D
C
B
A
A
B
C
D
A
B
C
D
几何中线段的最值问题
一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模
24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；
（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.
2011丰台一模
25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
A D
B
C
图1 图2 图3
（2）借助直角三角形性质求最值
（1）勾股定理
（2）直角三角形斜边中线等于斜边一半
（3）直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除
以斜边求得．
【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是
【例2】如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A 在x轴上。
②求出AC边上的高线BD的长度；
③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值；
④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。
2011海淀一模
25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，
F 为BD 中点.
（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．
求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，
求线段CF 长度的最大值．
B
C
A D
E
F
B D
E
A F
C
B
A
C
1
图2
图备图
2010海淀一模
25.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
图1 图2
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =o ∠，则PMN △的形状是________________，此时
AD
BC
=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算AD BC
的值（用含α的式子表示）；
(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
28．正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动，且DE=DF ．连接BF ，
作EH ⊥BF 所在直线于点H ，连接CH .
（1）如图1，若点E 是DC 的中点，CH 与AB 之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立
给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动时，连接DH ，过点D 作直线DH 的垂线，交直线BF 于
点K ，连接CK ，请直接写出线段CK 长的最大值．
（3）与圆相关
2014燕山
24.如图1，已知ABC ?是等腰直角三角形，?=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．
（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(?≤
2013昌平一模
24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点
P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．
C 1
C B
A 1
A
图2
A 1
C 1
A
B
C
图1
图3P
P 1
E A A C 1
2015房山一模
28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，
BE .
(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；
(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.
①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；
②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''
C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？
3. 如图1-25，已知△ABC 是等腰直角三角形，?
=∠90BAC ，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点
C A 、分别在DG 和DE 上，连接BG AE,．
（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于?
0，小于或等于360°），如图2-25，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若2DE B C ==，在2-25的旋转过程中，当AE
为最大值时，求AF 的值．
图1
图2
图3
A
C B F
D E
G
图25-1
A
C
B
F
D E
G
图25-2
11．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．
（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．
①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM
=_______；
②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α< 他条件不变，判断FM EM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （2）如图3，若BO =N 在线段OD 上，且NO =2.点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕 点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______． （4）其他 2011海淀一模 24．已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A . （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯 形AOMN 的面积. 图2 C O M E F A D M B O F C E A 图1 朝阳 25．如图，二次函数y =ax 2 +2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2． (1)求此二次函数的解析式． (2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长． ②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值． 二、多线段的最值问题 2013一模 海淀25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 2 2y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）； (2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧. ② 若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积； ②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的 圆上存在一点Q ，使得'2 QB + 的值最小，则这个最小值为 . 2012朝阳二模 25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42 ++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式； （2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值； （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 请说明理由. 2012东城一模 25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中, 二次函数2 y bx c ++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式； (2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求 DN NM MK ++和的最小值. 2012海淀二模 24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x m y 222 -= 与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)； （2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上， Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 备用图 C A O B x y C A O B x y 2010海淀二模 25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为)2,0(，点D 在x 轴的正半轴上，30ODB ∠=?，OE 为 △BOD 的中线，过B 、E 两点的抛物线2 3 6 y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）. （1）求抛物线的解析式； （2）等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，求AE 及AM 的长； （3）点P 为△ABO 内的一个动点，设m PA PB PO =++，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段AP 的长. （备用图） 2012丰台一模 25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2，3）为圆心的圆与y 轴相切于 点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的 2 1 ．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再 到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．. 25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42 ++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式； （2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值； （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 请说明理由. 几何最值问题 一．选择题（共6小题） 1．（2015?孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（） 3 AE==3， ． 2．（2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） 5050+50 LN=AS==40 MN==50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 =50 3．（2014秋?贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（） 4．（2014?无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（） C OE=AE=AB=× AD=BC= DE= ADE==， = DF=， OA=AD= 5．（2015?鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（） C D ，连结，此时四 ，连结MN= =， =， ， PC= PDC==． 6．（2015?江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE 为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（） C BG AD=BD=AB=3 CE= 几何最值 要了解最值，关键要明白点的运动，以及最值产生的条件，共线状态是最值产生的那一刹那状态，思齐老师往往会说，最值出角度． 例1、在锐角△ABC 中，AB =4，BC =5，∠ACB =45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值． C A B P E 巩固 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．如图，若BO =，点N 在线段OD 上，且NO =2．点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______． 33B A D O N P C O C D N 备用图 例2、已知：△AOB 中，2AB OB ==， △COD 中，3CD OC ==，ABO DCO ∠=∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点． （1）如图1，若A 、 O 、C 三点在同一直线上，且60ABO ∠=?，则△PMN 的形状是___________,此时AD BC =____________； （2）如图2，若A 、 O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α∠=，证明△PMN ∽△BAO ，并计算AD BC 的值(用含α的式子表示)； （3）在图2中，固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值． D C P A B N M C P D B N M A O O 图1 图 2 中考数学几何中的最值问题综合测试卷 一、单选题(共7道，每道10分) 1.如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为()cm A. B.15 C. D.12 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理、圆柱展开图、轴对称的性质 2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最 小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质、矩形的性质 3.如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和 AB上的动点,则BM+MN的最小值为( ) A. B. C.6 D.3 答案：A 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质 4.如图,当四边形PABN的周长最小时,a=（）. A. B. C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质 5.如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上 运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是( ) A. B.(1,0) C. D. 答案：D 试题难度：三颗星知识点：轴对称——线段之差(绝对值)最大 6.如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为边AB上一动点,且PE⊥AC于点 E,PF⊥BC于点F,则线段EF长度的最小值是() A. B. C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：垂线段最短 7.如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中, 专题25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证． 2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理． 3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等． 例题与求解 【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题） 解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值． 【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题） A D N 解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小． 【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题） D 初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（ 对称轴为：动点所在的直线上） 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 m m A B m B m A B m （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： n m n n m n n n m （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、 m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 填空：最短周长=________________ 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、 n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： m n m n m n m （二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度 m m m m 知识板块 考点一：几何图形中的最小值问题 方法： 1.找对称点求线段的最小值； 步骤：①找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴； ②连接对称点与另一个已知点； ③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长； 2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边； 3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值； 4.用二次函数中开口向上的函数有最小值； 考点二：几何图形中的最大值问题 方法： 1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值； 2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值； 3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边； 4.用二次函数中开口向下的函数有最大值； 例题板块 考点一：几何图形中的最小值问题 例1.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 _________ ． 图1 图2 图3 例2.如图2，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ． 例3.如图3，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值为 ； 第一节 几何最值问题专项 例4.如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 . 图4 图5 例5.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0），点C 的坐标为（2，0），tan ∠BOA= A ．67 B ．231 C. 6 D ．193+ 例6．如图6，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为（ ） 图6 图7 图8 例7.如图7，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ= _________ 时，四边形APQE 的周长最小． 考点二：几何图形中的最大值问题 例1.已知点A （1，2）、B （4，-4），P 为x 轴上一动点． （1）若|PA |+|PB |有最小值时，求点P 的坐标； （2）若|PB |-|PA |有最大值时，求点P 的坐标． 例2.如图8所示，已知A 11 (,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x =图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 . 初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD 专题10 几何最值问题【十二个基本问题】 1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（） A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm 第1题第2题第3题第4题2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（） A．2 B．C．D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（） A．10 B．8 C．5 3 D．6 5．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当AB＝4,BC＝4,CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长． （3）在（2）的条件下，求点B1到最短路径的距离． 6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P1、P2分别在OA、OB上，求作点P1、P2,使△PP1P2的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PP1P2的周长． 7．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． 第7题 第8题 第9题 8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ． 9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧⌒ AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ） A ．12 B ． 22 C ． 32 D ． 34 10．如图，已知抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． (1)抛物线及直线AC 的函数关系式； (2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； (4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值． 中考几何最值问题归类解析（1） －实验中学周记民 教学目标 1.了解解决几何最值问题的基本原理和方法。 2.初步掌握利用平面几何知识及几何图形、平面直角坐标系、函数等知识解决几何最值问题，培养学生几何探究、推理的能力。 3.进一步体验数形结合思想，转化思想等思想方法。 教学重点：几何最值问题原理的运用； 教学难点：寻求几何最值问题解决的有效途径及方法。 教学过程： 一、引入 1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等； 2.几何最值问题的基本原理。 ①两点之间线段最短②垂线段最短③利用函数关系求最值 二、典例剖析 1.线段最值问题。 例1：（2010年黄冈）如图1，某天然气公司的主输气管道从A市 的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小 区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处， 测得小区M位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支 管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长。 分析：本题可直接转化为数学问题，即利用“垂线段最短”的基本原理，找到点N的位置，然后利用解直角三角形可求出问题的答案。 答案：过点M作MN⊥AC于N,点N即为所求AN=1500米 2.线段和的最值问题。 例2：（2010年宁德）如图2，四边形ABCD是正方形△ABE是 等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕 点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN,AM,CM. （1）求证：△AMB ≌△ENB ； （2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； 分析：本题第（2）小题利用BM 绕点B 逆时针旋转60°得到△BMN 是等边三角形的特殊结构，将三条线段的和转化为“两点之间，线段最短的问题”，再结合图形的特殊对应结构进行分析，从而确定AM+BM+CM 取最小值时，点M 的位置。 答案：（1）略 （2）①点M 为BD 中点；②M 为BD 与CE 的交点 3.线段差的最值问题。 例3：（2010年晋江）已知：如图3，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB 的中点M,连接MC ，把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO 。 （1）试直接写出点D 的坐标； （2）已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，连接OP. ①若以O,P,Q 为顶点的三角形与△DAO 相似，试求出点P 的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得︱TO-TB ︱的值最大。 分析的对称性，将两条线段的差的最值转化为一条线段的最值，再利用一次函数的相关知识求出点T 的坐标。 答案：（1）D （-122 3，） （2）P 1 （64 1531651，） P 2 （3，2） 图3 几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． P A +P B 最小， 需转化， 使点在线异侧 B l 3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC 边 上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 你会“几何中的最值问题”吗？ 一、几何中最值问题包括：①“面积最值”②“线段（和、差）最值”. （1）求面积的最值 方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； （2）求线段及线段和、差的最值 方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法： 常用定理: 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系 PA+PB最小， 需转化，使点在线异侧 二、精讲精练 1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 __________ m. 蚂蚁A A 8. PA PB 的最大值等于 ____________ B --------------- C 第6题图 第7题图 女口图，在△ ABC 中，AB=6, AC=8, BC=10, P 为边 BC 上 于F , M 为EF 中点，贝U AM 的最小值为 ___________ . 动点，PE 丄AB 于E , PF 丄AC 正半轴上，OA=3, OB=4, D 为边OB 的中点.若E 、F 为边OA 上的两个动点，且 EF=2, 当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 _— 7.如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8, B 到MN 的距离BD=5, 2. 如图，点P 是/AOB 内一定点，点 M 、N 分别在边OA 、OB 上运动, 若/AOB=45°，OP=3 2，则△ PMN 周长的最小值为 ______ ._ 3.如图，正方形 ABCD 的边长是4,/ DAC 的平分线交DC 于点E ， 若点P , Q 分别是AD 和AE 上的动点，贝U DQ+PQ 的最小值为 . 4.如图，在菱形 ABCD 中，AB=2,/ A=120°,点P 、Q 、K 分别为 线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，贝U PK+QK 的最小值为 ______ . 5.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= ___________ 6. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在x 轴、y 轴的 则 第5题图 P 学生做题前请先回答以下问题 问题1：几何综合的思考流程是什么？ 问题2：几何综合中常见结构、常用模型有哪些？ 问题3：直角的思考角度有哪些？ 边：____________________； 角：____________________； 面积：多个直角，把直角当作高，常考虑____________________； 固定模型和用法： ①直角+中点______________________； ②直角+特殊角____________________； ③直角+角平分线__________________； ④直角三角形斜边上的高___________； ⑤弦图结构； ⑥三等角模型； ⑦斜直角放正. 函数背景下考虑：______________________________； 圆背景下考虑：________________________________． 问题4：轴对称思考层次有哪些？ 问题5：旋转思考层次有哪些？ 问题6：圆的思考角度有哪些？ 几何综合及几何最值问题 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，沿△ABC的中线OC将△AOC折叠，使点A落在点D处．若CD⊥AB于点M，则tanA的值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 2.如图，BE，CF分别是△ABC两边上的高，M为BC的中点．若EF=6，BC=10，则△MEF的边ME上的高为( ) A. B. C.4 D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等面积法 3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为( ) A.24 B.36 D C B A A B C D A B C D 几何中线段的最值问题 一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模 24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长； （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小. 2011丰台一模 25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数. A D B C 图1 图2 图3 （2）借助直角三角形性质求最值 （1）勾股定理 （2）直角三角形斜边中线等于斜边一半 （3）直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除 以斜边求得． 【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 【例2】如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A 在x轴上。 ②求出AC边上的高线BD的长度； ③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值； ④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。 几何中的最值问题 一、知识点睛 几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”. 求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） l l B PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 |PA -PB |最大， 需转化，使点在线同侧 二、精讲精练 1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ． 蜂蜜 蚂蚁 C N O 第1题图 第2题图 2. 3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 . Q P E D C B A Q P K D C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点， 则PK +QK 的最小值为 . 5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ． 第5题图 第6题图 6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴 上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 . 7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4， P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ． A B C D P M N 第7题图 第8题图 8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若 P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ?＝ ． 9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________． A B C E F M A B C D P 第9题图 第10题图 10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时， 点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________． 一、基本图形 余不赘述，下面仅举一例证明： [定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO， AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形。 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。 简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定。 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 几何图形中的最值问题 引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题： 1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5. 3.几何图形：①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段 最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 一、最小值问题 B镇 * A镇 ? ' -------------------------- '燃气管 例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。 解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM ?/ CD=BC=8,DM=2, /? MC=6, 在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10， ??? DN+MN勺最小值是10。 例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B 是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。 连OB oA, ???/ AMN=30B是弧AN的中点, ???/ BOA=30°,根据对称性可知 :丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, D D M B N A M O A 在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1, ??? A B =、2 即 PA+PB= 2 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P , 连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do 由轴对称的性质和三角形三边关系知 例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到D E 两点的距离之和最小，并求出最小值。 解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ??? E(-1,-4), ? M(-4,-1), 过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1), 在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, ? MD= 5? 2 = .. 29。 ???最小值是.29 。 练习 1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 底面周长为18cm,在杯内离 杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm I I \ 41 订一干 4 / > is 【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点 A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形, 中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡 不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。 简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上 第九讲几何最值及路径长 预习 如图，A , B 为定点，P 为直线I 上一点，若点 提示： ① 分析定点（A ，B ），动点（P 在直线I 上动）， 不变特征 ② 以I 为对称轴利用轴对称进行转化 ③ 由“两点之间，线段最短”确定位置 2.如图，A,B 为定点，MN 为直线I 上一可以移动的线段，且MN 长度固定，若点M 恰好使 AM+MN+BN 最短，请画出点M 的位置. 提示： ① 分析定点（A ，B ），动点（M ，N 在I 上动，且MN 长度固定），不变特征 ② 先平移BN ，使平移后的点N 与M 重合，将其转化为问题1 ③ 以I 为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置 3.如图，/ AOB=60°点P 在/ AOB 的平分线上，OP=10cm ,点E ，F 分别是/ AOB 两边OA , OB 上的动点，当△ PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是 _____________________ . 提示：①分析定点（P ），动点（E 在OA 上动，F 在OB 上动），不变特征 ② 分别以OA , OB 为对称轴，将P 对称过去，得到P i ，P 2 ③ 连接P 1P 2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解 1. P P 的位置. I M N 知识点 1.几何最值问题的处理思路 ① 分析定点、动点，寻找不变特征； ② 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题. 转化原则： 尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标. 基本定理: 两点之间，线段最短（已知两个定点） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定） 过圆内一点，最长的弦为直径， 常用模型、结构示例: ①轴对称最值模型 固定长度线段MN 在直线I 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN （或 AM ），转化为 AM MB 解决. ②折叠求最值结构最短的弦为垂直于直径的弦 求FA+PB 的最小值, 使点在线异侧 求|PA-PB|的最大值, 使点在线同侧 几何最值问题 一．选择题（共 6 小题） 1．（2015?孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一点，则PE+PC 的最小值为（） A．3 B．3C．2D．3 考点：轴对称-最短路线问题． 分析：由题意可知点 A、点C 关于BD 对称，连接 AE 交BD 于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值． 解答：解：∵△ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 BC 的中点，∴BD⊥AC，EC=3， 连接 AE，线段 AE 的长即为 PE+PC 最小值， ∵点 E 是边 BC 的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE===3， ∴PE+PC的最小值是3 ．故选 D． 点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键． 2．（2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm，B 点到y 轴的距离为30cm，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（） A．50 B．50C．50﹣50 D．50+50 考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． 专题：压轴题． 分析：过B 点作BM⊥y轴交 y 轴于 E 点，截取 EM=BE，过A 点作AN⊥x轴交x 轴于 F 点，截取 NF=AF，连接 MN 交 X，Y 轴分别为 P，Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长． 解答：解：过B 点作BM⊥y轴交 y 轴于E 点，截取 EM=BE，过 A 点作AN⊥x轴交x 轴于F 点，截取NF=AF，连接 MN 交x，y 轴分别为 P，Q 点， 过 M 点作MK⊥x轴，过 N 点作NK⊥y轴，两线交于 K 点． MK=40+10=50， 作BL⊥x 轴交 KN 于 L 点，过 A 点作AS⊥BP 交 BP 于 S 点． ∵LN=AS==40． ∴KN=60+40=100． ∴MN==50． ∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50． ∴四边形PABQ 的周长=50 +50． 故选D． 点评：本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长． 3．（2014 秋?贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD 上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（） A．30°B．40°C．50°D．60° 考点：轴对称-最短路线问题． 分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．中考几何最值问题(含答案)
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