经典几何中线段和差最值(含答案)-(2)
几何中线段和，差最值问题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
轴对称最值图形
l
P
B
A
N
M l
B
A
A
P
B
l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定
直线，P为直线l上
的一个动点，求
AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直
线，MN为直线l上的
一条动线段，求
AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定
直线，P为直线l上的
一个动点，求|AP-BP|
的最大值
转化
作其中一个定点关
于定直线l的对称点
先平移AM或BN使
M，N重合，然后作其
中一个定点关于定直
线l的对称点
作其中一个定点关于
定直线l的对称点
折叠最值图形
B'
N
M
C
A
B
原理两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值
3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|PA ﹣PB |
的最大值为 5
．
D P
B′N B
M
A
4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．
5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 8-54 ．
6．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为 12 ．
7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE
长的最小值是
2 ．
8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为3．
9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是≤
2BB′+CC′+DD′2
≤．
10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 ．11．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA PB
-的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP OQ
?＝3．
第11题图第12题图
12.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为__2.4_______．
13.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是_1
3+_______.若将△ABP中边PA的长度改为2
2，另两边长x
O
A
B
y
A
B C
E
F
M
度不变，则点P 到原点的最大距离变为___15+______．
14.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．
解答题：
1. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在
线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ． （1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ≤34-8PD 4≤ ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？ 8-54
2. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不
含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .
A
B C D P F
E D C
B
A A B
C
D E
F
P A B
O P
x
y A
D
C
B
P
Q A'
（1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；中点
（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由.EC 与BD 的交点为M
连接MN ，则三角形BMN 为等边三角形，?BMC ? ?BMA ??BNE,所以MC=MA=EN,即AM ＋BM ＋CM=EN+MN+MC,AM ＋BM ＋CM 的值最小时，E,N,M,C 四点在同一直线上
3. 如图，已知平面直角坐标系中A ，B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）.
（1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝_2
7
_______时，△PAB 的
周长最短；
（2）若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝__4
5
______
时，四边形ABDC 的周长最短；
（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请写出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.
B
A O
x y
B
A O
x y
y
x O
A B
m=
2
5,n=35
-
A
B
C
D
E
M N
A
B
C
D
E
M N
课堂作业：
几何中的最值问题
1． 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =90°，AB =6，对角线AC 平分
∠BAD ，点E 在AB 上，且AE =2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是____102______．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2． 在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC
上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为________15+____cm （结果不取近似值）.
3． 如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB =a ．将△ABO 沿BO 对
折于△A ′BO ，点M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为
a ）（
4
2-46 ． 4． 如图，在锐角△ABC 中，42AB =∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC
于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为______4_____．
5． 在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，P 、Q 两点分别是边AC 、BC
上的动点，将△PCQ 沿PQ 翻折，C 点的对应点为C'，连接A C'，则A C'的最小值是_2________．
6． 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y
轴上，当点A 在x 轴上
运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 222+ .
C
D
Q
P
B
A P
E
D C B A
60°A'45°
M
O
D
B
A
N
M
A
B
D
C
C'
C
Q
P B
A
第6题图
7． 一次函数y 1=kx -2与反比例函数y 2=m
x
（m <0）的图象交于A ，B 两点，其
中点A 的坐标为（-6，2）
（1）求m ，k 的值；m=-12,k=-3
2
（2）点P 为y 轴上的一个动点，当点P 在什么位置时|PA -PB | 的值最大？并求出最大值.53
8． 已知点A （3，4），点B 为直线x =-1上的动点，设B （-1，y ）．
（1）如图1，若点C （x ，0）且-1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数
关系式；y=4
3
242++-x x
（2）如图2，当点B 的坐标为（-1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF =1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的
周长最小？求出此时点E 的坐标．(53
图1 图2
A y
x O C
B B (-1,1)D O
E F A
y x
x=-1x y
O C B
D A
几何最值问题 一．选择题（共6小题） 1．（2015?孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（） 3 AE==3， ． 2．（2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） 5050+50
LN=AS==40 MN==50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 =50 3．（2014秋?贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）
4．（2014?无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（） C OE=AE=AB=× AD=BC= DE= ADE==， =
DF=， OA=AD= 5．（2015?鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（） C D ，连结，此时四 ，连结MN= =， =， ，
PC= PDC==． 6．（2015?江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE 为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（） C BG AD=BD=AB=3 CE=
初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（ 对称轴为：动点所在的直线上） 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 m m A B m B m A B m
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： n m n n m n n n m
（4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、 m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 填空：最短周长=________________ 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、 n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： m n m n m n m
（二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度 m m m m
专题25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证． 2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理． 3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等． 例题与求解 【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题） 解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值． 【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题） A D N 解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小． 【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题） D
5W2H分析法--案例分析 企业管理 2008-08-25 14:50 阅读936 评论8 字号：大中小 “5W”是五个英文字母的词头，即“WHAT、WHO、WHEN、WHERE、WHY”，翻译成汉语就是“何事、何人、何时、何地，何因”，这原本是新闻写作的五大要素，外资企业现在也将此要求用于企业管理，并在“5 W”的基础上再加上了“2H”，“2H”也是两个英文单词的词头，即“HOW DO、HOW MUCH”，翻译成汉语是 “怎样做、需要花费多少钱”。 “5W2H”还是所有外资企业的管理者在提交报告时不可缺少的内容，如果一份报告中没有这些内容，或者这些内容交代得不清楚，那么绝对不会是一份质量高的工作报告。 5W2H分析法又叫七何分析法，5W2H法是第二世界大战中美国陆军兵器修理部首创。简单、方便，易于理解、使用，富有启发意义，广泛用于企业管理和技术活动，对于决策和执行性的活动措施也非常有帮助， 也有助于弥补考虑问题的疏漏。 （1）WHY——为什么为什么要这么做理由何在原因是什么 （2）WHAT——是什么目的是什么做什么工作 （3）WHERE——何处在哪里做从哪里入手 （4）WHEN——何时什么时间完成什么时机最适宜 · （5）WHO——谁由谁来承担谁来完成谁负责 （6）HOW——怎么做如何提高效率如何实施方法怎样（7）HOW MUCH——多少做到什么程度数量 如何质量水平如何费用产出如何 发明者用五个以w开头的英语单词和两个以H开头的英语单词进行设问，发现解决问题的线索，寻找发明思路，进行设计构思，从而搞出新的发明项目，这就叫做5W2H法。 提出疑问于发现问题和解决问题是极其重要的。创造力高的人，都具有善于提问题的能力，众所周知，提出一个好的问题，就意味着问题解决了一半。提问题的技巧高，可以发挥人的想象力。相反，有些问题提出来，反而挫伤我们的想象力。发明者在设计新产品时，常常提出：为什么（Why）；做什么（What）；何人做（Who）；何时（When）；何地（Where）；如何（How）；多少（How much）。这就构成了5W2 H法的总框架。如果提问题中常有“假如……”、“如果……”、“是否……”这样的虚构，就是一种设问，设问需要 更高的想象力。 在发明设计中，对问题不敏感，看不出毛病是与平时不善于提问有密切关系的。对一个问题追根刨底，有可能发现新的知识和新的疑问。所以从根本上说，学会发明首先要学会提问，善于提问。阻碍提问的因素，一是怕提问多，被别人看成什么也不懂的傻瓜，二是随着年龄和知识的增长，提问欲望渐渐淡薄。如果提问得不到答复和鼓励，反而遭人讥讽，结果在人的潜意识中就形成了这种看法：好提问、好挑毛病的人是扰乱别人的讨厌鬼，最好紧闭嘴唇，不看、不闻、不问，但是这恰恰阻碍了人的创造性的发挥。
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
专题一.线段和（差）的最值问题 【知识依据】 1．线段公理——两点之间，线段最短； 2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线； 3．三角形两边之和大于第三边； 4．三角形两边之差小于第三边； 5、垂直线段最短。 一、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： P m A B m A B m A B P m A B A' n m A B Q P n m A B P'Q'
（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. n m A B Q P n m A B B'Q P n m A B B'A' n m A B m n A B E D m n A B A'B'm n A P Q m n A A'
二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动：点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： m n A P m n A B m n A P m n A A'B m O A P'P m O B A B' m O A P m O A B A'
几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． P A +P B 最小， 需转化， 使点在线异侧 B l
3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC 边 上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O
线段和（差）的最值问题 此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值 一、线段和最小值问题 若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）两侧/异侧型：定点A、 B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。（PA+PB=AB） （2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）： 一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。（PA+PB=PA’+PB=A’B） m A B P m A B 二、线段差最大值问题 若在一条直线m上，求一点P，使得最大 （1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。() （2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()
线段和最小值练习题 1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为. 3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 图1 图2 图3 图4 4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为． 5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是 7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为． 8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为cm．（结果不取近似值） 图5 图6 图7 9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．
专题10 几何最值问题【十二个基本问题】
1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（） A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm 第1题第2题第3题第4题2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（） A．2 B．C．D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（） A．10 B．8 C．5 3 D．6 5．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当AB＝4,BC＝4,CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长． （3）在（2）的条件下，求点B1到最短路径的距离． 6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P1、P2分别在OA、OB上，求作点P1、P2,使△PP1P2的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PP1P2的周长．
7．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． 第7题 第8题 第9题 8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ． 9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧⌒ AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ） A ．12 B ． 22 C ． 32 D ． 34 10．如图，已知抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． (1)抛物线及直线AC 的函数关系式； (2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； (4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
D C B A A B C D A B C D 几何中线段的最值问题 一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模 24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长； （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小. 2011丰台一模 25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数. A D B C
图1 图2 图3 （2）借助直角三角形性质求最值 （1）勾股定理 （2）直角三角形斜边中线等于斜边一半 （3）直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除 以斜边求得． 【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 【例2】如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A 在x轴上。 ②求出AC边上的高线BD的长度； ③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值； ④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。
学生做题前请先回答以下问题 问题1：几何综合的思考流程是什么？ 问题2：几何综合中常见结构、常用模型有哪些？ 问题3：直角的思考角度有哪些？ 边：____________________； 角：____________________； 面积：多个直角，把直角当作高，常考虑____________________； 固定模型和用法： ①直角+中点______________________； ②直角+特殊角____________________； ③直角+角平分线__________________； ④直角三角形斜边上的高___________； ⑤弦图结构； ⑥三等角模型； ⑦斜直角放正. 函数背景下考虑：______________________________； 圆背景下考虑：________________________________． 问题4：轴对称思考层次有哪些？ 问题5：旋转思考层次有哪些？ 问题6：圆的思考角度有哪些？ 几何综合及几何最值问题 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，沿△ABC的中线OC将△AOC折叠，使点A落在点D处．若CD⊥AB于点M，则tanA的值为( ) A. B.
C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 2.如图，BE，CF分别是△ABC两边上的高，M为BC的中点．若EF=6，BC=10，则△MEF的边ME上的高为( )
A. B. C.4 D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等面积法 3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为( ) A.24 B.36
几何图形中的最值问题 引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题： 1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5. 3.几何图形：①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段 最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 一、最小值问题 B镇 * A镇 ? ' -------------------------- '燃气管 例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。 解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM ?/ CD=BC=8,DM=2, /? MC=6, 在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10， ??? DN+MN勺最小值是10。 例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B 是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。 连OB oA, ???/ AMN=30B是弧AN的中点, ???/ BOA=30°,根据对称性可知 :丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, D D M B N A M O A
在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1, ??? A B =、2 即 PA+PB= 2 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P , 连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do 由轴对称的性质和三角形三边关系知 例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到D E 两点的距离之和最小，并求出最小值。 解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ??? E(-1,-4), ? M(-4,-1), 过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1), 在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, ? MD= 5? 2 = .. 29。 ???最小值是.29 。 练习 1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 底面周长为18cm,在杯内离 杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm I I \ 41 订一干 4 / > is 【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点 A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,
5W2H分析方法 前言 在企业管理或者生活中我面临： 对问题不敏感，视问题为常态或者看不出毛病，这往往与平时不善于提问有密切关系的。如果我们对一个问题追根刨底，有可能发现新的知识和新的疑问。 所以：从根本上说，学会发明或设计首先要学会提问，善于提问。 现在阻碍提问的因素： 一是怕提问多，被别人看成什么也不懂的傻瓜： 二是随着年龄和知识的增长，提问欲望渐渐淡薄。 如果提问得不到答复和鼓励，反而遭人讥讽，结果在潜意识中就形成了这种看法：好提问、好挑毛病的人是扰乱别人的讨厌鬼，最好紧闭嘴唇，不看、不闻、不问，但是这恰恰阻碍了人的创造性的发挥。 5w2H的定义 5w2H分析法又叫七何分析法，5w2H法是第二世界大战中美国陆军 兵器修理部首创。 5w2H分析法简单、方便，易于理解、使用，富有启发意义，广泛用于企业管理和技术活动，对于决策和执行性的活动措施也非常有帮助，也有助于弥补考虑问题的疏漏。 如图：发明者用五个以W开头的英语单词和两个以H开头的英语单 词进行设问。发现解决问题的线索，寻找出创新和发明新项目的思路，更进一步进行设计构思，从而搞出新的发明项目，这就叫做5w2H法
5W分别是： 1) Why：为什么？为什么要这么做？理由何在？原因是什么？ 2) What：是什么？目的是什么？做什么工作？ 3) Where：何处？在哪里做？从哪里入手？ 4) When：何时？什么时间完成？什么时机最适宜？ 5) Who：谁？由谁来承担？谁来完成？谁负责？ 2H分别是： 1) How：怎么做？如何提高效率？如何实施？方法怎样？ 2) How much：多少？做到什么程度？数量如何？质 量水平如何？费用产出如何？
线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图1 图2 图3 例题解析 例? 如图1-1，抛物线y ＝x 2 －2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点P 的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此PA ＋PC 最小，△PAC 的周长也最小． 由y ＝x 2 －2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)． 图1-2 图1-3 例?如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．
几何中线段的最值问题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
D C B A A B C D A B C D 几何中线段的最值问题 一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模 24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长； （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小. 2011丰台一模 25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数. A D B C
图1 图2 图3 （2）借助直角三角形性质求最值 （1）勾股定理 （2）直角三角形斜边中线等于斜边一半 （3）直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长 度可以用两直角边乘积除以斜边求得． 【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 【例2】如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A 在x轴上。 ②求出AC边上的高线BD的长度； ③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值； ④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。 2011海淀一模
求线段和（差）的最值问题 【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短 一、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： m m A B m A B m n m n
（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. n m A n n n m
二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： m n m n m n m m m m m
D C B A A B C D A B C D 几何中线段的最值问题 一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模 24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长； （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小. 2011丰台一模 25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数. 图1 图2 图3 （2）借助直角三角形性质求最值 （1） 勾股定理 （2） 直角三角形斜边中线等于斜边一半 （3） 直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角 形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得． A D B C
【例1】 如图，在ΔABC 中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 【例2】 如图，△ABC 是边长为定值m 的正三角形，C 点与原点重合，点B 在第一象限点，点A 在x 轴上。 ② 求出AC 边上的高线BD 的长度； ③ 当点C 在y 轴的正半轴滑动时，试求出点O 到CA 距离的最大值； ④ 已知点P 是△ABC 切圆的圆心，请求出OP 的最大值。 2011海淀一模 25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12 . 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示． 求证：BE -DE =2CF ； （3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点， 求线段CF 长度的最大值． 2010海淀一模 25.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点. B C A D E F B D E A F C B A C 1图2图备图
轴对称中几何动点最值问题 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
轴对称中几何动点最值问题总结 轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个： （1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边； （3）垂线段最短。 初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。 （1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点） 问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。 核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。 方法：1.定点过动点所在直线做对称。 2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。 变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2） 一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点） 问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。 核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。 变异类型： 1.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△PAB 的周长最小。 2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。 （3） 两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点） 问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。 核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
初中几何中线段和（差)的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析: 一)、已知两个定点： １、在一条直线m 上,求一点Ｐ，使P Ａ+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： (２）点A 、B 在直线同侧: 2、在直线m 、n 上分别找两点Ｐ、Ｑ，使ＰＡ+P Ｑ+QB 最小。 （１）两个点都在直线外侧： (2）一个点在内侧,一个点在外侧: (３)两个点都在内侧： m m B m A B m n m n n m n n n m
(４)、台球两次碰壁模型 变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧， 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA ＋PQ+Q Ａ周长最短． 二)、一个动点,一个定点: （一）动点在直线上运动: 点Ｂ在直线ｎ上运动,在直线m 上找一点Ｐ，使PA ＋PB 最小(在图中画出点Ｐ和点B ） 1、两点在直线两侧: 2、两点在直线同侧： (二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点Ｐ，使PA+P Ｂ最小(在图中画出点P 和点B ） １、点与圆在直线两侧: m n m n m n m m
2、点与圆在直线同侧: 三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线ｍ上的两个动点,P 在Q 的左侧，且ＰＱ间长度恒定，在直线ｍ上要求P 、Q 两点，使得PA+P Ｑ+QB 的值最小。（原理用平移知识解） （1）点A 、B 在直线ｍ两侧： 作法：过A 点作AC ∥ｍ，且ＡＣ长等于ＰＱ长,连接ＢC ，交直线m 于Ｑ,Q 向左平移PQ 长,即为Ｐ点，此时P 、Q 即为所求的点。 (2)点A 、B 在直线ｍ同侧： 基础题 1.如图1,∠ＡO Ｂ=４5°，P 是∠AO Ｂ内一点，PO ＝１0，Ｑ、R 分别是ＯA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 . 2、如图２,在锐角三角形ABC 中，AB=4 ,∠BAC=４５°，∠B ＡＣ的平分线交B Ｃ于点D, Ｍ,Ｎ分别是AD 和ＡＢ上的动点，则BM+ＭＮ的最小值为 . m O A P m O A B m A B E Q P m A B Q m A Q m A C Q P
初中几何不定线段的最值问题 （一）利用“将军饮马”数学模型，求线段和的最小值 1. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动，并把各边缩小为原来的 12，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上，P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为＿＿＿＿ （二）利用“垂线段最短”求线段的最值 2. 已知菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点D ， ∠BAC=60°，AB=4，E 为OB 上的一个动点，将AE 绕点A 逆时针旋转60°得AF ，则点F 到O 的最短距离为＿＿＿＿ （三）构造三角形求不定线段的最值 3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中点B 到原点O 的最大距离是＿＿＿＿
变式1：如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边CD上的一个动点，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接DF，当点E从C运动到点D的过程中，线段DF的最小值为＿＿＿＿ 变式2：点P为矩形ABCD内的一个动点，且满足∠DAP=∠ABP，若AB=2，BC=4，则线段PD的最小值为＿＿＿＿ 4. 在锐角△ABC中，BC=7，AC=4√2 ，∠ACB=45°，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1。点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，如图： （1）若点P是线段AC的中点，求线段EP1长度的最大值与最小值； （2）若点P是线段AC上任意一点，直接写出EP1长度的最大值与最小值。