究和分析具有非常重要的意义。 一、基础概念 首先，我们需要了解的是什么是对称性。在几何学中，对称性是指一个图形相对于某个线段、点或面的对称变换使得它自身与镜子中的图像重合。 在函数图像中，对称性是指函数图像相对于某个直线对称后会得到一样的图像。比如，若函数图像相对于直线y=x对称，那么得到的图像也是一样的。 二、函数图像的对称性 1. 奇偶性
在高中数学中，我们经常会遇到奇函数和偶函数。奇函数指的 是当自变量x取相反数时，函数y取相反数，即f(-x)=-f(x)；偶函 数则指当自变量x取相反数时，函数y不变，即f(-x)=f(x)。 从几何上来看，一个函数如果是奇函数，那么它的图像关于原 点对称；而如果是偶函数，它的图像关于y轴对称。 因此，对于一个函数f(x)，如果它既不是奇函数也不是偶函数，那么它的图像就不具有对称性。 2. x轴和y轴的对称性 当一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，它就是一个偶函数，这时它 的图像关于y轴对称。这种对称性在数学研究中是非常常见的， 比如一些多项式函数和三角函数等。 另外，当一个函数f(x)满足f(x)=0时，它就在x轴上，且图像 上下对称。这是因为，如果将图像沿x轴反转，它会和原来的图 像重合。
3. 极轴对称性 在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r,θ)表示。若一个点在它的对称点处，则它们到极轴的距离相等，且它们的角度加起来为180度。 在函数图像中，若一个点(x,y)关于极轴对称，则它的对称点为(-x,y)。因此，如果一个函数图像关于极轴对称，它的图像会在圆心进行对称，即圆心处的点不动。 4. 对称形状 在数学图形中，圆、正方形和正多边形等都具有各种不同的对称性，它们的图像所显示的对称性与其形状有关。 比如，当一个正方形图形关于一条对角线对称时，它的图像不变；而当它关于一条边对称时，它的图像会旋转180度。 同理，当一个圆形图形关于它的任意直径对称时，它的图像不变；而当它关于任意一条直线对称时，它的图像会发生翻转。
寻找函数的图像对称 对于函数的图像对称，我们可以通过以下几种方法进行寻找。 一、关于y轴对称 如果一个函数f(x)关于y轴对称，那么对于任意x值，有f(x)=f(-x)。 以一元二次函数y=ax^2为例，其中a为常数。我们可以通过代入法来验证函数是否关于y轴对称。将x代为-x，即有f(-x)=a(- x)^2=ax^2=f(x)。因此，一元二次函数关于y轴对称。 二、关于x轴对称 如果一个函数f(x)关于x轴对称，那么对于任意x值，有f(x)=-f(-x)。 以正弦函数y=sin(x)为例。我们可以使用代入法验证函数是否关于 x轴对称。将x代为-x，即有f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。因此，正弦函 数关于x轴对称。 三、关于原点对称 如果一个函数f(x)关于原点对称，那么对于任意x值，有f(x)=-f(-x)。 以绝对值函数y=|x|为例。我们可以使用代入法验证函数是否关于原 点对称。将x代为-x，即有f(-x)=|-x|=|x|=f(x)。因此，绝对值函数关于 原点对称。 除了以上三种常见的对称性，还有其他特殊的函数图像对称形式。 四、奇函数和偶函数
对于奇函数，当x属于定义域时，有f(-x)=-f(x)。奇函数的图像关于坐标原点对称。 对于偶函数，当x属于定义域时，有f(-x)=f(x)。偶函数的图像关于y轴对称。 最后，需要注意的是，某些函数具有多种对称性，而某些函数可能没有对称性。 通过寻找函数的图像对称，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并在数学问题中减少计算的复杂度。这对于解题和分析函数的行为非常有帮助。因此，在数学学习中，掌握并运用函数的图像对称性是很重要的。
高中数学课程：函数必修知识点函数图像的轴对称和中心对称 在高中函数阶段的学习中，对于某函数图象的轴对称或函数图像关于某点的对称问题，是必须掌握的重点知识。也是高考当中常见的题型。 同学们在解决此类问题时往往理不清头绪，摸不清思路。在轴对称或中心对称问题中模棱两可，含糊不清。现就这一类知识点作出解析，让同学从此不再为此类问题烦恼丢分。 1.轴对称 若函数f(x)图象关于直线x=a对称，则有函数f(x)必须满足f(x)=f(2a-x)。 证明:假设点A(x，y)在函数f(x)图象上，那么点A关于x=a对称点B(2a-x，y)也应该在函数f(x)图象上。由A点B点两点同在函数f(x)图象上，则有: f(x)=y ， f(2a-x)=y 故函数f(x)图象关于直线x=a对称则必须满足 f(x)=f(2a-x)。 2.中心对称 若函数f(x)图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)必须满足f(x)+f(2a-x)=2b。 证明:假设点A(x，y)在函数f(x)图象上，那么A点关于点(x，y)对称点B(2a-x，2b-y)也应该在函数f(x)的图象上。由A点B点同在函数f(x)上，则有: y=f(x) ，2b-y=f(2a-x) 故由上式整理后可得f(x)+f(2a-x)=2b。 题目练习: 1.f(x+2)-f(2-x)=0 2.f(2+x)=f(1-x) 3.f(-x)=f(x-4) 4.f(2x+2)=f(2-2x)
5.f(-x)=－f(x-4) 6.f(4-x)+f(6+x)=10. 答案:1.关于x=2对称. 2.关于x=3/2对称. 3.关于x=-2对称 . 4.关于x=1对称. 5.关于点(-2，0)为中心对称. 6.关于点(5，5)为中心对称.
解填空题常用到的几个公式 1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos = 2． 在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22 122sin sin sin θθθ+= 3． 设F 1,F 2为椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ∆=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4． 设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ∆=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5．已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= θ2sin 2P AB =则线段
函数图象的自身对称与相互对称 函数图象的自身对称与相互对称（轴对称、中心对称）问题，在历年高考试题以及模考试卷中经常涉及，掌握下面的这些结论，就能比较顺利的解答问题。 定理1:设a 、b 为实常数，如果对一切实数x,)(x f y =都 )()(x b f x a f -=+成立,则函数)(x f y =图象关于直线2 b a x +=对称. 证明:在函数)(x f y =图象上任取一点))(,(00x f x P .设此点关于直线2 b a x +=的对称点为),(n m Q ,则: 220b a x m +=+ 0)(x b a m -+= )(0x f n = )(0x f n = ∵])[()(0x b a f m f -+= )]([0x b a f -+= )]([0x b b f --=)(0x f =n = ∴),(n m Q 也在函数)(x f y =图象上 所以函数)(x f y =图象关于直线2 b a x +=对称. 满足定理1条件的函数)(x f y =的图象本身关于直线2b a x += 对称，我们称之为自身对称。 在定理1中，当b a =时得: 推论1:设a 为实常数，如果对一切实数x,)(x f y =都有)()(x a f x a f -=+成立,则函数)(x f y =图象关于直线a x =对称. 显见，在推论1中当0=a 时，即是函数)(x f y =为偶函数的性质。 例1（92年高考题）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么（ ） ⇒
A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f << C 、 )1()4()2(f f f << D 、 )1()2()4(f f f << 解：由推论1知函数c bx x x f ++=2)(图象关于直线2=x 对称，又)(x f 图象为开口向上的抛物线，故)2(f 是)(x f 的最小值，且)(x f 在[)+∞,2上单调递增，又)3()1(f f =而)4()3(f f <，即)4()1(f f <，所以)4()1()2(f f f <<，故选A 。 例2（2001文理科高考压轴题）设)(x f y =是定义在R 上的偶函数，其图 象关于直线1=x 对称，对任意1x 、2x )2 1,0(∈，都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ （1） 略 （2） 证明)(x f 是周期函数。 证明：∵)(x f y =图象关于直线1=x 对称 ∴)2()(x f x f -= （定理1） 又)(x f y =是偶函数 ∴)()(x f x f =- ∴)2()(x f x f -=- 将上中式-x 以x 代换得 )2()(+=x f x f ，R x ∈ ∴)(x f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期。定理2：设a 、b 为实常数，则函数)(x a f y +=图象与函数 )(x b f y -=图象关于直线2 a b x -=对称. 证明：在函数)(x a f y +=图象上任取一点))(,(00x a f x P +.设此点关于直
函数的图像与对称 函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的对应关系。通 过函数，我们可以将自变量的取值映射到因变量的值上。在函数的图 像中，我们可以观察到许多有趣的性质，其中之一就是对称性。 函数的对称性指的是函数图像在某条特定的线或点上具有镜像关系。根据对称轴的不同，我们可以将函数的对称性分为水平对称、垂直对 称和中心对称三种情况。 一、水平对称 函数的图像在水平方向上是对称的，即关于某条水平线对称。 例如，考虑函数y = f(x)。如果存在一条水平线L，使得对于L上任意一点(x, y)，函数图像中也存在一个关于L的对称点(x, -y)，那么函数图像就具有水平对称性。 水平对称的函数图像在坐标系中通常展现出上下对称的特点。以抛 物线函数y = x^2为例，它在y轴上具有水平对称性，其图像关于y轴 对称。 二、垂直对称 函数的图像在垂直方向上是对称的，即关于某条垂直线对称。 例如，考虑函数y = f(x)。如果存在一条垂直线V，使得对于V上 任意一点(x, y)，函数图像中也存在一个关于V的对称点(-x, y)，那么函数图像就具有垂直对称性。
垂直对称的函数图像在坐标系中通常展现出左右对称的特点。以正 弦函数y = sin(x)为例，它在y轴上具有垂直对称性，其图像关于y轴 对称。 三、中心对称 函数的图像在某个点上具有对称关系，即关于某个中心点对称。 例如，考虑函数y = f(x)。如果存在一个点O(x0, y0)，使得对于O 上任意一点(x, y)，函数图像中也存在一个关于O的对称点(x', y')，那 么函数图像就具有中心对称性。 中心对称的函数图像在坐标系中通常展现出关于中心点的对称特点。以双曲线函数y = 1/x为例，它在原点O上具有中心对称性，其图像关 于原点对称。 总结起来，函数的对称性可分为水平对称、垂直对称和中心对称三 种情况。在实际应用中，对称性的观察可以帮助我们更好地理解函数 的性质。同时，在绘制函数图像时，我们也可以利用对称性减少工作量。 函数的图像与对称，是数学中一个有趣的主题，通过研究函数图像 的对称性，我们可以更深入地理解函数的特点和行为。在解题和实际 问题中，对函数的对称性的应用也能帮助我们简化计算和分析的过程。因此，对函数的对称性进行深入学习是非常重要的。