Mathematica 5.0使用简介
Mathematica是美国Wolfram Research公司研制的一种数学软件, 集文本编辑、符号运算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体, 与Matlab、Maple一起被称为目前国际上最流行的三大数学软件. 它以符号运算见长, 同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能. 在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算, 包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维图形和三维图形，并能产生动画和声音.
Mathematica系统与常见的高级程序设计语言相似, 都是通过大量的函数和命令来实现其功能的. 要灵活使用Mathematica, 就必须尽可能熟悉各种内部函数(包括内置函数和软件包函数). 由于篇幅限制, 本附录以2003年发布的Mathematica 5.0为基础, 简单分类介绍软件系统的基本功能, 及与微积分有关的函数(命令)的使用, 其他功能请读者自行查阅帮助或有关参考文献. 另外, 为节省篇幅, 本附录有时也将键盘输入和系统输出尽可能写在同一行, 并省略某些输出, 读者可上机演示观看结果
1 启动与运行
Mathematica是一个交互式的计算系统, 计算是在用户和Mathematica互相交互、传递信息数据的过程中完成的. Mathematica系统所接受的命令都被称作表达式, 系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理(即表达式求值), 然后再把计算结果返回.
1.1 启动
假设在Windows环境下已安装好Mathematica 5.0, 那么进入系统的方法是: 在桌面上双击Mathematica图标（图1-1）或从“开始”菜单的“程序”下的“Mathematica 5”联级菜单下单击Mathematica图标（图1-2）均可.
图1-1 图1-2
启动了Mathematica后, 即进入Mathematica的工作环境----Notebook窗口（图1-3）, 它像一张长长的草稿纸, 用户可以在上面输入一行或多行的表达式, 并可像处理其他计算机文件一样, 对它进行创建、打开、保存、修改和打印等操作.
第一个打开的Notebook工作窗口, 系统暂时取名Untitled-1, 直到用户保存时重新命名为止, 必要时用户可同时打开多个工作窗口, 系统会依次暂时取名为
Untitled-2、Untitled-3 .
图1-3 Mathematica的工作窗口
在工作窗口中, 你就可键入想计算的东西, 比如键入2+3, 然后同时按下Shift键和Enter键或者只按下数字键盘区(右小键盘区)的Enter键, 这时系统开始计算并输出计算结果5, 同时自动给输入和输出附上次序标识In[1]:=和Out[1]= ;若再输入第二个表达式a=1+Abs[-3]-2*Sin[Pi/2]后, 按Shift+Enter输出结果, 系统也会作类似处理, 窗口变化如图1-4.
图1-4 完成运算后的Mathematica的窗口
1.2 基本命令
Mathematica的基本命令有如下两种形式:
(1)表达式/ 执行表达式运算, 显示结果, 并将结果保存在Out[x]中;
(2)变量=表达式/ 除(1)的功能外, 还对变量进行赋值.
注意:命令行后面如果加上分号“；”, 那么就不显示运算结果.
1.3 退出
要退出Mathematica, 可单击关闭窗口按钮或从菜单“File”中选择“Exit”(或“Close”)或按Ctrl (或Alt)+F4, 这时如果窗口中还有未保留的内容, 系统会显示一对话框, 询问是否保存. 单击“否（N）”，则关闭窗口；单击“是（Y）”，则调出“SaveNotebook”对话框, 等待你输入文件名, 保存“Notebook”的内容后再退出. 所保存的内容是以“.nb”为扩展名的Mathematica文件, 以后需要时, 可通过菜单“File”中的“Open”调入使用.
1.4 使用联机帮助系统
在使用Mathematica的过程中, 常常需要了解一个命令的详细用法, 或者想知道系统中是否有完成某一计算的命令, 联机帮助系统是最详细、最方便的资料库. 通常可使用如下两种求助方法:
(1) 获取函数和命令的帮助
在Notebook界面下, 用? 或?? 可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法. 例如查询函数Abs的用法可用
Abs / 系统将给出调用Abs的格式及Abs命令的功能（如果用两个问号“??”, 则信息会更详细些）;
Abs* / 给出所有以Abs这三个字母开头的命令.
(2) 使用Help菜单
任何时候都可以通过按F1键或点击菜单项Help, 选择Help Browser调出帮助菜单, 供你选择浏览各种类的命令格式及功能.
1.5 说明
在输入时要注意如下几个规则:
(1) 输入的字母严格区分大小写. 系统预定义变量和函数名第一字母一定要用大写(可参见表1-1和表1-2);
(2) 变量名不能以数字开头, 当中也不能出现空格, 否则数字与字母之间或空格之间系统会默认是相乘关系, 例如x2可作变量名, 但2x表示2*x;
(3) 严格区分花括号、方括号与圆括号, 函数后面的表达式一定要放在方括
号内, 而算术表达式中的括号只允许用圆括号(无论有多少层);
(4) 数值计算时, 输出的结果将尽量保持精确值, 即结果中有时会含有分式、根式或函数的原形式. 例如
In[1]:=1/2+1/3 Out[1]= 5 6
In[2]:=Sqrt[4+8] Out[2]=
In[3]:=Sin[1+2] Out[3]= Sin[3]
这时, 若要得到小数表示的结果(近似数), 可在命令行后面加上“//N”或引用N函数, 函数格式为N[表达式, 有效数位]. 例如
In[1]:=1/2+1/3 //N Out[1]= 0.833333
In[2]:=N[Sqrt[4+8],10] Out[2]=3.464101615
(5) 特殊字母、符号的输入，可使用热键(见表1-3), 当然也可利用符号输入平台: 先从菜单“File”中的“Palettes”打开基本输入面板“4 BasicInput”窗口（见图1-5）, 点击相应的符号即可实现数学运算的输入.
符号输入平台(菜单项“File→Palettes”)中含有9种输入面板, 利用它们可大大方便字符、命令、函数的输入, 尤其是“3 BasicCalculation”窗口(“基本
计算面板”，可见图1-5), 其中含有常用的7大类函数的输入面板, 需要应用某类函数的栏目时, 只须点击相应栏目的左端折叠标志符号“”, 即变成展开标志符号“∇”, 同时打开它所含下级的函数(类)输入面板, 最后找到所需的命令单击选定. 例如
要输入一个2阶方阵, 可点击“File→Palettes→3 BasicCalculation →Lists and
Matrices →Creating Lists and Matrices”，再点击选定“⎛⎫
⎪
⎝⎭
”即可.
图1-5 Mathematica的符号输入平台
(6) 前面旧的命令行In[x], 可通过光标的上、下移动，对它进行编辑、修改再利用；对前面计算好的结果Out[x], 也可使用如下的方式调用:
% / 代表上面最后一个输出结果;
%% / 代表上面倒数第二个输出结果;
%n / 代表上面第n个输出结果, 即Out[n].
2 变量与函数
变量和函数是Mathematica中广泛应用的重要概念, 对它们的操作命令非常丰富, 这里仅介绍几种基本的操作方法, 其它功能请读者随着学习的深入, 自己
逐步去体会.
2.1 变量赋值
在Mathematica中, 运算符号“=”起赋值作用, 此处的“=”应理解为给它左边的变量赋一个值, 这个值可以是一个数值、一个数组、一个表达式，也可以是一个图形. 赋值有如下的基本形式:
(1) 变量名=值/ 给一个变量赋值
(2) 变量名1=变量名2=值/ 给二个变量赋相同值
(3) {变量名1, 变量名2,…}={值1, 值2,…} / 给多个变量赋不同的值
注意:变量一旦赋值后, 那么这个值将一直保留, 此后, 无论变量出现在何处, 都会用该值替代它, 直到你清除或再次定义它为止. 对于已定义的变量, 当你不再使用它的时候, 为防止它影响以后的运算, 最好及时清除它的值.
清除变量值命令有如下两种形式:
(1)变量名=.
(2)Clear[变量名列表] /列表中列出的是要清值的变量名,之间用逗号分开
例如
In[1]:= x=y=2 Out[1]= 2
In[2]:= s=2x+3y Out[2]= 10
In[3]:= x=.
In[4]:= s=2x+3y Out[4]= 6+2x
2.2 变量替换
表达式中的变量名(未赋值)就像一个符号, 必要时我们可用新的内容替换它. 变量替换格式如下:
(1) 表达式/.变量名->值
(2) 表达式/.{变量名1->值1, 变量名2->值2,…}
例如
In[1]:= 1+2x+3y/.{x->2,y->s+1} Out[1]= 5+3(1+s)
注意: 变量替换与变量赋值的差异在于, 变量替换是暂时性的, 而变量赋值是长久性的.
2.3 定义函数
Mathematica系统提供了大量的内部函数让用户选用(可参见表1-2), 用户若有需要也可以自己定义新函数, 这些自定义的函数会加入到当前的系统中, 如同内部函数一样可被随时调用. 自定义函数的一般形式是:
函数名[自变量名_]=表达式或函数名[自变量名_]:=表达式
注意:下划线“_”是在自变量名的右边, 它表示左边的自变量是形式参数. 类似地, 可定义不少于两个自变量(多元)函数. 如二元函数定义为
函数名[自变量名1_, 自变量名2_]=表达式
In[1]:= f[x_]=x+3;
{f[x],f[y],f[2]} Out[1]= {3+x,3+y,5} In[2]:= g[x_,y_]=x^2-y^2;
In[3]:= g[1,2] Out[3]= 4
3 表与矩阵
表是指形式上由花括号括起来的若干个元素, 元素之间用逗号分隔. 在运算中可对表作整体操作, 也可对表中的单个元素操作. 表可以表示数学中的集合、向量和矩阵, 也可以表示数据库中的一组记录. 表中的元素可以是任何数据类型的数值、表达式，甚至是图形或表格.
3.1 表的基本操作
(1) 建表: 表中元素较少时, 可在给出表名时又定义表中元素, 格式如下
表名(变量名)={元素1,元素2, …}
这里, 元素可以是不同类型的数据.
经常地, 使用建表函数快速建表:
表名=Table[通项公式, {循环变量,循环初值,循环终值,步长}]
其中, 当循环初值或步长是1时可以省略, 循环范围还可多重设置.
例如
In[1]:= A={1,2,3};
2+3A Out[1]= {5,8,11}
In[2]:= t=Table[i+j,{i,2},{j,3}] Out[2]={{2,3,4},{3,4,5}}
(2) 元素处理: 处理表元素常用的格式(函数)有
A[[i]] \ 取表A中的第i个元素
Part[A{i,j,…}] 或A[[{i,j,…}]] \ 取表A中的第i,j,..元素组成新表
Part[A,i]=值或A[[i]]=值\ 给表A的第i个元素重新赋值
3.2 矩阵的基本操作
矩阵是表的特殊形式(二维表), 所有标准的表操作都可用于矩阵操作, 除此而外, 它具有很多特殊的运算函数, 下面就简单介绍几类常用的函数.
(1) 创建特殊矩阵函数(表3-1)
(2) 截取矩阵块函数(表3-2)
(3) 矩阵的基本运算函数(表3-3)
注意:
[1] 向量也是表的特殊形式(一维表), 对它的操作命令很多是与矩阵操作相类似的, 这里就不在另列. 且在Mathematica的实际应用中, 是不区分行向量还是列向量的.
[2] 矩阵(向量)间的相乘要用点乘符号“.”
表3-1 创建特殊矩阵
4 符号运算
Mathematica是在一个完全集成环境下的符号运算系统, 它具有强大的处理符号表达式的能力, 代数运算、微分、积分和微分方程求解等都是很典型的例子.
4.1 代数运算
(1) 展开
格式: Expand[表达式]
注: 对多项式按幂次展开; 对分式展开分子, 各项除以分母.
(2) 分解因式
格式: Factor[表达式]
注: 对多项式进行因式分解; 对分式分子、分母各自因式分解.
(3) 化简
格式: Simplify[表达式]
例如
In[1]:= Expand[(1+2x)^2] Out[1]= 1+4x+4x2
In[2]:= Factor[%] Out[2]= (1+2x)2
In[3]:= Simplify[1/(1+1/(1+x))+1/(2(1-x))] Out[3]=
11 222
x
x x
+
+
-+
说明:代数运算还有很多操作函数, 读者必要时可从“File→Palettes→
2 AlgebraicManipulation ”的窗口面板中选用.
4.2 微分
(1) 一阶导数
格式: D[函数,自变量] / 函数关于指定自变量的导数
(2) 高阶导数
格式: D[函数,{自变量,n}] / 函数关于指定自变量的n阶导数(3) 混合偏导数
格式: D[函数, x , y,…] / 函数关于自变量x , y,…的混合偏导数(4) 全微分
格式: Dt[函数] / 函数关于各变量的全微分
例如
In[1]:= D[Sin[x],x] Out[1]= Cos[x]
In[2]:= D[Sin[2x],{x,2}] Out[2]= -4Sin[2x]
In[3]:= D[Sin[x*y],x,,y] Out[3]= Cos[xy]-xySin[xy]
In[3]:= Dt[Sin[x*y],x,y] Out[3]= Cos[xy](yDt[x]+xDt[y])
4.3 积分
(1) 不定积分
格式: Integrate[函数,自变量]
(2) 多重不定积分
格式: Integrate [函数,自变量1,自变量2]
或Integrate [函数,自变量1,自变量2,自变量3]
(3) 定积分
格式: Integrate[函数,{自变量,下限,上限}]
或NIntegrate[函数,{自变量,下限,上限}] / 数值积分
(4) 多重定积分
格式: Integrate[函数,{自变量1,下限1,上限1},…]
或NIntegrate[函数,{自变量,下限,上限},…] / 数值积分例如
In[1]:= Integrate[Sin[x]+1,x] Out[1]= x-Cos[x]
In[2]:= Integrate[4x*y+1,x,y] Out[2]= xy+x2y2
In[3]:= Integrate[Sin[x]+1,{x,0,1}] Out[3]= 2-Cos[1]
In[4]:= NIntegrate[Sin[x]+1,{x,0,1}] Out[4]= 1.4597
In[5]:= Integrate[4x*y+1,{x,0,1},{y,0,1}] Out[2]= 2
4.4 常微分方程的准确解
在Mathematica中, 使用函数DSolve[]可以求解线性和非线性的常微分方程(组). 求特解时, 可将定解的条件作为方程的一部分.
格式: DSolve[方程,未知函数,自变量]
例如
In[1]:= DSolve[y’[x]==2x,y[x],x] Out[1]={{y[x]->x2+C[1]}} In[2]:= DSolve[{y’[x]==2y[x],y[0]==3},y[x],x] Out[2]={{y[x]->3e2x }}
In[3]:= DSolve[{y’[x]==z[x],z’[x]== -y[x]},{y[x],z[x]},x]
Out[3]={{y[x]->C[1]Cos[x]+C[2]Sin[x], z[x]->C[2]Cos[x] -C[1]Sin[x]}}
注: 大多数情况, 微分方程的精确解是不能用初等函数表示出来的, 这时, 只能求其数值解, 并结合作图功能画出解的大致图形, 这些内容后面再作介绍.
4.5 幂级数展开
格式: Series[函数表达式,{变量,展开点x0,阶数n}]
例如
In[1]:= Series [Sin[x],{x,0,5}] Out[1]=
35
6
0[]
6120
x x
x x -++
注:去掉表达式中的误差项O[x]n 可调用Normal[] 函数.
5 数值计算
Mathematica的优势在于符号运算, 但对于数值问题, 它也提供了丰富的数值计算功能, 例如求和(有限或无限)、求极限值、解代数方程、求非线性方程数值解和求微分方程数值解等。
5.1 求和
格式: Sum[表达式,{变量,下限,上限}]
例如
In[1]:= Sum[2n-1,{n,1,9}] Out[1]= 81
In[2]:= Sum[2^(-n),{n,0,Infinity}] Out[2]= 2
5.2 求极限
格式: Limit[表达式,变量->定值]
或Limit[表达式,变量->定值,Direction->1] / 求左极限
或Limit[表达式,变量->定值,Direction->-1] / 求右极限
例如
In[1]:= Limit[x^2/(1-Cos[x]),x->0] Out[1]= 2
In[2]:= Limit[1/x,x->0,Direction->1] Out[2]= -∞
5.3 求解代数方程
格式: Solve[方程,变量] / 求出方程的精确解, 只对四次以下的方程有效或Roots[方程,变量] / 效果同上, 只是解用逻辑关系形式表达
或NSolve[方程,变量] / 求出方程的数值解, 对任意次的方程都有效例如
In[1]:= Solve[x^2-2==0,x] Out[1]= {{x->
In[2]:= Roots[x^2-2==0,x] || x==
In[3]:= NSolve[x^5+1==0,x]
Out[3]= {{x->-1.},{x->-0.309017-0.951057 i},{x->-0.309017+0.951057 i}, {x->0.809017-0.587785 i},{x->0.809017+0.587785 i}} 注: Solve命令也可用于求解低次的代数方程组, 一般的形式为
Solve[{方程1,方程2,…},{变量1,变量2,…}]
5.4 求非线性方程数值解
格式: FindRoot[方程,{变量,初值}]
/ 从初值(可取复数)开始, 利用迭代法求出方程的近似解(可以是复数解) 例如
In[1]:= FindRoot[x^3-x^2-2x+2==0,{x,-2}] Out[1]= -1.41421
5.5 求微分方程数值解
格式: NDSolve[方程,函数名y,{变量x,xmin,xmax}]
/ 求函数y关于x在[xmin,xmax]内的数值解. 方程中必须含有定解的条件, 得到的解是由插值函数InterpolatingFunction(默认三次函数)形式给出.
例如
In[1]:= NDSolve[{y’[x]==2y[x],y[0]==3},y,{x,0,2}]
Out[1]= {{y->InterpolatingFunction[{{0.,2.}},<>]}}
该近似函数可被进一步运用, 如求解函数在某点的近似值, 绘出解函数的图形等.
In[2]:= y[1.5]/.%1 Out[1]= { 60.2566 }
注: NDSolve命令也可用于求常微分方程组的数值解及偏微分方程(组)的数值解.
6 图形制作
计算的可视化即图形绘制, 是Mathematica的强大功能之一. 在Mathematica 中可以作二维平面图、三维立体图和参数图形等. 为节省篇幅, 本节略去了部分系统输出的图形.
6.1 二维图形
Mathematica提供了多样的绘制二维平面图形的命令, 它们既可以作一元函数的曲线图、数据集合的图形和参数曲线图, 也可以进行图形的重绘和组合.
6.1.1 基本二维图形
格式: Plot[{函数f1, 函数f2,…},{变量x,xmin,xmax},参数设置选项]
例如
In[1]:= Plot[x Sin[2x],{x,0,4Pi}]
Out[1]= -Graphics- (参见图6-1)
In[2]:= Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-Pi,Pi},AxesLable->{“x”,”y”},Frame->True]
Out[2]= -Graphics- (参见图6-2)
说明: Plot[]命令中的参数设置选项, 用户可根据需要进行设置(不分先后), 以达到最佳输出效果. 常用的参数选项列表如下:
表6-1 函数Plot的输出选项
6.1.2 数据集合图形
格式: ListPlot[{y1,y2,…}] / 绘出离散点(1,y1),(2,y2),…
或ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}] / 绘出离散点(x1,y1),(x2,y2),…
或ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}, PlotJoined->True] / 将离散点连线例如
In[1]:= P=Table[{x, Sin[x]},{x,0,2Pi,Pi/9}];
In[2]:= ListPlot[P] Out[2]= -Graphics- (图略)
In[3]:= ListPlot[P, PlotJoined->True] Out[3]= -Graphics- (参见图6-3)
6.1.3 参数曲线图
格式: ParametricPlot[{x t,y t},{t,tmin,tmax}] /绘出参数图
或ParametricPlot[{{x t,y t},{u t,v t},…},{t,tmin,tmax}] /同时绘出一些参数图或ParametricPlot[{x t,y t},{t,tmin,tmax},AspectRatio->Automatic]
/设法保持曲线形状例如
In[1]:= ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]
Out[1]= -Graphics- (绘出摆线, 参见图6-4)
6.1.4 图形的重绘和组合
每次绘制图形后, Mathematica保存了图形的所有信息, 用户可以重绘或组合这些图形.
格式: Show[图形,参数选项] / 重绘图形, 可重设选项
或Show[图形1, 图形2,…,参数选项] / 一些图形的组合(同一坐标系) 或Show[GraphicsArray[图形列表]] / 绘制图形矩阵(不同坐标系)
例如
In[1]:= G1=Plot[Sin[2x],{x,0,4Pi}]; In[2]:= G2=Plot[x*Sin[2x],{x,0,4Pi}] ;
In[4]:= Show[GraphicsArray[{G1,G2,G}]]
In[3]:= G=Show[G1,G2];
6.2 三维图形
绘制三维空间图形的命令与二维情况相类似, 它可以作二元函数的曲面图和参数曲线或曲面图等.
6.2.1 基本三维图形
格式: Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},参数选项]
/ 它绘出在区域{(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }上二元函数f[x,y]的空间图形. 该图形一般放在一个透明的盒子内. 为输出效果, 可设置参数选项, 常用有: PlotPoints->15(c或{c1,c2}) / 在x和y方向所用的点数, 可不同取值;
Axes->True (False) / 是否包含坐标轴;
Boxed->True (False) / 是否显示盒子的边框;
Mesh->True (False) / 是否在表面绘出x,y网络;
ViewPoint->{1.3,-2.4,2} / 表面的空间观察点位置(应在盒子外的点).
例如
In[1]:= Plot3D[ Sin[x*y],{x,0,3},{y,0,3},Mesh->False]
Out[1]= -Graphics- (参见图6-6)
6.2.2 参数曲线、曲面图
格式: ParametricPlot3D[{x t,y t,z t},{t,t0,t1}] / 绘出参数曲线图
或ParametricPlot3D[{x st,y st,z st},{s,s0,s1},{t,t0,t1}] / 绘出参数曲面图例如
In[1]:= ParametricPlot3D[{4Cos[t],4Sin[t],t},{t,0,4Pi}]
Out[1]= -Graphics- (参见图6-7)
In[2]:= ParametricPlot3D[{Cos[s](3+Cos[t]),Sin[s](3+Cos[t]),Sin[t]}, {s,0,2Pi}, {t,0,2Pi}]
Out[2]= -Graphics- (参见图6-8)
说明: Mathematica的绘图命令丰富多彩, 除上面介绍的基本功能外, 还可以画曲面的等值线和密度图, 利用点、线(直线、圆弧和椭圆弧)、面、长方体和立方体等图形基元构成各种几何图形, 连续显示图形形成动画效果等, 有兴趣的读者可查阅相关文献并进行尝试.
7Mathematica程序设计
前面我们介绍了Mathematica的基本运算及操作, 为了使Mathematica更有效的工作, 我们可对Mathematica进行程序化管理, 在程序中通过编写一系列表达式语句, 使其实现某种特定的功能. 像其它的程序设计语言一样, Mathematica 程序设计中主要也是应用三种基本结构：顺序结构、条件结构和循环结构. 顺序结构实际上就是我们前面已学过的命令的依次排列, 而条件结构和循环结构下面将作介绍.
7.1 条件结构
条件结构也称分支结构, 它的主要成分是三种条件语句: If语句、While语句和Switch语句, 它们可以应用于程序或行文命令中.
7.1.1 If语句
格式: If[逻辑表达式,表达式1] / 逻辑表达式的值为真时, 计算表达式1 或If[逻辑表达式,表达式1,表达式2]
/ 逻辑表达式的值为真时, 计算表达式1, 否则, 计算表达式2 例如, 下面定义了一个阶跃函数, 即当x>0时值为1, 反之值为-1.
In[1]:= f[x_]=If[x>0,1,-1];
In[2]:= f[2] Out[2]= 1
In[3]:= f[-3] Out[3]= -1
7.1.2 Which语句
格式: Which[逻辑式1,表达式1,逻辑式2,表达式2,…]
/ 依次计算逻辑式1,逻辑式2,…,直到值为真时, 计算相应的表达式例如, 下面定义一个符号函数
In[1]:= g[x_]= Which[x>0,1,x==0,0,x<0,-1];
7.1.3 Switch语句
格式: Switch[表达式,常量1,表达式1,常量2,表达式2,…]
/ 计算表达式的值, 再与各常量比较, 相匹配时计算相应的表达式例如, 下面定义一个与模3的余数有关的函数
In[1]:= p[x_]= Switch[Mod[x,3],0,100,1,200,2,300];
说明: 条件语句中的表达式既可以是常量, 也可以是语句(包含语句系列, 但它们之间要用分号隔开).
7.2 循环结构
循环结构主要有三种形式: Do结构、While结构和For结构.
7.2.1 Do结构
格式: Do[循环体,{n}] /重复计算循环体n次
或Do[循环体,{i, imax}] /重复计算循环体,以步长1, i 从1增加到imax 或Do[循环体,{i, imin, imax, di}]
/重复计算循环体, 以步长di, i 从imin增加到imax 例如
In[1]:= Do[Print[i+i^2],{i,1,4}] (输出省略)
In[2]:= t=2; Do[Print[t]; t=t*3,{3}] (输出省略)
7.2.2 While结构
格式: While[条件语句,循环体] / 只要条件为真, 就重复计算循环体
例如
In[1]:= n=17; While[(n=Floor[n/2])!=0, Print[n]]
(分四列分别输出8、4、2、1，这里省略)
7.2.3 For结构
格式: For[初始语句,条件语句,改变循环变量值语句,循环体]
/ 先执行初始语句, 再重复执行循环体、改变循环变量值语句，直到条件为假时为止.
例如
In[1]:= For[i=1;t=x,i^2<10,i++,t=2t+1;Print[t]] / i++: 变量i自增1 1+2x
1+2(1+2x)
1+2(1+2(1+2x))
7.3 流程控制函数
在编制Mathematica程序时, 为了能更灵活地运用循环结构, 我们可用Mathematica提供的流程控制函数来控制流程, 这些函数的工作过程与C语言中的很相似. 常用的流程控制函数有Break、Continue和Return, 它们的格式如下: 格式: Break[] \ 退出本层的循环
Continue[] \ 转入当前循环的下一步
Return[表达式] \ 退出函数中的所有过程及循环, 返回表达式值例如
In[1]:= t=1; Do[t*=k; If[t>30,Break[]]; Print[t]], {k,10}] / t*=k即t= t* k 1
2
6
24
In[2]:= t=1; Do[t*=k; If[t<4,Continue[]]; Print[t]], {k,6}]
24
120
720
In[3]:= f[x_]:=(If[x>5,Return[big]];t=10*x;Print[t])
In[4]:= f[4] Out[4]= 40
In[3]:= f[10] Out[4]= big
注意:只有当流程控制函数直接作为一个过程的元素或循环体的值, 它们才能被Mathematica认识.
练习
1.求解微分方程:
(1) y '' - y = 4xe x , y| x=0 = 0 , y '|x=0 =1;
(2) y(3) +y ''+ y ' = -y 3 , y| x=0 = 1 , y '|x=0 = y ''|x=0 =0 .
(要用数值求解法)
2. 研究幂级数展开与多项式逼近:
将函数()sin
=展开成x的幂级数(马克劳林展开)，并观
f x x
察去掉展开式中截断误差项O[x n]后得到的多项式P n[x]逼近函数f[x]的状况.
练习解答:
1.(1)求解微分方程 y '' - y = 4xe x , y| x=0 = 0 , y '|x=0 =1 . 解 可用如下命令:
In[3]:= DSolve[{y ’’[x]-y[x]==4x*e x ,y[0]==0,y ’[0]==1},y[x],x]
Out[3]=
y x
x
1
2x 2x
x
2x
x
2
1.(2)求解三阶微分方程 y (3) +y ''+ y ' = -y 3 , y| x=0 = 1 , y '|x=0 = y ''|x=0 =0 . 解 可用如下命令: In[4]:=
s1=NDSlove[{y ’’’[x]+y ’’[x]+y ’[x]==-y[x]3,y[0]==1,y ’[0]==y ’’[0]==0},y,{x,0,20}]
Out[4]= {{y →InterpolatingFunction[{{0.,20.}},<>]}} 绘出解函数的图形:
求解函数在某点的近似值, 如y[5]: In[6]:= y[5]/.s1 Out[6]= { -0.364397 }
2.研究幂级数展开与多项式逼近:
将函数()sin f x x = 展开成x 的幂级数(马克劳林展开)，并观察去掉展开式中截断误差项O[x n ]后得到的多项式P n [x]逼近函数f[x]的状况. 注: 去掉表达式中的误差项O[x n ]可调用Normal[] 函数.
解: 我们先观察n=3,5,7,9时, 相应的逼近多项式P n [x]与Sin[x]的图像比较. In[1]:= S=Plot[Sin[x],{x,-2Pi,2Pi}];
In[2]:= Series[Sin[x],{x,0,3}]; P3=Normal[%] Out[2]=
x
x 36
In[3]:= S3=Plot[P3,{x,-6,6},PlotStyle->Dashing[{0.005,0.01}],
PlotRange->{-1.2,1.2}];
In[4]:= Show[S,S3] Out[4]= -Graphics- (图11-6-2)
图11-6-2 P3[x]与Sin[x]图像图11-6-3 P5[x]
In[5]:= P5=Normal[Series[Sin[x],{x,0,5}]] Out[5]= x
x3
6
x5
120
PlotRange->{-1.2,1.2}]; In[7]:= Show[S,S5]
In[8]:= P7=Normal[Series[Sin[x],{x,0,7}]] Out[8]= x
x3
6
x5
120
x7
5040
PlotRange->{-1.2,1.2}];
In[10]:= Show[S,S7] Out[10]= -Graphics- (图11-6-4)
Out[11]= x
x3
6
x5
120
x7
5040
x9
362880 PlotRange->{-1.2,1.2}];
79
通过观察, 可发现当n=3时, P3[x]与Sin[x]的图像只在零点附近很接近, 而随
mathematica使用指南 Mathematica是一款功能强大的数学软件，具备广泛的应用领域， 包括数学、统计学、物理学、工程学等等。本文将为您提供一份Mathematica的使用指南，帮助您快速入门并提高使用效率。 1. Mathematica简介 Mathematica是由Wolfram Research公司开发的一款通用计算软件，它具备数值计算、符号计算、图形绘制等多种功能。Mathematica基于Wolfram Language语言，用户可以直接在其中编写代码进行计算和分析。 2. 安装与启动 首先您需要从Wolfram Research公司官方网站下载Mathematica安 装文件，并按照安装向导完成安装过程。安装完成后，您可以在计算 机上找到Mathematica的启动图标，点击即可启动该软件。 3. Mathematica界面介绍 Mathematica的主界面由菜单栏、工具栏、输入区域和输出区域组成。菜单栏提供了各种功能选项，工具栏包含常用工具按钮，输入区 域用于输入代码，而输出区域用于显示计算结果。 4. 基本计算
在输入区域中，您可以直接输入数学表达式进行计算。例如，输入"2 + 3"，然后按下Enter键即可得到计算结果"5"。Mathematica支持基 本的算术运算、三角函数、指数函数等数学操作。 5. 变量与函数 您可以使用Mathematica定义变量并进行计算。例如，输入"x = 2"，然后再输入"y = x^2"，按下Enter键后，变量y会被赋值为2的平方， 即4。定义的变量可以在后续计算中使用。 6. 图形绘制 Mathematica提供了丰富的图形绘制功能。您可以使用Plot函数绘 制函数曲线，使用ListPlot函数绘制离散数据点，还可以绘制3D图形 等等。通过调整参数和选项，您可以自定义图形的样式和外观。 7. 数据分析与统计 Mathematica提供了广泛的数据分析和统计功能。您可以使用内置 的统计函数对数据进行描述性统计、分布拟合、假设检验等操作。此外，Mathematica还支持数据可视化，可以绘制直方图、散点图、箱线 图等图形。 8. 符号计算 Mathematica强大的符号计算功能可以处理代数、微积分、线性代 数等各种数学领域的问题。您可以使用Solve函数求解方程组，使用Integrate函数计算定积分，使用Simplify函数简化表达式等等。
Mathematica 5.0使用简介 Mathematica是美国Wolfram Research公司研制的一种数学软件, 集文本编辑、符号运算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体, 与Matlab、Maple一起被称为目前国际上最流行的三大数学软件. 它以符号运算见长, 同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能. 在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算, 包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维图形和三维图形，并能产生动画和声音. Mathematica系统与常见的高级程序设计语言相似, 都是通过大量的函数和命令来实现其功能的. 要灵活使用Mathematica, 就必须尽可能熟悉各种内部函数(包括内置函数和软件包函数). 由于篇幅限制, 本附录以2003年发布的Mathematica 5.0为基础, 简单分类介绍软件系统的基本功能, 及与微积分有关的函数(命令)的使用, 其他功能请读者自行查阅帮助或有关参考文献. 另外, 为节省篇幅, 本附录有时也将键盘输入和系统输出尽可能写在同一行, 并省略某些输出, 读者可上机演示观看结果 1 启动与运行 Mathematica是一个交互式的计算系统, 计算是在用户和Mathematica互相交互、传递信息数据的过程中完成的. Mathematica系统所接受的命令都被称作表达式, 系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理(即表达式求值), 然后再把计算结果返回. 1.1 启动 假设在Windows环境下已安装好Mathematica 5.0, 那么进入系统的方法是: 在桌面上双击Mathematica图标（图1-1）或从“开始”菜单的“程序”下的“Mathematica 5”联级菜单下单击Mathematica图标（图1-2）均可. 图1-1 图1-2 启动了Mathematica后, 即进入Mathematica的工作环境----Notebook窗口（图1-3）, 它像一张长长的草稿纸, 用户可以在上面输入一行或多行的表达式, 并可像处理其他计算机文件一样, 对它进行创建、打开、保存、修改和打印等操作. 第一个打开的Notebook工作窗口, 系统暂时取名Untitled-1, 直到用户保存时重新命名为止, 必要时用户可同时打开多个工作窗口, 系统会依次暂时取名为
【Mathematica 简介】 Mathematica 软件是由沃尔夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研发的。Mathematica 版发布于1988年6月23日。发布之后，在科学、技术、媒体等领域引起了一片轰动，被认为是一个革命性的进步。几个月后，Mathematica 就在世界各地拥有了成千上万的用户。今天，Mathematica 已经在世界各地拥有了数以百万计的忠实用户。 Mathematica 已经被工业和教育领域被广泛地采用。实际上，Mathematica 负责将高级的数学和计算引入了传统上非技术的领域，极大的增加了科技软件的市场。一个包含应用、咨询、书籍、和课程软件的行业支持着国际化的 Mathematica 用户群，这个行业还在不断地膨胀。随着沃尔夫勒姆研究公司不断地扩大和 Mathematica 的使用被不断地扩展到不同的领域，将会看到 Mathematica 在全世界范围内对未来产品、重要研究发现、和教学的巨大影响。 数学软件是现在科研工作者的必备的工具，个人比较喜欢用Mathematica，因为它是最接近数学语言的。Mathematica 在15日发布，其最显著的变化是允许自由形式的英文输入，而不再需要严格按照Mathematica语法，这类似于Wolfram|Alpha搜索引擎。Mathematica 8允许用户按照自己习惯的思考过程输入方程式或问题，最令人激动的部分是软件不是逐行执行命令，而是能理解上下文背景。 1. Enter your queries in plain English using new free-form linguistic input 2. Access more than 10 trillion sets of curated, up-to-date, and ready-to-use data 3. Import all your data using a wider array of import/export formats 4. Use the broadest statistics and data visualization capabilities on the market 5. Choose from a full suite of engineering tools, such as wavelets and control systems 6. Use more powerful image processing and analysis capabilities 7. Create interactive tools for rapid exploration of your ideas 8. Develop faster and more powerful applications Wolfram Research 的 CEO 和创立者斯蒂芬·沃尔夫勒姆表示：“传统上，让计算机执行任务必须使用计算机语言或者使用点击式界面：前者要求用户掌握它的语法；而后者则限制了可访问函数的范围。”“自由格式语言学能够理解人类的语言，并将其转化为具有特定语法结构的语言。这是产品适用性上的一个突破。 Mathematica 8 是这种创新思想下的第一个产品，但是它已经能够大幅度提高用户的工作效率。” Mathematica简明教程 第1章Mathematica概述 运行和启动：介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令
Mathematica软件简介 Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的著名数学软件，它的主要功能是给人们提供一个方便的数学计算平台。了解并掌握它的各种功能，有利于激发我们学习、应用数学的兴趣，能够使复杂的数值计算和符号运算方便、快捷，有助于我们学好数学，用好数学。 一、Mathematica的主要功能 1、符号运算功能：Mathematica最突出的特点就是具有强大的符号运算功能，能和人一样进行带字母的运算，得到精确的结果。符号运算功能可以分成4大类： （1）初等数学：进行各种数和初等函数式的计算与化简。 （2）微积分：求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等）、不定积分和定积分（包括多重积分），将函数展成幂级数，进行无穷级数求和及积分变换。 （3）线性代数：进行行列式的计算、矩阵的各种运算（加法、乘法、求逆矩阵等）、解线性方程组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。 （4）解方程组：解各类方程组（包括微分方程组）。 2、数值计算功能：可以做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数）计算。Mathematica具有众多的数值计算函数，能满足线性代数、插值与拟合、数值积分、微分方程数值解、求极值、线性规划及概率统计等方面的常用计算需求。 3、绘图功能：能绘制各种二维平面图形与全方位的三维立体彩色图形，自动化程度很高。 4、编程功能：用户可以自己编写各种程序（文本文件），开发新的功能。 二、基本知识 1、启动与运行方法 Mathematica作为标准的Windows程序，其启动方式与Windows下其它程序的启动方式一样。启动后出现的Mathematica界面如图1所示。Mathematica的界面由工作区窗口、基本 图1 输入模板和主菜单组成。左边为工作窗口区，可以直接输入函数或命令；工作区窗口右边的
数学软件Mathematica4简介 2.1 Mathematica4.0简介 Mathematica 是由位于美国伊利州的伊利诺大学Champaign 分校附近的WolframResearch 公司开发的一套专门进行数学计算的软件。从1988年问世至今，已广泛地应用到工程、应用数学、计算机科学、生物、药学、教育学等领域，深受科学家、学生、教师、研究人员的广泛喜爱。 早在1995年发表的Mathematica3.0版，可以说是数学计算软件史上的一个大创新。而1999年发表的Mathematica4.0版则在到了这类软件的顶峰。Mathematica 除了提供数值处理与绘图的功能之外还具有符号计算能力。能使您轻松地进行各种运算、函数的图像的绘画、解方程等。对中学数学教学而言：可以通过Mathematica 进行函数性质的研究、处理多项式的各种运算提供很好的工具。 要安装Mathematica4.0建议你的计算机配置要达到如下的要求： 1、 操作系统： Windows95或Windows NT3.51以上的版本。 2、 CPU 处理器：Intel 、Cyrix 或ADM586级以上的CPU 。 3、 硬盘空间： 具备有200MB 以上的硬盘空间才能使Mathematica 能正常地运算。 4、 内存空间： 至少具备32MB 内存空间，建议使用64MB 以上的内存空间。 2.2 Mathematica4.0的启动与退出 Mathematica4.0的启动有两种： 1、 双击Windows 桌面上的快捷方式可启动Mathematica4.0； 单击：开始→程序→Mathematica4→Mathematica4可以启动Mathematica4； 启动Mathematica4后主程序会打开一个新的工作窗口，如下图所示： Mathematica4的退出： 1、 单击标题栏右边的关闭按钮； 2、 单击：File 菜单下的Exit 也可退出Mathematica4； 图2.1
第零讲Mathematica软件使用简介 一、系统概述 Mathematica是美国Wolfram研究公司开发的一个功能强大的计算机数学软件系统，也称为符号计算系统。Mathematica提供了范围广泛的数学计算功能，支持在各个领域的人们所需要的各种计算。它是从事各种理论工作（数学、物理、……）的科学工作者、从事实际工作的工程技术人员、以及学校教师和学生的首选计算平台。 Mathematica的主要功能包括三个方面：符号演算、数值计算和图形技术。例如，它可以做多项式的各种计算（四则计算、展开、因式分解等）；求整式方程、有理式方程和的等的精确解和近似解；数值的或一般表达式的向量和矩阵的各种计算；求一般函数表达式的极限、导函数、积分、幂级数展开、求解某些微分方程等；任意位的整数的精确计算、分子分母为任意非零整数的有理数的精确计算（四则计算、乘方等）以及任意位精确度的数值（实数值或复数值）计算。使用Mathematica还可以非常方便地作出以各种方式表示的一元和二元函数的图形，可以根据需要自由选择画图的范围和精确度。因此，Mathematica的出现所带来的思维和解题工具的革新必将对各种需要数学计算和绘制函数图形的工作领域产生深远的影响。 Wolfram研究公司自从1988年推出Mathematica系统的1.0 DOS版本以来，历经多次升级和改版，目前已发出For Windows的 5.0版本。本精品课程主要以Mathematica4.2 for Microsoft Windows版本为例简要介绍该系统的功能及其应用。 1．Mathematica的工作环境 Mathematica的运行环境 要成功安装并稳定地运行Mathematica for Windows4.2，用户的计算机必须满足以下基本配置条件： ·P3或更高型号处理器的个人或多媒体计算机； ·Microsoft Windows98、Windows2000、Windows XP或以上版本； ·硬盘空间至少200MB，建议1GB以上 Mathematica的工作窗口及使用 运行Mathematica系统后，将出现下图所示的主窗口：
new logo [编辑本段] Mathematica的历史 人们常说，Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。自从上世纪六十年代以来，在数值、代数、图形、和其它方面一直有个别的软件包存在。但是，Mathematica的基本概念是用一个连贯的和统一的方法创造一个能适用于科技计算各个方面的软件系统。实现这一点的关键之处是发明了一种新的计算机符号语言。这种语言能仅仅用很少量的基本元素制造出广泛的物体，满足科技计算的广泛性。这在人类历史上还是第一次。 当Mathematica1.0版发布时，《纽约时代报》写道：“这个软件的重要性不可忽视”；紧跟着《商业周刊》又将Mathematica评比为当年十大最重要产品。在科技界，Mathematica 被形容为智能和实践的革命。 Mathematica 应用广泛 最初，Mathematica的影响主要限于物理学、工程学、和数学领域。但是，随着时间的变化，Mathematica在许多重要领域得到了广泛的应用。现在，它已经被应用于科学的各个领域--物理、生物、社会学、和其它。许多世界顶尖科学家都是它的忠实支持者。它在许多重要的发现中扮演着关键的角色，并是数以千计的科技文章的基石。在工程中，Mathematica已经成为开发和制造的标准。世界上许多重要的新产品在它们的设计某一阶段或其它阶段都依靠了Mathematica的帮助。在商业上，Mathematica在复杂的金融模型中扮演了重要的角色，广泛地应用于规划和分析。同时，Mathematica也被广泛应用于计算机科学和软件发展：它的语言元件被广泛地用于研究、原型、和界面环境。 Mathematica的用户群中最主要的是科技工作者和其它专业人士。但是，Mathematica 还被广泛地用于教学中。从高中到研究生院的数以百计的课程都使用它。此外，随着学生版的出现，Mathematica已经在全世界的学生中流行起来，成为了一个著名的工具。 Mathematica的开发工作是由世界级的队伍组成的。这支队伍自从成立以来一直由史蒂芬·沃尔夫勒姆领导。Mathematica的成功使得公司能够集中注意力在非常长远的目标上，运行独特的研发项目，以及通过各种各样的免费网站支持世界各地的知识爱好者。 长期以来，Mathematica核心设计的普遍性使得其涉及的领域不断增长。从刚开始是一个主要用于数学和科技计算的系统，到现在发展成许多计算领域的主要力量，Mathematica 已经成为世界上最强大的通用计算系统。 -------------------------------------------------------------------------------------- 官方网站∶https://www.doczj.com/doc/2719341764.html, -------------------------------------------------------------------------------------- [编辑本段] Mathematica 基本运算 a+b+c 加 a-b 减
Mathematica数学实验 东南大学数学系高等数学教研室 2010. 10
Mathematica软件简介 Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的著名数学软件，它的主要功能是给人们提供一个方便的数学计算平台。了解并掌握它的各种功能，有利于激发我们学习、应用数学的兴趣，能够使复杂的数值计算和符号运算方便、快捷，有助于我们学好数学，用好数学。 一、Mathematica的主要功能 1、符号运算功能：Mathematica最突出的特点就是具有强大的符号运算功能，能和人一样进行带字母的运算，得到精确的结果。符号运算功能可以分成4大类： （1）初等数学：进行各种数和初等函数式的计算与化简。 （2）微积分：求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等）、不定积分和定积分（包括多重积分），将函数展成幂级数，进行无穷级数求和及积分变换。 （3）线性代数：进行行列式的计算、矩阵的各种运算（加法、乘法、求逆矩阵等）、解线性方程组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。 （4）解方程组：解各类方程组（包括微分方程组）。 2、数值计算功能：可以做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数）计算。Mathematica具有众多的数值计算函数，能满足线性代数、插值与拟合、数值积分、微分方程数值解、求极值、线性规划及概率统计等方面的常用计算需求。 3、绘图功能：能绘制各种二维平面图形与全方位的三维立体彩色图形，自动化程度很高。 4、编程功能：用户可以自己编写各种程序（文本文件），开发新的功能。 二、基本知识 1、启动与运行方法 Mathematica作为标准的Windows程序，其启动方式与Windows下其它程序的启动方式一样。启动后出现的Mathematica界面如图1所示。Mathematica的界面由工作区窗口、基本 图1 输入模板和主菜单组成。左边为工作窗口区，可以直接输入函数或命令；工作区窗口右边的
mathematica参数范围 【原创实用版】 目录 1.Mathematica 简介 2.参数范围的概念 3.Mathematica 中的参数范围设置方法 4.参数范围的应用实例 5.总结 正文 1.Mathematica 简介 Mathematica 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程设计以及教育等领域。它拥有丰富的函数库和强大的计算能力，可以方便地解决各种数学问题。 2.参数范围的概念 在 Mathematica 中，参数范围是指在计算过程中所涉及到的变量取值范围。参数范围的设置有助于提高计算的准确性和效率，避免无效计算和错误结果。 3.Mathematica 中的参数范围设置方法 在 Mathematica 中，可以通过以下几种方法设置参数范围： (1) 使用 Domain 函数：Domain 函数可以用于指定函数的定义域，从而限制函数的参数范围。例如，对于函数 f(x)=1/x，我们可以使用Domain 函数指定其定义域为 x≠0，从而限制 x 的取值范围。 (2) 使用 Region 函数：Region 函数可以用于创建一个二维或三维的区域表示参数范围。例如，我们可以创建一个表示 x 和 y 都大于 0
的区域，然后使用该区域作为函数的参数范围。 (3) 使用条件语句：在 Mathematica 中，我们可以使用条件语句（如If、While 等）来根据参数的取值范围执行不同的计算步骤，从而实现参数范围的控制。 4.参数范围的应用实例 假设我们要计算一个复合函数 f(g(x)) 的值，其中 x 的取值范围是[0, π]，g(x) 的取值范围是 [0, 1]，f(x) 的取值范围是 [0, π]。在这种情况下，我们可以通过设置参数范围来避免无效计算和错误结果。具体操作如下： (1) 计算 g(x) 的值域，得到参数范围{x, g(x)} (2) 根据 g(x) 的值域，计算 f(g(x)) 的定义域，得到参数范围{x, f(g(x))} (3) 使用 Domain 函数限制 f(g(x)) 的参数范围，得到最终的计算结果 5.总结 通过使用 Mathematica 设置参数范围，我们可以有效地提高计算的准确性和效率，避免无效计算和错误结果。
mathematica对数函数 Mathematica是一种功能强大的数学计算软件，它提供了多种对数函 数的功能和应用。对数函数常见的有自然对数函数（ln(x)）、常用对数 函数（log10(x)）等。此外，Mathematica还提供了一些其他变形和特殊 类型的对数函数，如指数对数函数（ExpIntegralEi(x)）、罗氏对数函数（LogisticSigmoid[x]）等。在下面的文章中，将介绍Mathematica中对 数函数的基本用法和一些高级应用。 自然对数函数是以自然对数e为底数的对数函数。在Mathematica中，自然对数函数表示为Log[x]。例如，要计算ln(2)，可以使用Log[2]。Mathematica还提供了对自然对数函数的各种基本操作和运算，如计算对 数函数的导数、积分、级数展开等。 使用Mathematica计算自然对数函数的导数非常简单。可以使用D函 数来表示对数函数的导数，如D[Log[x], x]表示对ln(x)求导。例如， D[Log[x], x]的结果是1/x。可以将这个结果用于其他数学计算中。 Mathematica还提供了计算对数函数的积分的功能。可以使用Integrate函数来表示对数函数的积分，如Integrate[Log[x], x]表示对 ln(x)积分。计算这个积分的结果是x * ln(x) - x。可以通过将积分结 果用于其他数学计算中。 在一些应用中，需要对对数函数进行级数展开。可以使用Series函 数来表示对数函数的级数展开，如Series[Log[x], {x, 1, 5}]表示对 ln(x)在x=1处展开为前5项级数。通过这个级数展开，可以近似计算对 数函数的值。
mathematica参数范围 Mathematica是一种功能强大的数学软件，具有广泛的应用领域。本文将围绕Mathematica的参数范围展开，介绍其在数学建模、数据分析和图形绘制等方面的应用。 一、数学建模 在数学建模中，Mathematica的参数范围可以帮助我们确定问题的解集、函数的定义域和值域等。例如，我们可以使用Mathematica 来求解一个多元函数的最优解。通过设定参数范围，我们可以找到函数在该范围内的最大值或最小值，并得到相应的参数取值。 二、数据分析 Mathematica的参数范围对于数据分析是非常重要的。我们可以使用Mathematica来对数据进行可视化分析，并通过设定参数范围来筛选出符合条件的数据。例如，在气象数据分析中，我们可以设定参数范围为温度在20℃到30℃之间，湿度在60%到80%之间，从而得到符合这一范围的气象数据。 三、图形绘制 Mathematica的参数范围对于图形绘制也起到了至关重要的作用。我们可以使用Mathematica绘制各种复杂的图形，如函数图像、曲线图、三维图等。通过设定参数范围，我们可以控制图形的形状、大小和颜色等属性，从而得到符合我们需求的图形。
四、科学计算 Mathematica作为一款科学计算软件，可以进行各种数值计算和数学推导。在科学计算中，参数范围的设定对于结果的准确性和可靠性非常重要。例如，在微积分中，我们可以通过设定参数范围来计算函数的导数、积分和极限等。 五、工程应用 Mathematica的参数范围在工程应用中也有着广泛的应用。例如，在电路设计中，我们可以使用Mathematica来计算电路中的电流、电压和功率等参数。通过设定参数范围，我们可以得到电路在不同工作状态下的性能指标，从而指导工程设计和优化。 六、教学辅助 Mathematica的参数范围在教学辅助中也有着重要的作用。教师可以使用Mathematica来演示数学问题的解法，通过设定参数范围来帮助学生理解和掌握知识。例如，在解二次方程时，我们可以使用Mathematica来演示不同参数范围下解的情况，从而帮助学生更好地理解解的过程。 总结起来，Mathematica的参数范围在数学建模、数据分析、图形绘制、科学计算、工程应用和教学辅助等方面都具有重要的应用价值。通过设定参数范围，我们可以得到符合需求的解集、数据集、图形和计算结果，从而帮助我们更好地理解和解决问题。正是由于
mathematica对数运算 摘要： 1.Mathematica 简介 2.对数运算的定义与性质 3.Mathematica 中的对数运算函数 4.Mathematica 中对数运算的实例 5.总结 正文： 1.Mathematica 简介 Mathematica 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程应用和数学教育等领域。它具有丰富的函数库和强大的计算能力，可以方便地处理各种复杂的数学问题。 2.对数运算的定义与性质 对数运算是数学中一种重要的运算方式，其基本概念包括对数、底数、指数等。对数运算具有如下性质： (1) 幂运算与对数运算互为逆运算，即a^b = c 等价于b = log_a(c)。 (2) 对数运算具有乘法公式，即log_a(b^c) = c*log_a(b)。 (3) 对数运算具有除法公式，即log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)。 3.Mathematica 中的对数运算函数 在Mathematica 中，有多种对数运算函数可供选择，如自然对数函数（Log）、以2 为底的对数函数（Log2）、以10 为底的对数函数（Log10）
等。这些函数的用法如下： (1) 自然对数函数：Log[x]，如Log[e] 表示自然对数的底数e 的对数。 (2) 以2 为底的对数函数：Log2[x]，如Log2[2] 表示2 的对数。 (3) 以10 为底的对数函数：Log10[x]，如Log10[100] 表示10 的对数。 4.Mathematica 中对数运算的实例 下面通过一个简单的实例来说明如何在Mathematica 中使用对数运算：假设我们要求解以下等式：2^log_2(8) = 4，我们可以使用以下步骤： (1) 在Mathematica 中输入2^log_2(8)=4，然后按Enter 键。 (2) Mathematica 将自动计算等式左侧的值，得到8。 (3) 我们可以进一步求解log_2(8) 的值，输入Log2[8]，得到结果为3。 5.总结 通过对Mathematica 中对数运算的学习，我们可以发现，这款软件具有强大的计算能力，可以方便地处理各种复杂的数学问题。
mathematica 特征向量 Mathematica是一种强大的数学软件，广泛应用于科学、工程和数学等领域。它具有丰富的功能和强大的计算能力，可以帮助研究人员进行各种数学计算和数据分析。在数学中，特征向量是一个重要的概念，它在线性代数和矩阵理论中起着关键的作用。本文将以Mathematica中的特征向量计算为主题，一步一步地介绍特征向量的概念和计算方法。 首先，我们来了解一下特征向量的定义。在线性代数中，给定一个方阵A，非零向量v称为矩阵A的特征向量，如果满足以下条件： A*v = λ*v 其中λ是一个标量，称为特征值。特征值和特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。特征向量描述了矩阵A在变换空间中的方向。 在Mathematica中，要计算一个矩阵的特征向量，可以使用函数Eigenvectors。这个函数的用法非常简单，只需要将待计算的矩阵作为参数传入即可。下面是一个示例： matrix = {{1, 2}, {2, 1}}; vectors = Eigenvectors[matrix]
这段代码计算了一个2x2矩阵的特征向量。运行后，Mathematica会返回一个包含特征向量的列表。对于这个示例矩阵，Mathematica返回了两个特征向量。 接下来，我们可以使用特征向量和特征值的性质来进一步分析矩阵的性质。特征向量具有以下性质： 1. 特征向量可以进行线性组合。如果v1和v2是矩阵A的特征向量，那么任意常数c1和c2的线性组合c1*v1 + c2*v2也是矩阵A的特征向量。这个性质对于矩阵的对角化和求解微分方程等问题非常有用。 2. 特征向量对应的特征值可以用于计算矩阵的幂。具体来说，对于方阵A 的特征向量v和特征值λ，有A^n*v = λ^n*v。这个性质在计算矩阵的高阶幂时非常重要。 在Mathematica中，我们可以使用特征向量和特征值的性质进行更深入的计算和分析。例如，我们可以使用特征向量将一个矩阵对角化。对角化是将一个矩阵表示为对角矩阵的形式，这样可以简化矩阵的计算和求解。Mathematica提供了函数Diagonalize来实现对角化。下面是一个示例： matrix = {{1, 2}, {2, 1}}; {diagonalMatrix, transformationMatrix} = Diagonalize[matrix]
mathematica运算 Mathematica是一种功能强大的数学软件，可以进行各种数学运算和数据分析。本文将以Mathematica运算为主题，介绍一些Mathematica的常用功能和应用。 Mathematica可以进行基本的数学运算，如加减乘除、幂运算等。例如，我们可以使用Mathematica计算两个数的和： ``` a = 5; b = 3; c = a + b; ``` 运行以上代码，Mathematica会计算出5和3的和，并输出结果8。这样，我们可以很方便地进行数值计算。 除了基本的数学运算，Mathematica还支持符号计算。符号计算可以处理未知数和符号表达式，进行代数运算和求解方程。例如，我们可以使用Mathematica求解一元二次方程： ``` Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x] ```
运行以上代码，Mathematica会求解出一元二次方程的解，并输出结果。这样，我们可以利用Mathematica进行数学推导和解题。Mathematica还包含了丰富的绘图功能。我们可以使用Mathematica 绘制各种数学函数的图像，如线性函数、三角函数、指数函数等。例如，我们可以使用Mathematica绘制正弦函数的图像： ``` Plot[Sin[x], {x, 0, 2*Pi}] ``` 运行以上代码，Mathematica会绘制出正弦函数的图像，并显示在画布上。这样，我们可以直观地观察函数的性质和变化。 除了数学运算和绘图功能，Mathematica还可以进行数据分析和统计。我们可以使用Mathematica导入外部数据，进行数据处理和分析。例如，我们可以使用Mathematica读取Excel文件中的数据，并进行统计分析： ``` data = Import["data.xlsx", "Data"]; mean = Mean[data]; stddev = StandardDeviation[data]; ```
mathematica 一些方法归纳 Mathematica是一种功能强大的数学软件，它提供了许多方法和函数，帮助用户进行各种数学计算和数据分析。本文将介绍一些常用的Mathematica方法，包括符号计算、数值计算、数据可视化等方面，以帮助读者更好地了解和使用这个工具。 一、符号计算 符号计算是Mathematica的一大特点，它可以处理符号表达式，进行代数运算、求解方程、展开化简等操作。Mathematica提供了一系列函数来进行符号计算，如Simplify、Expand、Factor等。例如，使用Simplify函数可以对复杂的表达式进行简化，使其更加清晰易懂；使用Expand函数可以展开多项式，方便后续的计算和分析。 二、数值计算 除了符号计算，Mathematica还提供了丰富的数值计算方法。它支持各种数值积分、微分方程求解、数值优化等操作。例如，使用NIntegrate函数可以进行数值积分，得到函数的数值近似值；使用NDSolve函数可以求解常微分方程的数值解；使用FindMinimum函数可以进行数值优化，寻找函数的最小值。 三、数据可视化 Mathematica提供了强大的数据可视化功能，可以将数据以直观的
图表形式展示出来。它支持绘制线图、柱状图、散点图、等高线图等各种类型的图表。用户可以通过调整参数、添加标签、设置样式等方式，定制自己想要的图表效果。例如，使用ListPlot函数可以绘制一组数据的散点图；使用Plot函数可以绘制函数的曲线图。 四、统计分析 Mathematica还提供了丰富的统计分析方法，可以进行统计推断、假设检验、回归分析等操作。它支持计算均值、方差、相关系数等统计量，进行参数估计和假设检验，以及拟合模型和预测等。例如，使用Mean函数可以计算一组数据的均值；使用LinearModelFit函数可以进行线性回归分析。 五、图像处理 Mathematica还可以进行图像处理，包括图像读取、显示、调整大小、滤波等操作。它支持各种图像文件格式，可以对图像进行旋转、缩放、裁剪等操作，还可以应用不同的滤波器进行图像增强和去噪。例如，使用Import函数可以读取图像文件；使用ImageResize函数可以调整图像大小；使用ImageFilter函数可以对图像进行滤波处理。 六、机器学习 Mathematica还提供了一些机器学习的功能，可以进行数据挖掘、
mathematica字符 Mathematica是一款强大的数学软件，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。它的字符系统非常丰富，可以表示各种数学符号、函数、变量等。下面将详细介绍Mathematica中的一些常用字符及其用法。 变量和函数：在Mathematica中，变量和函数都以字母或符号表示。变量通常以小写字母开头，而函数则以大写字母开头。例如，x、y、z等表示变量，而Sin、Cos、Exp等表示函数。用户还可以自定义函数，通过给函数名赋值来实现。 数学符号：Mathematica支持各种数学符号，如加号（+）、减号（-）、乘号（*）、除号（/）等。此外，它还支持根号（√）、积分（∫）、微分（d/dx）等特殊符号。这些符号可以直接在代码中使用，使得数学表达式更加简洁明了。 希腊字母和特殊字符：Mathematica还支持各种希腊字母和特殊字符，如α、β、γ、π、ε等。这些字符在数学、物理等领域中经常使用，通过Mathematica可以轻松地输入和显示它们。 矩阵和向量：Mathematica中的矩阵和向量使用方括号（[]）表示。矩阵中的元素用逗号或分号分隔，而行与行之间则用分号或换行符分隔。向量可以看作是一维矩阵，其表示方法与矩阵类似。 上下标和分数：在Mathematica中，可以使用上划线（^）表示上标，使用下划线（_）表示下标。例如，x^2表示x的平方，x_1表示第一个x。分数则可以使用斜杠（/）表示，如1/2表示二分之一。 除了以上介绍的常用字符外，Mathematica还支持许多其他字符和符号，如逻辑符号（&&、||、~等）、关系符号（=、<>、>=等）等。这些字符为用户提供了丰富的数学表达手段，使得在Mathematica中进行数学计算和建模变得更加方便和高效。 总之，Mathematica的字符系统非常丰富和强大，可以满足用户在数学、物理、工程等领域中的各种需求。通过熟练掌握这些字符和符号的用法，用户可以更加高效地进行数学计算和建模工作。
mathematica数值计算Mathematica是一款强大的数学计算软件，可以进行各种数值计算和符号计算。本文将介绍Mathematica在数值计算方面的应用。 一、数值计算的基础 在Mathematica中，我们可以使用各种内置函数进行数值计算。比如，我们可以使用N函数将一个表达式或方程转化为数值，并指定精度。例如，我们可以计算sin(π/4)的数值： N[Sin[π/4]] 结果为0.707107。 二、数值积分 Mathematica提供了强大的数值积分功能。我们可以使用NIntegrate函数对函数进行数值积分。例如，我们可以计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的积分： NIntegrate[x^2, {x, 0, 1}] 结果为0.333333。 三、数值方程求解 Mathematica还可以解决各种数值方程。我们可以使用NSolve函数对方程进行数值求解。例如，我们可以求解方程x^2 - 2x + 1 =
0的解： NSolve[x^2 - 2x + 1 == 0, x] 结果为{{x -> 1}}，即方程的解为x=1。 四、数值优化 Mathematica也可以进行数值优化。我们可以使用NMinimize函数对一个函数进行最小化。例如，我们可以求解函数f(x) = x^2的最小值： NMinimize[x^2, x] 结果为{x -> 0.}，即函数的最小值为0。 五、数值微分 Mathematica还提供了数值微分的功能。我们可以使用ND函数对函数进行数值微分。例如，我们可以计算函数f(x) = x^2的导数在x=1的值： ND[x^2, x, 1] 结果为2，即函数在x=1处的导数为2。 六、数值级数求和 Mathematica可以对级数进行数值求和。我们可以使用NSum函
mathematica 数据类型 Mathematica是一个非常强大而又广泛应用的计算机代数系统， 它的数据结构和数据类型非常丰富，能够满足大多数数学问题的需求。本文将着重介绍一下Mathematica的数据类型。 1. 数字类型：Mathematica中的数字类型包括整型、浮点型、有理数型、复数型和大数据型。我们可以使用Integer、Real、Rational、Complex、Bigint等等函数来创建数字类型的对象，这些函数具有各自不同的含义和作用。 2. 符号类型：Mathematica中的符号类型包括变量、函数和符号表达式。可以使用字母、数字、关键字等来定义变量和函数，这些符 号可以被赋值、求导、积分和运算等。符号表达式是由一系列符号按 照一定的方式组成的表达式，例如x+2或Sin[x]。 3. 列表类型：Mathematica中的列表类型和向量类型是非常重要的。我们可以使用List或者{}来定义一个列表，其中可以存储数字、 符号、函数等类型的对象。Mathematica支持任意维度的列表类型，可以进行加法、乘法、切片、拼接、扩展等操作。 4. 字符串类型：Mathematica中的字符串类型是用引号括起来的一串字符，例如"Hello, World"。字符串类型支持字符串的拼接、替换、分割、格式化等常见操作。 5. 图形类型：Mathematica中的图形类型非常丰富，可以生成各种类型的图形，包括平面图形、三维立体图形、动态交互图形等等。 我们可以使用Plot、ListPlot、Manipulate、Graphics等函数来进行 图形的生成和处理。 6. 符号类型：Mathematica还提供了一系列特殊的类型和对象，包括符号、表格、时间序列、关系型对象、图形操作等等。这些类型 和对象可以有效地处理和分析各种类型的数据，满足各种实际问题的 需求。 在使用Mathematica进行数据处理和分析时，了解和掌握不同数
mathematica特征值 摘要： 1.数学软件Mathematica 简介 2.特征值的概念和应用 3.Mathematica 求解特征值的方法 4.应用示例 正文： 一、数学软件Mathematica 简介 Mathematica 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程设计以及教育等领域。它具有丰富的函数库，可以进行各种数学运算、数据分析、可视化以及编程等操作。在数学领域，Mathematica 可以方便地解决微积分、线性代数、概率论等课程中的问题，使得学习者可以更加高效地理解和掌握数学知识。 二、特征值的概念和应用 特征值是线性代数中一个重要的概念，它与特征向量一起可以用来描述线性变换的性质。对于给定的矩阵A，如果存在非零向量x 和标量λ，使得Ax=λx，那么λ就称为矩阵A 的特征值，x 称为对应于特征值λ的特征向量。特征值在许多实际问题中都有广泛的应用，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域。 三、Mathematica 求解特征值的方法 在Mathematica 中，可以使用命令“Eigenvalues”来求解特征值。该
命令接受一个矩阵作为输入，并返回一个列表，其中包含矩阵的所有特征值。具体的使用方法如下： ```Mathematica Eigenvalues[matrix] ``` 其中，matrix 表示输入的矩阵。例如，对于一个3x3 的矩阵A，可以这样求解其特征值： ```Mathematica A = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}; eigenvalues = Eigenvalues[A]; Print[eigenvalues] ``` 执行上述代码后，会输出矩阵A 的特征值。 四、应用示例 下面我们通过一个具体的例子来说明如何在Mathematica 中求解特征值。假设有一个二维的弹性梁模型，其运动方程如下： ```Mathematica y""[x] == -k*y[x] ``` 其中，y[x] 表示梁在x 处的位移，y""[x] 表示梁在x 处的加速度，k 为弹性系数。为了求解该方程的特征值和特征向量，我们可以首先定义一个函数，然后将其作为输入传递给Eigenvalues 命令：