初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
m B m
A B
m
n m
n
n m
n
n
n m
（
4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
变式二：已知点A位于直线
m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
m
n
m
n
m
n
m
m
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧：
练习题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．
2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4
,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N
分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．
3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ，
AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。
m
m
Q Q
4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .
5、如图5，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．
6、如图6，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．
7、如图7菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一
个动点，则PE+PB 的最小值为 ．
8、如图8，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是
9、如图9，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm ．
10、如图10所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．
11、如图11，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点， 则PA ＋PB 的最小值为( )
(A)2 (B)
(C)1 (D)2
解答题
1、如图，正比例函数x y 21=
的图象与反比例函数x
k
y =（k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小.
2、如图，一元二次方程0322
=-+x x 的二根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线
c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； （3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
3、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3） ，△AOB 的面积是3. （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由.
4．如图，抛物线y ＝35x 2－18
5x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M
点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的
某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，
并求出这个最短路程的长．
5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC
的周长最短．
7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、
y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标.
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：
解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 异侧：
解析：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’ 练习题
1. 如图，抛物线y ＝－14x 2
－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．
(1)求点A 、点B 的坐标；
(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA －PB ≤AB ； (3)当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.
2. 如图，已知直线y ＝2
1
x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝
2
1x 2
＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．
B