函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性
命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是
(或者)
证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。
（充分性）设点是图像上任一点，则，∵
，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有0
f
x
)
+x
f，由命题1可得
(
-
)
(=
函数图像关于源点对称。
推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略）
推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，，
∴
由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，
∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A
例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）
如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）
例3 定义在上的函数满足，
则
解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是
.
例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数
都有，且、，
则的值为（）。
A. 2
B. -1
C. 0
D. 1
解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又，∴;令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数，则，，∴
==1.
例 4 函数的图象关于点成中心对称，则实数.
解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以，即.
例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数.
A. 2
B. 3
C. -2
D. -4
由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，
所以点点关于直线,即.
II.不同函数关于点对称性
命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。
证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,因为点在函数的图象上，所以函数与的图像关于点成中心对称。
命题2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么
函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切,均有 b.
证明：（1）充分性：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,且
.所以,即点
是函数图象上的一点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图象上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。
(2) 必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点关于点的对称点在函数图象上，
∴,即，也即对一切,均有.
由（1）（2）证明可知：命题2成立。
推论1 :设均为常数，则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
证明：令,
则,对均成立。
∴对均成立.
∴由命题2，函数与函数的图象，即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
例 1 已知函数是定义在上的函数，那么与的图象 ( )
A.关于直线对称.
B.关于直线对称.
C.关于点对称.
D.关于点对称。
简解：令,则
对均成立。∴,由：命题2可知选D。
函数与图像的对称性 在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。对称性是 数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。一、关于对称轴的对称性 首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。对称轴是指函数图像上的一 条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。 以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。当二次函数的二次项 系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函 数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。 对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称 轴的对称性。例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。 同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。 二、关于原点的对称性 除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。当函数图像关于原 点对称时，我们称之为关于原点的对称性。 对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也 就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。 相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。 三、关于倒影的对称性
除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。当函数图像 关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。 以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a小于1时，函数 图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a 小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 四、对称性的应用 函数与图像的对称性在数学和实际问题中有着广泛的应用。例如，我们可以利 用函数关于对称轴的对称性来求解方程。当我们知道函数图像关于y轴对称时，我们可以通过找到函数图像与y轴的交点来求解方程。 此外，对称性还可以帮助我们更好地理解函数的性质。通过观察函数图像的对 称性，我们可以推断函数的增减性、极值点和拐点等重要特征。 总结起来，函数与图像之间的对称性是数学中一个重要的概念。通过对对称轴、原点和倒影的分析，我们可以更好地理解函数的性质和图像的形态。对称性不仅在数学中有着重要的应用，也在实际问题中发挥着重要的作用。因此，我们应该充分利用对称性的特点，来深入研究和应用函数与图像的关系。
函数图像的对称性 一、点的对称 1、在平面直角坐标系中，已知点P),(b a，则 （1）点P到x轴的距离为b； （2）点P到y轴的距离为a； （3）点P到原点O的距离为PO＝2 2b a+ 2、平行直线上的点的坐标特征： a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等； 点A、B的纵坐标都等于m； b)在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C、D的横坐标都等于n； 3、对称点的坐标特征： c)点P ), (n m关于x轴的对称点为) , ( 1 n m P-， 即横坐标不变，纵坐标互为相反 数； d)点P), (n m关于 y轴的对称点为), ( 2 n m P-，即纵坐标不变，横坐标互为相反 数； e)点P), (n m关于原点的对称点为) , ( 3 n m P- -，即横、纵坐标都互为相反数； 关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称 4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： f)若点P（n m,）在第一、三象限的角平分线上，则n m=，即横、纵坐标相 等； g)若点P（n m,）在第二、四象限的角平分线上，则n m- =，即横、纵坐标互 为相反数； 在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上 二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）原点对称，则直线l的解析式为 X X X X X - X
（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为 （5）直线对称，则直线l 的解析式为 2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02 ≠k ） 的位置关系 （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?2 1k k ≠ （3）两直线重合? 21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 三、二次函数： 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点 () m n ，对称后，得到的解析式是 ()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 注意：本部分内容的理解最好结合图形
函数图象关于点对称性 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点 与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往 能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的 较少。本文只探讨函数的关于点对称性。 I.函数自身关于点对称性 命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是 (或者) 证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点 的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。 （充分性）设点是图像上任一点，则，∵ ，∴，即，故点 也在图像上，而点与点关于点对称，充分性 得证。 推论1：奇函数的图像关于原点对称。 证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有f(x) f( x) 0，由命题1可得 函数图像关于源点对称。 推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略） 推论3：函数的图像关于点。 证明：∵，， ∴
由命题1有函数的图像关于点对称。 例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为零 D.可正可负 分析：先代替，使变形为，它的特 征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增， 在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两 个单位。 解：∵且在区间上单调递增， ∴，∵∴函数的图像关于点对称， ∴∴.所以选A 例2如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为 自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对 称中心） 如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对 称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z） 例3定义在上的函数满足， 则 解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对
高三函数对称性知识点归纳 函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图 像的观察，可以揭示函数的性质和规律。在高三数学学习中，函 数对称性是一个基础而又重要的知识点。本文将对高三函数对称 性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这 一概念。 一、函数关于y轴对称 当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。也就 是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。 在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (- x)^2 = x^2 = f(x)。 函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断： 1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。 2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。
二、函数关于x轴对称 当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。也就 是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。 在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = - sin(x) = f(x)。 函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断： 1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。 2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。 三、函数关于原点对称 当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。
在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。 函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断： 1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。 2. 函数的表达式中含有偶数个奇次幂的项，且系数之和为0。 四、其他对称性 除了关于y轴、x轴和原点的对称性外，函数还可能具有其他特殊的对称性。例如，某些函数可能在其他直线上对称，如关于斜线、关于一般直线的对称等。 这些特殊的对称性需要具体情况具体分析，并可以通过数学方法求解对称轴的位置和特性。 综上所述，高三函数对称性是一个重要的数学知识点。通过对函数关于y轴、x轴和原点的对称性的研究，可以帮助我们更深入地理解和分析函数的性质和规律，进而解决与函数对称性相关的
高考数学中的函数图像对称性数学是一门需要不断练习和思考的学科，高考数学中的函数图像对称性是其中重要的一个部分。在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，而图像的对称性对于函数的研究和分析具有非常重要的意义。 一、基础概念 首先，我们需要了解的是什么是对称性。在几何学中，对称性是指一个图形相对于某个线段、点或面的对称变换使得它自身与镜子中的图像重合。 在函数图像中，对称性是指函数图像相对于某个直线对称后会得到一样的图像。比如，若函数图像相对于直线y=x对称，那么得到的图像也是一样的。 二、函数图像的对称性 1. 奇偶性
在高中数学中，我们经常会遇到奇函数和偶函数。奇函数指的 是当自变量x取相反数时，函数y取相反数，即f(-x)=-f(x)；偶函 数则指当自变量x取相反数时，函数y不变，即f(-x)=f(x)。 从几何上来看，一个函数如果是奇函数，那么它的图像关于原 点对称；而如果是偶函数，它的图像关于y轴对称。 因此，对于一个函数f(x)，如果它既不是奇函数也不是偶函数，那么它的图像就不具有对称性。 2. x轴和y轴的对称性 当一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，它就是一个偶函数，这时它 的图像关于y轴对称。这种对称性在数学研究中是非常常见的， 比如一些多项式函数和三角函数等。 另外，当一个函数f(x)满足f(x)=0时，它就在x轴上，且图像 上下对称。这是因为，如果将图像沿x轴反转，它会和原来的图 像重合。
3. 极轴对称性 在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r,θ)表示。若一个点在它的对称点处，则它们到极轴的距离相等，且它们的角度加起来为180度。 在函数图像中，若一个点(x,y)关于极轴对称，则它的对称点为(-x,y)。因此，如果一个函数图像关于极轴对称，它的图像会在圆心进行对称，即圆心处的点不动。 4. 对称形状 在数学图形中，圆、正方形和正多边形等都具有各种不同的对称性，它们的图像所显示的对称性与其形状有关。 比如，当一个正方形图形关于一条对角线对称时，它的图像不变；而当它关于一条边对称时，它的图像会旋转180度。 同理，当一个圆形图形关于它的任意直径对称时，它的图像不变；而当它关于任意一条直线对称时，它的图像会发生翻转。
知识点：函数的对称性总结 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分表达了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个 方面来讨论函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：〔必要性〕设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'〔2a－x，2b－y〕也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 〔充分性〕设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，那么y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'〔2a－x0，2b－y0〕也在y = f (x) 图像上，而点P
与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 〔证明留给读者〕 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①假设函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c) 和点B (b ,c)成中心对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②假设函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③假设函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c〔*〕
函数关于某点对称的问题 函数关于某点对称的问题是数学中的一个重要概念。在平面上， 两点关于某点对称指的是，以这个点为对称中心，将一个点关于这个 点对称后，会得到另一个点。在函数中，如果一个函数的图像关于某 点对称，意味着将函数图像以这个点为对称中心进行对称操作后，会 得到与原函数图像完全一致的图像。这是一种特殊的对称性，它可以 帮助我们更好地理解函数的性质和特点。 首先，我们来考虑一些基本的函数关于原点（0,0）的对称性。对 于奇函数来说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则函数关于原点对称。奇函数一般表现为关于原点对称的图像，比如函数y=x，y=|x|等。对 于偶函数来说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则函数关于原点对称。偶函数一般表现为关于y轴对称的图像，比如函数y=x²，y=|x|等。 其次，我们来考虑一些函数关于其他点对称的情况。假设我们有 一个函数f(x)，图像关于点（a,b）对称，即对于任意x，有f(x)=2b- f(x-a)。其中，a表示点的横坐标偏移量，b表示点的纵坐标偏移量。 这种情况下，我们可以通过将函数图像以点（a,b）为对称中心进行对
称操作，从而得到与原函数图像完全一致的图像。这种对称性在函数 的图像研究中非常有用，可以帮助我们更好地理解函数的行为。 函数关于某点对称的性质可以帮助我们进行函数图像的描绘和分析。首先，我们可以利用对称性来确定函数的图像在某一区间的性质。比如，在一个函数关于原点对称的情况下，如果我们知道函数在区间[0,+∞)上是递增的，那么根据对称性，我们可以得出函数在区间(- ∞,0]上也是递增的。这样，我们就可以通过研究函数在非负半轴上的 变化情况，来推断整个函数图像的性质。 其次，函数关于某点对称的性质也可以帮助我们求解函数方程和 函数不等式。比如，如果一个函数满足f(x)=f(2a-x)，即关于点 (a,f(a))对称，那么我们可以通过这个对称性来简化函数方程的求解。我们只需要找到满足以上条件的x值，然后通过这些x值来确定函数 的解。同样地，对于函数不等式的求解，也可以利用对称性来简化问题。 另外，函数关于某点对称与函数的周期性之间也存在一定的联系。对于一个函数f(x)，如果其图像关于点(a,b)对称，那么函数f(x)在 平面上的每一个点(x,y)和点(2a-x,2b-y)关于点(a,b)对称。这意味着
函数关于点对称 （原创实用版） 目录 一、函数关于点对称的定义与概念 二、函数关于点对称的性质与特点 三、函数关于点对称的常见类型及应用 四、函数关于点对称的判断方法与举例 正文 一、函数关于点对称的定义与概念 函数关于点对称，是指将函数图像上的点关于某一点进行对称，所得到的新函数图像与原函数图像完全重合。这个对称点称为函数的对称中心。函数关于点对称是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、化学等学科中都有广泛的应用。 二、函数关于点对称的性质与特点 1.对称性：函数关于点对称后，原函数与新函数的图像完全重合，即具有对称性。 2.唯一性：对于一个函数，其关于点对称的函数只有一个。 3.可逆性：若函数 f(x) 关于点 a 对称，则函数 f(x-a) 关于点 a 对称。 4.平移不变性：若函数 f(x) 关于点 a 对称，则函数 f(x+a) 关于点 a 对称。 三、函数关于点对称的常见类型及应用 1.奇函数：奇函数的图像关于原点对称，即 f(-x)=-f(x)。奇函数在物理、化学等学科中有广泛应用，如正弦函数、余弦函数等。
2.偶函数：偶函数的图像关于 y 轴对称，即 f(-x)=f(x)。偶函数在数学、物理等学科中有广泛应用，如幂函数、指数函数等。 3.反函数：反函数的图像关于直线 y=x 对称。反函数在微积分、概率论等学科中有广泛应用，如指数函数、对数函数等。 四、函数关于点对称的判断方法与举例 判断函数是否关于点对称，可以采用以下方法： 1.代数法：观察函数的解析式，判断是否满足 f(ax)f(a-x)=0。如果满足，则函数关于点对称。 2.几何法：观察函数的图像，判断是否关于某一点对称。如果关于某一点对称，则函数关于点对称。 举例：函数 f(x)=x^2，其解析式满足 f(-x)=f(x)，因此该函数关于原点对称。
高中数学函数图像的对称与周期性 在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。 一、对称性 1. 关于y轴对称 当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 2. 关于x轴对称 当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 3. 关于原点对称 当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 二、周期性
1. 周期函数 周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。周期函数的图像具 有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。我们可以通过绘 制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。 2. 非周期函数 非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。非周期函数的图像通 常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。 例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。我们需要根据函数的性质和 变化规律来绘制函数图像。 三、举一反三 通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。举一反三的思想是指通过理解和掌握一个例子，推广到其他类似的问题。 例如，考虑函数y = cos(x)，它是一个周期为2π的余弦函数。我们可以利用对 称性和周期性来解决以下问题： 问题1：求函数y = cos(x)在区间[0, 4π]上的图像。 解决方法：由于余弦函数具有关于y轴对称和周期为2π的性质，我们只需绘 制函数图像在一个周期内的部分，然后利用对称性和周期性得到完整的图像。 问题2：求函数y = cos(2x)在区间[0, 2π]上的图像。 解决方法：由于函数y = cos(2x)是函数y = cos(x)的变形，它的周期为π。我们 可以通过绘制函数图像在一个周期内的部分，再利用周期性得到完整的图像。
函数关于点(a,b)中心对称的结论函数关于点(a,b)中心对称，指的是将函数中的任意一点(x,y)关于点(a,b)对称后得到的点(x',y')，在函数图像上对应于点(x',y')与点(x,y)关于点(a,b)的对称位置。 在研究函数图像时，我们常常会遇到关于点对称的问题，尤其是在绘制函数图像时，如果能够掌握函数关于点对称的特性，将有助于我们更快速、准确地绘制函数图像。 首先，我们考虑函数关于点对称的基本特性。对于任意函数 y=f(x)，如果将函数中的任意一点(x,y)通过点(a,b)中心对称得到点(x',y')，那么有以下结论： 1. 点(x,y)与点(x',y')的横坐标x和x'关于点a对称，即 x'=2a-x； 2. 点(x,y)与点(x',y')的纵坐标y和y'关于点b对称，即 y'=2b-y； 3. 对于函数图像上的任意一点(x,y)，它的关于点(a,b)对称点(x',y')也在该函数图像上。 根据以上三个结论，我们可以得到函数关于点对称的几何特性和运算规律。具体来说，我们可以通过以下步骤来掌握函数关于点对称的特性： 1. 首先确定函数图像中的关键点，包括极值、零点和拐点等等。
2. 然后求出这些关键点关于点(a,b)的对称点，并计算出它们的 坐标。 3. 接下来，我们可以用这些对称点来构造函数图像的一部分或者整体，从而更快速、准确地绘制出函数图像。 例如，我们考虑函数y=x^2在点(1,0)处的中心对称图像。根据结论1和结论2，我们可以求出点(1,0)关于点(1,0)的对称点(1,-2)，可以画出这两个点，并使它们关于点(1,0)对称，就可以得到函数在点(1,0)处的中心对称图像。 此外，我们还可以通过函数关于点对称的运算规律来求解一些特 殊问题，比如直线与函数的交点、圆的切线等等。例如，我们考虑求 解函数y=x^2和直线y=2x+1的交点，那么我们先将该直线关于点(1,0)对称得到直线y=-2x+1，然后求解方程组y=x^2和y=-2x+1，就可以得到函数与直线的交点。 总的来说，函数关于点对称是一种重要的数学工具，可以帮助我 们更快、更准确地研究函数图像，解决一些特殊的数学问题。因此， 在学习和研究函数图像时，我们应该充分掌握函数关于点对称的特性 和运算规律，并灵活运用它们解决问题。
函数关于点对称 函数关于点对称公式是：f(x-a)+f(x+a)=2b，中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。 函数关于点对称公式是：f(x-a)+f(x+a)=2b，中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。 函数是中学教学中最为重要的一块知识点，在高考中对于函数以及函数相关的知识点考察一直以来占据着大量的比重。在函数中，对称性是一个非常重要的性质。函数关于点对称，即中心对称问题，可以解释为，若对于定义域上的某一点a，总有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)关于x=a对称。 下面对函数关于点对称的表现形式和主要类型进行阐释。 一、函数关于点对称的具体表现形式为： 1. 若函数恒满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数的图像关于点对称； 2. 若函数的定义域为R，且是奇函数，则函数的图像关于点对称； 3. 函数与函数的图像关于点对称。 二、函数关于点对称的两种类型主要有： 1. 函数自身关于点对称
若f(a+x)=f(b-x)，x属于R恒成立，则y=f(x)的图像关于x=(a+b)/2成轴对称图形。如果关于点(a,b)对称，则所得这两个函数对应点纵坐标值(函数值)的和再除以2等于b，横坐标也同理 2. 不同函数关于点对称 若f(x)与g(x)关于点(a,b)对称，设f(x)上任意一点（x,y）,则（x,y）关于(a,b)对称的点（m,n）在g(x)上，其中a=(x+m)/2,b=(y+n)/2.(中点坐标公式)。 若点A,B的坐标分别为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,则线段AB的中点C 的坐标为：(X,Y)=(x₁+x₂)/2，(y₁+y₂)/2。此公式为线段AB的中点坐标公式。 了解了函数关于点对称的主要类型及其表现形式，还要在做题的过程当中学会仔细审题，细心观察，学会用合理的方式去解决不同条件下的问题，比如证明对称，及确定点的坐标、确定函数解析式等等。掌握了根本的解题方法，才能以更高的效率在考试中解决问题。
函数关于点对称中的特定函数 定义 在数学中，点对称是一种基本的几何变换，它将一个点关于一个给定的中心点进行镜像，使得中心点到原点和中心点到对称点的距离相等。点对称函数是一种特定的函数，它的图像关于某个中心点对称。 点对称函数的定义如下： 设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x∈[a, b]，都有f(x) = f(c - x)，其中c为常数，则称f(x)为以c为中心的点对称函数。 用途 点对称函数在数学和物理等领域有广泛的应用。它们可以用来描述对称结构和现象，解决对称性相关的问题。 在数学中，点对称函数常用于解决函数的性质、方程的解以及图像的绘制等问题。通过研究点对称函数的性质，我们可以推导出关于对称轴、零点、极值点等信息，进而解决各种函数相关的问题。 在物理学中，点对称函数常用于描述对称结构和现象。例如，对称振动的描述常用到正弦函数，它的图像关于平衡位置对称；对称的电场分布可以用点对称函数来表示，如电偶极子的电势分布。 工作方式 点对称函数的工作方式是通过将一个点关于中心点进行镜像来实现。具体而言，对于一个给定的点(x, y)，点对称函数将它映射到一个新的点(x’, y’)，使得中心点到原点和中心点到映射点的距离相等。 点对称函数的工作方式可以用下面的步骤来描述： 1.确定中心点：根据具体问题确定中心点的坐标，通常表示为(c, 0)。 2.计算对称点：对于给定的点(x, y)，计算出它关于中心点的对称点的坐标 (x’, y’)。根据点对称的性质，有x’ = 2c - x，y’ = y。 3.绘制图像：将所有计算得到的对称点连接起来，就可以得到点对称函数的图 像。 示例 以下是几个常见的点对称函数的示例：
函数关于点对称 【实用版】 目录 一、函数关于点对称的定义与表现形式 1.点对称的定义 2.函数关于点对称的表现形式 a.函数恒满足 f(ax)f(a-x)<0 b.函数的定义域为 R，且关于原点对称 二、函数关于点对称的主要类型 1.奇函数 2.偶函数 3.轴对称函数 4.中心对称函数 三、函数关于点对称的应用实例与性质 1.奇函数的性质 2.偶函数的性质 3.轴对称函数的性质 4.中心对称函数的性质 正文 一、函数关于点对称的定义与表现形式 函数关于点对称，是指函数的图像在经过某一点进行对称后，与原函数图像完全重合。点对称是几何中常见的一种对称形式，广泛应用于各种数学问题中。
函数关于点对称的表现形式主要有两种： 1.若函数恒满足 f(ax)f(a-x)<0，则函数的图像关于点对称。 2.若函数的定义域为 R，且关于原点对称，则函数的图像关于原点对称。 二、函数关于点对称的主要类型 函数关于点对称的主要类型有以下几种： 1.奇函数：奇函数是指对于任意 x，都有 f(-x)=-f(x) 的函数。奇函数的图像关于原点对称。 2.偶函数：偶函数是指对于任意 x，都有 f(-x)=f(x) 的函数。偶函数的图像关于 y 轴对称。 3.轴对称函数：轴对称函数是指对于任意 x，都有 f(x)+f(-x)=0 的函数。轴对称函数的图像关于 x 轴或 y 轴对称。 4.中心对称函数：中心对称函数是指对于任意 x，都有 f(x)+f(-x)=0 且 f(x)+f(-x)=0 的函数。中心对称函数的图像关于原点对称。 三、函数关于点对称的应用实例与性质 1.奇函数的性质：奇函数在对称过程中，函数值会发生符号变化。例如，对于奇函数 f(x)，有 f(-x)=-f(x)。 2.偶函数的性质：偶函数在对称过程中，函数值不变。例如，对于偶函数 f(x)，有 f(-x)=f(x)。 3.轴对称函数的性质：轴对称函数在对称过程中，函数值会发生符号变化，并且函数的定义域关于对称轴对称。例如，对于轴对称函数 f(x) 关于 x 轴对称，有 f(-x)=-f(x)。 4.中心对称函数的性质：中心对称函数在对称过程中，函数值不变，并且函数的定义域关于对称中心对称。例如，对于中心对称函数 f(x) 关于原点对称，有 f(-x)=f(x)。
函数图象关于点对称性之阿布丰王创作 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基赋性质之一，对称关系不但广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。 I.函数自身关于点对称性 命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者) 证明：（需要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，需要性得证。 （充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。 推论1：奇函数的图像关于原点对称。 1可得函数图像关于源点对称。 推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略） 推论3：函数的图像关于点。 证明：∵，， ∴ 由命题1有函数的图像关于点对称。 例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（） A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负 分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。 解：∵且在区间上单调递增， ∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A
例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 如果为奇函数，而且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k ∈Z） 例3 定义在上的函数满足， 则 解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是. 例 4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、， 则的值为（）。 A.2 B. -1 C. 0 D. 1 解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又，∴;令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数，则，，∴ ==1. 例4 函数的图象关于点成中心对称，则实数. 解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以，即. 例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数. A.2 B. 3 C. -2 D. -4 由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，所以点点关于直线,即. II.分歧函数关于点对称性 命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。 证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,因为点在函数的图
五种点的对称点的规律 确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本上题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单赁直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。 一、点关于x 轴的对称点 如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ’，则|PA|=|P ’A|，∴P ’（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ’的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数 二、点关于y 轴的对称点 如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ’，则|PB|=|P ’B|，∴P ’（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点 P ’的坐标是P 的横坐标互为相反数，纵坐标不变。 三、点关于原点的对称点 如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ’，则|OP|=|OP ’|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ’B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ’BO=Rt ∠，∠POA=∠P ’ OB ，故△POA ≌△P ’OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ’（-a ，-b ） 规律：点P 关于原点的对称点P ’的坐标是P 的横、纵坐标相反数。 图2 b ） ，b ） x
四、点关于一、三象限角平分线的对称点 如图4，l为一、三象限的角平分线，P（a，b）关于l的对称点为P’，则|PC|=|P’C|，易证Rt△PCO≌Rt△P’OC ∴OP=OP’，∠COP=∠COP’ 作PA⊥x轴于A，作P’⊥y轴于B，易证 ∵l平分一、三角限 ∴∠COA=∠COB，所以∠POA=∠P’OB Rt△POA≌Rt△P’OB，所以|PA|=|P’B|，|OA|=|OB| ∴P’（b，a） 规律：点P关于一、三象限的角平分线的对称点P’的坐标是P的纵、横坐标。 五、点关于二、四象限角平分线的对称点 如图5，l是二、四象限的角平分线，P（a， Rt△PCO≌Rt△P’CO ∴|OP|=|OP’|，∠POC=∠P’OC 作PA⊥x轴于A，作P’B⊥y轴于B 又∵l为二、四象限的角平分线 ∴∠AOC=∠BOC ∴∠POA=∠P’OB 又∵|OP|=|P’O| ∴Rt△PAO≌Rt△P’BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P’B| ∴P’（-b，-a） 规律：点P关于二、四象限 的角平分线的对称点P’的 坐标是的纵、横坐标的相反数。 x 图5
函数图象关于点对称性
都有，且、， 则的值为（）。 A. 2 B. -1 C. 0 D. 1 解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又 ，∴;令则,于是是偶 函数，且，即是以3为周期的函数， 则，，∴ ==1. 例 4 函数的图象关于点成中心对称，则实数. 解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以 ，即. 例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数. A. 2 B. 3 C. -2 D. -4 由推论3可知图象关于点成中心对称,又的 反函数的图象关于点成中心对称， 所以点点关于直线,即. II.不同函数关于点对称性 命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。 证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是 ,因为点在函数的图象上，所以函数与的图像关于点成中心对称。
命题2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么 函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切,均有 b. 证明：（1）充分性：设是函数图象上的任意一点， 则点关于的对称点是,且. 所以,即点是函数图象上的一 点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图象 上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数 的图象上。 (2) 必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点 关于点的对称点在函数图象上， ∴,即，也即对一切,均有 . 由（1）（2）证明可知：命题2成立。 推论1 :设均为常数，则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。 证明：令, 则,对均成立。 ∴对均成立. ∴由命题2，函数与函数的图象，即函数的图象与 函数的图象关于点成中心对称。 例 1 已知函数是定义在上的函数，那么与 的图象 ( ) A.关于直线对称. B.关于直线对称. C.关于点对称. D.关于点对称。