专题10 几何最值问题【十二个基本问题】
1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）
A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm
第1题第2题第3题第4题
'
2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（）
A．2 B．C．D．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（）
A．10 B．8 C．5 3 D．6
5．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB＝4,BC＝4,CC＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
（3）在（2）的条件下，求点B到最短路径的距离．
·
6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P、P分别在OA、OB上，求作点P、P,使△PPP的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PPP的周长．
7．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． ?
第7题 第8题 第9题
8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ． 9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧(⌒)AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）
A ．12
B ．22
C ．32
D ．34
10．如图，已知抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交于
点N ．其顶点为D ．
(1)抛物线及直线AC 的函数关系式；
(2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；
(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；
(4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值． ~
…
11．如图，抛物线l交x轴于点A(－3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，－3)．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l．
(1)求l的解析式；
(2)在l的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A及C两点的距离差最大，并说出理由；
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
—
【
{
12．(2016﹒朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°,∠ADP＋∠ADE＝180°,即B、P、D、E四点共线，故PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC,即点P到三个顶点距离之和最小．
%
|
!
13．问题提出
（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．
问题探究
（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
问题解决：
@
（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．
②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
。
\
14．如图所示，已知抛物线y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y ＝－ 3x ＋b 与抛物线的另一个交点为D ． (1)若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；
(3)在(1)的条件下，设点E 是线段AD 上的一点(不含端点)，连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒2 3
3个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少
&
\
，
答案
1．平面展开－－－最短路径问题 解：如图所示： .
∵长方体的底面边长分别为2cm 和4cm,高为5cm ． ∴PA ＝4＋2＋4＋2＝12(cm),QA ＝5cm, ∴PQ ＝
PA 2＋AQ 2
＝13cm ．故选：C ．
2．解：设扇形的圆心角为n ，圆锥的顶为E , ∵r ＝20cm,h ＝20 15cm
∴由勾股定理可得母线l ＝r ＋h ＝80cm, 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝n π×80
180, ∴n ＝90°
即△EAA ′是等腰直角三角形， *
∴由勾股定理得：AA '＝A ′E ＋AE ＝80 2cm ． 答：蚂蚁爬行的最短距离为80 2cm ． 故答案为：80 2cm ．
3．解：连接AP ,∵在△ABC 中，AB ＝3,AC ＝4,BC ＝5， ∴AB ＋AC ＝BC , 即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ， ∴四边形AEPF 是矩形， ∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即, ￥
∴EF 的最小值为, 故答案为：．
4．解：过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点，AC ＝5
5,
AC 边上的高为＝A B ﹒BC
AC ＝2 5,所以BE ＝4 5．
∵△ABC ∽△EFB ,
∴AB EF ＝AC BE ,即10EF ＝5 54 5
EF ＝8．故选：B ． 5．解：（1）如图，
木柜的表面展开图是矩形ABC 'D 或ACCA ．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC '或AC ; $
（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC 'D 爬过的路径AC '的长是l ＝4＋(4＋5)． 蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形ABCD 爬过的路径AC 的长l ＝97, 蚂蚁沿着木柜表面ACCA 爬过的路径AC 的长是l ＝(4＋4)＋5． l ＞l ,故最短路径的长是l 89． （3）作BE ⊥AC 于E ，
∵∠CEB ＝∠CAA ,∠ACA 是公共角， ∴△AAC ∽△BEC , 即BE AA ＝BC AC ,
则BE ＝BC AC ﹒AA ＝489
﹒5＝20
89为所求．
6．解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点M 、N ，连接MN ，分别交OA 、OB 于点P 、P ,连接OM 、ON 、PP 、PP ,此时△PPP 的周长最小,△PPP 的周长＝PP ,PP ＋PP ＋PP ＝MP ＋PP ＋NP ＝MN ， …
∵M 、N 分别是P 关于OA 、OB 的对称点，
∴∠MOA ＝∠AOP ,∠NOB ＝∠BOP ,PP ＝PM ,PP ＝PN ,MO ＝PO ＝NO ， ∴∠MON ＝∠MOA ＋∠AOP ＋∠NOB ＋∠BOP ＝2∠AOB , ∵∠AOB ＝30°,
∴∠MON ＝2×30°＝60°, ∴△OMN 是等边三角形，
又∵△PPP 的周长＝PP ,PP ＋PP ＋PP ＝MP ＋PP ＋NP ＝MN ， ∴△MNP 的周长＝MN ＝MO ＝PO ＝10cm ． 7．解：在正方形ABCD 中,AB ＝AD ＝CD ,∠BAD ＝∠CDA ,∠ADG ＝
∠CDG ,
在△ABE 和△DCF 中, （
?????AB ＝CD
∠BAD ＝∠CDA AE ＝DF
, ∴△ABE ≌△DCF (SAS ), ∴∠1＝∠2,
在△ADG 和△CDG 中,
?????AD ＝CD
∠ADG ＝∠CDG DG ＝DG
, ∴△ADG ≌△CDG (SAS ),
∴∠2＝∠3,∴∠1＝∠3,∵∠BAH ＋∠3＝∠BAD ＝90°,∴∠1＋∠BAH ＝90°, ∴∠AHB ＝180°－90°＝90°,取AB 的中点O ,连接OH 、OD , 则OH ＝AO ＝1
2AB ＝1,在Rt △AOD 中,OD ＝AO ＋AD ＝1＋2＝5,
根据三角形的三边关系,OH ＋DH ＞OD ,∴当O 、D 、H 三点共线时,DH 的长度最小, ?
最小值＝OD －OH ＝5－1． (解法二：可以理解为点H 是在Rt △AHB ,AB 直径的半圆(⌒)AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时,DH 长度最小)故答案为：5－1． 8． 解：连结AE ，如图1，
∵∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2, ∴AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径， ∴∠AED ＝90°,∴∠AEB ＝90°,
∴点E 在以AB 为直径的⊙O 上， ∵⊙O 的半径为2，
∴当点O 、E 、C 共线时，CE 最小，如图2, 在Rt △AOC 中，∵OA ＝2,AC ＝4， ~
∴OC ＝OA ＋AC ＝2 5, ∴CE ＝OC －OE ＝2 5－2,
即线段CE 长度的最小值为2 5－2． 故答案为2 5－2．
9．解：连结OA 、OB ，作△ABC 的外接圆D ，如图1， ∵OA ＝OB ＝1,AB ＝1， ∴△OAB 为等边三角形， ∴∠AOB ＝60°,
∴∠APB ＝1
2∠AOB ＝30°, ∵AC ⊥AP ,∴∠C ＝60°, @
∵AB ＝1，要使△ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大， ∵∠ACB ＝60°,点C 在⊙D 上，∴∠ADB ＝120°,
如图2，当点C 优弧AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，且面积为34AB ＝34,∴△ABC 的最大面积为34．
故选：D ．
10． 解：(1)由抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 过点A (－1,0)及C (2,3)得,
???－1－b ＋c ＝0－4＋2b ＋c ＝3
,解得 ???b ＝2c ＝3
, 故抛物线为y ＝－x ＋2x ＋3
又设直线为y ＝kx ＋n 过点A (－1,0)及C (2,3)得
???－k ＋n ＝02k ＋n ＝3,解得 ???k ＝1n ＝1
故直线AC 为y ＝x ＋1;
]
(2)如图1,作N 点关于直线x ＝3的对称点N ′,则N ′(6,3),由(1)得D (1,4), 故直线DN ′的函数关系式为y ＝－ 15x ＋ 215, 当M (3,m )在直线DN ′上时,MN ＋MD 的值最小, 则m ＝－ 15×3＋ 215＝18
5;
(3)由(1)、(2)得D (1,4),B (1,2), ∵点E 在直线AC 上, 设E (x ,x ＋1),
①如图2,当点E 在线段AC 上时,点F 在点E 上方, 则F (x ,x ＋3),∵F 在抛物线上,∴x ＋3＝－x ＋2x ＋3, }
解得,x ＝0或x ＝1(舍去)∴E (0,1);
②当点E 在线段AC (或CA )延长线上时,点F 在点E 下方,则F (x ,x －1) 由F 在抛物线上∴x －1＝－x ＋2x ＋3解得x ＝1－ 172或x ＝1＋ 17
2
∴E ? ????
1－ 172, 3－ 172或? ??
??
1＋ 172, 3＋ 172 综上,满足条件的点E 的坐标为(0,1)、? ???? 1－ 172, 3－ 172或? ??
??
1＋ 172, 3＋ 172;
(4)方法一：如图3,过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ,交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,设Q (x ,x ＋1),则P ()x ,－x ＋2x ＋3∴PQ ＝()－x ＋2x ＋3－(x ＋1)＝－x ＋x ＋2 又∵S ＝SS ＝12PQ ﹒AG ＝12()－x ＋x ＋2×3＝－ 32???
?x － 12＋ 27
8
∴面积的最大值为27
8．
方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ,交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,如图3,设Q (x ,x ＋1),则P ()x ,－x ＋2x ＋3又∵S ＝S _(△APH )＋S _(直角梯形PHGC )－S _(△AGC ) ＝12(x ＋1)()－x ＋2x ＋3＋ 12()－x ＋2x ＋3＋3(2－x )－ 12×3×3＝－ 32x ＋ 3
2x ＋3 /
＝－ 32???
?x － 12＋ 278
∴△APC 的面积的最大值为27
8．
11．解：(1)如图1所示,设经翻折后,点A 、B 的对应点分别为A 、B , 依题意,由翻折变换的性质可知A (3,0),B (－1,0),C 点坐标不变, 因此,抛物线l 经过A (3,0),B (－1,0),C (0,－3)三点, 设抛物线l 的解析式为y ＝ax ＋bx ＋c ,则有：
?????9a ＋3b ＋c ＝0
a －
b ＋
c ＝0c ＝－3
,解得a ＝1,b ＝－2,c ＝－3,故抛物线l 的解析式为：y ＝x －2x －3．
(2)抛物线l 的对称轴为：x ＝－ b
2a ＝1,
如图2所示,连接BC 并延长,与对称轴x ＝1交于点P ,则点P 即为所求． 、
此时,|PA －PC |＝|PB －PC |＝BC ．
设P ′为对称轴x ＝1上不同于点P 的任意一点,则有：
|P ′A －P ′C |＝|P ′B _(1)－P ′C |＜B _(1)C (三角形两边之差小于第三边), 故|P ′B －P ′C |＜|PA －PC |,即|PA －PC |最大． 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,则有：
???－k ＋b ＝0b ＝－3
,解得k ＝b ＝－3,故直线BC 的解析式为：y ＝－3x －3．
令x ＝1,得y ＝－6,故P (1,－6)．
(3)依题意画出图形,如图3所示,有两种情况． ①当圆位于x 轴上方时,设圆心为D ,半径为r ,
由抛物线及圆的对称性可知,点D 位于对称轴x ＝1上,则D (1,r ),F (1＋r ,r )． :
∵点F (1＋r ,r )在抛物线y ＝x －2x －3上,
∴r ＝(1＋r )－2(1＋r )－3,化简得：r －r －4＝0 解得r ＝
17＋12,r ＝ (－ gh (17)＋1)/(2)(舍去),∴此圆的半径为17＋1
2;
②当圆位于x 轴下方时,同理可求得圆的半径为17－1
2．
综上所述,此圆的半径为
17＋12或17－1
2．
12．解：（1）如图1，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ,
∴∠PAD ＝60°,△PAC ≌△DAE ,∴PA ＝DA 、PC ＝DE 、∠APC ＝∠ADE ＝120°,
∴△APD 为等边三角形，∴PA ＝PD ,∠APD ＝∠ADP ＝60°,
∴∠APB ＋∠APD ＝120°＋60°＝180°,∠ADP ＋∠ADE ＝180°,即B 、P 、D 、E 四点共线， "
∴PA ＋PB ＋PC ＝PD ＋PB ＋DE ＝BE ．∴PA ＋PB ＋PC 的值最小．
（2）方法一：如图2，分别以AB 、BC 为边在△ABC 外作等边三角形，连接CD 、AE 交于点P ，∴AB ＝DB 、BE ＝BC ＝8、∠ABD ＝∠EBC ＝60°, ∴∠ABE ＝∠DBC ,在△ABE 和△DBC 中，
∵ ?????AB ＝DB
∠ABE ＝∠DBC BE ＝BC
，∴△ABE ≌△DBC (SAS ),∴CD ＝AE 、∠BAE ＝∠BDC ,
又∵∠AOP ＝∠BOD ,∴∠APO ＝∠OBD ＝60°,在DO 上截取DQ ＝AP ，连接BQ ， 在△ABP 和△DBQ 中，
∵ ?????AB ＝DB
∠BAP ＝∠BDQ AP ＝DQ
，∴△ABP ≌△DBQ (SAS ), ∴BP ＝BQ ,∠PBA ＝∠QBD ,
又∵∠QBD ＋∠QBA ＝60°,∴∠PBA ＋∠QBA ＝60°,即∠PBQ ＝60°, ∴△PBQ 为等边三角形，∴PB ＝PQ ， 则PA ＋PB ＋PC ＝DQ ＋PQ ＋PC ＝CD ＝AE ， ;
在Rt △ACE 中，∵AC ＝6、CE ＝8，∴AE ＝CD ＝10， 故点P 到三个顶点的距离之和的最小值为10．
方法二：如图3，
由（2）知，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时,AP ＋BP ＋PC 的值最小， 把△CPB 绕点C 逆时针旋转60°得△CP ′B ′,
由（2）知A 、P 、P ′、B ′共线，且AP ＋BP ＋PC ＝AB ′,∠PCB ＝∠P ′CB , ∴∠PCB ＋∠PCA ＝∠P ′CB ＋∠PCA ＝30°,∴∠ACB ′＝90°,
∴AB ′＝AC ＋B ′C ＝AC ＋BC ＝10 13．解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ,AB ＝b ，
∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC ＋AB ＝a ＋b , ！
故答案为：CB 的延长线上,a ＋b ; （2）①CD ＝BE ，
理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ,AC ＝AE ,∠BAD ＝∠CAE ＝60°, ∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ,即∠CAD ＝∠EAB , 在△CAD 与△EAB 中，
?????AD ＝AB
∠CAD ＝∠EAB AC ＝AE
，∴△CAD ≌△EAB (SAS ),∴CD ＝BE ； ②∵线段BE 长的最大值＝线段CD 的最大值，
∴由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝3＋6＝9；
[
（3）如图1，连接BM ，
∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ,连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN ＝PA ＝2,BN ＝AM ，∵A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),∴OA ＝2,OB ＝5， ∴AB ＝3，∴线段AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，
∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值＝AB ＋AN , ∵AN ＝2AP ＝2 2,∴最大值为2 2＋3;
如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，∵△APN 是等腰直角三角形， ∴PE ＝AE ＝2,∴OE ＝BO －AB －AE ＝5－3－ 2＝2－ 2,{{}} ∴P (2－ 2, 2)．
（4）如图4中，以BC 为边作等边三角形△BCM ,
∵∠ABD ＝∠CBM ＝60°,∴∠ABC ＝∠DBM ,∵AB ＝DB ,BC ＝BM ， ∴△ABC ≌△DBM ,∴AC ＝MD ，
∴欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可， ∵BC ＝4 2＝定值,∠BDC ＝90°,
∴点D 在以BC 为直径的⊙O 上运动，
由图象可知，当点D 在BC 上方,DM ⊥BC 时，DM 的值最大，最大值＝2
2＋2
6,
∴AC 的最大值为2 2＋2 6．
14．解：(1)∵y
＝a (x ＋3)(x －1),∴点A 的坐标为(－3,0)、点B 两的坐标为(1,0),
∵直线y ＝－ 3x ＋b 经过点A ,∴b ＝－3 3,∴y ＝－ 3x －3 3,当x ＝2时,y ＝－5 3, 则点D 的坐标为(2,－5 3),∵点D 在抛物线上,∴a (2＋3)(2－1)＝－5 3,
解得,a ＝－ 3,则抛物线的解析式为y ＝－ 3(x ＋3)(x －1)＝－ 3x －2 3x ＋3 3; (2)如图1中,作PH ⊥x 轴于H ,设点 P 坐标(m ,n ),
当△BPA ∽△ABC 时,∠BAC ＝∠PBA ,∴tan ∠BAC ＝tan ∠PBA ,即OC OA ＝PH
HB ,
∴－3a 3＝－n
－m ＋1,即n ＝－a (m －1),∴ ???n ＝－a (m －1)n ＝a (m ＋3)(m －1)
解得m ＝－4或1(舍弃),
当m ＝－4时,n ＝5a ,∵△BPA ∽△ABC ,∴AC AB ＝AB
PB ,∴AB ＝AC ﹒PB , ∴4＝9a ＋9﹒
25a ＋25,解得a ＝－ 15
15或 (gh (15))/(15)(舍弃),
则n ＝5a ＝－ 153,∴点P 坐标? ?
?
??－4,－ 153．
当△PBA ∽△ABC 时,∠CBA ＝∠PBA ,∴tan ∠CBA ＝tan ∠PBA ,即OC OB ＝PH
HB ,
∴－3a 1＝－n
－m ＋1,∴n ＝－3a (m －1),∴ ???n ＝－3a (m －1)n ＝a (m ＋3)(m －1)
,解得m ＝－6或1(舍弃),
当m ＝－6时,n ＝21a ,∵△PBA ∽△ABC ,∴BC BA ＝AB
PB ,即AB ＝BC ﹒PB , ∴4＝1＋9a ﹒
7＋(－21a ),解得a ＝－ 77或(7
7 不合题意舍弃),
则点P 坐标(－6,－3
7),
综上所述,符合条件的点P 的坐标? ?
?
??－4,－ 153和(－6,－3 7)．
(3)如图2中,作DM ∥x 轴交抛物线于M ,作DN ⊥x 轴于N ,作EF ⊥DM 于F , 则tan ∠DAN ＝DN AN ＝5 3
5＝3,∴∠DAN ＝60°,∴∠EDF ＝60°, ∴DE ＝
EF sin ∠EDF ＝2 33EF ,∴Q 的运动时间t ＝BE 1＋ DE
2 3
3
＝BE ＋EF ,
∴当BE 和EF 共线时,t 最小,则BE ⊥DM ,此时点E 坐标(1,－4
3)．
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
几何最值问题 一．选择题（共6小题） 1．（2015?孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（） 3 AE==3， ． 2．（2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） 5050+50
LN=AS==40 MN==50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 =50 3．（2014秋?贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）
4．（2014?无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（） C OE=AE=AB=× AD=BC= DE= ADE==， =
DF=， OA=AD= 5．（2015?鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（） C D ，连结，此时四 ，连结MN= =， =， ，
PC= PDC==． 6．（2015?江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE 为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（） C BG AD=BD=AB=3 CE=
初中数学几何最值问题 典型例题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若 ∠AOB=45°，OP=PMN的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形． 则CD OC=6． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
专题25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证． 2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理． 3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等． 例题与求解 【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题） 解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值． 【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题） A D N 解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小． 【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题） D
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
?例题示范 几何最值问题（习题） 例1：如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，E，F 分别是OA，OB 边上的动点．若△PEF 周长的最小值为2，则α=（） A．30°B．45°C．60°D．90° 思路分析： 1.分析定点、动 点．定点：P 动点（定直线）：E（射线OA），F（射线OB） 和最小（周长最小） 对称到异侧 2.根据不变特征分析判断属于轴对称最值问题，可调用轴对称 最值问题的处理方式：作点P 关于OA 的对称点P′，点P 关于OB 的对称点P′′，连接P′P′′，交OA 于点E，交OB 于点F，此时△PEF 的周长取得最小值． 3.设计方案求解． 如图，由题意得OP′=OP′′=P′P′′=2，所以△OP′P′′是等边三角形，故α=30°．
1
3 ?巩固练习 1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴 的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，)，P 为斜边OB 上一动点．若点C 的坐标为( 1 ，0)，则PA+PC 的最小值为（） 2 A． 13 2 B． 31 2 C． 3 + 19 2 D．2 2.如图，已知A，B 两点在直线l 的异侧，A 到直线l 的距离AM=4， B 到直线l 的距离BN=1，且MN=4．若点P 在直线l 上运动， 则PA -PB 的最大值为（） A．5 B．41 C． 3 41 5 D．6 3.已知点A，B 均在由面积为1 的相同小长方形组成的网格的格 点上，建立如图所示的平面直角坐标系，若P 是x 轴上使得PA+PB 的值最小的点，Q 是y 轴上使得QA -QB 的值最大的点，则OP·OQ= ． 2 第1 题图第2 题图 7
几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基 本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这 是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2 1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特 殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度 数（ ） ⌒
解析几何解答题专练
19．（本小题14分） 已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)20 P ，和点 212Q ?-- ?? ，. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）如图，以椭圆G 的长轴为直径作圆O ，过直线2-=x 上的动点T 作圆O 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，求CD AB 的取值范围． 解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22 221x y a b +=（0a b >>）， 将点)20 P ，和点21Q ? - ? ? ， 代入，得 22 2 2 11 12a a b ?=??+=??，解得 2221 a b ?=??=??. 故椭圆G 的标准方程为2 212 x y +=. （Ⅱ）圆2 C 的标准方程为2 22 x y +=， 设()1 1 ,A x y ，()2 2 ,B x y ， 则直线AT 的方程为1 1 2x x y y +=，直线BT 的方程为2 2 2x x y y +=， 再设直线2-=x 上的动点()2,T t -（t R ∈），由点()2,T t -在直线AT 和BT 上，得
设1s m =（1 04s <≤） ，则AB CD = 设()3 1632f s s s =+-，则()()2 269661160 f s s s '=-=-≥， 故()f s 在10,4 ?? ?? ? 上为增函数， 于是()f s 的值域为(]1,2，CD AB 的取值范围是(. 19．（本小题满分14分） 已知椭圆C : 22 22 1(0)x y a b a b +=>> 离心率2 e = ，短轴长为． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ， 过原 点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴 交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．
几何最值问题大一统 追本溯源化繁为简 目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。纲举则目张，执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。 关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形。 AD一定，所以D是定点，C是直线 的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为 是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
专题10 几何最值问题【十二个基本问题】
1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（） A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm 第1题第2题第3题第4题2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（） A．2 B．C．D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（） A．10 B．8 C．5 3 D．6 5．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当AB＝4,BC＝4,CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长． （3）在（2）的条件下，求点B1到最短路径的距离． 6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P1、P2分别在OA、OB上，求作点P1、P2,使△PP1P2的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PP1P2的周长．
7．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． 第7题 第8题 第9题 8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ． 9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧⌒ AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ） A ．12 B ． 22 C ． 32 D ． 34 10．如图，已知抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． (1)抛物线及直线AC 的函数关系式； (2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； (4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点， 问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四 点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中,22c b a == 即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分 设H （x,y ）为椭圆上一点，则 b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分 若30<经典几何中线段和差最值(含答案) (2)
几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． P A +P B 最小， 需转化， 使点在线异侧 B l
3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC 边 上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O
专题四几何最值的存在性问题 【考题研究】 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。 【解题攻略】 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题． 【解题类型及其思路】 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。 【典例指引】 类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1
学生做题前请先回答以下问题 问题1：几何综合的思考流程是什么？ 问题2：几何综合中常见结构、常用模型有哪些？ 问题3：直角的思考角度有哪些？ 边：____________________； 角：____________________； 面积：多个直角，把直角当作高，常考虑____________________； 固定模型和用法： ①直角+中点______________________； ②直角+特殊角____________________； ③直角+角平分线__________________； ④直角三角形斜边上的高___________； ⑤弦图结构； ⑥三等角模型； ⑦斜直角放正. 函数背景下考虑：______________________________； 圆背景下考虑：________________________________． 问题4：轴对称思考层次有哪些？ 问题5：旋转思考层次有哪些？ 问题6：圆的思考角度有哪些？ 几何综合及几何最值问题 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，沿△ABC的中线OC将△AOC折叠，使点A落在点D处．若CD⊥AB于点M，则tanA的值为( ) A. B.
C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 2.如图，BE，CF分别是△ABC两边上的高，M为BC的中点．若EF=6，BC=10，则△MEF的边ME上的高为( )
A. B. C.4 D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等面积法 3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为( ) A.24 B.36
初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： m m B m A B m n m n n m n n n m
（ 4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线 m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、点与圆在直线两侧： m n m n m n m m
2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧： 作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ． 2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4 ,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ， AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。 m m Q Q
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
关于线段最短问题在几何中的运用之课前预习指导探索 三界中学 杨良举 在初中平面几何的动态问题中，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，成都中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析.最值问题也学生在解决时比较困难，失分比较严重的题型，因此结合我们校实际，把《几何最值问题》作为我校的微课题研究，下面就最值问题的解决方法研究如下： 案例分析 一、应用几何性质 1.三角形的三边关系 例1 如图1，90MON ∠=?，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边,OM ON 上.当分在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中2,1AB BC ==，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为( ) (A) 1 (B) (c) 5 (D)52 分析 如图1，取AB 的中点E ，连结,,OE DE OD . OD OE DE ≤+Q , ∴当,,O D E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，2,1AB BC ==, 1 12 OE AE AB ∴===.DE == OD ∴1. 故选A. 2.两点间线段最短 例2 如图2，圆柱底面半径为2cm,高为9πcm ，点,A B 分别是回柱两底面圆周
上的点，且,A B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线长度最短为 . 分析 如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与 底面圆周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形. 由周长公式知底面圆一周长为4πcm ，圆柱的三分之一高为3πcm ，根据勾股定理，得一条斜线长为5πcm ，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为15πcm. 3.垂线段最短 例3 如图4，点A 的坐标为(1,0)-，点B 在直线y x =运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） (A)(0,0) (B)11(,)22-- (C) (D)( 分析 如图4，过点A 作'AB OB ⊥，垂足为点'B ，过'B 作'B C x ⊥轴，垂足为C .由垂线段最短可知，当'B 与点B 重合时，AB 最短. ∵点B 在直线y x =上运动， ∴'AOB V 是等腰直角三角形 ∴'B CO V 为等腰直角三角形 ∵点A 的坐标为(1,0)-，
解析几何解答题点拨 1．在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y ，则1212OA OB x x y y ?=+． 2．当,,A O B 不共线的时候，AOB ∠为直角?0OA OB ?=；AOB ∠为锐角?0OA OB ?>；AOB ∠为钝角? 0OA OB ?< 3．向量()11,OA x y =与()22,0OB x y =≠共线?存在λ∈R ，使得OA OB λ=，即12 12 x x y y λλ=??=?． 4．若直线过定点()00,P x y ，我们一般设直线方程为()00y y k x x -=-，特殊地，当直线过x 轴上的定点(),0a 时，我们一般设直线方程为x ty a =+，注意此时斜率为0的直线需单独讨论； 5．直线y kx b =+被圆锥曲线所截得的弦AB 的垂直平分线方程为121 2122y y x x y x k ++? ?-=-- ??? ，注意垂直平分线的两种关系：垂直，过中点； 6．点()00,P x y 在以AB 为直径的圆周上?90APB ∠=?0PA PB ??=， 以AB 为直径的圆与直线:l y kx b =+相切?AB 中点到直线的距离等于AB 长的一半． <教师备案> 圆锥曲线综合： 这一讲是圆锥曲线的大题综合．众所周知，圆锥曲线一直是高中数学里面的重难点和易错点．圆锥曲线的难点，在于两方面： ⑴ 计算准确性； ⑵ 转化的思路，尤其是关键条件的解读与核心条件的转化． 经典精讲 知识梳理
相对来说，后者可能更加重要：思路是第一位的，如果解题时没有良好清晰的思路，单纯的认为圆锥曲线只是算，那么很容易陷入盲目计算的误区． 下面我们就结合一些比较常见的问题类型来说明圆锥曲线问题中的关键条件解读与转化，这也是本讲的主旨． 解析几何的实质，是几何问题的代数化：用代数方法来解决几何问题．那么，拿到一个解析几何题目时候，既要明白题干中的几何条件，怎么转化成代数条件，也要明白代数条件，怎么转化成几何条件． 我们把一些常见的问题类型的通常转化方式列成了下表： 第一列是实际问题中的考查形式；第二列是牵涉到的平面度量转化；第三列是需要用到的代数运算．实际问题中的考查形式是很多变的，但是牵涉到的平面度量转化实际上非常有限，充其量就是长度、角度、距离三种；例如点P 在以AB 为直径的圆上，实际上就是说PA PB ⊥．考查形式千变万化，但只要抓住其涉及的平面度量，就能抓住问题的实质，明白如何去合理的转化．接下来，我们结合具体的例题来说明这些考查形式是如何进行典型转化的． 【备注】本讲难度与计算量偏大，如果班上学生程度较好，本讲可以讲一讲半的时间，下两讲《复数、 算法与推理证明》、《概率与统计》相对比较简单，可以压缩一下时间，作个均衡与调整． 尖子班学案1 【铺1】 已知直线:l y kx =2 2:14 x C y +=交于不同的两点A 和B ，O 为坐标原点，若90AOB ∠=?，则 k =________． 【解析】 考点：向量处理角度问题 【例1】 设A ，B 分别为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点1? ?? 在该椭圆上．