高考冲刺作业（78）
2020年3月22日
（与球有关的组合体）
在空间，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，其中定点是球心，定长是球面的半径；球面及其内部的部分称为球体，简称为球.球面上任意两点的连线称为球的弦，当弦过球心时，弦称为球的为直径.
考法1球与球的组合
1.（2006·陕西卷·文理科）水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .
考法2球与正方体的组合
1.正方体的外接球的半径为R，内切球的半径r，则R
r
= .
2.（2016·全国卷Ⅱ·文科）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（正方体的体对角线为球的直径）
A.12π
B.32
3
π C.8π D.4π
3.（2008
则其外接球的表面积 .（补形为正方体）
考法3球与长方体的组合
1.（2017·全国卷Ⅱ·文科）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 . （长方体的体对角线为球的直径）
2.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是
A. B. C.50π D.200π
3.若三棱锥P ABC
-的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且3
PA=，4
PA=，5
PC=，则其外接球的半径为 .（补形为长方体）
考法4球与三棱锥的组合
1.已知正四面体的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R
r
= . （利用体积割法或定义法）
2.（2003·全国卷·理科）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（定义法或补形为正方体）
A.π3
B.π4
C.π33
D.π6
3.（2005·全国卷Ⅱ·理科）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为
A.3+
B.23+
43
+
D.3
4．（2005·江西卷·文理科）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形
ABCD 折成一个直二面角B -AC D -，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A ．π12125
B ．π9125
C ．π6125
D ．π3125
5.（2006·山东卷·理科）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==,
60DAB ∠=o ，E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分别沿DE ，CE 向上折起，使
A ，
B 重合于点P ，则P ECD -三棱锥的外接球的体积为 A.2734π B.26π C.86π D.24
6π
A
B
C
D
O
M
E
A
B
C
D
E
6．（2007·宁夏卷·文科）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC
，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
7.（2007·陕西卷·理科）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
8.（2008·浙江卷·文理科）如图，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥
，DA AB BC ===，则球O 的体积等于 .
9.（2018·全国卷Ⅲ·文理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球面上的四点，ABC ?
是等边三角形且其面积为D ABC -的最大值为 A
．
．
．
．考法5球与其他几何体的组合
1.（2006·四川卷·文科）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点A ，B ，C ，
D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果16
3P ABCD V -=，则球O 的表面积
是
A.4π
B.8π
C.12π
D.16π
P
A
B
C D A
B
C
D
2.（2014·全国大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．814
π
B ．16π
C ．9π
D ．274π
3.（2007·全国卷Ⅰ·文科）正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为
2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为 ．
4.已知正八面体的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R
r
= .
5.（2006·安徽卷·文理科）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A ．
23π B ．13π C ．2
3π D ．22π
6．（2006·辽宁卷·文科）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是 ．
7.（2010·全国课标卷·理科）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.2a π
B.27
3
a π C.2113a π D.25a π
A
B
C
D E
F
球类组合体的求解方法 与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性,加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性,故能很好考查学生的空间思维能力.许多学生在处理与球有关的组合体问题时,由于受到球本身的限制,不善于从组合体问题中挖掘关键点,而显得不够简捷. 1．由球面定义定球心 球心是球的灵魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一点到球心的距离都相等,这是确定球心位置的基本策略 例1 (20XX 年安徽高考题) 表面积为 在同一个球面上,则此球的体积为( ) A 、 B 、13π C 、23π D 、 分析 如图所示: 正八面体的各个顶点P ，A ，B ，C ，D ，Q 都 在 同一个球面上,球 心O 到P ，A ，B ，C ，D ， Q 六点的距离相 等, 因为正八面体的各个面都是正三角形,结合球的内接正八面体的对称性可知:正八面体的顶点A ，B ，C,D 在球O 的同一个大圆上 , 且四边形ABCD 为正 方形.所以 = 2R AB ,即AB . 又因为正 八面体的表面积为且正八面体的各个面都是正三角形, 所 以 28=14AB AB ? =，1=,即 2R = 所以此球的体积为 334433V R ππ== 因此答案应选A. 评注：解此题的关键是确定球心O 恰好是正方形ABCD 的中心,再结 合正八面体的各个面都是正三角形以及正八面体的表面积为可求出球O 的体积. 2 .利用割补思想定球心
在直接将球心定位较困难时,利用分割或补形的思想方法去探寻球心的位置,是解决与球有关的组合体问题一种常用策略. 例2 (20XX 年全国高考题)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点 在同一球面上,则此球的表面积为 ( ) (A)3π (B)4π (C) (D)6π 分析 法1(分割): 如图3所示,连结球心 O 与正四面体11C A BD 的四个顶点,则四面体 被分割成四个相同的 小正三棱锥,由 1114C A BD O A BD V V --=得各小棱锥的高为原正四面体高 的1 4 ,进而可求得 外接球的半径 R = ,球的 表面积为3π.故答案应选(A). 法2 (补形):如图3所示,构造棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -, 则11C A BD ,正方体1111ABCD A B C D -的外接球 也为正四面体11C A BD 的外接球,此时球的直径2R ==球 的表面积为3π,故答案应选(A). 3.利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合 利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合这一性质,寻求内切球半径与外接球半径的方程,算出半径的值,即可解决问题. 例3 (20XX 年山东高考题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) (A) 1(B)1:3 (C) 1 分析:如图,由图形的对称性知,正方体的中心O 既是内切球的球心又 是外接球的球心.
题型1：球的截面问题 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -= 解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量． 1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B 2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． 解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分 别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ． ∵ππ4922=?B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=?A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=． 在A OO Rt 1?中，22220+=x R ；在B OO Rt 2?中，2227)9(++=x R ， ∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴2 2222520=+=x R ，∴25=R ∴)(2500422cm R S ππ==球．∴球的表面积为22500cm π． 3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ?是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ． 解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ， ∴222AC BC AB =+，ABC ?是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ?的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．
球组合体问题专项练习 一、正方体、正四面体外接球与内切球问题 1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体中心;半径r=2a (a 为正方体的棱长). (3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). 外接球 内切球 与各条棱都相切的球 2. 正四面体的外接球与内切球 方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h 为正四面体的高AE). 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h. (1)外接球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长). (2)内切球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长). → 方法（1） 方法（2） 二、可补成长方体的几何体的外接球问题（所有顶点为所补长方体的顶点） 其本公式：2222 121c b a l R ++== 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为 ，则该“阳马”的体积为________. 正视图 侧视图
3．将边长为2的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是________. 4．在三棱锥 中，三侧面两两互相垂直，侧面 的面积分别为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为________. 5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点， 平面ABC ， ， ， ，则球O 的体积等于________. 6.已知四面体ABCD 中，AB=CD=2，BC=AD=3，BD=AC=7，则该四面体外接球的表面积为________. 二、有一条侧棱垂直于底面的锥体或柱体（直棱柱）的外接球问题 其本公式：222?? ? ??+=h r R ，h 为垂直于底面的侧棱长，r 为底面所在截面半径（若底面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2a r A a r A A a r ===== 特别地. 1.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为________. 2.已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为________. 3．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为________. 4.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ， Q 是BC 边上的一个动点，且直线 PQ 与面ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为________. 5.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为________.
专题一 压轴选择题 第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题 【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 类型一 四面体的外接球问题 典例1．【2019·山东师范大学附中高考模拟（文）】已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且6ACB π∠=， 223,1AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( ) A ．13138π B ．13π C ．136π D ．13136 π 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++= ，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面 积． 【举一反三】【2020·山东高三期末】已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．32π D ．64π 类型二 三棱柱的外接球问题 典例2．[山东省临沂市2019届高三上学期第六次质量调研]已知三棱柱 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 ,则此球的体积等于( ) A ． B ． C ． D ． 【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ?的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ?的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的
第3节 球体及组合体 课标要求： 1.利用实物、计算机软件等观察球及简单组合体的结构特征，能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题 . 知 识 梳 理 1.球体的体积 一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积关系 ． 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆 环面.有上述可知： 圆环大圆半径为R ，小圆半径为l ，面积 πππ()S R l R l =-=-22222.所以，S S =12.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即 所以球的体积 2.球体的表面积 如图,将球的表面分成n 个小球面，每个小球面的顶点与球心O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n 个小棱锥的体积和，表面积是这n 个小球面的面积和.当n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n 趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变 成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和 就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球 的表面积公式. 3.球体的组合体 规则的几何体，如正方体、长方体、正棱柱等能够 和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合， 通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. [微点提醒] 1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心． 2：球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系： 4：正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则 (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝ ； (2)若球为正方体的内切球，则2R ＝ ； (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ＝ . (1)(2)图6
球的组合体（课前导学） 1. 【2017全国Ⅲ，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB． 3π 4 C． π 2 D． π 4 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题B 2.【2016全国Ⅰ，理6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题A 3.【2016全国Ⅲ，理10】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB．C．6πD． 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题B 4.【2015课标全国Ⅰ,理11】
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 B 5.【2015课标全国Ⅱ,理9】已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 C 6.【2014·全国大纲卷，理8】正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 A 7.【2013全国1，T6】6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A. 866π3cm 3 B. 500π3cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π 3 cm 3 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 B 研究心得：
简单几何体、组合体专题训练 1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ） A.288 π cm 3 B. 192 π cm 3 C. 288 π cm 3或 192 π cm 3 D.192π cm 3 2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 . 3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为 22cm ，则四棱柱的体积为（ ） A.4cm 3 B.8 cm 3 C.2πcm 3 D.4πcm 3 4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A.33a B.34a C.36a D.3 12 a
5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积. 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？ 7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 __________。 8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ） A.31172+ B.3172 C.31172- D.31 173 -
9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？ 10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 . 11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A.12 V B.13 V C.14 V D.23 V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积. 13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.
多面体与球的组合体问题的求解策略 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 策略一：公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为_________． 【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,936,8 4x x h =???=???∴1,23x h ?=???=?． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32 d =．∴外接球的半径221R r d =+=，43 V π∴=球 【小结】本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 策略二：多面体几何性质法[来 XK] 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =．[来源:Zxxk ．Com] ∴222222426,6R R =++=∴= ．∴这个球的表面积是2424R ππ=．选C ． 【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的． 策略三：补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________． 【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球．
专题七 不等式 问题一：多面体与球的组合体问题 一、考情分析 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理． 二、经验分享 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． (3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱 三、知识拓展 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1 四、题型分析 (一) 球与柱体的组合体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2 a OJ r == ；二是与正方
微专题3---球的组合体问题 一、选择题（本大题共6小题，共30.0分） 1. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( ) A. 17π12 B. 19π12 C. 19π3 D. 17π 3 【答案】C 【解析】【分析】 本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题． 由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =1 2PC ， 根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】 解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ，∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2， 设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =1 2，PH =2×√32×23=2√3 3 ， 则R 2=OP 2=OH 2+PH 2 =19 12，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2 = 19π3 ． 故选C ． 2. 如图所示，四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PDC 为等腰直角三角形 且垂直于底面ABCD ，若PD =PC =√2，AD =1，则四棱锥P ?ABCD 的外接球的表面积为( ) A. 5π3 B. 4π C. 5π D. 20π 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查球的表面积，解答本题的关键是球的半径的求法，属于中档题． 先求出OP =√5 2，再依据矩形对角线互相平分且相等推出OA 与OB 、OC 、OD 的关系，即可推出结论． 【解答】 解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，作PQ ⊥CD 于点Q ，连接OP ，OQ ， 由条件可知PQ =12CD =1，OQ =1 2，侧面PDC ⊥底面ABCD ， 侧面PDC ∩底面ABCD =CD ，PQ ⊥CD ，PQ ?侧面PDC ， ∴PQ ⊥底面ABCD ，又OQ ?底面ABCD ， ∴PQ ⊥OQ ，所以OP =√52 ． 由矩形对角线互相平分且相等可得OA =OB =OC =OD =√5 2 ． 所以点O 为该四棱锥外接球的球心，球的半径为√5 2 ， 所以四棱锥P ?ABCD 的外接球的表面积为4π×(√52 )2=5π． 故 选C ． 3. 在△ABC 中，AB = 3，BC =4，AC =5，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将△ABD 折起使点A 到 达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P ?BDC 的外接球的表面积为( ) A. 25π B. 16π C. 48π D. 481 25π 【答案】D
球的组合体 1.球的表面积与体积： 2 4S R π=, 34 3 V R π= . 2.正方体、长方体与球：(1)设正方体的棱长为a ，则内切球半径为2 a R = ，外接球半径2R a = ，与棱相切的球半径2 R a =.(2) 长方体的外接球直径2R =3. 直棱柱与球的组合问题 直棱柱的外接球，其球心一定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径. 4.正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，则该正四面体的：(1) 全面积2 S ；(2)体 积312V a = ；(3)对棱中点连线段的长2d =；(4)内切球半径12r a =；(5)外接球半径4 R a = ；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 可以用分割的方法求出内切球半径，也可以也可以运用正四面体的二心合一性质，作出 截面图，通过点、线、面关 系解之.在Rt BEO ?中，22 2B O B E E O =+ ，即 222 )R r =+ ，得R =，得3R r =. 5.一般棱锥与球:利用2 2 2 R d r =+求解. 三、高考真题演练 1.【2012新课标理11】 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为 A A B C D
2.【2013新理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A 333350086613722048. . . .3333 A cm B cm C cm D cm ππππ 3.【2015新理科一理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =B .1 .2 .4 .8A B C D 4.【2015新课标2理9】已知,A B 是球O 的球面上两点，o 90AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为 .36 .64 .144 .256A B C D ππππ C 5.【2016全国三理10】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若 AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是B 932.4 . .6 .23 A B C D ππ ππ 6.【2016理科6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ，则它的表面积是A .17 .18 .20 .28A B C D ππππ 四、经典例题解析 【例1】【2006全国一】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为C .16 .20 .24 .32A B C D ππππ 【变式练习】1.【2010新课标理】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为B 2 2 2 27 11.. . .53 3 A a B a C a D a ππππ 2.【2008新课标理】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为
球的组合体 1若一个球的体积为，则它的表面积为 一． 球截面问题 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 2.已知四面体ABCD 中 ,AB=AD=6,AC=4,CD=2,AB ⊥平面ACD,则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．36 B ．88 C ．92 D ．128 3.已知矩形A B C D 的顶点都在半径为4的球面上,且AB =6,BC =,则棱锥O ABCD -的体积为__________. 4球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 5.已知三棱锥O —ABC ,A .B ．C 三点均在球心为0的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O —ABC 则球O 的表面积是 （ ） A ．64π B ．16π C ．32 3π D ．544π 6.已知四面体中,,平面,则四面体外接球的体积为____ 13ππππP ABC -4,2PA PB PC AC ====PB ⊥PAC P ABC -
二． 球心可见问题： 1在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折 成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体 积为 A. 12512π B.1259π C.1256π D.1253π 2已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱 锥的体积为 三．补形问题（正方体、长方体） 1求棱长为a 的正四面体外接球和内切球的体积？ 2.正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 3自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值． S ABC -O ABC ?1SC O 2SC =() A 6() B () C 3() D 2A O D B 图4
多面体与球切、接的问题（一） 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一. 高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，设正方体的棱长为 a ， E , F , H , G 为棱的中点， O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFGH 和 a 其内切圆，则 OJ = r = ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFGH 和其外 2 接圆，则 GO = R = 2 a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACAC 和其外接 2 1 1 圆，则 A 1O = R ' = 3 a .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工 2 具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确 定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.
1.立体几何中的组合体问题 一、补（补成长方体或正方体） 1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A 、3π B 、4π C 、33π D 、6π 2. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱 32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12 B ．π32 C ．π36 D ．π48 3. 点P 的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线 段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 A ．6 B C D 4. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 6. 已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为 A ．3 B ．6 C ．36 D ．9 7. 已知长方体1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为 A ．32 B ．36 C ．48 D ．64 8. 长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中 1::AB AD AA =O ABCD -的体积为 A . 3 B . 3 C . D .3 9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱 锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶 点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为 A .12p B .24p C .36p D .48p 10. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD 中， AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为
问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关
系，进而将空间问题转化为平面问题. 例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A B ．1 C ．1 D 为1.3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，
,,,2h OD AO R AD ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求R =例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为. ，设正四正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===, ,,SE CE ==则有22223a R r R r CE +=-=，=，解得：,.R r ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方
专题：与球体截面相关的计算问题 方法总结： 1.确定三角形外接圆半径 （1）直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径为斜边的一半； （2）等边三角形（边长为a ）的外接圆的圆心在三角形的重心上，且半径为a 3 3； （3）其他非特殊三角形的外接圆的半径可利用正弦定理求解，即R A a 2sin =（a 为角A 的对边）. 2.记住几个常用的结论： （1）正方体的棱长为a ，球的半径为R . ①对于正方体的外接球，2R ； ②对于正方体的内切球，2R ＝a ； ③对于球与正方体的各棱相切，2R . （2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，球的半径为R ，则2R = （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 3.构造法在定几何体外接球球心中的应用 （1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； （2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； （4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 例题1-1．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为32 ，求球的表面积( ) A ．8π B ．12π C ．83π D ．123π 例题1-2．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,25,2BCD AB AD BC CD ==== ，则三棱锥A BCD -的外接球表面积是（ ） A ．25π B ．20π C ．5π D ．π5 变形1-1.矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD -一、球心在三棱锥侧棱上
在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2 AA BC BAC π ==∠=，此 三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ． 323 π B ．16π C ． 253 π D ． 312 π 【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式. 【答案解析】A 解析 ：解：直三棱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上， （如图）， ∵ABC 中，BAC ?ABC 的外心P 为BC 的中点， 同理，可得上底面111A B C 的外心Q 为11B C 的中点， 连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC 再取PQ 中点O ，可得：点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等， ∴O 点是三棱柱111ABC A B C -外接球的球心 ∵RT POB 中，12BP BC = =11 12 PQ AA ==， ∴2OB =，即外接球半径2R =， 因此，三棱柱111ABC A B C -外接球的球的体积为：3344233V R p p ==故选：A ． 【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱111ABC A B C -外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ 的中点．在直角RT POB 中，利用勾股定理算出OB 的长，即得外接球半径R 的大小，再用球的体积公式即可算出所 求外接球的体积． 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外 接球的表面积（ ） A ．25π B ．45π C ．50π D ．100π 【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.
1 题型1：球的截面问题 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量， 也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量． 1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． 3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在 容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ） A ．3 5003cm π B ． 3 8663cm π C ．313723 cm π D ．320483 cm π 题型2：球与几何体的切、接问题 ①． 正方体棱长为a ，则其内切球半径r 内切= ；棱切球半径r 外接= ；外接球半径r 外接= ②．长方体长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径r 外接=_________ ③．正四面体棱长为a ，则其内切球半径r 内切=_________；外接球半径r 外接=_________ C B A D S O E
2 ④. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比． 1.设长方体的长、宽、高分别为a a a ,,2,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）2 3a π （B ）2 6a π （C ）2 12a π （D ） 2 24a π 练1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 练2. ，则其外接球的表面积是 .: 练3．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ） A ． 2 B ．C ． 132 D ．2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 92 π , 则正方体的棱长为 ______. 3.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为?60，若球半径为R ，求弦AB 的长度． 4. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） () A 6 ()B 6 ()C 3 () D 2 6．已知正四棱锥O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________. 7.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。 8．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 16 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．