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函数对称性与周期性几个重要结论赏析
对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、 几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数
)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）
，则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线
)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。
5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。
6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。
7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔
1、定义在实数集上的奇函数
)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。
2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。
3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。
4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________
对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。
6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。
7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、18
8、设函数
)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。
9、函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+，当
62≤≤x 时，x x f 2
12)(-=，求)(x f 解析式。 10、已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]10,8-中的根。 附参考答案：
1T ：1- 2T ：)0,1( 3T ：1=x 4T ：y 轴即0=x 5T ：①y 轴②1=x
6T ：①41=x ②2
1=x 7T ：C 8T ：②④ 9T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≤≤++--∈+≤≤--=),6828(2)8(2
1),2828()8(21)(Z k k x k k x Z k k x k k x x f 10T ：方程的根为1086420246、、、、、、、、---共9个根。
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函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上， 通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =- 也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+=+或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+ 或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
函数的对称性和周期性结论总结 函数是数学中最基础的概念，它是描述两个数量之间关系的方程。函数的对称性和周期性是函数的重要性质，它们的研究可以帮助我们理解更多有关函数的属性。本文综述了函数的对称性和周期性的结论，以及它们在实际应用中的重要性。 首先，让我们看看函数的对称性。函数的对称性是指函数的曲线在某些特定的平行线上具有相同的形状，或者说函数曲线具有对称性。函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称。称类型的函数具有正负对称性，这意味着函数的曲线在直线上的形状是完全一样的。半对称的函数具有正值或负值的对称性，这意味着函数的曲线在正负一侧的形状是一样的。反对称的函数具有不正或不负的对称性，这意味着它的曲线在正负一侧的形状是不一样的。因此，函数的对称性是指函数曲线在一些特定的平行线上具有特定的形状特性。 其次，让我们看看函数的周期性。函数的周期性是指函数曲线在某一特定的时间间隔内重复出现的性质。一般情况下，函数的周期性可以用来表示这个时间间隔中某些特征的变化。一般来说，函数的周期性也可以用来描述函数曲线在一定时间内变化的情况。函数的周期性主要包括正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。正弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如正弦函数曲线一样，产生正弦波形。余弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如余弦函数曲线一样，产生余弦波形。正弦余弦型是指，函数曲线同时包含正弦和余弦波形，在特定间隔内变化如正弦余弦数列一样。正弦角周期
性的特点是，函数曲线在特定间隔内变化如正弦角函数一样，产生正弦角波形。 最后，让我们看看函数对称性和周期性在实际应用中的重要性。函数对称性和周期性都在很多领域中有广泛的应用，如物理学、机械工程和电子信息等。物理学中，函数的对称性和周期性可用于研究力学系统的运动，从而有助于我们更好地理解动力学中的某些问题。在机械工程中，函数的对称性和周期性对计算机的性能也有很大的影响，可以帮助我们更好地把握计算机的运行状态。在电子信息领域，函数的对称性和周期性也可用于研究电子信息系统，可以帮助我们更好地了解信号处理的原理。此外，函数的对称性和周期性还可以用于分析某些函数的特性，从而使它们在实际应用中更好地发挥作用。 综上所述，函数的对称性和周期性都是关键的性质，它们的研究可以帮助我们理解函数的特征，从而在实际应用中更好地发挥作用。函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称；而函数的周期性则有四类：正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。函数的对称性和周期性可以用于研究计算机的运行状态、电子信号处理的原理和力学系统的运动等，从而为把握这些系统的运行规律提供了可靠的理论依据。
函数对称性与周期性几个重要结论及应用 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线 对称。 2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。 3、函数满足的充要条件是图象关于直线 对称。 4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。 5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。 6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。 3、曲线与关于直线对称。 4、曲线关于直线对称曲线为。
5、曲线关于直线对称曲线为。 6、曲线关于直线对称曲线为。 7、曲线关于点对称曲线为。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则 ________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。 9、函数定义域为R，且恒满足和，当时，
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ③ 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则) (x f 为周期函数，||4a b -为一个周期。
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2 a b x -= 对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
对()()f x a f a x +=±-、()()f x a f x a +=±-型 及奇偶型函数的对称性、周期性的重要结论探究 新课程理念很重要的一个思想方法就是类比推理的应用。学生在高考中经常遇到与对称性、周期性有关的试题，却无从下手。本人就()()f x a f a x +=±-、()()f x a f x a +=±-等式及与奇偶函数有关的对称性、周期性进行了一系列的探究，归纳总结出了比较重要的结论，并介绍了记忆方法，希望对高中学生有所帮助。 一、()()f x a f a x +=±-型 1、()()f x a f a x +=-型重要结论 结论1：()()y f x x R =∈，()()f x a f a x +=-?()f x 关于直线x a =对称。（由图像易得，证明略） 对称轴的求法：()()2 x a a x x a ++-== 结论2：()()y f x x R =∈，0a ≠，()()()f x a f a x f x a +=-?+为偶函数。 【证明】：由结论1得()f x 关于直线x a =对称， ∴()f x a +关于y 轴对称，即()f x a +为偶函数。 结论3（拓展）：()y f x a =+与()y f a x =-关于0x =对称。（读者自己证明） 对称轴的求法：令x a a x +=-，所以0x =。 2、()()f x a f a x +=-- ［()()0f x a f a x ++-=］型重要结论 结论4：()()y f x x R =∈，()()f x a f a x +=--?()f x 关于点(,0)a 对称； 对称中心点的坐标的求法：()()2x a a x x a ++-==；()()02 f x a f a x y ++-== 【证明】：∵由结论1得()f x 关于x a =对称； 又∵()()f a x f a x ---、关于x 轴对称， ∴由函数图像易得()f x 关于(,0)a 点对称。
函数周期性与对称性常见结论 函数周期性的定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。 函数周期性重要说明 (1)周期函数的定义域一定是无限集； (2)由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期； (3)如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值； (4)如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期； (5)如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期； (6)周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数； 函数对称性 函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需分析函数一侧的性质即可，从而得到整个函
数的性质。主要体现在以下几点： (1)函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称； (2)可利用对称性求得某些点的函数值； (3)在作图时，只需要作出一侧的图像，另外一侧利用对称性即可画出； (4)极值点关于对称轴或者对称中心对称； (5)在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的；在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。 轴对称 函数轴对称的定义：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称 函数中心对称定义： 如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
函数对称性和周期性的一些重要结论 1.函数的对称性 函数的对称性可以分为自对称和互对称。其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。 自对称的函数满足以下条件： 满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0. 满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。 互对称的函数满足以下条件： 满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。 满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。 满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。 2.函数的周期性 函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。常见的函数周期有以下几种： 周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。 周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。 周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足 f(x+2T) = -f(x)。 周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足 f(x+2T) = f(x)。
3.函数的一些结论 周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。 两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。 如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。 如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。 如果y = f(x)和y = -f(-x)的图像关于x轴对称，则f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称。 如果y = f(x)和y = -f(a-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为偶函数，其图像关于x = a对称。 1.改写：对于函数$f(x)$，如果$f(x+a)=f(x+b)$或$f(x- a)=f(x-b)$，则$f(x+T)=-f(x-T)$，其中$T=2a$。 2.改写：如果$f(x)$是偶函数，则$f(a+x)=f(a-x)$。
函数对称性与周期性几个 【2 】主要结论 一.几个主要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1.函数)(x f y =知足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要前提是)(x f y =的图象关于直线T x =对称. 2.函数)(x f y =知足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要前提是)(x f y =的图象关于直线T x =对称. 3.函数)(x f y =知足)()(x b f x a f -=+的充要前提是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 4.假如函数)(x f y =知足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+,（1T 和2T 是不相等的常数）,则)(x f y =是认为)(212T T -为周期的周期函数. 5.假如奇函数)(x f y =知足 )()(x T f x T f -=+（0≠T ）,则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数. 6.假如偶函数)(x f y =知足 )()(x T f x T f -=+（0≠T ）,则函数) (x f y =是以2T 为周期的周期性函数. （二）两个函数的图象对称性（互相对称）（应用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得） 1.曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称. 2.曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称. 3.曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称. 4.曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f . 5.曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f . 6.曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f . 7.曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f . 二.尝尝看,练练笔 1.界说在实数集上的奇函数)(x f 恒知足)1()1(x f x f -=+,且)0,1(-∈x 时,
函数对称性与周期性几个重要结论赏析 函数对称性与周期性的重要结论 对称性和周期性是函数的两个重要性质。下面总结这两个性质的几个重要结论，并运用它们解决有关抽象型函数的题。 一、几个重要的结论 一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1.函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T+x)=f(T-x)$（$T$ 为常数）的充要条件是 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=T$ 对称。 2.函数 $y=f(x)$ 满足 $f(x)=f(2T-x)$（$T$ 为常数）的充要条件是 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=T$ 对称。 3.函数 $y=f(x)$ 满足 $f(a+x)=f(b-x)$ 的充要条件是 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称。
4.如果函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T_1+x)=f(T_1-x)$ 且 $f(T_2+x)=f(T_2-x)$（$T_1$ 和 $T_2$ 是不相等的常数），则$y=f(x)$ 是以 $2(T_2-T_1)$ 为周期的周期函数。 5.如果奇函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T+x)=f(T-x)$（$T$ 不等于$0$），则 $y=f(x)$ 是以 $4T$ 为周期的周期函数。 6.如果偶函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T+x)=f(T-x)$（$T$ 不等于$0$），则 $y=f(x)$ 是以 $2T$ 为周期的周期函数。 二）两个函数的图象对称性（相互对称） 1.函数 $y=f(x)$ 与 $y=-f(x)$ 关于 $x$ 轴对称。 2.曲线 $y=f(x)$ 与 $y=f(-x)$ 关于 $y$ 轴对称。 3.曲线 $y=f(x)$ 与 $y=f(2a-x)$ 关于直线 $x=a$ 对称。 4.曲线 $f(x,y)=0$ 关于直线 $x=b$ 对称曲线为 $f(x,2b-y)=0$。
函数对称性和周期性的几个重要结论 函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。 一、函数的对称性 （一）函数对称性的定义 函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称），图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。函数对称还有轴对称和点对称。 （二）函数自对称的相关结论 结论1：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。 上述关系式也可以写成或。
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。得证。 特别地：函数的图像关于原点（0，0）对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。即：a=b=0 推论1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称 推论2：若，即：，则的图像关于点对称。 推论3：若，则的图像关于点对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。） 证明：在函数上任取一点，则。点关于点（，）的对称点为（，c-），当时，，即点（，c-）在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。 结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。（即：可以改写成或。） 特别地：函数的图像关于y轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。即：a=0。 推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。） 注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0，则有可能会出现关于对称。比如：圆它会关于y=0对称。
函数对称性与周期性几个重要结论 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。 2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。 3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称。 4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。 5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。 6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。 3、曲线与关于直线对称。 4、曲线关于直线对称曲线为。 5、曲线关于直线对称曲线为。 6、曲线关于直线对称曲线为。 7、曲线关于点对称曲线为。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数xx满足，且时, ,则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。
3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④ 与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。 9、函数定义域为R，且恒满足和，当 时，，求解析式。 0、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根． 附参考答案： ：：：：y轴即：①y轴② ：① ②：C：②④ ： ：方程的根为共9个根．
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 函数对称性与周期性几个重要结论 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件 是 )(x f y = 的图象关于直线 T x =对称。 2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件 是 )(x f y = 的图象关于直线 T x =对称。 3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图 象关于直线 22)()(b a x b x a x += -++= 对称。 4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+， （ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期 的周期函数。 5、如果奇函数 )(x f y = 满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以 4T 为周期的周期性函数。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 6、如果偶函数 )(x f y = 满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以 2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于 X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于 Y 轴对称。 3、曲线 )(x f y = 与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。 4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。 5、曲线 ),(=y x f 关于直线 =++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。 6、曲线 ),(=y x f 关于直线 =+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。 7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔
高中数学函数的对称和周期性知识点精析 1．周期函数的定义 周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的 最小正周期. 2．函数的轴对称： 定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 定理4：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称. 3.函数的点对称： 定理1：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数 ()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.
定理2：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称. 定理3：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b -++=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称. 定理4：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点(0,0)对称. 4．函数的对称性与周期性的联系 定理3：若函数()y f x =在R 上满足()() f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠） ，则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理4：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=--，且 ()() f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理5：若函数()y f x =在R 上满足()() f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠） ，则函数()y f x =以4()a b -为周期. 以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析. 5．几种特殊抽象函数的周期： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,