简析两个函数图象的对称性
两个函数图象的对称性指的是函数的轴对称，图象的结构是由点的一系列排列组成的，具有一定的平衡性和美感，函数的对称性决定了函数的展示规律是一致的，可以清晰的表示出函数的变化趋势。
观察可知，两个函数图象都具有典型的轴对称特征，它们的图象有一条中轴线，这条线就是轴对称的轴，轴线左右两侧的形状和大小是一样的，但是是反着的。其中函数一的轴对称轴是y轴，函数二的轴一般都是x轴，轴线左右形状是一样的，但是反着的，而且两个函数变化状态是一样的，所以可以判断函数是具有轴对称特性的。
此外，对称能更好的表达函数的特性，函数轴对称的特点使得图象具有视觉上的和谐性，在使用函数图象来描述函数曲线时，能够很清楚地看出函数变化的趋势和变化极值点，可以更直观和动态地表达函数的变化情况。
总的来说，两个函数的对称性表明它能够很好的表达函数的曲线走向，可以帮助我们更好的观察函数的变化，从而分析函数的特点，更好的理解函数的规律，并能够准确的应用到实际的问题中。
函数与图像的对称性 在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。对称性是 数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。一、关于对称轴的对称性 首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。对称轴是指函数图像上的一 条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。 以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。当二次函数的二次项 系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函 数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。 对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称 轴的对称性。例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。 同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。 二、关于原点的对称性 除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。当函数图像关于原 点对称时，我们称之为关于原点的对称性。 对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也 就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。 相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。 三、关于倒影的对称性
除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。当函数图像 关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。 以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a小于1时，函数 图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。然而，当底数a 小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。 四、对称性的应用 函数与图像的对称性在数学和实际问题中有着广泛的应用。例如，我们可以利 用函数关于对称轴的对称性来求解方程。当我们知道函数图像关于y轴对称时，我们可以通过找到函数图像与y轴的交点来求解方程。 此外，对称性还可以帮助我们更好地理解函数的性质。通过观察函数图像的对 称性，我们可以推断函数的增减性、极值点和拐点等重要特征。 总结起来，函数与图像之间的对称性是数学中一个重要的概念。通过对对称轴、原点和倒影的分析，我们可以更好地理解函数的性质和图像的形态。对称性不仅在数学中有着重要的应用，也在实际问题中发挥着重要的作用。因此，我们应该充分利用对称性的特点，来深入研究和应用函数与图像的关系。
函数对称性总结 函数的对称性 三角函数图像的对称性 三角函数包括y=sin x。y=cos x。y=tan x。 两个函数的图像对称性 1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。 2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。
3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。 4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。 5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。 换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。 6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。 单个函数的对称性 1、函数的轴对称：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。 推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。 推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的 图像关于y轴对称。特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。 2、函数的点对称： 定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。 推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。 推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数 y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -= ⇔)2()(x a f x f +=-
函数图像的对称性 一、点的对称 1、在平面直角坐标系中，已知点P),(b a，则 （1）点P到x轴的距离为b； （2）点P到y轴的距离为a； （3）点P到原点O的距离为PO＝2 2b a+ 2、平行直线上的点的坐标特征： a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等； 点A、B的纵坐标都等于m； b)在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C、D的横坐标都等于n； 3、对称点的坐标特征： c)点P ), (n m关于x轴的对称点为) , ( 1 n m P-， 即横坐标不变，纵坐标互为相反 数； d)点P), (n m关于 y轴的对称点为), ( 2 n m P-，即纵坐标不变，横坐标互为相反 数； e)点P), (n m关于原点的对称点为) , ( 3 n m P- -，即横、纵坐标都互为相反数； 关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称 4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： f)若点P（n m,）在第一、三象限的角平分线上，则n m=，即横、纵坐标相 等； g)若点P（n m,）在第二、四象限的角平分线上，则n m- =，即横、纵坐标互 为相反数； 在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上 二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）原点对称，则直线l的解析式为 X X X X X - X
（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为 （5）直线对称，则直线l 的解析式为 2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02 ≠k ） 的位置关系 （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?2 1k k ≠ （3）两直线重合? 21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 三、二次函数： 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点 () m n ，对称后，得到的解析式是 ()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 注意：本部分内容的理解最好结合图形
函数图像的对称性 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数()y f x =的图象关于直2 a b x += 对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有： ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。 定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称 ()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。 定理3：（性质） ①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 ②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 ③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。 ④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数的对称性 一、有关对称性的常用结论 （一）函数图象自身的对称关系 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =- ?()(2)f x f a x -=+； （3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2 b a x += 对称。 2、中心对称 （1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =-- ?)2()(x a f x f +=-； （3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++- ?b x f x a f 2)()2(=+- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2 ,2(c b a + 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -= 对称。 推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2 ,2( c a b -对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2( a b -对称。 二、练习题 （一）选择题 1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在），（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f > 2．设函数)(x f y =定义在实数集R 上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）对称。 A.直线0=y B.直线0=x C.直线1=y D.直线1=x
满足()(2)f x f a x =-的函数的图象的对称性 函数图象的变换研究的是两个函数的图象之间的关系 在一个函数中，函数()y f x =的图象的对称性，除奇偶函数的图象的对称性之外，还有一个非常重要的结论，下面以例题的形式给出。 例 1 证明：定义在R 上的函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的充要条件是 ()(2)f x f a x =-（a R ∈） 证明：充分性 由()(2)f x f a x =-可知，若点(,)A x y 是()y f x =的图象上任意一点， 则点/(2,)A a x y -也在其图象上， ∵(,)A x y 与/(2,)A a x y -关于直线x a =对称 ∴()y f x =的图象关于直线x a =对称 必要性 设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点， ∵(,)A x y 关于直线x a =的对称点/(2,)A a x y -，又的函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ∴/ (2,)A a x y -也在函数()y f x =的图象上， ∴(2)y f a x =- ∴()(2)f x f a x =- 说明：（1）本命题的等价命题是： 定义在R 上的函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的充要条件是 ()()f a x f a x +=-（a R ∈） （2）若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对 称。 例2 如果函数()y f x =的图象关于直线x a =和x b =（a b <）对称， 证明：这个函数满足(2())()f a b x f x -+= 证明：∵()y f x =的图象关于直线x a =和x b =（a b <）对称 ∴(2)()f a x f x -=，(2)()f b x f x -= ∴(2)(2()2)(22())(2())()f a x f a b b x f b a b x f a b x f x -=-+-=+--=--= 即(2())()f a b x f x -+= 例3 定义域为R 的函数()y f x =，对任意x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，其中a 为常数，又知(,)x a ∈+∞时，该函数为减函数，判断当(,)x a ∈-∞时，函数()y f x =的单调性，证明你的结论。 结论：当(,)x a ∈-∞时，函数()y f x =是增函数 证明：12,(,)x x a ∀∈-∞，且12x x a <<，则12x x a ->->- ∴1222a x a x a ->-> 又()y f x =在(,)a +∞上是减函数 ∴12(2)(2)f a x f a x -<- 又任意x R ∈，都有()()f a x f a x +=- ∴11(())(())f a a x f a a x +-=--，即11(2)()f a x f x -= 同理22(2)()f a x f x -= ∴12()()f x f x < ∴()y f x =在(,)a -∞上是增函数 练习： 1．如果函数2 ()f x x bx c =++对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-，那么（ ） （A ）(2)(1)(4)f f f << （B ）(1)(2)(4)f f f << （C ）(2)(4)(1)f f f << （D ）(4)(2)(1)f f f << 解：由任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-，知()f x 的图象关于直线2x =对称 ∴(1)(3)f f = 又函数()f x 在(2,)+∞上是增函数， 故(2)(3)(4)f f f <<
解填空题常用到的几个公式 1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos = 2． 在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22 122sin sin sin θθθ+= 3． 设F 1,F 2为椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ∆=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4． 设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ∆=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5．已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= θ2sin 2P AB =则线段
函数对称性5个结论的推导 1.奇函数的推导： 奇函数是指函数关于原点对称。设函数f(x)是奇函数，那么有 f(x)=-f(-x)。为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(- x)=-f(x)。这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值也会发生变化， 并保持相反的正负号。例如，f(2)=-f(-2)，f(3)=-f(-3)等等。因此，奇 函数关于原点对称。 2.偶函数的推导： 偶函数是指函数关于y轴对称。设函数f(x)是偶函数，那么有 f(x)=f(-x)。为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(- x)=f(x)。这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值保持不变。例如，f(2)=f(-2)，f(3)=f(-3)等等。因此，偶函数关于y轴对称。 3.半个周期对称的推导： 半个周期对称是指函数的两个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。设函 数f(x)是半个周期对称，那么有f(x)=f(x+T/2)，其中T表示函数的周期。为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入 x=x+T/2得到f(x+T/2)=f(x+T/2+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/2)。 这表明，函数在每个周期的半个周期上关于y轴对称。 4.四分之一周期对称的推导： 四分之一周期对称是指函数的四个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。 设函数f(x)是四分之一周期对称，那么有f(x)=f(x+T/4)，其中T表示函 数的周期。为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，
代入x=x+T/4得到f(x+T/4)=f(x+T/4+T)=f(x+T)=f(x)，即 f(x)=f(x+T/4)。这表明，函数在每个周期的四分之一周期上关于y轴对称。 5.中心对称的推导： 中心对称是指函数关于一些点对称，该点称为中心。设函数f(x)是中心对称，那么有f(x)=f(2a-x)，其中a表示中心点的横坐标。为了推导这个结论，我们考虑将自变量x替换成2a-x，得到f(2a-x)=f(x)。这表明，当自变量关于中心点对称时，函数值保持不变。例如， f(a+1)=f(a-1)，f(a+2)=f(a-2)等等。因此，函数关于中心点对称。 总结：通过上述推导，我们可以得到五个函数对称性的结论，即奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称，半个周期对称，四分之一周期对称和中心对称。这些对称性是函数图像的重要性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数。
知识点：函数的对称性总结 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分表达了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个 方面来讨论函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：〔必要性〕设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'〔2a－x，2b－y〕也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 〔充分性〕设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，那么y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'〔2a－x0，2b－y0〕也在y = f (x) 图像上，而点P
与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 〔证明留给读者〕 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①假设函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c) 和点B (b ,c)成中心对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②假设函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③假设函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c〔*〕
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 函数对称性与周期性几个重要结论 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件 是 )(x f y = 的图象关于直线 T x =对称。 2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件 是 )(x f y = 的图象关于直线 T x =对称。 3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图 象关于直线 22)()(b a x b x a x += -++= 对称。 4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+， （ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期 的周期函数。 5、如果奇函数 )(x f y = 满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以 4T 为周期的周期性函数。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 6、如果偶函数 )(x f y = 满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以 2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于 X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于 Y 轴对称。 3、曲线 )(x f y = 与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。 4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。 5、曲线 ),(=y x f 关于直线 =++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。 6、曲线 ),(=y x f 关于直线 =+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。 7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔
对称性 一、有关对称性的常用结论 （一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+； （3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的 图象关于直线对称。 2、中心对称 （1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-； （3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数）， 则函数)(x f y =的图象关于点 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系（减法） 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线 对称。 推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对 称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点 对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2 ( a b -对称。 类型一：双对称问题 1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时， 2 a b x -= )2 ,2( c a b -2 b a x += )2 ,2(c b a +
函数对称性与周期性几个重要结论赏析 函数对称性与周期性的重要结论 对称性和周期性是函数的两个重要性质。下面总结这两个性质的几个重要结论，并运用它们解决有关抽象型函数的题。 一、几个重要的结论 一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1.函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T+x)=f(T-x)$（$T$ 为常数）的充要条件是 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=T$ 对称。 2.函数 $y=f(x)$ 满足 $f(x)=f(2T-x)$（$T$ 为常数）的充要条件是 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=T$ 对称。 3.函数 $y=f(x)$ 满足 $f(a+x)=f(b-x)$ 的充要条件是 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称。
4.如果函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T_1+x)=f(T_1-x)$ 且 $f(T_2+x)=f(T_2-x)$（$T_1$ 和 $T_2$ 是不相等的常数），则$y=f(x)$ 是以 $2(T_2-T_1)$ 为周期的周期函数。 5.如果奇函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T+x)=f(T-x)$（$T$ 不等于$0$），则 $y=f(x)$ 是以 $4T$ 为周期的周期函数。 6.如果偶函数 $y=f(x)$ 满足 $f(T+x)=f(T-x)$（$T$ 不等于$0$），则 $y=f(x)$ 是以 $2T$ 为周期的周期函数。 二）两个函数的图象对称性（相互对称） 1.函数 $y=f(x)$ 与 $y=-f(x)$ 关于 $x$ 轴对称。 2.曲线 $y=f(x)$ 与 $y=f(-x)$ 关于 $y$ 轴对称。 3.曲线 $y=f(x)$ 与 $y=f(2a-x)$ 关于直线 $x=a$ 对称。 4.曲线 $f(x,y)=0$ 关于直线 $x=b$ 对称曲线为 $f(x,2b-y)=0$。
函数对称性的总结 1. 两个关于函数图象对称性的结论 1.x=0 2.x=(a+b)/2. ∵y=f(a+x)=f[(a+b)/2+(a-b)/2+x]=f[(a+b)/2+t]，其中t=(a-b)/2+x, 而 y=f(b-x)=f[(a+b)/2-(a-b)/2-x]=f[(a+b)/2-((a-b)/2+x)]=f[(a+b )/2-t], 所以：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。 楼主你好： 2的答案就是x=(a+b)/2.不是x=(b-a)/2.若是后者，当a=b时对称轴就成x=0了，这明显错误。其实当a=b时对称轴明显是x=a，与我这里的答案符合。 2. 函数对称性结论是怎样推出的 周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化，正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值)，假如一个函数能找到满意这一条件的T，那么这个函数就叫做周期函数，周期为T. f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中假如两个
自变量的平均值为1，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=1对称. 同理，f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为2，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=2对称. 假如一个函数同时具备两个对称轴，那么，相临的轴的间距就是函数的半个周期，你可以对比正弦、余弦函数的图像发觉这个规律. 这样，本题的函数周期为2，那么函数必定还关于x=0对称，所以函数是偶函数. 依据定义或者画图象，不过画图象比较麻烦，一般选择用定义 3. 求真正有用的函数周期性对称性结论 对于函数y=f(x) 周期性 1.关于x=a and x=b(a>b) 都对称函数周期2(a-b) 2.关于（a,0） (b,0)都对称周期同上 3.关于（a,0）和x=b 都对称周期是4(a-b) 对称性 1. f(a+x)=f(b-x) 那么y=f(x)的图像关于y=(a+b)/2对称 2.f(a-x)=-f(b+x)，那么y=f(x)的图像关于（（a+b）/2 ,0 ）对称 …………许多可以搜一下，更具体的
函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上， ()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即得点 ()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。
函数的对称性 一、三角函数图像的对称性 函数对称中心坐标对称轴方程 y = sin x( k π , 0 )x = kπ +π /2 y = cos x( k π +π /2 ,0 )x = kπ y = tan x(k π /2 ,0 )无 二、两个函数的图象对称性 1、2、3、4、5、6、 y f (x) 与 y f (x) 关于 x 轴对称。 换种说法： y f (x) 与 y g( x) 若满足 f ( x)g( x) ，即它们关于 y0 对称。 y f (x) 与 y f ( x) 关于 Y 轴对称。 换种说法： y f (x) 与 y g( x) 若满足 f ( x)g ( x) ，即它们关于x0对称。 y f (x) 与 y f ( 2a x) 关于直线 x a 对称。 换种说法： y f (x) 与 y g( x) 若满足 f ( x)g (2a x) ，即它们关于x a 对称。 y f ( x) 与 y2a f (x) 关于直线y a 对称。 换种说法：y f (x) 与 y g( x) 若满足 f ( x)g (x)2a，即它们关于y a 对称。 y f ( x)与 y2b f (2a x) 关于点 (a,b) 对称。 换种说法：y f (x) 与 y g( x) 若满足 f ( x)g (2a x)2b ，即它们关于点 ( a, b) 对称。y f (a x) 与 y f ( x b) 关于直线 x a b 对称。 2 二、单个函数的对称性一、函数的轴对称： 定理 1：如果函数y f x满足 f a x f b x，则函数 y f x 的图象关于直线x a b 对称 . 2 推论 1：如果函数y f x满足 f a x f a x，则函数 y f x 的图象关于直线x a 对称. 推论 2：如果函数y f x 满足 f x f x ，则函数y f x 的图象关于直线x0 （y轴）对称.特别地，推论 2 就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理 1 的简化 . 二、函数的点对称： 定理 2：如果函数y f x 满足 f a x f a x2b ，则函数 y f x 的图象关于点a, b 对称.
函数的对称性
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像
①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔b x a f x f 2)2()(=++-。 ②c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=. （3）对称性与周期性之间的联系 ①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为 b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-； 特别地：若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-； ③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为b a -，相邻对称轴或中心的距离为2b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4T b a =-。 特别地：若)(x f y =是奇函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为a 4的周期函数。 典例精讲 关于直线对称