mathematica 特征向量
摘要：
1.Mathematica 简介
2.特征向量的概念
3.Mathematica 中特征向量的计算方法
4.应用案例
正文：
【1.Mathematica 简介】
Mathematica 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程应用和教育领域。它不仅可以进行各种数学运算，还可以进行数据分析、可视化和编程等操作。在机器学习和数据挖掘领域，Mathematica 也有着广泛的应用。
【2.特征向量的概念】
特征向量是线性代数中的一个重要概念，它是一个向量，可以描述一个线性变换作用在一个向量上的效果。在机器学习中，特征向量经常被用来降维，或者作为输入特征进入模型进行训练。
【3.Mathematica 中特征向量的计算方法】
在Mathematica 中，特征向量的计算可以通过矩阵的特征值和特征向量函数来完成。具体来说，如果我们有一个矩阵A，我们希望通过特征值和特征向量来描述它，我们可以使用函数"Eigenvectors"，输入为矩阵A，输出为特征向量。
【4.应用案例】
以一个简单的例子来说明如何在Mathematica 中计算特征向量。假设我们有一个二维矩阵A：
```
A = {{2, 1}, {1, 2}};
```
我们可以使用函数"Eigenvectors"来计算A 的特征向量，代码如下：
```
特征向量= Eigenvectors[A]
```
运行后，我们可以得到特征向量。
通过这个简单的例子，我们可以看到如何在Mathematica 中计算特征向量。
项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量.
例1.2 求矩阵??? ?? ??=654543432A 的特征值与特征向量. 输入 A=T able[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 1 2 1172422344220342234421172 42234 42 20342234 42 1 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.816497 0.408248 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入
第五章 线性代数运算命令与例题 线性代数中常用的工具是矩阵(向量)和行列式。用这些工具可以表示工程技术，经济工 作中一些需要用若干个数量从整体上反映其数量关系的问题。用这些工具可以简明凝练而准 确地把所要研究的问题描述出来，以提高研究的效率。在线性代数课程中我们看到了用这些 工具研究齐次和非齐次线性方程组解的理论和解的结构，矩阵的对角化，二次型化标准形等 问题的有力，便捷. 5.1向量与矩阵的定义 数学上矩阵是这样定义的: 由n m ?个数排成m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21 11211 称为m 行n 列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。 记作: ????????????=mn m m n n a a a a a a a a a A 21 2222111211 两个n m ?矩阵称为同型矩阵。 线性代数中的运算对象是向量和矩阵，因此首先介绍向量和矩阵的输入。 5.1.1输入一个矩阵 命令形式1:Table[f[i,j]，{i ，m}，{j ，n}] 功能: 输入n m ?矩阵，其中f 是关于i 和j 的函数，给出[i ， j]项的值. 命令形式2:直接用表的形式来输入 功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。 注意: 1.Mathematica 是采用一个二重表的形式来表示矩阵的，即用 {{…},{…},…,{…}} 其中表中的每个表元素都是等长的一维表，第一个表元素是矩阵的第一行，第二个表元素是 矩阵的第二行，一般，第n 个表元素是矩阵的第n 行。要看通常的矩阵形式可以用命令: MatrixForm[%] 2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为 Table[f[j]，{j,n}]或直接输入一个一维表{a1,a2,…,an}，这里a1,a2,…,an 是数或字母。
项目六矩阵的特征值与特征向量 实验 2 层次分析法 实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题, 学习层次分析法的基本原理与方法; 掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤; 学会用Mathematica 解决层次分析法中的数学问题. 基本原理 层次分析法是系统分析的重要工具之一, 其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化, 是系统分析的一中新型的数学方法. 运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步骤进 行. 1. 建立层次结构 首先对所面临的问题要掌握足够的信息, 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系, 及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化, 构造出一个有层次的结构模型. 在这个模型下, 复杂
问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若 干层次. 层次结构一般分三层: 第一层为最高层, 它是分析问题的预定目标和结果, 也称目标层; 第二层为中间层, 它是为了实现目标所涉及的中间环节, 如: 准则、子准则, 也称准则层; 第三层为最底层, 它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 也称方案层. 注: 上述层次结构具有以下特点:(1) 从上到下顺序地存在支配 关系, 并用直线段表示;(2) 整个层次结构中层次数不受限制. 2. 构造判断矩阵 构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键. 假定以上一层的某元素y为准则，它所支配 的下一层次的元素为X1,X2, ,X n,这n个元素对上一层次的元素y有影响，要确定它们在y中的比重?采用成对比较法?即每次取两个元素X i 和X j , 用a ij 表示X i 与X j 对y 的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A表示,即称矩阵A为判断矩阵. 根据上述定义，易见判断矩阵的元素a j满足下列性质: 当a j 0时,我们称判断矩阵A为正互反矩阵. 怎样确定判断矩阵A的元素a j的取值呢？
athematica函数大全--运算符及特殊符号一、运算符及特殊符号 Line1; 执行Line，不显示结果 Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果?name 关于系统变量name的信息 ??name 关于系统变量name的全部信息 !command 执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename 显示文件内容 < Expr>> filename 打开文件写 Expr>>>filename 打开文件从文件末写 () 结合率 [] 函数 {} 一个表 <*Math Fun*>在c语言中使用math的函数(*Note*) 程序的注释 #n 第n个参数 ## 所有参数 rule&把rule作用于后面的式子 % 前一次的输出 %% 倒数第二次的输出 %n 第n个输出 var::note 变量var的注释 "Astring " 字符串 Context ` 上下文 a+b 加 a-b 减 a*b或a b 乘 a/b 除 a^b 乘方 除 a^b 乘方 base^^num 以base为进位的数 lhs&&rhs 且 lhs||rhs 或 !lha 非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）
lhs=rhs 立即赋值 lhs:=rhs 建立动态赋值 lhs:>rhs 建立替换规则 lhs->rhs 建立替换规则 expr//funname 相当于filename[expr] expr/.rule 将规则rule应用于expr expr//.rule 将规则rule不断应用于expr知道不变为止param_ 名为param的一个任意表达式（形式变量）param__ 名为param的任意多个任意表达式（形式变量） 二、系统常数 Pi 3.1415....的无限精度数值 E 2.17828...的无限精度数值 Catalan 0.915966..卡塔兰常数 EulerGamma 0.5772....高斯常数 GoldenRatio 1.61803...黄金分割数 Degree Pi/180角度弧度换算 I 复数单位 Infinity 无穷大 -Infinity 负无穷大 ComplexInfinity 复无穷大 Indeterminate 不定式 三、代数计算 Expand[expr] 展开表达式 Factor[expr] 展开表达式 Simplify[expr] 化简表达式 FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数 Collect[expr, x] 合并同次项 Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项 Together[expr] 通分 Apart[expr] 部分分式展开 Apart[expr, var] 对var的部分分式展开 Cancel[expr] 约分 ExpandAll[expr] 展开表达式 ExpandAll[expr, patt] 展开表达式 FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子 FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数
Mathematica函数及使用方法 (来源：北峰数模) --------------------------------------------------------------------- 注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。 --------------------------------------------------------------------- 一、运算符及特殊符号 Line1; 执行Line，不显示结果 Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果 name 关于系统变量name的信息 name 关于系统变量name的全部信息 !command 执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename 显示文件内容 < Expr>> filename 打开文件写 Expr>>>filename 打开文件从文件末写 () 结合率 [] 函数 {} 一个表 <*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数
(*Note*) 程序的注释 #n 第n个参数 ## 所有参数 rule& 把rule作用于后面的式子% 前一次的输出 %% 倒数第二次的输出 %n 第n个输出 var::note 变量var的注释"Astring " 字符串 Context ` 上下文 a+b 加 a-b 减 a*b或a b 乘 a/b 除 a^b 乘方 base^^num 以base为进位的数lhs&&rhs 且 lhs||rhs 或 !lha 非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）
Mathematica常用语句一、常用常量 Piπ E e Degree 度(π/180) GoldenRatio 黄金分割比(0.618) Infinity 无穷大∞ I 虚数单位i x=. 取消赋值x Clear[x] 取消赋值x 二、初等函数 Log[x] ln x Log[a,x] log a x Exp[x] x e Sqrt[x] x Sin[x] sin(x) Cos[x] cos(x) Tan[x] tan(x) Cot[x] cot(x) ArcSin[x] arcsin(x) ArcCos[x] arccos(x)
三、函数的定义 f[x_]:= 定义一元函数 f[x_,y_]:= 定义二元函数 四、常用函数： Plus[n1,n2,] 求和 N[x,n] 取x的n位有效数字 Abs[x] 取x的绝对值(x为复数时为取x的模) Sign[x] 符号函数 Round[x] 最接近x的整数(可比x大也可比x小) Floor[x] 不大于x的最大整数 Ceiling[x] 不小于x的最大整数 Max[x1,x2,] 取变量x1,x2,的最大值 Min[x1,x2,] 取变量x1,x2,的最小值 Re[z] 取复数z的实部 In[z] 取复数z的虚部 Conjugate[z] 取复数z的共轭 Arg[z] z的辐角 Quotient[m,n] 取商函数(m被n除的整数部分) Mod[m,n] 取余函数(m被n除的余数部分) n！n的阶乘 n！！n的双阶乘 Binomial[n,m] 二项式系数m C n % 最近一次输出结果
%% 倒数第二次输出 %n 第n个输出结果 Solve[方程] 解方程 Fit[] 曲线拟合函数 Simplify[] 用于化简的函数 If语句 If[条件,t,f]满足条件：执行t否则执行f If[条件,t,f,u] 满足条件：执行t否则执行f无法判别执行u Which语句 Which[条件1,t1,条件2,t2] 满足条件i执行ti 五、表 1、表的建立 表名={元素1，元素2,} {循环变量n，循环初值n0，循环终值ni，步长增量d} (d为1时可省) Range[循环初值n0，循环终值ni，步长增量d] (d为1时可省；n0为1时也可省) Table[通项公式f(m,n,)，{m,m0,mi,d1}，{ n,n0,ni,d1}] Array[f,n] 生成长为n，元素是f[i]的表 Array[f,n,n0] 生成长为n，元素是f[i]且从f[n0]开始的表Array[f,{m,n}] 生成长为{m,n}，元素是f[i,j]的二维数表 Array[f,{n1,n2,}] 把f作用到n1,n2,构成的表 2、表的调整
mathematica 结果中的大括号中的大括号-概述说 明以及解释 1. 引言 1.1 概述 概述: 大括号在mathematica中扮演着非常重要的角色。它不仅用作函数或表达式的分组符号，还可以用于创建列表、集合和规范化模式。而大括号中的大括号更是一种嵌套的表达形式，它可以用来表示更复杂的数据结构和多维数组。本文将就mathematica中大括号中的大括号进行深入探讨，探讨其用法及示例分析，并展望其在实际应用中的潜在价值。 1.2 文章结构 本文将首先介绍大括号中的大括号的概念和作用，然后探讨Mathematica中大括号的应用，包括在数学和编程领域中的具体示例分析。最后，我们将总结本文的研究成果，并展望大括号中的大括号在未来的应用前景。通过本文的阐述，读者将能够对大括号中的大括号有一个全面的理解，并能够在实践中灵活运用。章结构部分的内容 1.3 目的 本文的主要目的是探讨和解释在Mathematica中大括号中的大括号的应用和意义。通过对大括号中的大括号进行深入的分析和示例展示，我
们希望能够帮助读者更好地理解和掌握Mathematica中这一特殊的数据结构。同时，我们也将探讨大括号中的大括号在数学建模和编程中的实际应用，以及对未来的应用展望。通过本文的阐述，我们希望读者能够更深入地理解和应用大括号中的大括号，为他们在Mathematica中的工作和学习提供帮助和指导。 2. 正文 2.1 理解大括号中的大括号 在数学中，大括号通常用来表示集合，集合中的元素用逗号分隔开来。而在编程语言中，大括号常用来表示数据结构，如数组、列表、字典等。 在Mathematica中，大括号同样具有多种用途。其中，大括号中的大括号在Mathematica中常用来表示嵌套的数据结构。例如，一个列表中可能包含多个子列表，这些子列表就会以大括号的形式嵌套在主列表中。 理解大括号中的大括号意味着需要懂得如何读取和操作这些嵌套的数据结构。这涉及到对Mathematica中的数据处理函数的理解和掌握，比如对嵌套列表的遍历、筛选和转换操作。 另外，理解大括号中的大括号还意味着需要理解数据的层次结构和组织方式，这对于复杂的数据处理和分析是至关重要的。只有深入理解大括
mathematica矩阵相乘 Mathematica是一种强大的数学软件，其矩阵相乘功能使得处理线性代数问题变得更加简便和高效。本文将从矩阵的基本概念开始，介绍Mathematica中的矩阵相乘操作，并探讨矩阵相乘在实际问题中的应用。 我们来回顾一下矩阵的基本概念。矩阵是由一组按照规则排列的数构成的矩形阵列。矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。在Mathematica中，可以使用`{{a, b}, {c, d}}`的形式表示一个2x2的矩阵，其中a、b、c和d为矩阵中的元素。 矩阵相乘是指将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到一个新的矩阵。在Mathematica中，可以使用`Dot`函数来进行矩阵相乘操作。例如，如果我们有两个矩阵A 和B，可以使用`Dot[A, B]`来计算它们的矩阵乘积。 矩阵相乘在数学和工程领域中有着广泛的应用。首先，矩阵相乘可以用来解决线性方程组。对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，可以通过矩阵相乘的方式求解x的值。具体地，x可以通过计算逆矩阵A的逆乘以b来获得，即x=Inverse[A].b。 矩阵相乘还可以用来表示线性变换。在几何学中，平移、旋转和缩放等操作可以通过矩阵相乘的方式进行表示。例如，对于一个二维
向量v，可以通过矩阵相乘来实现平移、旋转和缩放等操作。具体地，可以定义一个平移矩阵T、旋转矩阵R和缩放矩阵S，然后通过相乘操作将这些变换应用到向量v上。这样，我们就可以通过矩阵相乘来实现几何变换。 矩阵相乘还可以用于图像处理和信号处理等领域。在图像处理中，图像可以表示为一个矩阵，将不同的变换操作应用到图像矩阵上，可以实现图像的旋转、缩放、平移和滤波等操作。在信号处理中，信号可以表示为一个向量，通过将信号向量与滤波器矩阵相乘，可以实现信号的滤波和去噪等操作。 除了矩阵相乘，Mathematica还提供了其他一些常用的矩阵操作函数。例如，`Transpose`函数可以计算矩阵的转置，`Det`函数可以计算矩阵的行列式，`Eigenvalues`函数可以计算矩阵的特征值，`Eigenvectors`函数可以计算矩阵的特征向量等。 Mathematica中的矩阵相乘功能为我们处理线性代数问题提供了便利。无论是在数学、工程、图像处理还是信号处理等领域，矩阵相乘都有着广泛的应用。通过灵活运用矩阵相乘和其他矩阵操作函数，我们可以更加高效地解决实际问题，推动科学技术的发展。
Mathematica软件简介 Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的著名数学软件，它给人们提供了一个方便的数学计算平台，使复杂的数值计算和符号运算方便、快捷。 一、Mathematica的主要功能 1、符号运算功能：Mathematica最突出的特点就是具有强大的符号运算功能，能和人一样进行带字母的运算，得到精确的结果。符号运算功能可以分成4大类： （1）初等数学：进行各种数和初等函数式的计算与化简。 （2）微积分：求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等）、不定积分和定积分（包括多重积分）， 将函数展成幂级数，进行无穷级数求和及积分 变换。
（3）线性代数：进行行列式的计算、矩阵的各种运算（加法、乘法、求逆矩阵等）、解线性方程 组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。（4）解方程组：解各类方程组（包括微分方程组）。 2、数值计算功能：可以做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数）计算。Mathematica具有众多的数值计算函数，能满足线性代数、插值与拟合、数值积分、微分方程数值解、求极值、线性规划及概率统计等方面的常用计算需求。 3、绘图功能：能绘制各种二维平面图形与全方位的三维立体彩色图形，自动化程度很高。 4、编程功能：用户可以自己编写各种程序（文本文件），开发新的功能。 二、Mathematica的界面简介
1、启动 Mathematica作为标准的Windows程序，其启动方式与Windows下其它程序的启动方式一样。启动后出现的Mathematica界面如图1所示。 图1 Mathematica的界面由工作区窗口、基本输入模板和主菜单组成。 （1）工作区窗口 左边的大窗口为工作区，是显示一切输入、输出的窗口。无论直接输入各种算式或命令，还是运行已经编好的程序，所有操作都在这个窗口中进行。可以同时打开多个工作区窗口。在这样的窗口中，不仅可以显示文字与数学表达式，还可以显示图形、
mathematica 特征向量 Mathematica是一种强大的数学软件，广泛应用于科学、工程和数学等领域。它具有丰富的功能和强大的计算能力，可以帮助研究人员进行各种数学计算和数据分析。在数学中，特征向量是一个重要的概念，它在线性代数和矩阵理论中起着关键的作用。本文将以Mathematica中的特征向量计算为主题，一步一步地介绍特征向量的概念和计算方法。 首先，我们来了解一下特征向量的定义。在线性代数中，给定一个方阵A，非零向量v称为矩阵A的特征向量，如果满足以下条件： A*v = λ*v 其中λ是一个标量，称为特征值。特征值和特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。特征向量描述了矩阵A在变换空间中的方向。 在Mathematica中，要计算一个矩阵的特征向量，可以使用函数Eigenvectors。这个函数的用法非常简单，只需要将待计算的矩阵作为参数传入即可。下面是一个示例： matrix = {{1, 2}, {2, 1}}; vectors = Eigenvectors[matrix]
这段代码计算了一个2x2矩阵的特征向量。运行后，Mathematica会返回一个包含特征向量的列表。对于这个示例矩阵，Mathematica返回了两个特征向量。 接下来，我们可以使用特征向量和特征值的性质来进一步分析矩阵的性质。特征向量具有以下性质： 1. 特征向量可以进行线性组合。如果v1和v2是矩阵A的特征向量，那么任意常数c1和c2的线性组合c1*v1 + c2*v2也是矩阵A的特征向量。这个性质对于矩阵的对角化和求解微分方程等问题非常有用。 2. 特征向量对应的特征值可以用于计算矩阵的幂。具体来说，对于方阵A 的特征向量v和特征值λ，有A^n*v = λ^n*v。这个性质在计算矩阵的高阶幂时非常重要。 在Mathematica中，我们可以使用特征向量和特征值的性质进行更深入的计算和分析。例如，我们可以使用特征向量将一个矩阵对角化。对角化是将一个矩阵表示为对角矩阵的形式，这样可以简化矩阵的计算和求解。Mathematica提供了函数Diagonalize来实现对角化。下面是一个示例： matrix = {{1, 2}, {2, 1}}; {diagonalMatrix, transformationMatrix} = Diagonalize[matrix]
Mathematica的基本语法特征 如果你是第一次使用Mathematica，那么以下几点请你一定牢牢记住： Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以 大写英文字母开头，如Sin[x],Conjugate[z]等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 ,x y,2 Sin[x]等；乘幂可以用“ ^”表示，如x^0.5,Tan[x]^y。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.” 取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x)));[]方括 号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达 式、函数等的集合)，如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表 达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（ 但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否 则将输出计算的结果。 一.数的表示及计算 1.在Mathematica中你不必考虑数的精确度，因为除非你指定输出精度，Mathematica总 会以绝对精确的形式输出结果。例如：你输入 In[1]:=378/123，系统会输出Out[1]:=126/41，如果想得到近似解，则应输入 In[2]:=N[378/123,5],即求其5位有效数字的数值解，系统会输出Out[2]:=3.073 2，另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。 Mathematica与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值， 如100^7000,2^(-2000)等数值可以很快地求出，但在其他语言或系统中这是不可想象的 ，你不妨试一试N[Pi,1000]。 Mathematica还定义了一些系统常数，如上面提到的Pi(圆周率的精确值)，还有E(自然对 数的底数)、I(复数单位)，Degree(角度一度，Pi/180)，Infinity(无穷大)等，不要小 看这些简单的符号，它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值，它们的精度 也是无限的。 二.“表”及其用法 “表”是Mathematica中一个相当有用的数据类型，它即可以作为数组，又可以作为矩阵 ；除此以外，你可以把任意一组表达式用一个或一组{}括起来，进行运算、存储。可以
mathematica中eigensystem求解出的特征值和特征向 量的对应关系 1. 引言 1.1 概述 特征值和特征向量作为线性代数的重要概念，被广泛应用于各个学科领域中。在数学和物理问题中，找到特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵或线性变换的性质。而Mathematica作为一种强大的计算软件，提供了Eigensystem 函数来求解矩阵的特征值和特征向量。 1.2 文章结构 本文将从以下几个方面探讨Mathematica中Eigensystem函数求解出的特征值和特征向量之间的对应关系。首先，我们将介绍特征值和特征向量的定义与意义，以及它们在实际问题中的应用场景。然后，我们将详细介绍Mathematica 中Eigensystem函数的使用方法、结果格式与含义，并通过实际案例来分析其应用。接着，我们将讨论线性代数理论中的特征对角化定理，并使用Mathematica中的Eigensystem函数验证这一定理。最后，对于不可对角化矩阵，我们会探究如何理解其特征向量之间的对应关系。 1.3 目的
本文旨在介绍和探究Mathematica中Eigensystem函数求解的特征值和特征向量之间的对应关系。通过深入分析特征值和特征向量的性质及其在实际问题中的应用，我们可以更好地理解这一概念，并能够运用Mathematica进行特征值和特征向量的计算与分析。通过验证特征对角化定理并研究不可对角化矩阵的特征向量对应关系，我们可以进一步拓展对于特征值和特征向量之间关联的思考，为相关领域的研究提供新的启示和方向。 2. 特征值和特征向量的定义与意义： 2.1 特征值的定义与性质 特征值是一个矩阵在线性代数中的重要概念。给定一个n x n的方阵A，如果存在非零向量v使得满足Av = λv，其中λ为实数或复数，则称λ为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。这个方程可以重写为(A-λI)v = 0，其中I为单位矩阵。由于一个非零向量v不全为零，则说明(A-λI)不满秩。 特征值具有以下性质： - 特征值可以是实数或复数。 - 对于n x n矩阵A，最多有n个特征值。 - 特征值与它们对应的特征向量一一对应。 - 如果矩阵A是可逆矩阵，则其不能有0作为特征值。 - 互异的特征值对应的特征向量线性无关。 2.2 特征向量的定义与性质
矩阵特征向量权重 项目六矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本) 命令求方阵的特征值和特征向量; 能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 基本命令 1. 求方阵M 的特征值的命令Eigenvalues[M] 2. 求方阵M 的特征向量的命令Eigenvectors[M] 3. 求方阵M 的特征值和特征向量的命令Eigensystem[M] 注:在使用后面两个命令时, 如果输出中含有零向量, 则输出中的非零向量才是真正的特征向量. 4. 对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt 使用这个命令, 先要调用“线性代数. 向量组正交化”软件包, 输入 执行后, 才能对向量组施行正交单位化的命令. 命令GramSchmidt[A]给出与矩阵A 的行向量组等价的且已正交化的单位向量组. 5. 求方阵A 的相似变换矩阵S 和相似变换的约当标准型J 的命令 JordanDecomposition[A] 注:因为实对称阵的相似变换的标准型必是对角阵. 所以, 如果A 为实对称阵, 则 JordanDecomposition[A]同时给出A 的相似变换矩阵S 和A 的相似对角矩阵Λ. 实验举例 求方阵的特征值与特征向量. ⎛-102⎛ ⎛例1. 1 求矩阵A = 12-1⎛. 的特征值与特值向量. 130⎛⎛⎛ 1. 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} 2. 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} ⎛-3⎛⎛1⎛ ⎛ ⎛即A 的特征向量为 1⎛, 0⎛. 0⎛ 1⎛⎛⎛⎛⎛ 3. 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. ⎛1/31/3-1/2⎛ ⎛例1. 2 求矩阵A = 1/51-1/3⎛的特征值和特征向量的近似值. 61-2⎛⎛⎛ 输入 A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[A] 则屏幕输出的结果很复杂, 原因是矩阵A 的特征值中有复数且其精确解太复杂. 此时, 可采用近似形式输入矩阵A , 则输出结果也采用近似形式来表达. 输入 A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}};
MATLAB 百科名片 MATLAB软件界面图 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 目录 基本功能 应用 发展历程 新版本新功能 特点 优势 工具 基本功能 应用
展开 编辑本段基本功能 MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连
matlab开发工作界面 接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。 编辑本段应用 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作： ● 数值分析 ● 数值和符号计算 ● 工程与科学绘图
项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 基本命令 1.求方阵M 的特征值的命令Eigenvalues[M] 2.求方阵M 的特征向量的命令Eigenvectors[M] 3.求方阵M 的特征值和特征向量的命令Eigensystem[M] 注:在使用后面两个命令时,如果输出中含有零向量,则输出中的非零向量才是真正的特 征向量. 4.对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt 使用这个命令,先要调用“线性代数.向量组正交化”软件包,输入 < 则输出A 的特征值 {-1,1,1} 2.求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=2163/115/12/13/13/1A 的特征值和特征向量的近似值. 输入 A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[A] 则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵A 的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用 近似形式输入矩阵A ,则输出结果也采用近似形式来表达. 输入 A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[A] 则输出 {{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311}, {{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i}, {0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i}, {-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}} 从中可以看到A 有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实 特征值的特征向量是实的. 项目六矩阵的特征值及特征向量 实验1 求矩阵的特征值及特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值及特征向量. 例1.1 (教材例1.1) 求矩阵的特征值及特值向量. (1) 求矩阵A的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出{{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A的特征向量为 (3) 利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值及特征向量.输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵的特征值及特征向量. 输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 42 6-,42 6+} (2) 计算矩阵A的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.348316 10- ⨯} (3) 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 121 17242 2344220342 23442 1 17242 23442 20342 23442 1 (4) 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 0.4303620.5665420.702722 0.805060.111190.582679 0.4082480.8164970.408248 (5) 同时计算矩阵A的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包<判断矩阵的最大特征值
相关主题
文本预览